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第六章 對(duì)概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)
3用頻率估計(jì)概率
列清單·劃重點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)1 用頻率估計(jì)概率
當(dāng)一件事情發(fā)生的概率無(wú)法用畫(huà)樹(shù)狀圖、列表法求得時(shí)，我們可以通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)，用事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)它的概率.
說(shuō)明
(1)人們從長(zhǎng)期實(shí)踐中觀察到，在同樣條件下，重復(fù)多次試驗(yàn)時(shí)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的頻率，總在一個(gè)固定數(shù)的附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，這個(gè)固定數(shù)可以用來(lái)估計(jì)事件發(fā)生的概率.(2)當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)，或者各種可能出現(xiàn)的結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，我們一般通過(guò)統(tǒng)計(jì)頻率來(lái)估計(jì)概率.
知識(shí)點(diǎn)2 生日相同的概率
調(diào)查50個(gè)人中有2個(gè)人生日相同的概率，會(huì)因人而異，因調(diào)查的次數(shù)而異，此問(wèn)題的理論概率大約等于 0.97.
由以前學(xué)過(guò)的知識(shí)容易發(fā)現(xiàn)：400 個(gè)同學(xué)中一定有2 個(gè)同學(xué)生日相同，嚴(yán)格地說(shuō)人數(shù)超過(guò) 366 個(gè)，就一定有兩個(gè)同學(xué)的生日相同，而300 個(gè)同學(xué)就不能保證一定有兩個(gè)同學(xué)的生日相同，但可以說(shuō)300個(gè)同學(xué)中，很可能有兩個(gè)同學(xué)的生日相同.
說(shuō)明
(1)對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題沒(méi)法通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖法和列表法求解，應(yīng)盡可能地增加調(diào)查次數(shù)，以使頻率逐步穩(wěn)定于理論概率.
(2)50個(gè)同學(xué)中有2個(gè)人的生日相同，并不能說(shuō)明其概率是1；而50個(gè)同學(xué)中沒(méi)有2個(gè)同學(xué)的生日相同，也不能說(shuō)其相應(yīng)概率為0.
知識(shí)點(diǎn)3 用實(shí)物模擬試驗(yàn)估算事件發(fā)生的概率
為了使利用頻率估計(jì)概率的結(jié)果盡可能精確，要求做大量的重復(fù)試驗(yàn)，在此過(guò)程中，往往受試驗(yàn)條件的限制，試驗(yàn)很難做或所做的結(jié)果誤差較大，或者試驗(yàn)次數(shù)太多，因而完成起來(lái)較困難，需要用替代物來(lái)進(jìn)行模擬試驗(yàn).
說(shuō)明
(1)替代物與被替代物的形狀、大小、質(zhì)地可以差別很大，但對(duì)于被考察的試驗(yàn)對(duì)象，其各結(jié)果出現(xiàn)的概率應(yīng)該是相同的，即用替代物模擬試驗(yàn)時(shí)，選取的替代物不能影響試驗(yàn)的結(jié)果.
(2)對(duì)于現(xiàn)實(shí)中不易實(shí)際操作的試驗(yàn)，一般采用較易做到或常用的試驗(yàn)方法進(jìn)行模擬，但是一定要注意其試驗(yàn)條件的一致性.
(3)同一問(wèn)題的模擬方案可以是多種多樣的，只要方案合理即可.
知識(shí)點(diǎn)4 用計(jì)算器模擬試驗(yàn)估算事件發(fā)生的概率
有時(shí)候，我們很難找到合適的替代物模擬試驗(yàn)，或者用替代物比較麻煩，這時(shí)我們可以用計(jì)算器產(chǎn)生符合條件的隨機(jī)數(shù)，這種試驗(yàn)方法稱(chēng)為計(jì)算器模擬試驗(yàn).設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)時(shí)有 n種可能就要用計(jì)算器產(chǎn)生1～n這之間的隨機(jī)數(shù)，調(diào)查 m個(gè)人就需產(chǎn)生m個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一次試驗(yàn).
用計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的步驟：
(1)進(jìn)入產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的狀態(tài)；
(2)輸入所產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)的范圍，按鍵得出隨機(jī)數(shù).
注意
不同的計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法不一定相同.
明考點(diǎn)·識(shí)方法
考點(diǎn)1 利用頻率估計(jì)概率
典例1 質(zhì)檢部門(mén)對(duì)某批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行隨機(jī)抽檢，結(jié)果如表所示：
抽檢產(chǎn)品數(shù) n 100 150 200 250 300 500 1000
合格產(chǎn)品數(shù) m 89 134 179 226 271 451 904
合格率·m 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904
在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約是 .(結(jié)果保留一位小數(shù))
思路導(dǎo)析 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和四舍五入法，可以得到一個(gè)穩(wěn)定的頻率(合格率)值，即為任取一件恰好是合格產(chǎn)品的概率.
友情提示
利用頻率估計(jì)概率時(shí)，不能以某一個(gè)頻率作為估計(jì)的概率.試驗(yàn)的次數(shù)越多，用頻率估計(jì)概率也越準(zhǔn)確，因此一般用試驗(yàn)次數(shù)較多的頻率的穩(wěn)定值來(lái)估計(jì)概率.
變式 一個(gè)不透明的口袋中裝有 n個(gè)白球，為了估計(jì)白球的個(gè)數(shù)，向口袋中加入兩個(gè)紅球，它們除顏色外其他完全相同.通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在10%附近，則n的值為 ( )
A.18 B.20 C.22 D.24
考點(diǎn)2 用替代物模擬試驗(yàn)估計(jì)概率
典例2 通過(guò)反復(fù)拋擲一枚正方體骰子，利用頻率穩(wěn)定值估計(jì)6點(diǎn)向上的概率的試驗(yàn)中，如果你手邊沒(méi)有骰子，那么你能設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)方案來(lái)替代嗎 說(shuō)說(shuō)你的試驗(yàn)過(guò)程.
思路導(dǎo)析 正方體骰子的六個(gè)面上分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)點(diǎn)，拋擲時(shí)每個(gè)面的點(diǎn)數(shù)都有相等的機(jī)會(huì)朝上，試驗(yàn)關(guān)注的是6點(diǎn)向上的概率.我們只要設(shè)計(jì)一種也有六種等可能的結(jié)果的試驗(yàn)，且關(guān)注其中的一種結(jié)果的概率即可.
變式 在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，如果沒(méi)有硬幣，我們可以用替代物，但下列物品不能作替代物的是 ( )
A.一枚均勻的普通六面體骰子 B.兩張撲克牌(一張黑桃，一張紅桃)
C.兩個(gè)只有顏色不同的小球 D.一枚圖釘
當(dāng)堂測(cè)·夯基礎(chǔ)
1.小盧在一次用頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)可能是 ( )
A.擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)2 點(diǎn)的概率
B.在“剪刀石頭布”的游戲中，小李隨機(jī)出“石頭”的概率
C.從1～10 這 10 個(gè)整數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)整數(shù)，它能被5整除的概率
D.任意買(mǎi)一張電影票，座位號(hào)是偶數(shù)的概率
2.在一個(gè)不透明的布袋中裝有 50個(gè)黃、白兩種顏色的球，除顏色外其他都相同，小紅通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.7左右，則布袋中白球可能有 ( )
A.15個(gè) B.20個(gè) C.30個(gè) D.35個(gè)
3.2023年12月16日，貴陽(yáng)市軌道交通三號(hào)線正式運(yùn)營(yíng).某校共有1000個(gè)學(xué)生，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)學(xué)生，其中有16個(gè)學(xué)生在三號(hào)線開(kāi)通首日乘坐了地鐵三號(hào)線.在該校隨機(jī)問(wèn)一個(gè)學(xué)生，他在三號(hào)線開(kāi)通首日乘坐該地鐵的概率大約是( )
A.0.016 B.0.1 C.0.116 D.0.16
4.種子被稱(chēng)作農(nóng)業(yè)的“芯片”，關(guān)系到國(guó)家糧食安全.某種業(yè)公司培育成功了 A，B兩種新玉米種子，為了了解它們的出芽情況，在推廣前做了五次出芽實(shí)驗(yàn)，每次隨機(jī)各自取相同種子數(shù)，在相同的培育環(huán)境中分別實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)情況記錄如表：
種子數(shù)量 200 500 800 1500 3000
A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面有三個(gè)推斷：
①當(dāng)實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量為 200 時(shí)，兩種種子的出芽率均為0.98，所以 A，B兩種新玉米種子出芽的概率一樣
②隨著實(shí)驗(yàn)種子數(shù)量的增加，B種子出芽率在0.96附近擺動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì) B種子出芽的概率是0.96③在同樣的地質(zhì)環(huán)境下播種，A種子的出芽率可能會(huì)高于 B種子.其中合理的是 ( )
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
5.一只不透明袋子中裝有1個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從中任意摸出 1個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，獲得數(shù)據(jù)如表所示：
摸球的次數(shù) 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的頻數(shù) 72 93 130 334 532 667
摸到白球的頻率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
(1)該學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)是 (精確到0.01)，由此估出紅球有 個(gè)；
(2)怎樣改變兩種顏色球的數(shù)量，使得每一種顏色的球被摸出的可能性一樣大
參考答案
【明考點(diǎn)·識(shí)方法】
典例1 0.9
變式 A
典例2 解：取六張撲克牌，分別是A，2，3，4，5，6，分別代表正方體骰子六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)(A代表1點(diǎn))，試驗(yàn)時(shí)將六張撲克牌背面向上洗勻后，從中隨機(jī)抽取一張，重復(fù)多次試驗(yàn)后，記錄抽到6的次數(shù)，計(jì)算頻率即可估計(jì)概率.
變式 D
【當(dāng)堂測(cè)·夯基礎(chǔ)】
1. C 2. A 3. D 4. C
5.解：(1)觀察表格發(fā)現(xiàn)，隨著摸球次數(shù)的增多，摸到白球的頻率逐漸穩(wěn)定在0.33附近，由此估出紅球有2個(gè).
故答案為:0.33,2;
(2)(答案不唯一)因?yàn)椴煌该鞔又醒b有1個(gè)白球，2個(gè)紅球，要想使得每一種顏色的球被摸出的可能性一樣大，則把一個(gè)紅球改成黃球就可以.

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