資源簡介

18.2.1 矩形
第1課時 矩形的性質
學習目標：1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區別與聯系；
2.會證明矩形的性質，會用矩形的性質解決簡單的問題；
3.掌握直角三角形斜邊中線的性質，并會簡單的運用.
重點：理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區別與聯系；掌握直角三角形斜邊中線的性質，并會簡單的運用.
難點：會證明矩形的性質，會用矩形的性質解決簡單的問題.
一、知識回顧
1.平行四邊形是什么？它有哪些性質？
你還記得長方形是什么嗎？
新知預習
1.如圖，現有一個活動的平行四邊形，使它的一個內角變化，當內角變化為90°時，這是我們學過的哪個圖形？
2.自主學習：
(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做_________，也就是長方形.
(2)矩形是特殊的平行四邊形，平行四邊形_________是矩形.
三、自學自測
1.矩形是常見的圖形，你能舉出一些生活中的實例嗎？
2.矩形是特殊的平行四邊形，你能根據平行四邊形的性質，說出3條矩形的性質嗎？
四、我的疑惑
____________________________________________________________
要點探究
探究點1：矩形的性質
思考 因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質，由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質呢？
活動 準備素材：直尺、量角器、橡皮擦、課本、鉛筆盒等.
請同學們以小組為單位,測量身邊的矩形（如書本,課桌,鉛筆盒等）的四個角度數和對角線的長度,并記錄測量結果.
AC BD ∠BAD ∠ADC ∠ABC ∠BCD
橡皮擦
課本
桌子
根據測量的結果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四個角都是_________.
猜想2 矩形的對角線__________.
證一證 如圖,四邊形ABCD是矩形,∠B=90°.
求證： ∠B=∠C=∠D=∠A=90°.
證明：∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B____∠D,∠C____∠A, AB____DC.
∴∠B+∠C=_____°.
又∵∠B = 90°,
∴∠C =____°.
∴∠B=∠C=∠D=∠A =_____°.
如圖,四邊形ABCD是矩形,∠ABC=90°,對角線AC與DB相較于點O.
求證：AC=DB.
證明：∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB____DC,∠ABC=∠DCB=_____°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC____△DCB.
∴AC____DB.
思考 請同學們拿出準備好的矩形紙片,折一折,觀察并思考. 矩形是不是軸對稱圖形 如果是,那么對稱軸有幾條
要點歸納：矩形除了具有平行四邊形所有性質，還具有的性質有：
1.矩形的四個角都是_______.矩形的對角線________.
2.矩形是_________圖形,它有_____條對稱軸.
幾何語言描述：
在矩形ABCD中，對角線AC與DB相交于點O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
典例精析
例1如圖,在矩形ABCD中,E是BC上一點,AE=AD,DF⊥AE ,垂足為F.求證：DF=DC.
例2如圖，將矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．
針對訓練
1.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是 （ ）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
2.如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的_________.
3.如圖，在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,∠DAE：∠BAE＝3：1,求∠BAE和∠EAO的度數．
探究點2：直角三角形斜邊上的中線的性質
活動 如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對角線，沿著對角線AC剪去一半.
問題 Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關系？
猜想 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的________.
證一證 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.
證明：延長BO至D, 使OD=BO,連接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四邊形ABCD是____________.
∵∠ABC=90°,
∴平行四邊形ABCD是________，
∴AC_______BD，
∴BO=_____BD=_____AC.
要點歸納：直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的_______等于斜邊的________.
典例精析
例3 如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；
(2)求證：EF垂直平分AD.
方法總結:當已知條件含有線段的中點、直角三角形的條件時，可聯想直角三角形斜邊上的中線的性質進行求解．
例4 如圖，已知BD，CE是△ABC不同邊上的高，點G，F分別是BC，DE的中點，試說明GF⊥DE.
方法總結:在直角三角形中，遇到斜邊中點常作斜邊中線，進而可將問題轉化為等腰三角形的問題，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質解題．
針對訓練
如圖，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜邊AC上的中線.
(1)若BD=3cm,則AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,則AC =_____cm, BD =_____cm.
二、課堂小結
內 容
矩形的概念 有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形
矩形的性質 具有平行四邊形的一切性質；四個內角都是直角，兩條對角線互相平分且相等具有2條對稱軸的軸對稱圖形
直角三角形的性質 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
1.矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質是 ( )
A.對角線相等 B.對邊相等
C.對角相等 D.對角線互相平分
2.若直角三角形的兩條直角邊分別5和12,則斜邊上的中線長為 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能確定
3.若矩形的一條對角線與一邊的夾角為40°,則兩條對角線相交的銳角是 ( )
A.20 ° B.40° C.80 ° D.10°
4.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB=6cm，BC=8cm，則EF=______cm．
5.如圖,△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D為AB中點，若DE=5，AE=8，則BE的長為______．
6.如圖,四邊形ABCD是矩形,對角線AC,BD相交于點O,BE∥AC交DC的延長線于點E.
（1）求證：BD=BE;
（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四邊形ABED的面積.
能力提升
7.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的動點，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
自主學習
課堂探究
第1題圖 第2題圖
當堂檢測
第4題圖 第5題圖
第 3 頁 共 4 頁

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