資源簡介

2.三角形的內角和與外角和
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并證明三角形內角和定理,理解直角三角形的性質,并能進行有關角的計算 幾何直觀、推理能力、模型觀念
2.探索并證明三角形外角的性質以及外角和,并能進行有關的計算和證明 幾何直觀、推理能力、模型觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.三角形的內角和等于　180　°. 　　　　　 　　　　　　　　　　 1.在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,則∠B=　80°　;若∠A=80°,∠B=∠C,則∠C=　50°　.
2.(1)直角三角形的兩個銳角　互余　. (2)有兩個角　互余　的三角形是直角三角形. 2.已知在Rt△ABC中,∠B是∠A的2倍,則∠A等于　30°或45°　.
3.三角形外角的性質 (1)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和; (2)三角形的一個外角　大于　任何一個和它不相鄰的內角. 3.(1)將一副三角板按如圖所示的方式擺放在一起,則∠1的度數是(C) A.55° B.65° C.75° D.85° (2)如圖,∠A,∠1,∠2的大小關系是　∠2>∠1>∠A　.
4.三角形外角和 在每個頂點處只取一個外角,共三個外角的和;三角形的外角和等于　360　°. 4.三角形的三個外角之比為2∶3∶4,則它的三個外角分別為　80°　,　120°　,　160°　.
重點典例研析　　　　啟思凝智 教學相長
重點1 三角形的內角和(模型觀念、抽象能力、推理能力)
【典例1】△ABC中,∠C>∠B,AD是高,AE是三角形的角平分線.
(1)當∠B=26°,∠C=74°時,求∠DAE的度數;
(2)根據第(1)問得到的啟示,∠C-∠B與∠DAE之間有怎樣的等量關系,并說明理由.
【自主解答】(1)∵在△ABC中,∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-26°-74°=80°,
又∵AE為角平分線,∴∠EAB=∠BAC=40°,在直角△ABD中,∠BAD=90°-
∠B=90°-26°=64°,∴∠EAD=∠DAB-∠BAE=64°-40°=24°.
(2)根據(1)可以得到:∠EAB=∠BAC=(180°-∠B-∠C),
∠BAD=90°-∠B,
則∠EAD=∠BAD-∠EAB=(90°-∠B)-(180°-∠B-∠C)=(∠C-∠B).
∴∠EAD=(∠C-∠B).
【舉一反三】
1.在△ABC中,下列條件能推出∠C=90°的有(D)
①∠A=90°-∠B;
②∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶5;
③∠C-∠B=∠A.
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時,我們稱此三角形為“特征三角形”,其中α稱為“特征角”,如果一個“特征三角形”的“特征角”為60°,那么這個“特征三角形”是　直角　三角形.(填“銳角”或“直角”或“鈍角”)
3.在△ABC中,∠A=∠B=∠ACB,CD是△ABC的高,CE是∠ACB的平分線,求∠DCE的度數.
【解析】∵∠A=∠B=∠ACB,∴∠B=2∠A,∠ACB=3∠A,
∵∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠A+2∠A+3∠A=180°,
解得∠A=30°,∴∠ACB=90°,
∵CD是△ABC的高,∴∠ACD=90°-30°=60°,
∵CE是∠ACB的平分線,
∴∠ACE=×90°=45°,∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15°.
【技法點撥】
角平分線與高線的夾角模型
文字語言 圖形語言 結論
三角形同一頂點引出的角平分線與高線的夾角等于三角形另外兩角之差的絕對值的一半 已知:AD⊥BC于點D,AE平分∠BAC ∠DAE=
重點2 三角形外角的性質(模型觀念、幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P88練習T2改編)如圖所示,P是△ABC內一點,延長BP交AC于點D,連結PC.
(1)∠1,∠2,∠A的大小關系是:___________> ___________>___________;
(2)若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,嘉嘉想求∠1的度數,請你從下面兩種思路中任選一種幫助嘉嘉完成求解.
思路一 先利用三角形內角和求出∠PBC+∠PCB的度數,再利用三角形內角和求出∠1的度數. 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度數.再利用三角形外角求出∠1的度數.
【自主解答】(1)∵∠BDC是△ABD的外角,
∠BPC是△CDP的外角,
∴∠2=∠3+∠A,∠1=∠2+∠4,
又∵∠3>0,∠4>0,∴∠1>∠2>∠A.
答案:∠1　∠2　∠A
(2)思路一:在△ABC中,∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4=180°,
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠A-∠3-∠4=180°-67°-25°-40°=48°.
在△PBC中,∠1+∠PBC+∠PCB=180°,
∴∠1=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-48°=132°;
思路二:∵∠BDC是△ABD的外角,
∴∠2=∠3+∠A=25°+67°=92°,
∵∠BPC是△CDP的外角,
∴∠1=∠2+∠4=92°+40°=132°.
【舉一反三】
1.如圖,∠CBD,∠ADE為△ABD的兩個外角,∠CBD=70°,∠ADE=150°,則∠A的度數是(C)
A.20° B.30° C.40° D.50°
2.如圖,圖中x的值為　60　.
【技法點撥】
三角形外角性質的常見應用
求值類 已知一個外角與它不相鄰的兩個內角,求另一個內角
證明類 證明角度之間的和差關系
轉換類 作為中間關系,證明兩個角相等
素養當堂測評　 　　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,則△ABC是(C)
A.直角三角形 B.鈍角三角形
C.銳角三角形 D.無法判斷
2.(3分·模型觀念、推理能力)如圖,P是△ABC內一點,連結BP,CP,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,則∠BPC的度數為(D)
A.110° B.120° C.130° D.140°
3.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,延長AB至D,延長BC至E.如果∠A=54°,則∠1+∠2=　234　°.
4.(4分·推理能力、應用意識)《周禮·考工記》中記載有:“…半矩謂之宣(xuān),一宣有半謂之欘(zhú)…”.意思是:“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”,即1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
問題:圖(1)為中國古代一種強弩圖,圖(2)為這種強弩圖的部分組件的示意圖,若∠A=1矩,∠B=1欘,則∠C=　22.5　度.
5.(6分·抽象能力、推理能力)一副三角板(含30°,45°的各一塊)按照如圖所示放置(一邊重合),點C是兩塊三角板的公共頂點,求∠EGB的度數.
【解析】由題意得:∠DCE=60°,∠ACB=90°,∠B=45°,
∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=30°,
∵∠EGB是△BCG的外角,
∴∠EGB=∠B+∠BCE=75°.2.三角形的內角和與外角和
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并證明三角形內角和定理,理解直角三角形的性質,并能進行有關角的計算 幾何直觀、推理能力、模型觀念
2.探索并證明三角形外角的性質以及外角和,并能進行有關的計算和證明 幾何直觀、推理能力、模型觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.三角形的內角和等于 °. 　　　　　 　　　　　　　　　　 1.在△ABC中,若∠A=80°,∠C=20°,則∠B= ;若∠A=80°,∠B=∠C,則∠C= .
2.(1)直角三角形的兩個銳角 . (2)有兩個角 的三角形是直角三角形. 2.已知在Rt△ABC中,∠B是∠A的2倍,則∠A等于 .
3.三角形外角的性質 (1)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和; (2)三角形的一個外角 任何一個和它不相鄰的內角. 3.(1)將一副三角板按如圖所示的方式擺放在一起,則∠1的度數是( ) A.55° B.65° C.75° D.85° (2)如圖,∠A,∠1,∠2的大小關系是 .
4.三角形外角和 在每個頂點處只取一個外角,共三個外角的和;三角形的外角和等于 °. 4.三角形的三個外角之比為2∶3∶4,則它的三個外角分別為 , , .
重點典例研析　　　　啟思凝智 教學相長
重點1 三角形的內角和(模型觀念、抽象能力、推理能力)
【典例1】△ABC中,∠C>∠B,AD是高,AE是三角形的角平分線.
(1)當∠B=26°,∠C=74°時,求∠DAE的度數;
(2)根據第(1)問得到的啟示,∠C-∠B與∠DAE之間有怎樣的等量關系,并說明理由.
【舉一反三】
1.在△ABC中,下列條件能推出∠C=90°的有( )
①∠A=90°-∠B;
②∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶5;
③∠C-∠B=∠A.
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
2.三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時,我們稱此三角形為“特征三角形”,其中α稱為“特征角”,如果一個“特征三角形”的“特征角”為60°,那么這個“特征三角形”是 三角形.(填“銳角”或“直角”或“鈍角”)
3.在△ABC中,∠A=∠B=∠ACB,CD是△ABC的高,CE是∠ACB的平分線,求∠DCE的度數.
【技法點撥】
角平分線與高線的夾角模型
文字語言 圖形語言 結論
三角形同一頂點引出的角平分線與高線的夾角等于三角形另外兩角之差的絕對值的一半 已知:AD⊥BC于點D,AE平分∠BAC ∠DAE=
重點2 三角形外角的性質(模型觀念、幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P88練習T2改編)如圖所示,P是△ABC內一點,延長BP交AC于點D,連結PC.
(1)∠1,∠2,∠A的大小關系是:___________> ___________>___________;
(2)若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,嘉嘉想求∠1的度數,請你從下面兩種思路中任選一種幫助嘉嘉完成求解.
思路一 先利用三角形內角和求出∠PBC+∠PCB的度數,再利用三角形內角和求出∠1的度數. 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度數.再利用三角形外角求出∠1的度數.
【舉一反三】
1.如圖,∠CBD,∠ADE為△ABD的兩個外角,∠CBD=70°,∠ADE=150°,則∠A的度數是( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
2.如圖,圖中x的值為 .
【技法點撥】
三角形外角性質的常見應用
求值類 已知一個外角與它不相鄰的兩個內角,求另一個內角
證明類 證明角度之間的和差關系
轉換類 作為中間關系,證明兩個角相等
素養當堂測評　 　　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,則△ABC是( )
A.直角三角形 B.鈍角三角形
C.銳角三角形 D.無法判斷
2.(3分·模型觀念、推理能力)如圖,P是△ABC內一點,連結BP,CP,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,則∠BPC的度數為( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
3.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在△ABC中,延長AB至D,延長BC至E.如果∠A=54°,則∠1+∠2= °.
4.(4分·推理能力、應用意識)《周禮·考工記》中記載有:“…半矩謂之宣(xuān),一宣有半謂之欘(zhú)…”.意思是:“…直角的一半的角叫做宣,一宣半的角叫做欘…”,即1宣=矩,1欘=1宣(其中,1矩=90°).
問題:圖(1)為中國古代一種強弩圖,圖(2)為這種強弩圖的部分組件的示意圖,若∠A=1矩,∠B=1欘,則∠C= 度.
5.(6分·抽象能力、推理能力)一副三角板(含30°,45°的各一塊)按照如圖所示放置(一邊重合),點C是兩塊三角板的公共頂點,求∠EGB的度數.

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