資源簡(jiǎn)介

8.2　多邊形的內(nèi)角和與外角和
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.了解多邊形、正多邊形以及相關(guān)的概念 幾何直觀
2.探索并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和,并能進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和推理 模型觀念、幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺(tái) 起于累土
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
1.多邊形及其相關(guān)概念 (1)多邊形:一般地,由n條　不在同一直線上　的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形. (2)n邊形的內(nèi)角和為　(n-2)·180°　. (3)對(duì)角線:連結(jié)多邊形　不相鄰　的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段. 1.如圖所示,∠B的值為(D) A.85°　　 B.95°　　　 C.105°　　D.115°
2.正多邊形:各邊都相等,并且各內(nèi)角也都相等的多邊形. 2.已知正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是(A) A.九　　　B.八　　　 C.七　　　D.六
3.任意多邊形的外角和都為　360°　. 3.若正多邊形的一個(gè)外角是60°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是　六　.
重點(diǎn)典例研析　　　　循道而行 方能致遠(yuǎn)
重點(diǎn)1多邊形的內(nèi)角和(模型觀念、推理能力)
【典例1】(教材再開(kāi)發(fā)·P97練習(xí)T1拓展)在四邊形ABCD中,∠A=80°,∠D=140°.
(1)如圖①,若∠B=∠C,求出∠B的度數(shù);
(2)如圖②,若∠DCB的平分線交AB于點(diǎn)E,且EC∥AD,求出∠B的度數(shù);
(3)如圖③,若∠ABC和∠DCB的平分線交于點(diǎn)E,求出∠BEC的度數(shù).
【自主解答】(1)∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=80°,∠D=140°,
∴∠B+∠C=360°-∠A-∠D=360°-80°-140°=140°,
∵∠B=∠C,∴∠B=70°;
(2)∵EC∥AD,∠A=80°,∠D=140°,
∴∠AEC=180°-∠A=100°,∠DCE=180°-∠D=40°,
∵CE平分∠DCB,
∴∠ECB=∠DCE=40°,
∵∠AEC=∠B+∠ECB,
∴∠B=∠AEC-∠ECB=100°-40°=60°;
(3)∵∠A+∠ABC+∠DCB+∠D=360°,∠A=80°,∠D=140°,
∴∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D=360°-80°-140°=140°,
∵BE,CE分別平分∠ABC和∠DCB,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠DCB,
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠DCB)=×140°=70°,
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-70°=110°.
【舉一反三】
1.四邊形ABCD中,∠A=80°,∠B=70°,∠C比∠D大30°,求∠D的度數(shù).
【解析】∵∠C比∠D大30°,
∴∠C=∠D+30°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360°,∠A=80°,∠B=70°,
∴80°+70°+∠D+30°+∠D=360°,
解得∠D=90°,∴∠D的度數(shù)為90°.
2.已知如圖,五邊形ABCDE中,AB∥CD,求圖中∠AED的值.
【解析】∵AB∥CD,∴∠C+∠B=180°,
∵五邊形ABCDE的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,
∴∠AED=540°-(∠A+∠D+∠C+∠B)
=540°-(150°+160°+180°)
=540°-490°
=50°.
【技法點(diǎn)撥】
1.利用多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)·180°,可已知邊數(shù)求內(nèi)角和,也可已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù).
2.已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)時(shí),一般是設(shè)出多邊形的邊數(shù),根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程求解.
重點(diǎn)2 多邊形的外角和(模型觀念、推理能力)
【典例2】(教材再開(kāi)發(fā)·P99練習(xí)T1拓展)已知正x邊形的內(nèi)角和為1 080°,邊長(zhǎng)為2.
(1)求正x邊形的周長(zhǎng);
(2)若正n邊形的每個(gè)外角的度數(shù)比正x邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)小63°,求n的值.
【自主解答】(1)由題意可得180°×(x-2)=1 080°,解得x=8,
∴正x邊形的周長(zhǎng)為8×2=16;
(2)正x邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為1 080°÷8=135°,正n邊形的每個(gè)外角的度數(shù)為135°-63°=72°,360°÷72°=5,
∴n的值為5.
【舉一反三】
1.如圖,在正五邊形ABCDE中,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥ED于點(diǎn)F,那么∠DCF的度數(shù)為　18°　.
2.如圖,小明從點(diǎn)A出發(fā),前進(jìn)10 m后向右轉(zhuǎn)45°,再前進(jìn)10 m后又向右轉(zhuǎn)45°,…,如此反復(fù)下去,直到他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A,他所走的路徑構(gòu)成了一個(gè)正多邊形.
(1)求小明一共走了多少米;
(2)求這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和.
【解析】(1)∵所經(jīng)過(guò)的路線正好構(gòu)成一個(gè)外角是45°的正多邊形,
∴360°÷45°=8,8×10=80(m);
∴小明一共走了80 m;
(2)根據(jù)題意得:
(8-2)×180°=1 080°,
∴這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是1 080°.
3.閱讀小明和小紅的對(duì)話,解決下列問(wèn)題.
(1)這個(gè)“多加的銳角”是___________°.
(2)小明求的是幾邊形的內(nèi)角和
(3)若這是個(gè)正多邊形,則這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是多少度
【解析】(1)十二邊形的內(nèi)角和為(12-2)×180°=1 800°,而十三邊形的內(nèi)角和為(13-2)×180°=1 980°,
由于小紅說(shuō):“多邊形的內(nèi)角和不可能是1 830°,你一定多加了一個(gè)銳角”,所以這個(gè)“多加的銳角”是1 830°-1 800°=30°.
答案:30
(2)設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形,由題意得:
(n-2)×180°=1 800°,
解得n=12;
∴小明求的是十二邊形的內(nèi)角和;
(3)正十二邊形的每一個(gè)外角都相等,而多邊形的外角和始終為360°,
所以每一個(gè)外角為=30°,
∴這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角為30°.
【技法點(diǎn)撥】
1.多邊形的外角和等于360°,與邊數(shù)無(wú)關(guān),所以常把多邊形內(nèi)角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外角來(lái)處理.
2.若計(jì)算正多邊形的內(nèi)角,一般從外角作為切入點(diǎn),然后依據(jù)內(nèi)外角互補(bǔ)解決更為簡(jiǎn)便.
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　 　　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念、抽象能力)下列多邊形中,內(nèi)角和等于外角和的是(B)
2.(3分·模型觀念、推理能力)如圖,小明沿一個(gè)五邊形的廣場(chǎng)小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身,他每跑完一圈時(shí),身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是 (B)
A.180°　 B.360°　 C.540°　 D.720°
3.(4分·推理能力)若某多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)所作的對(duì)角線為4條,則這個(gè)多邊形共有　14　條對(duì)角線.
4.(4分·推理能力)如圖,五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等,且∠ADE=∠DAE,∠BDC=∠DBC,則∠ADB的度數(shù)為　36°　.
5.(6分·推理能力)如圖,將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去陰影部分,且∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG=485°.
(1)求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和;
(2)求∠BGD的度數(shù).
【解析】(1)六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為(6-2)×180°=720°;
(2)如圖,連結(jié)FG,四邊形ABGF,四邊形DEFG的內(nèi)角和都是360°,
即∠A+∠ABG+∠BGF+∠AFG=360°,∠FGD+∠GDE+∠DEF+∠EFG=360°,
∴∠A+∠ABG+∠BGF+∠AFG+∠FGD+∠GDE+∠DEF+∠EFG=360°×2=
720°,
又∵∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG=485°.
∴∠BGF+∠DGF=720°-485°=235°,
∴∠BGD=360°-235°=125°.8.2　多邊形的內(nèi)角和與外角和
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.了解多邊形、正多邊形以及相關(guān)的概念 幾何直觀
2.探索并掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和,并能進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和推理 模型觀念、幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺(tái) 起于累土
新知要點(diǎn) 對(duì)點(diǎn)小練
1.多邊形及其相關(guān)概念 (1)多邊形:一般地,由n條 的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為n邊形. (2)n邊形的內(nèi)角和為 . (3)對(duì)角線:連結(jié)多邊形 的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段. 1.如圖所示,∠B的值為( ) A.85°　　 B.95°　　　 C.105°　　D.115°
2.正多邊形:各邊都相等,并且各內(nèi)角也都相等的多邊形. 2.已知正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是( ) A.九　　　B.八　　　 C.七　　　D.六
3.任意多邊形的外角和都為 . 3.若正多邊形的一個(gè)外角是60°,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是 .
重點(diǎn)典例研析　　　　循道而行 方能致遠(yuǎn)
重點(diǎn)1多邊形的內(nèi)角和(模型觀念、推理能力)
【典例1】(教材再開(kāi)發(fā)·P97練習(xí)T1拓展)在四邊形ABCD中,∠A=80°,∠D=140°.
(1)如圖①,若∠B=∠C,求出∠B的度數(shù);
(2)如圖②,若∠DCB的平分線交AB于點(diǎn)E,且EC∥AD,求出∠B的度數(shù);
(3)如圖③,若∠ABC和∠DCB的平分線交于點(diǎn)E,求出∠BEC的度數(shù).
【舉一反三】
1.四邊形ABCD中,∠A=80°,∠B=70°,∠C比∠D大30°,求∠D的度數(shù).
2.已知如圖,五邊形ABCDE中,AB∥CD,求圖中∠AED的值.
【技法點(diǎn)撥】
1.利用多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)·180°,可已知邊數(shù)求內(nèi)角和,也可已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù).
2.已知多邊形內(nèi)角和求邊數(shù)時(shí),一般是設(shè)出多邊形的邊數(shù),根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列方程求解.
重點(diǎn)2 多邊形的外角和(模型觀念、推理能力)
【典例2】(教材再開(kāi)發(fā)·P99練習(xí)T1拓展)已知正x邊形的內(nèi)角和為1 080°,邊長(zhǎng)為2.
(1)求正x邊形的周長(zhǎng);
(2)若正n邊形的每個(gè)外角的度數(shù)比正x邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)小63°,求n的值.
【舉一反三】
1.如圖,在正五邊形ABCDE中,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥ED于點(diǎn)F,那么∠DCF的度數(shù)為 .
2.如圖,小明從點(diǎn)A出發(fā),前進(jìn)10 m后向右轉(zhuǎn)45°,再前進(jìn)10 m后又向右轉(zhuǎn)45°,…,如此反復(fù)下去,直到他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A,他所走的路徑構(gòu)成了一個(gè)正多邊形.
(1)求小明一共走了多少米;
(2)求這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和.
3.閱讀小明和小紅的對(duì)話,解決下列問(wèn)題.
(1)這個(gè)“多加的銳角”是___________°.
(2)小明求的是幾邊形的內(nèi)角和
(3)若這是個(gè)正多邊形,則這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是多少度
【技法點(diǎn)撥】
1.多邊形的外角和等于360°,與邊數(shù)無(wú)關(guān),所以常把多邊形內(nèi)角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外角來(lái)處理.
2.若計(jì)算正多邊形的內(nèi)角,一般從外角作為切入點(diǎn),然后依據(jù)內(nèi)外角互補(bǔ)解決更為簡(jiǎn)便.
素養(yǎng)當(dāng)堂測(cè)評(píng)　 　　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念、抽象能力)下列多邊形中,內(nèi)角和等于外角和的是( )
2.(3分·模型觀念、推理能力)如圖,小明沿一個(gè)五邊形的廣場(chǎng)小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身,他每跑完一圈時(shí),身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度之和是 ( )
A.180°　 B.360°　 C.540°　 D.720°
3.(4分·推理能力)若某多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)所作的對(duì)角線為4條,則這個(gè)多邊形共有 條對(duì)角線.
4.(4分·推理能力)如圖,五邊形ABCDE的內(nèi)角都相等,且∠ADE=∠DAE,∠BDC=∠DBC,則∠ADB的度數(shù)為 .
5.(6分·推理能力)如圖,將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去陰影部分,且∠A+∠E+∠F+∠ABG+∠EDG=485°.
(1)求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和;
(2)求∠BGD的度數(shù).

展開(kāi)更多......

收起↑