資源簡介

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模型16 “倍長中線”模型
基礎模型
類型 倍長中線
圖示
條件 AD是△ABC的邊BC上的中線
結論 延長AD至點E,使DE=AD,連接BE,則△ACD≌△EBD
結論分析
結論:△ACD≌△EBD
證明:∵AD 是△ABC的邊 BC上的中線,∴CD=BD,
又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,∴△ACD≌△EBD(SAS).
模型拓展
類型 倍長類中線
圖示
條件 點D是 BC邊的中點，點E是AB上一點，連接ED
結論 延長 ED至點 F,使DF=ED,連接CF,則△BDE≌△CDF
模型解題三步法
例1 如圖,在△ABC中,∠BAC=135°,AD為BC邊上的中線,且AD⊥AC,AC=2,則△ABC的面積為 .
例2 如圖,在 ABCD中,點E是CD的中點,連接AE,過點E作EF⊥AE,交 BC 于點 F,連接AF.若∠AFB=28°,則∠DAE的度數為 .
題以類解
1. 如圖,在四邊形ABCD 中,AB∥CD,點 E 為AD邊的中點,若 CE 平分∠BCD,AB =2,CD=5,則BC的長為 .
2.如圖,在 ABCD中,過點A作AE⊥CD 于點 E,點 F 是 BC 的中點,連接AF,EF,若 AF =AE =4,則△AFE 的面積為 .
3. 如圖,在△ABC中,AD 是 BC 邊上的中線,E是AD上一點,AE=2DE,AE=3,BE=5,CE=4,則△ABC的面積為 .
4. 如圖,在△ABC中,∠A=90°,點D為BC的中點,M,N分別為邊AB,AC 上的點,且 BM = BD,CN = CD. 則∠MDN= °;若DN=2,DM=2 則△CDN的周長為 .
5.發現問題
小強在一次學習過程中遇到了下面的問題：如圖①,已知AD 是△ABC 的中線,AB=6,AC=4,求AD的取值范圍.
探究方法
小強所在的小組通過探究發現，延長AD 至點E,使ED=AD.連接BE,可以證出△BED≌△CAD，利用全等三角形的性質可將已知的邊長與 AD 轉化到△ABE 中,進而求出AD的取值范圍.
方法小結：從上面的思路可以看出，解決問題的關鍵是將中線AD 延長一倍，構造出全等三角形，我們把這種方法叫做“倍長中線法”.
(1)請你利用上面解答問題的思路方法，寫出求AD的取值范圍的過程；
類比遷移
(2)如圖②,AD 是△ABC 的中線,在 AD 上取一點 E，連接BE 并延長交AC 于點 F，使AF=EF,求證:BE=AC;
拓展應用
(3)如圖③,在矩形ABCD中, 在 BD上取一點 F,以 BF 為斜邊作 Rt△BEF,且 點G是DF的中點,連接EG,CG.
求證:EG=CG.
模型解題三步法
例1 2 【解析】根據“倍長中線”模型得△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=2,∠E=∠DAC=90°,∵ ∠BAE=∠BAC--∠DAC=45°,∴AE=BE=2,∴S△ABC=S△ABE= ×2x2=2.
例2 E CD EF
14° 【解析】在 ABCD 中,AD∥BC,∴∠MDE=∠FCE,∠EMD=∠EFC,又∵ E是 CD 的中點,∴ DE = CE,∴ △EDM≌△ECF(AAS),∴ EM=EF,又∵ EF⊥AE,∴AF=AM,即△AMF 是等腰三角形,∴AE平分∠DAF.∵ AD∥BC,∴∠DAF=∠AFB=
題以類解
1.7 【解析】找模型：是否存在四邊形一邊上的中點：E 為AD 的中點；是否存在一頂點與中點的連線：線段 CE.抽離模型：如解圖，延長 CE到點 P，使CE=PE，連接AP，用模型：根據“倍長中線”模型得△AEP≌△DEC(SAS),∴ AP=CD,∠P=∠ECD,∴AP∥CD,∵AB∥CD,∴點 P,A,B在同一直線上.∵CE 平分∠BCD,∴ ∠BCP=∠DCP,∴∠BCP=∠P,∴BC=BP,∴AB+AP=AB+CD=BP=7=BC.
2. 4 一題多解
解法一：找模型：是否存在三角形一邊上的中點：F為BC 的中點；是否存在三角形一頂點與中點的連線：線段AF；抽離模型：如解圖①,用模型:延長AF至點G,使得FG=AF,連接CG，根據“倍長中線”模型得△ABF≌△GCF,∴ ∠B = ∠BCG. ∵ ∠B +∠BCD =180°,∴∠BCG+∠BCD=180°,∴E,C,G三點共線.∵AE⊥CD,點 F是AG的中點,∴AF=EF.又∵AF=AE,∴△AEF 是等邊三角形(三條邊相等的三角形是等邊三角形)，
解法二：找模型：是否存在三角形一邊上的中點：F為BC 的中點；是否存在某條邊上的中點與另外兩條邊中的任意一條邊上某點(不在端點)的連線：線段 EF；抽離模型：如解圖②,用模型:過點 B 作 BH∥DC 交 EF 的延長線于點H,∵AB∥CD,∴A,B,H三點共線.根據“倍長中線”模型得△CFE≌△BFH(AAS),∴HF=EF,∵AE⊥DC,AB∥DC,∴∠BAE=∠AED=90°,∵點 F 是 EH 的中點,AF=EF.又∵ AF=AE,∴△AEF 是等邊三角形(三條邊相等的三角形是等邊三角形)，
3. 18 【解析】如解圖,延長AD 到點 F,使ED=DF,連接CF,根據“倍長中線”模型得△BDE≌△CDF(SAS),∴ CF=BE=5,∵ AE=2DE,
4. 45,2 【解析】如解圖，延長MD至點E,使DE=MD,連接CE,NE,過點 N作 NF⊥MD 于點 F.∵ ∠A=90°,∴ ∠BCA+∠B =90°,∵ BM = BD, CN = CD,∴ ∠BMD =∠BDM,∠CDN=∠CND,∴2∠BDM+∠B=180°,2∠CDN+∠BCA =180°,∴ 2∠BDM+2∠CDN=270°,∴ ∠CDN+∠BDM = 135°,∴ ∠MDN=180°-(∠CDN+∠BDM)= 45°;在 Rt△NDF 中,∵ ∠FDN = 45°, DN = 2, 在△DBM 和△DCE 中,
,∴CE=BM=BD=CD=CN,∠ECD =∠B,又∵ ∠B+∠BCA =90°,∴ ∠ECN=∠ECD+∠BCA=90°,∴△ECN是等腰直角三角形， (等腰直角三角形的性質),在 Rt△NFE中, EF 的周長=2CN+
5. (1)解:如解圖①,延長 AD 至點 E,使 DE=AD,連接BE,根據“倍長中線”模型得△CAD≌△BED(SAS),
∴AC=BE=4,
在△ABE中,AB-BE∴2<2AD<10,
∴1(2)證明:如解圖②,延長AD 至點 H,使DH=AD,連接BH,
根據“倍長中線”模型得△ADC≌△HDB(SAS),
∴AC=HB,∠CAD=∠H.
∵AF=EF,
∴∠FAE=∠AEF,
∴∠H=∠BEH,
∴BE=BH,
∴BE=AC;
(3)證明:如解圖③,延長 CG 至點N,使NG=CG,連接EN,NF,EC,
根據“倍長中線”模型得△CGD≌△NGF(SAS),∴CD=NF,∠CDB=∠NFG.
∴∠ADB=∠EBF.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠EBF=∠DBC,
∴∠EBC=2∠DBC.
∵ ∠EBF+∠EFB = 90°,∠DBC+∠BDC =90°,
∴∠EFB=∠BDC=∠NFG,∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC=180°,
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG=180°,
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN=180°,
∴∠EFN=2∠DBC,∴∠EBC=∠EFN.
且CD=NF,
∴△BEC∽△FEN,
∴∠BEC=∠FEN,
∴∠BEF=∠NEC=90°.
又∵CG=NG,

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