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模型6 “燕尾”(含“風箏”)模型
基礎模型
結論1:∠BDC=∠A+∠B+∠C
證法1：如圖①，連接AD并延長，
則∠1=∠B+∠3,∠2=∠C+∠4,
∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠3+∠C+∠4,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
證法2:如圖②,延長 BD交AC 于點 E.
自主證明：
證法3:如圖③,連接BC.
自主證明：
結論2:AB+AC>BD+CD
證明:如圖②,延長BD交AC 于點 E,則在△ABE中,AB+AE>BE,即AB+AE>BD+DE,在△CDE中,DE+CE>CD.
∵AC=AE+CE,
∴AB+AC=AB+AE+CE>BD+DE+CE>BD+CD.
模型拓展
類型 “風箏”模型
圖示
條件 B,C分別為∠DAE邊AD,AE上一點,點 F為∠DAE 內部一點,且在∠DAE 內部形成凸四邊形ABFC
結論 ∠DBF+∠ECF =∠A+∠F(腋下兩角之和等于上下兩角之和)
模型解題三步法
例 如圖,在△ABC 和△BDE 中,AC與DE 相交于點 F.若∠B=90°,∠A=20°,∠D=45°,則∠AEF+∠DCF的度數為 ( )
A. 225° B. 235° C. 245° D. 255°
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題以類解
1.如圖，將含 30°角的直角三角板ABC 的直角∠A放入△DEF的內部,點 E,F恰好為AB,AC 的中點,若∠D =45°,∠DFE=56°,則∠DEA的度數為 ( )
A. 11° B. 15° C. 19° D. 26°
2.如圖，在平面直角坐標系xOy中,△ABC的頂點A(0,2),B(2 ,0)分別在y軸和x軸上，AC 為△ABO 的一個外角的平分線,點 D,E 分別在 AC 和 BC 上,將△CDE 沿直線 DE 折疊使得點 C 的對應點C'落在△ABC 的內部,若∠ABC =90°,則∠ADC'+∠BEC'與∠A 的關系為 ( )
3. 如圖,∠ABD,∠ACD的10等分線分別相交于點 G ,G ,…,G ,若∠BDC=125°,∠A=60°,則∠BG C 的度數為 .
4. 如圖是可調躺椅示意圖(數據如圖)，AE 與 BD 的交點為C,且∠A,∠B,∠E保持不變.為了舒適,需調整∠D的大小，使 ,則∠D應 (填“調大”或“調小”) 度.
5.如圖，在四邊形ABCD中，點E,F分別是AD,BC上的點,將四邊形ABCD沿直線 EF 折疊,若∠A=130°,∠B=110°,則∠1+∠2的度數為 .
6. 定義：在四邊形中，僅有一個角大于180°，但小于360°，這樣的四邊形叫做凹四邊形(如圖①).因為凹四邊形ABOC 形似燕尾，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規律,所以我們把這個模型叫做“燕尾”模型.
模型應用
(1)如圖②,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數；(用含α的代數式表示)
(2)如圖③,若∠BAC 的平分線與∠BOC 的平分線交于點 D,求證:2∠D=∠C-∠B.
模型展現
證法2 自主證明：
如圖②,延長BD 交AC 于點E,
∵∠BEC 是△ABE的外角,
∴∠BEC=∠A+∠B.
又∵∠BDC 是△CDE 的外角,
∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
證法3 自主證明：
如圖③,連接BC,
則∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°(三角形的內角和為180°).
∵ ∠DBC+∠ABD+∠DCB+∠ACD+∠A=180°,
∴∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A.
模型解題三步法
例 C 【解析】根據“燕尾”模型可得:∠AFD=∠A+∠B+∠D=155°,∴ ∠EFC =∠AFD=155°;根據“風箏”模型可得:∠AEF+∠DCF=∠B+∠EFC=245°.
題以類解
1. C 【解析】找模型：是否存在凹四邊形：四邊形 DEAF.抽離模型:如解圖,∵E,F 分別是教輔資料AB,AC的中點,∴ EF 為△ABC 的中位線,初高教輔站EF∥BC(三角形的中位線平行于第三邊)，∴ ∠AFE = ∠C = 30°. ∵ ∠DFE = ∠DFA+∠AFE=56°,∴ ∠DFA =∠DFE-∠AFE =56°-30=26°. 用模型:根據“燕尾”模型可得:∠A =∠DEA+∠D+∠DFA,∴ ∠DEA =
2. B 【解析】找模型：是否存在凸四邊形：四邊形 CDC'E. 抽離模型:如解圖. 在 Rt△ABO中,∵A(0,2),B(2 ,0),∴OA=2,OB= ∵ AC 為 △ABO 的一個外角的平分線, ，由折疊的性質得， 用模型：根據“風箏”模型可得： =∠C+∠C'=60°,∴∠ADC'+∠BEC'=∠A.
3. 99° 【解析】∵ ∠BDC=∠ABD+∠ACD+∠A(“燕尾”模型),同理可得∠BDC=∠BG C+
4. 調小,10 【解析】在△ABC 中,∠ACB=180°-55°-60°=65°,∴ ∠ECD =∠ACB = 65°.∵ ∠DFE=∠D+∠E+∠ECD(“燕尾”模型),∴∠D=∠DFE-(∠E+∠ECD)= 110°-(30°
5. 120° 【解析】如解圖,延長 EA,FB 交于點M,延長 EA',FB'交于點 M',由“風箏”模型得∠1+∠2=∠M+∠M',由折疊的性質可知∠M=∠M',∴∠1+∠2=2∠M,∵∠EAB= ∠2=2∠M=2×60°=120°.
6. (1)解:在凹四邊形 ABOC 中,∠A+∠B+∠C=∠BOC=∠DOE=α,
在凹四邊形 DOEF 中,∠D+∠E+∠F =∠DOE=α,
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α;
(2)證明:由題意可知,OD 平分∠BOC,AD平分∠BAC,
∵在凹四邊形ABOD中,∠BOD=∠B+∠D+∠BAD(“燕尾”模型),
∴∠BOC=2∠B+2∠D+∠BAC.
又∵在凹四邊形ABOC中,∠BOC=∠B+∠C+∠BAC(“燕尾”模型),
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠B+2∠D+∠BAC,
∴2∠D=∠C-∠B.

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