資源簡介

模型7 “角平分線”模型
基礎(chǔ)模型
圖示
條件 OP 平分∠MON,點 A 為OM上一點,PA⊥OM OP 平分∠MON,點 A 為OM上一點 OP 平分 ∠MON,點 A 為OM 上一點,AP⊥OP
作法 過點P作PB⊥ON于點B 在ON上截取 OB=OA,連接 PB 延長AP交ON于點B
結(jié)論 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB; 3. OA=OB 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB 1. △AOP≌△BOP; 2. PA=PB; 3. OA=OB
結(jié)論分析
作法1 結(jié)論:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB;3. OA=OB
證明:如圖①,過點 P作 PB⊥ON于點 B,
∴ ∠OAP=∠OBP=90°.
∵OP平分∠MON,∴∠AOP=∠BOP,
在△AOP 和△BOP中,
∴△AOP≌△BOP(AAS)(結(jié)論1),∴PA=PB(結(jié)論2),OA=OB(結(jié)論3).
作法2 結(jié)論:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB
自主證明:如圖②,在ON上截取OB=OA,連接PB.
作法3 結(jié)論:1. △AOP≌△BOP;2. PA=PB;3. OA=OB
自主證明:如圖③,延長AP 交 ON 于點 B.
模型拓展
拓展方向：角平分線+平行線構(gòu)造等腰三角形
圖示
條件 OP平分∠MON
作法 過點 P作PQ∥ON交OM于點Q 過點 Q作OP的平行線交NO 的延長線于點 R
結(jié)論 1. OQ=PQ;2. ∠QOP=∠QPO 1.
模型解題三步法
例1 如圖,在△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC,過點 D作DE⊥AC于點 E.若BD=3,CD=5,則△CDE的面積為 .
例2 如圖,已知點D為△ABC內(nèi)一點,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=9,BC=5,則BD 的長為 .
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題以類解
1. 如圖,BH 是∠ABC 的平分線,BD 和 CD 是△ABC 兩個外角的平分線,延長 DC 與 BH交于點 H,若∠D = 60°,∠ACB = 65°,則∠HBC的度數(shù)為 ( )
A. 27.5° B. 30° C. 32.5° D. 35°
2. 一題多解 如圖,∠BAC = 60°,AD 平分∠BAC,作 AD 的垂直平分線交 AB 于點 E,交 AC 于 點 F,連接 DF,DF 恰好平分∠EFC,過點 D 作 DG⊥AC 于點 G,若 EF=5，則DG的長為 ( )
A. C. 2 D. 6
3. 如圖,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC 的平分線與∠ACD的平分線交于點 A ,∠A BC 的平分線與∠A CD 的平分線交于點 A ，得∠A ,…,∠A BC的平分線與∠A CD 的平分線交于點 A ,則.
4. 如圖,在△ABC 中, 若∠AED = 35°,則∠C 的度數(shù)為 .
5. 如圖,在△ABC中,∠A =120°,BD,CD 分別平分∠ABC,∠ACB,則∠BDC= ,若BG,CG分別是∠ABC,∠ACB 的外角平分線,則∠G=
模型7 “角平分線”模型
模型展現(xiàn)
作法2 自主證明：
初高教輔站 如圖②,∵OP 平分∠MON,
∴∠AOP=∠BOP.
在△AOP 和△BOP中,
∴△AOP≌△BOP(SAS)(結(jié)論1),
∴ PA=PB(結(jié)論2).
作法3 自主證明：
如圖③,∵OP 平分∠MON,
∴∠AOP=∠BOP,
∵AP⊥OP,∴ ∠APO=∠BPO=90°.
在△AOP 和△BOP 中,
∴ △AOP≌△BOP(ASA)(結(jié)論1),
∴ PA=PB(結(jié)論2),OA=OB(結(jié)論3).
模型解題三步法
例 1 6 【解析】∵ AD 平分∠BAC,∠B =∠DEA=90°,根據(jù)“角平分線”模型可得:BD = DE = 3, 在 Rt△CDE 中, CE = 3×4=6.
例2 CD ∠ACB BD CD
2 【解析】如解圖，延長BD交AC于點E,根據(jù)“角平分線”模型得 BC=CE,BD=DE,∵AC=9,BC=5,∴CE=5,∴AE=AC-EC=9-5=4,∵ ∠A=∠ABD,
題以類解
1. B 一題多解
解法一：找模型：是否存在角平分線：BD 平分∠ABC；缺少：過角平分線上一點平行于角一邊的線段.構(gòu)造模型：如解圖①，過點 D 作DE∥AB,交 BC 于點 E. 用模型:根據(jù)“角平分線”模型可得:BE=DE.設(shè) BE=a,則DE=a, 即 解得
解法二：如解圖②，過點 A 作 BD 的平行線交CB的延長線于點 E.∴ ∠CBD=∠E,∠ABD= ∠BAE.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠ABD =∠CBD,∴∠BAE=∠E,∴BE=BA=3(“角平分線”模型)，
2. B 【解析】找模型：是否存在角平分線：BD平分∠ABC.是否存在過角的一邊上一點垂直于角平分線的線段.線段 CE.抽離模型：如解圖，用模型：延長CE，BA 交于點 F.根據(jù)“角平分線”模型可得:CE=EF,∵CE⊥BD,∴ ∠FEB = ∠CEB = 90°. ∵ ∠BAC = 90°,∴∠BAD = ∠CEB, ∵ ∠ADB = ∠EDC,∴∠ABD=∠ACF.又∵ AB =AC,∠BAD =∠CAF=90°,∴ △ABD≌△ACF(ASA),∴BD=CF.∵CE=4,∴BD=2CE=8.
3. B 【解析】如解圖,過點 G 作GE⊥AD 于點E,過點 G 作 GF⊥BC 于點 F,∵AD∥BC,∴E,G,F 三點共線,∵ BG,AG 分別平分∠ABC,∠BAD,GH⊥AB,∴GE=GH=5,GF=GH=5(“角平分線”模型),∴EF=5+5=10,即AD 與 BC 之間的距離為10.
4. 【解析】如解圖,過點 E作 EF⊥AB 于點F,∵ AE 平分∠DAC,AD⊥CD,∴ ∠DAE =∠FAE, ∠D = ∠AFE = 90°,∵ AE = AE,∴△ADE≌△AFE(AAS)(“角平分線”模型),
【解析】如解圖，在AC上截取AD，使AD=AB,連接DI.∵點I是△ABC 的角平分線的交點,∴ ∠BAI = ∠DAI, ∠ABI =∠CBI,∠ACI=∠BCI.在△BAI 和△DAI中,
∴ BI=DI,∠ABI=∠ADI.
∵AB+BI=AC=AD+DC,∴ DC =BI= DI,
∴ ∠ACI=∠DIC.設(shè)∠ACI=β,則∠ACB=2β,
∠ABC= 2∠ABI = 2∠ADI = 4∠ACI = 4β.
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠BAC=α,
6.【問題解決】
證明:∵OC平分∠AOB,∴∠POD=∠POE,
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠ODP=∠OEP,
在△OPD 和△OPE中,
∴△OPD≌△OPE(AAS),
∴PD=PE;
【類比探究】
解:如解圖,過點 P 作 PF⊥OA 于點 F,作 PG⊥OB于點 G,
∵ OC 是∠AOB 的平分線,PF⊥OA,PG⊥OB,
∴ PG=PF(“角平分線”模型),∠PGN =∠PFM=90°,
∵ ∠PNO+∠PNG=180°,∠PMO+∠PNO=180°,
∴∠PNG=∠PMO(等角代換),在△PNG和△PMF中,
∴△PNG≌△PMF(AAS),
∴ PN=PM=3.

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