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模型8 “雙角平分線(xiàn)”模型
基礎(chǔ)模型
類(lèi)型 雙內(nèi)角平分線(xiàn)型 雙外角平分線(xiàn)型 一內(nèi)一外平分線(xiàn)型
圖示
條件 在△ABC 中,BD,CD分別是∠ABC,∠ACB的平分線(xiàn) 在△ABC中,BD,CD分別是∠EBC,∠FCB的平分線(xiàn) 在 △ABC 中, BD,CD 分別是∠ABC,∠ACE的平分線(xiàn)
結(jié)論 ∠D=90°+ ∠A ∠D=90°- ∠A ∠D= ∠A
結(jié)論分析
雙內(nèi)角平分線(xiàn)型結(jié)論：
證明:∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,
雙外角平分線(xiàn)型結(jié)論：
自主證明：
自主證明：
模型拓展
拓展方向：三等分角的情況下，角之間的數(shù)量關(guān)系
類(lèi)型 雙內(nèi)角三等分線(xiàn)型 雙外角三等分線(xiàn)型 一內(nèi)一外三等分線(xiàn)型
圖示
條件 在 △ABC 中, ∠DBC = ∠ABC,∠DCB= ∠ACB 在 △ABC 中, ∠DBC = ∠EBC,∠DCB= ∠FCB 在 △ABC 中, ∠DBC = ∠ABC,∠DCE= ∠ACE
結(jié)論 ∠D=120°+ ∠A ∠D=120°- ∠A ∠D= ∠A
模型解題三步法
例1 如圖,在△ABC中,BO,CO分別平分∠ABC,∠ACB,若∠ABC+∠ACB=100°,則∠BOC的度數(shù)為 ( )
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
例2 如圖,在△ABC中,CD為∠ACB 的平分線(xiàn),DB為∠ABE的平分線(xiàn),CD與BD 相交于點(diǎn)D,若∠A=60°,則∠D 的度數(shù)為 .
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題以類(lèi)解
1. 如圖,BH是∠ABC 的平分線(xiàn),BD 和CD 是△ABC兩個(gè)外角的平分線(xiàn)，延長(zhǎng)DC 與 BH交于點(diǎn) H,若∠D =60°,∠ACB = 65°,則∠HBC的度數(shù)為 ( )
A. 27.5°B. 30° C. 32.5° D. 35°
2. 一題多解 如圖,∠BAC=60°,AD平分∠BAC,作AD的垂直平分線(xiàn)交 AB 于點(diǎn) E,交 AC 于點(diǎn) F,連接 DF,DF 恰好平分∠EFC,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn) G,若EF=5，則DG的長(zhǎng)為 ( )
C. 2 D. 6
3. 如圖,在△ABC中,∠A=70°,∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn). 的平分線(xiàn)與 的平分線(xiàn)交于點(diǎn) 得 的平分線(xiàn)與 的平分線(xiàn)交于點(diǎn) 則
4. 如圖,在△ABC中, 若∠AED=35°,則∠C 的度數(shù)為 .
如圖,在△ABC中,∠A=120°,BD,CD 分別平分∠ABC,∠ACB,則∠BDC= ,若BG,CG分別是∠ABC,∠ACB的外角平分線(xiàn),則∠G=
模型展現(xiàn)
雙外角平分線(xiàn)型 自主證明：
∵BD平分∠EBC,CD平分∠FCB,
初高教輔站 ∴ ∠D =180°-(∠DBC+∠DCB)
一內(nèi)一外平分線(xiàn)型 自主證明：
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∵∠DCE=∠D+∠DBC,∠ACE=∠A+∠ABC,
模型解題三步法
例1 D 【解析】∵ ∠ABC+∠ACB = 100°,∴∠A=80°,∵ BO,CO 分別平分∠ABC,∠ACB，根據(jù)“雙內(nèi)角平分線(xiàn)”模型可得：
例2 CD BD CD BD
30° 【解析】∵ CD 平分∠ACB,DB 平分∠ABE,∠A =60°,根據(jù)“一內(nèi)一外角平分線(xiàn)”模型可得：
題以類(lèi)解
1. A 【解析】找模型：是否存在兩條角平分線(xiàn)：BD平分 ∠CBE, CD 平分∠BCF.是內(nèi)角平分線(xiàn)還是外角平分線(xiàn)：兩條角平分線(xiàn)均為外角平分線(xiàn).抽離模型：如解圖，用模型：根據(jù)“雙外角平分線(xiàn)”模型可得：∠D=90°- ∠A,∵∠D=60°,∴∠A=60°,∵ ∠ACB=65°,∴ ∠ABC=180°-60°-65°=55°,∵ BH 是∠ABC 的平分線(xiàn),∴ ∠HBC=
2. B 一題多解
解法一：找模型：是否存在兩條角平分線(xiàn)：AD 平分 ∠BAC, FD 平 分∠EFG.是內(nèi)角平分線(xiàn)還是外角平分線(xiàn)：AD 是內(nèi)角平分線(xiàn)，F(xiàn)D 是外角平分線(xiàn).抽離模型：如解圖，用模型：設(shè)AD 與EF 交于點(diǎn) H. ∵ ∠BAC = 60°, AD 平分 ∵ EF 垂直平分 AD,∴ ∠AHE = 90°,∴ ∠AEF = 60°,∴△AEF為等邊三角形,∴ FD=AF=EF=5,根據(jù)“一內(nèi)一外雙角平分線(xiàn)”模型可得
解法二:∵EF⊥AD,AD 平分∠EAC,∴△EHA≌△FHA(ASA),∴ EH=HF,在 Rt△AEH 中, ∵ DF 平分∠HFG,DG⊥FG,∴ DG=DH =
【解析】∵∠A=70°,BA ,CA 分別平分∠ABC,∠ACD,∴∠A = ∠A=35°(“一內(nèi)一外角平分線(xiàn)”模型)，同理可得， 由此可得， 教輔資料小考教輔站初高教輔
4. 75° 【解析】∵∠AED=35°,∴∠AEB=180°- (“雙內(nèi)角三等分線(xiàn)”模型)，即 解得∠C=75°.
5. 150°,30° 【解析】在△ABC中,∵BD,CD 分別平分 (“雙內(nèi)角平分線(xiàn)”模型). ∵ BG,CG 分別是∠ABC,∠ACB 的外角平分線(xiàn),∴ ∠GBC+∠GCB= 150°=30°(“雙外角平分線(xiàn)”模型).

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