資源簡(jiǎn)介

模型11 “等分面積”模型
基礎(chǔ)模型
圖示
條件 在△ABC中，過(guò)邊BC 上一點(diǎn) D 作一條直線將三角形面積平分
作法 作法一：取BC的中點(diǎn)E,連接AE, AD,過(guò)點(diǎn) E作EF∥AD交AC于點(diǎn) F，過(guò)D，F(xiàn)兩點(diǎn)作直線，交AE于點(diǎn)O 作法二：連接AD,過(guò)點(diǎn) B 作BE∥AD,交 CA 延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，連接ED,交AB于點(diǎn) O,取 CE 的中點(diǎn)F，過(guò)D，F(xiàn)兩點(diǎn)作直線
結(jié)論 1. S△AEF=S△EPD; 2. S△AOF=S△pog; 3. S△OPC=S四邊形ABDF 1. S△ABD=S△AED; 2. S△AOE=S△DOB; 3. S△DPC=S四邊形ABDF
作法一結(jié)論： F
證明： (結(jié)論1),
結(jié)論2).
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
3即 (結(jié)論3).
作法二結(jié)論：1
自主證明：
模型拓展
圖示
條件 在四邊形ABCD中，過(guò)頂點(diǎn)A作一條直線將四邊形ABCD 的面積平分
作法 連接AC,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE,交CD 于點(diǎn)O，取BE的中點(diǎn)F，過(guò)A，F(xiàn)作直線
結(jié)論 S△ABP=S四邊形APCD
模型解題三步法
例 一題多解 如圖，在 中， D為BC邊上一點(diǎn)，且 在AC邊上找一點(diǎn)E，使得DE平分 的面積，則CE的長(zhǎng)為 .
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題以類(lèi)解
1. 如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=2, 點(diǎn)E是BC上的點(diǎn)，若AE將四邊形ABCD的面積平分，則 的值為 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 如圖,在 ABCD中,點(diǎn)E在邊 CD上,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，將該平行四邊形的面積平分，并與平行四邊形的另一邊 AB 交于點(diǎn) F，若∠A=60°,AB=6,AD=3,DE=1,則線段EF的長(zhǎng)為 ( )
A. 3 B. 4
3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(-2，3),B(2,1), 點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D，E的直線平分 的面積，則點(diǎn) E的坐標(biāo)為 .
4. 如圖,在矩形ABCD中, 延長(zhǎng)BA 至點(diǎn) E,使 以AE為邊向上作正方形AEFG，O為正方形AEFG的中心.若過(guò)點(diǎn)O的一條直線平分該組合圖形的面積，并分別交 BC,EF于點(diǎn) H,I,則線段HI的長(zhǎng)為 .
5. (1)如圖①,點(diǎn)E為矩形ABCD 內(nèi)一點(diǎn),請(qǐng)過(guò)點(diǎn)E作一條直線，將矩形ABCD 的面積分為相等的兩部分，并說(shuō)明理由；
(2)如圖②,在矩形ABCD中, P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且 請(qǐng)問(wèn)在邊CD上是否存在一點(diǎn) E，使得直線 PE將矩形ABCD 的面積分為2：3兩部分 若存在，求出DE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
自主證明：
∵EB∥AD,∴S△ABD=S△AED(結(jié)論1),
(結(jié)論2).
∵點(diǎn) F 是CE 的中點(diǎn),.
∴S△EDF=S四邊形ABDF,
即(結(jié)論3).
模型解題三步法
例 3 一題多解
解法一：如解圖①，根據(jù)“等分面積”模型可得：S四邊形ABDE=S△CDE,∵ AD∥EF,∴ △CEF∽
解法二：找模型：是否存在三角形：△ABC，在三角形的邊上是否存在一點(diǎn)且過(guò)該點(diǎn)所在的直線平分三角形的面積：BC 邊上的點(diǎn) D，抽離模型：如解圖②，用模型：根據(jù)“等分面積”模型可得：S四邊形ABDE = S△CDE, ∵ AD ∥BF,
題以類(lèi)解
1. C 【解析】找模型：是否存在四邊形：四邊形ABCD；在四邊形的邊上是否存在一點(diǎn)且過(guò)該點(diǎn)所在的直線平分四邊形的面積：BC 邊上的點(diǎn)E.抽離模型：如解圖，用模型：過(guò)點(diǎn)A 作AF⊥BC于點(diǎn) F, 根據(jù)“等分面積”模型得： 解得BE=4,∴ CE=
2. C 【解析】找模型：是否存在四邊形：四邊形ABCD，在四邊形的邊上是否存在一點(diǎn)且過(guò)該點(diǎn)所在的直線平分四邊形的面積：CD 邊上的點(diǎn)E；抽離模型：如解圖，用模型：分別過(guò)點(diǎn)D 和點(diǎn) E 作 DG⊥AB,EH⊥AB 于點(diǎn) G 和H,∴四邊形 DGHE 為矩形,∴GH=DE=1,∵在□ABCD中,AD=3,∠A=60°,∴AG= 根據(jù)“等分面積”模型得：EF平分平行四邊形面積，∴EF 經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn),∴DE=BF=1,∴FH=AB-AG 在 Rt△EHF 中,根據(jù)勾 股定理，得
【解析】∵A(-2,3),∴ 直線 OA 的解析式為 令 得y=1,∴點(diǎn)D 在 OA 上.設(shè)直線AB 的解析式為y= kx+b,把A(-2,3),B(2,1)代入,得 令x=0,得y=2,設(shè) AB 與 y軸的交點(diǎn)為 C,∴ C(0,2),∴點(diǎn) C 為AB 的中點(diǎn),如解圖,連接CD,過(guò)點(diǎn) O 作 OE∥CD,交AB 于點(diǎn) E,連接 DE,S△ADE=S四邊形EDOB(“等分面積”模型)，則DE平分△ABO 的面積,∵CD∥OE,∴△ACD 解得 設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為 則有 解得a=1或 ∵CD∥OE,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(
4. 6 【解析】如解圖,連接AC,BD 交于點(diǎn) J,過(guò)點(diǎn)O 作OK⊥EB于點(diǎn) K,過(guò)點(diǎn) J作 JL⊥EB于點(diǎn)L,過(guò)點(diǎn)O 作OM⊥JL 于點(diǎn) M.∵點(diǎn) J 和點(diǎn)O 分別為矩形ABCD 和正方形AEFG的中心，∴直線 IH 平分該組合圖形的面積(“等分面積”模型),∵ JL∥BC,且點(diǎn) J 為AC 的中點(diǎn) 同理可得 ∵OK⊥AE,ML⊥AB,OM⊥JL,∴四邊形OKLM 為矩形,∴ML=OK=3,∴ JM=JL-ML=6-3=3,在 Rt△OMJ中,
5. 解:(1)如解圖①,連接AC,BD 交于點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn) E,O 作直線,直線 EO 將矩形ABCD 的面積分為相等的兩部分.
理由:設(shè)直線 EO分別交 DC,AB 于點(diǎn) M,N,
∵四邊形ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,OA=OC,
∴ ∠MCO=∠NAO,
在△MCO 和△NAO中,
∴ △MCO≌△NAO(ASA),∴S△MCO=S△NAO,易得
(2)存在.
如解圖②,作 MN∥BC,使得 S矩形ABCD,連接AM,DN 交于點(diǎn) O,作直線OP 交 CD 于點(diǎn) E,交 AB 于點(diǎn) H,此時(shí)
形ABCD,
∵AB∥CD,∴∠EMO=∠HAO,在△EOM 和△HOA 中,
∴△EOM≌△HOA(ASA),
∴AH=EM,設(shè)AH=EM=x,
解得 即

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