資源簡介

模型12 “中位線”模型
模型展現
結論：
證明：如圖，延長DE 至點 F，使 ,連接CF,∵點 E是AC的中點,
在 和 中
∴ 四邊形 BCFD是平行四邊形，.
模型解題三步法
例1 如圖，在 中，點D在BC邊上， 垂足為E，F 為AB的中點， 三線合一，點E 是AD 的中點 則EF的長為 ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
例2如圖，在 中，點D為AC的中點，連接DB，點E為BD的中點，連接 CE,若 ,則AB的長為 .
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題以類解
1. 如圖,在四邊形 ABCD 中,AB=CD,E,F,G分別是邊 BC,AC,AD 的中點.若∠EFG=130°,則∠EGF 的度數為 ( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
2. 如圖,在△ABC 中,D,E,F 分別是邊 AB,BC,CA 的中點.若△ABC 的周長為 a,則△DEF的周長為 .
3.如圖,在等邊△ABC中,點 D在AB邊上，點E在CB 的延長線上，且AD=EB,連接 CD,AE,點 F 為 CD 的中點,連接AF.若AE=10,則AF的長為 .
4. 如圖,在菱形ABCD中,點 E,F分別是邊 BC,CD 的中點,連接AE,AF,EF.若△AEF的面積為 ,則菱形 ABCD 的面積為 .
5. 如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,點 D 是斜邊 AC 上一點，以AD 為直徑的⊙O恰好與BC邊相切，切點為E，⊙O 與 AB 相交于點 F.若 則 的長為 .
6.問題探究
如圖①,在△ABC中,AF,BE分別是 BC,AC邊上的中線,且相交于點 P,記AB=c,BC=a,AC=b.
(1)求證:AP=2PF,BP=2PE;
(2)如圖②,若AF⊥BE于點 P,試探究a,b,c之間的數量關系；
拓展延伸
如圖③,在 ABCD 中,點E,F,G分別是邊 AD,BC,CD 的中點,BE⊥EG,AD =4 ,AB=6,求AF的長.
模型解題三步法
例1 C 【解析】∵AC=CD,∴BD=BC-CD=10-6=4,∵AC=CD,CE⊥AD,∴點 E 是AD的中點(等腰三角形三線合一)，又∵ 點 F是AB的中點，根據“中位線”模型可得：EF=
例2 4 【解析】如解圖，過點 B 作 BF∥CE交AC 的延長線于點 F，根據“中位線”模型可得：BF =2CE=4,CD=CF,∵AB=3CD,AD=CD=CF,∴AF=3CD,∴AB=AF,∵∠A=60°,∴△ABF為等邊三角形,∴AB=BF=4(等邊三角形的性質).
題以類解
1. B 【解析】找模型：是否存在中點：點E，F，G.是否存在中點所在的連線：線段 GF，EF，抽離模型：如解圖，用模型：根據“中位線”模型可得： ∴ EF = FG,∵ ∠EFG = 130°,∴ ∠EGF =
2 a 【解析】找模型：是否存在中點：點D，E，F.是否存在中點所在的連線：線段 EF，DE，DF，抽離模型：如解圖，用模型：根據“中位線”模型得： 的周長為a,∴AB+BC+AC=a,∴△DEF 的周長為
3. 5 【解析】如解圖,過點 C 作 CG∥AF 交 BA的延長線于點 G，∵點 F 是 CD的中點，∴點A是DG的中點,∴ AF 是△DCG 的中位線, (“中位線”模型),∵AD=BE,∴AG=BE,∵ △ABC是等邊三角形,∴AB=CA,∠BAC=∠ABC=60°,∴∠CAG=∠ABE=120°,∴△CAG≌△ABE(SAS),∴CG=AE=10,∴AF=5.
4. 12 【解析】如解圖,連接AC,BD交于點O,AC 交 EF 于點 G,∵ 四邊形 ABCD 是菱形,∴AO=CO.∵點 E,F 分別是邊 BC,CD 的中點， (“中位線”模型)，∴AC⊥EF,AG=3CG,設AC=a,BD=b,則 解得
【解析】如解圖,連接OE,OF,設OE與DF 相交于點 G. ∵ AD 是⊙O 的直徑,∴∠AFD = 90°,又∵ BC 是⊙O 的切線,∴∠OEB=90°,∵ ∠B=90°,∴ 四邊形 BEGF 為矩形,∴ ∠EGF = 90°,BF=GE,
∵OE 為⊙O的半徑,∴DG=GF,∵OD=AO,∴OG為△ADF的中位線,∴AF=2OG(“中位線”模型)， 在Rt△OGF中,
6. (1)證明:如解圖①,取 PA 的中點 M,PB 的中點 N,連接 EM,MN,FN,EF.∵AE=EC,CF=FB,
∴EF=MN,EF∥MN,
∴四邊形EFNM 是平行四邊形(有一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形)，
∴PF=PM,EP=PN,
∴ PA=2PF,PB=2PE;
(2)解:結論:(
理由：如解圖②，連接EF.
∵AF⊥BE 于點 P,
∴∠APE=∠APB=∠BPF=∠EPF=90°,
(3)解:如解圖③,取AB的中點 M,連接FM,AC,EF,設AF交BE 于點 P.
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AE=BF,且AE∥BF,
∴四邊形ABFE 是平行四邊形,∴AP=PF,
∵AM=BM,BF=CF,
∴FM是△ABC的中位線,
∴ FM∥AC.
∵DE=AE,DG=GC,
∴EG是△ACD的中位線,
∴EG∥AC,
∴FM∥EG,
∵BE⊥EG,∴FM⊥BP,
結合第(2)問結論可得，
解得AF=8(負值已舍去).

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