資源簡介

模型 14 “垂線段最短”模型
模型展現
類型 垂線段最短 兩條線段和的最小值問題
圖示
條件 直線l外一定點A和直線l上一動點 B,連接AB 點P 是∠AOB 內部或邊上一定點,點M,N分別是OA,OB上的動點,連接PN,MN
結論 當AB⊥l時,AB的值最小 作點 P 關于 OB 的對稱點 P',當P'M⊥AO時,PN+MN的值最小
結論分析
結論：作點 P 關于OB的對稱點 當 時,PN+MN的值最小證明：如圖，若 為OA，OB上任意一點，連接
則
∴ PN'+M'N'=P'N'+M'N'>P'M'≥P'M,
∴當 時,PN+MN的值最小.
模型解題三步法
例1 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,點E是AB上任意一點,若AD=5,AC=4,則 DE 的最小值為 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
例2 如圖,四邊形ABCD是菱形,∠A=60°,延長AD 到點E,使DE=AD,連接BD,BE,CE.點P是BC的中點,M,N分別在線段CE,BE上.若AB=6,則PN+NM 的最小值為 .
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題以類解
1. 如圖,正方形 ABCD 的對角線 AC,BD 相交于點O，點P 為 BC 邊上一動點(不與點 B，C重合),PE⊥OB 于點 E,PF⊥OC 于點 F.若AB=20,則EF的最小值為 ( )
A. 10 C. 20
2. 如圖,在△ABC 中,AB =4,∠BAC = 45°,∠BAC 的平分線交 BC 于點 D,E,F 分別是邊AD,AB 上的動點,則 BE+EF 的最小值是 .
3.如圖，在等腰三角形ABC中，點 D 為AC的中點,M,N分別是AB,BC 上的動點,若CD=2,∠A=120°,則 DN+MN 的最小值為 .
4.如圖，拋物線 與x軸交于A,B 兩點(點A 在點 B 左側),與y軸交于點 C，P 是直線 BC 上一動點，Q是x軸上一動點,連接AP,PQ,則AP+PQ的最小值為 .
5. 問題提出
(1)如圖①，△ABC是邊長為2 的等邊三角形,點 E 為 BC 邊上一動點,連接AE,求AE的最小值；
問題解決
(2)如圖②，某小區現有一片菱形空地AB-CD,其中AB=60 m,∠B=60°,為了美化環境，該小區計劃在這塊空地里種植兩種花卉，并修建三條小道AE，AF，EF 供居民觀賞,根據設計要求:點 E,F 分別在 BC,CD邊上,且∠EAF=60°.現計劃在△AEF 內種植玫瑰，其余空地種植郁金香，試求按設計要求，玫瑰的種植面積最小為多少
模型解題三步法
例1 A 【解析】在 Rt△ACD 中,∵ AD=5,AC=4,∴CD=3,根據“垂線段最短”模型得:當DE⊥AB 時,DE 的值最小.∵ AD 是∠BAC 的平分線,∠C =90°,∴ CD = DE.∴DE 的最小值為3.
例2 P M N
【解析】∵四邊形ABCD 是菱形,∴ AD∥BC,AD = BC,∵ DE =AD,∴ DE=BC,∵ 點 E在 AD 的延長線上，∴DE∥BC,∴四邊形 DBCE 是平行四邊形,∵ ∠A=60°,∴ △ADB 和△BCD 是等邊三角形,∴BD=BC,∴四邊形 DBCE 是菱形,∴ BE⊥CD.如解圖,作點 P 關于 BE 的對稱點 P',過P'作CE 的垂線交 BE 于點 N',交CE 于點M'(點M'與點C重合),根據“垂線段最短”模型可得:當 P'M⊥CE時,PN+NM取得最小值,為P'C 的長,在 Rt△P'CB中,∠P'BC=60°,BC=AB=6,∴ P'C=BC ·
的最小值為3
題以類解
1. A 【解析】找模型：是否存在一個定點：點O；是否存在一條定直線和該直線上一動點：線段：BC，動點：點P；是否求最值：連接OP，OP 的最小值即 EF 的最小值.抽離模型：如解圖.用模型:連接OP,∵四邊形 ABCD 是正方形,∴BD⊥AC,又∵PE⊥OB,PF⊥OC,∴四邊形 OEPF 為矩形,∴EF=OP,根據“垂線段最短”模型可得：當OP⊥BC 時，OP 取得最小值，即 EF 取得最小值.在正方形 ABCD中,OB=OC且∠BOC=90°,∴∠OBC=45°, 在 Rt△OBP 中,OP= ∴EF的最小值為10.
【解析】找模型：是否存在一個定角：定角：∠DAB.角的邊上是否存在一個定點：點B.角的兩邊上是否存在兩個動點：點E，點F.是否求最值：BE+EF 的最小值.抽離模型：如解圖.用模型：作點 B 關于AD 的對稱點 B',過點 B'向 AB 作垂線,交 AD 于點 E',交AB 于點 F',連接 BE',∵ AD 是∠BAC 的平分線,∴ 點 B'恰好落在 AC 上,. 的最小值為 BE'+ 在Rt△AB'F'中, 的最小值為
【解析】如解圖，作點 D 關于 BC 的對稱點 D',作 D'M'⊥AB,交 BC 于點 N',連接DN',CD',當 AD'⊥AB 時,DN+MN 的值最小,為AD'.∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ACB= 30°,在△AD'C中,∠D'AC=∠BAC-∠BAD'= 的最小值為2
4.4 【解析】如解圖，連接AC，作點 A 關于直線 BC的對稱點A'，過點A'作x軸的垂線，交BC于點 P',交x軸于點 Q',連接AP'.當x=0時,y=2,∴C(0,2).當y=0時, +2=0,解得x =-1,x =4.∴A(-1,0),B(4, ∴ △ABC 為直角三角形, 即∠ACB = 90°,∴AC⊥BC,即點AA'的連線恰好過點 C.∵點A與點 A'關于直線 BC 對稱, ,當A'Q'⊥x軸時,A'Q'的長度最小，即 '的值最小，此時AP+PQ的值最小，最小值為A'Q'的長(“垂線段最短”模型)，過點A'向y軸作垂線，垂足為 D，在△AOC 和△A'DC 中, ∴△AOC≌△A'DC(AAS),∵ A(-1,0),C(0,2),∴AO=A'D=1,OC=CD=2,∴A'Q'=CD+OC=4,∴AP+PQ 的最小值為4.
5.解：(1)由“垂線段最短”模型可知，當AE⊥BC時,AE 最小,
∵△ABC 是邊長為2的等邊三角形，
即AE 的最小值為
(2)如解圖,連接AC,
∵四邊形ABCD 是菱形,∠B=60°,
∴ △ABC是等邊三角形,∠BCD=120°.
∴AB=AC,∠BAC=60°,∠ACF=60°.
∴∠B=∠ACF.∵ ∠EAF=60°, A
∴ ∠BAE + ∠EAC =∠CAF+∠EAC=60°,
∴ ∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF(ASA),
∴AE=AF,
∴ △AEF是等邊三角形,
∴當AE 最小時，玫瑰的種植面積最小，過點A作AH⊥BC于點 H,
當AE⊥BC 時,AE 最小,最小值為 AH 的長(“垂線段最短”模型),此時AE=AH=30
∴玫瑰的種植面積最小為

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