資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
模型15 “倍角”模型
基礎模型
類型 2倍角
圖示
條件 在△ABC中,∠B=2∠C
作法 作2倍角的角平分線： 作∠B 的平分線BD 內作雙等腰：過點A作∠AC=∠C 外作雙等腰：延長CB至點 D,使得BD=BA
結論 △BCD是等腰三角形 △ABD與△ADC 是等腰三角形 △ABD與△ADC 是等腰三角形
模型拓展
類型 3 倍角
圖示
條件 ∠BAC=3∠C
作法 內作雙等腰:過點A作∠DAC=∠C
結論 △ABD與△ADC是等腰三角形
模型解題三步法
例 一題多解 如圖，AD為△ABC的中線， 則∠ADB 的度數為 ( )
視頻講解
A. 120° B. 130° C. 140° D. 150°
題以類解
1. 如圖,在△ABC 中,AD⊥BC 于點 D,∠B =2∠C,若AC=4 ,AB=5,則BD 的值為 .
2. 如圖,在△ABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC,AD⊥BD,則 的值為 .
3. 如圖,在△ABC 中,∠B =3∠C,AB=6,AC=10,AD為∠BAC 的平分線,則 tan C 的值為 .
4. 如圖，拋物線 與x軸交于點 A，B，與y軸交于點 C，連接AC，BC.點P 是第一象限內拋物線上的動點,過點 P 作直線 PQ⊥x軸,分別交 BC,x軸于點 M，N.當△PMC 中存在內角度數等于∠OBC 度數的2倍時，求點 P 的橫坐標.
模型解題三步法
例 A 一題多解
解法一：如解圖①，根據“外作雙等腰”倍角模型可得:△ACE 與△ABE 是等腰三角形,∴AB=AE.∵ DA 為△ABC 的中線,∴ BD= 在△ABD 和△AEC 中,
△AEC(SAS),∴AD=AC,∴AD=AC=CD,即△ACD為等邊三角形,∴ ∠DAC=∠ACD=60°,∴∠ADB=∠DAC+∠ACD=120°.
解法二：找模型：在同一個三角形中是否存在角度的倍數關系：三角形：△ABC，角度關系:∠C=2∠B,抽離模型:如解圖②,用模型：根據“作2倍角的角平分線”倍角模型可得:△BEC 是等腰三角形,∵ DA 為△ABC的中線,∴BD=CD.∴ED⊥BC,∵AC= BC,∴AC=CD,在△ACE和△DCE中,
∴∠EAC=∠EDC=90°,∵ ∠ACB=2∠B,∠B+∠ACB =90°,∴ ∠B =30°,∴ ∠ACB =60°,∴ △ACD 是等邊三角形,∴ ∠DAC =∠ACD = 60°,∴∠ADB = ∠DAC+∠ACD =120°.
解法三：找模型：在同一個三角形中是否存在角度的倍數關系：三角形：△ABC，角度關系:∠C=2∠B,抽離模型：如解圖③，用模型：根據“內作雙等腰”倍角模型可得:△ABE 與△ACE 是等腰三角形,∴AE=AC=BE,∵AD 為△ABC 的中線,∴點 D 為BC的中點,∴ ∴BE=BD,∴點D與點E重合,. BE,∴AC=AE=CE,即△AEC 為等邊三角形,∴ ∠AEC=60°,∴∠ADB = ∠AEB =180°-
題以類解
1.3 【解析】找模型：在同一個三角形中是否存在角度的倍數關系：三角形：△ABC.角度關系：∠B=2∠C.抽離模型：如解圖.用模型:延長 CB 到點 E,使 BE=AB,連接AE.∴ △ABE 和△EAC 均為等腰三角形(外作雙等腰“倍角”模型),∵AB=5,∴ BE=AB=5, ,在 Rt△ABD 中, BD ,在 Rt△ADE中, DE =AB -BD ,∵DE=BE+BD,∴(4 ) - 解得BD=3.
2. 【解析】找模型：在同一個三角形中是否存在角度的倍數關系：三角形：△ABC.角度關系:∠ABC=2∠C.抽離模型:如解圖.用模型:延長BD交AC于點 E,過點A作∠FAB=∠ABD，根據“作2倍角的角平分線”倍角模型可得:△BEC 為等腰三角形,∴EB=CE,∠CBE=∠C.設∠CBE=α,則∠C=∠ABF=∠FAB=α,∴ ∠AFD=∠ABD+∠FAB=2α,∠AED = ∠C + ∠EBC = 2α,∴ ∠AFD =∠AED,∴AF=AE,∵AF=BF,∴AF=AE =BF,∵AD⊥BD,∴DF=DE,∴AC=AE+CE=BF+BE=2BD,則
3. 【解析】如解圖，過點B 作∠EBC=∠C,交 AC于點 E,作 BF⊥AC 于點F.設AD與BE 交于點 G,∠C=α,則∠EBC=α,∵∠B=3∠C,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=2α,∠BEA=∠EBC+∠C=2α,∴∠ABE=∠BEA(“內作雙等腰”的3倍角模型),∴AB=AE=6,∴CE=AC-AE=10-6=4,∵∠C=∠EBC,∴BE=CE=4.在等腰△ABE中,AD 為∠BAC 的平分線,∴BG= (等腰三角形三線合一),在 Rt△ABG中, 在Rt△BEF中,EF= 在Rt△BCF中,
4. 解:令
解得
∴A(-1,0),B(4,0),
∵C(0,2),
∴在Rt△OBC中,OC=2,OB=4,
①若∠CMP=2∠OBC,則∠NMB=2∠OBC.
∵PQ∥y軸,∴∠MNB=90°,
∴∠NMB+∠OBC=90°,
∴∠OBC=30°,
∴BC=2OC=4,這與 相矛盾，
∴∠CMP≠2∠OBC;
②若∠MCP=2∠OBC,如解圖①,取BC的中點D,連接OD,
∴ D(2,1),OD =CD =BD = ,∠DOB =∠OBC(“內作雙等腰”倍角模型)，
∴∠CDO=2∠OBC,∴∠MCP=∠CDO,
∴OD∥CP.
∵D(2,1),
∴直線 OD 的函數解析式為
∵C(0,2),
∴ 直線 CP 的函數解析式為
聯立
解得 (舍去)，
∴點 P 的橫坐標為2；
③若∠CPM = 2∠OBC,由②得∠CPM =∠ODC,OD=
如解圖②,過點 O 作 OE⊥BC 于點 E,
則 (三角形等面積法).
在 Rt△ODE中，根據勾股定理得，
過點C作CF⊥PQ于點 F.
在Rt△CPF中,∵∠CPM=∠ODE,
設點 P 的橫坐標為a，
則
∵C(0,2),
解得 (舍去),
∴點P的橫坐標為
綜上所述，點P 的橫坐標為2或

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