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2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺二次函數(shù)與面積的綜合訓(xùn)練
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）b＝　 　，c＝　 　；
（2）若點(diǎn)D在該二次函數(shù)的圖象上，且S△ABD＝2S△ABC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于x軸上方的一點(diǎn)，且S△APC＝S△APB，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接OD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OD，垂足為E，若BE＝2OE，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)M為第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，交BC于點(diǎn)N，連接BM，記△BMN的面積為S1，△ABN的面積為S2，求的最大值．
3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)yx+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，且∠BAO＝∠DAO，求證：OB＝OD；
（3）在（2）的條件下，若直線AD與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E，連接BE，在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形BEAP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形BEAP面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+4（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（4，0）．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），直線CP將△ABC的面積分成2：1兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿y軸移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA時(shí)，求t的值．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A，頂點(diǎn)為點(diǎn)M．
（1）求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)E是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB，EA，當(dāng)△EAB的面積等于時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將直線AB向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線y＝mx+n，且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，取點(diǎn)D（2，0），連接DM，求證：∠ADM﹣∠ACM＝45°．
6．如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC＝S△ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
7．拋物線yx2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A，B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1， BCPQ頂點(diǎn)P在拋物線上，如果 BCPQ面積為某值時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有且只有三個(gè)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，點(diǎn)M在第二象限的拋物線上，點(diǎn)N在MO延長(zhǎng)線上，OM＝2ON，連接BN并延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使ND＝NB．MD交x軸于點(diǎn)E，∠DEB與∠DBE均為銳角，tan∠DEB＝2tan∠DBE，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
8．如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
9．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCB是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）條件下，是否存在點(diǎn)M為拋物線第一象限上的點(diǎn)，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，作PE⊥x軸，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，設(shè)△PDF的面積為S1，△BEF的面積為S2，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得直線BC垂直平分線段PN？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC方程為y＝x﹣3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBCS△ABC，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖，OP交AB于點(diǎn)C，PD∥BO交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為S1，S2，S3．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
13．拋物線y＝x2﹣4x與直線y＝x交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠PDO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點(diǎn)E．設(shè)△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．
14．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接BE，求△BCE的面積；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
15．已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸相交于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．
（1）求b，c的值；
（2）P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，△PBC的面積與△ABC的面積相等，求直線AP的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)E是直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P′，試探究，是否存在滿足條件的點(diǎn)E，使得點(diǎn)P'恰好落在直線BC上，如果存在，求出點(diǎn)P′的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6）．點(diǎn)D為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，求△AOD周長(zhǎng)的最小值；
（3）如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作DP∥AC交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接PA，PB，記△PAD與△PBD的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線AC：y＝x+3交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MCD面積的最大值．
（3）如圖2，點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線l與BC平行，則在直線l上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)B與點(diǎn)P關(guān)于直線CQ對(duì)稱？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
18．如圖，拋物線y＝x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（5，0），交y軸于點(diǎn)C．
（1）求b，c的值．
（2）點(diǎn)P（x0，y0）（0＜x0＜5）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．
①當(dāng)x0取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值；
②過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，交BC于點(diǎn)E，再過(guò)點(diǎn)P作PF∥x軸，交拋物線于點(diǎn)F，連接EF，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使△PEF為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．已知：y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且a＝4b，則a的值是 　 　；
（2）如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），并與動(dòng)直線l：x＝m（0＜m＜4）交于點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．設(shè)△PBE的面積為S1，△CDE的面積為S2．
①當(dāng)點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求△PBC的面積；
②探究直線l在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，S1﹣S2是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說(shuō)明理由．
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP交BC于點(diǎn)Q，連接BP，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)∠BCM＝∠ACO時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
21．如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作QE∥AC交BC于點(diǎn)E，連接CQ，當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．問(wèn)是否存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案
1．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象上，
則，解得：，
故答案為：﹣2，﹣3；
（2）連接BC，由題意可得：
A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3，
∴S△ABC6，
∵S△ABD＝2S△ABC，設(shè)點(diǎn)D（m，m2﹣2m﹣3），
∴|yD|＝2×6，即4×|m2﹣2m﹣3|＝2×6，
解得：m或，代入y＝x2﹣2x﹣3，
可得：y值都為6，
∴D（，6）或（，6）；
（3）設(shè)P（n，n2﹣2n﹣3），
∵點(diǎn)P在拋物線位于x軸上方的部分，
∴n＜﹣1或n＞3，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，即n＜﹣1，
可知點(diǎn)C到AP的距離小于點(diǎn)B到AP的距離，
∴S△APC＜S△APB，不成立；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP為底，若要面積相等，
則點(diǎn)B和點(diǎn)C到AP的距離相等，即BC∥AP，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+p，
則，解得：，
則設(shè)直線AP的解析式為y＝x+q，將點(diǎn)A（﹣1，0）代入，
則﹣1+q＝0，解得：q＝1，
則直線AP的解析式為y＝x+1，將P（n，n2﹣2n﹣3）代入，
即n2﹣2n﹣3＝n+1，
解得：n＝4或n＝﹣1（舍），
n2﹣2n﹣3＝5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）．
2．【解答】解：（1）依題意，設(shè)y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C（0，）得：a 1 （﹣3），
解得：a，
∴y（x+1）（x﹣3）x2﹣x；
（2）∵BE＝2OE，
設(shè)OE為x，BE＝2x，
由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
x2+4x2＝9，
解得：x1，x2（舍），
∴OE，BE，
過(guò)點(diǎn)E作TG平行于OB，T在y軸上，過(guò)B作BG⊥TG于G，
∴△ETO∽△OEB，
∴，
∴OE2＝OB TE，
∴TE，
∴OT，
∴E（，），
∴直線OE的解析式為y＝﹣2x，
∵OE的延長(zhǎng)線交拋物線于點(diǎn)D，
∴，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣2，
∴D（1，﹣2）；
（3）如圖所示，延長(zhǎng)BC于點(diǎn)F，AF∥y軸，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BF于點(diǎn)H，作MT∥y軸交BF于點(diǎn)T，過(guò)M點(diǎn)作MG⊥BF于點(diǎn)J，
∵AF∥MT，
∴∠AFH＝∠MTJ，
∵AH⊥BF，MJ⊥BF，
∴∠AHF＝∠MJT＝90°，
∴△AFH∽△MJT，
∴，
∵S1NB MJ，S2NB AH，
∴，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，將B，C兩點(diǎn)代入得，
，
解得：，
∴直線BC的解析式為yx，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y （﹣1）2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴AF＝2，
設(shè)M（x，x2﹣x），
∴MTx（x2﹣x）（x）2，
∴a0，
∴MTmax，
∴．
3．【解答】解：（1）令y＝0，則x+3＝0，解得x＝6，
令x＝0，則y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為yx2+x+3；
（2）證明：∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，
∴∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD，
（3）存在，理由如下：
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，
∵yx2+x+3（x﹣2）2+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，即EM＝2，
∵B（0，3），
∴OB＝OD＝3，
∴BD＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE6×66×2＝12，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2+t+3），
連接PA，PB，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)H1，交直線AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BH2⊥PN于點(diǎn)H2，
∴N（t，t+3），
∴PNt2+t+3﹣（t+3）t2t，
∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANPPN BH2PN AH1PN OA，
∴S△ABP6（t2t）（t﹣3）2，
∵0，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)t＝3時(shí)，△BPA面積的最大值是，此時(shí)四邊形BEAP的面積最大，
∴四邊形BEAP的面積最大值為12，
∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是（3，）時(shí)，四邊形BEAP面積的最大值是．
4．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
則y＝a（x+2）（x﹣4）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝4，解得a，
故拋物線的表達(dá)式為yx2+x+4①；
（2）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，OB＝2OA，
故CO將△ABC的面積分成2：1兩部分，此時(shí)，點(diǎn)P不在拋物線上；
如圖1，當(dāng)BHAB＝2時(shí)，CH將△ABC的面積分成2：1兩部分，
即點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2，0），
則CH和拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，
由點(diǎn)C、H的坐標(biāo)得，直線CH的表達(dá)式為y＝﹣2x+4②，
聯(lián)立①②并解得（不合題意的值已舍去），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，﹣8）；
（3）在OB上取點(diǎn)E（2，0），則∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，
在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
則EFEB（4﹣2）BF，
由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)知，BC＝4，
則CF＝BC﹣BF＝43，
則tan∠ECBtan∠AMO，
則tan∠AMO，
則OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
則t＝2或10．
5．【解答】解：（1）對(duì)于yx+3，令yx+3＝0，解得x＝6，令x＝0，則y＝3，
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（6，0）、（0，3），
∵拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故c＝0，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：036+6b，解得b＝﹣2，
故拋物線的表達(dá)式為yx2﹣2x；
則拋物線的對(duì)稱軸為x＝3，當(dāng)x＝3時(shí)，yx2﹣2x＝﹣3，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣3）；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH∥y軸交AB于點(diǎn)H，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x），則點(diǎn)H（x，x+3），
則△EAB的面積＝S△EHB+S△EHAEH×OA6×（x+3x2+2x），
解得x＝1或，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，）或（，）；
（3）∵直線AB向下平移后過(guò)點(diǎn)M（3，﹣3），
故直線CM的表達(dá)式為y（x﹣3）﹣3x，
令yx0，解得x＝﹣3，
故點(diǎn)C（﹣3，0）；
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CM于點(diǎn)H，
∵直線CM的表達(dá)式為yx，故tan∠MCD，則sin∠MCD，
則DH＝CDsin∠MCD＝（2+3），
由點(diǎn)D、M的坐標(biāo)得，DM，
則sin∠HMD，
故∠HMD＝45°＝∠DMC＝∠ADM﹣∠ACM＝45°，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
6．【解答】解：（1）將B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化簡(jiǎn)得，m2+m＝0，
則m＝0（舍）或m＝﹣1，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3．
∴C（0，﹣3），
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，
將B（3，0），C（0，﹣3）代入表達(dá)式，可得，
，解得，，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣3．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP1∥BC，設(shè)直線AP1交y軸于點(diǎn)G，將直線BC向下平移GC個(gè)單位，得到直線P2P3．
由（1）得直線BC的表達(dá)式為y＝x﹣3，A（1，0），
∴直線AG的表達(dá)式為y＝x﹣1，
聯(lián)立，解得，或，
∴P1（2，1）或（1，0），
由直線AG的表達(dá)式可得G（0，﹣1），
∴GC＝2，CH＝2，
∴直線P2P3的表達(dá)式為：y＝x﹣5，
聯(lián)立，
解得，，或，，
∴P2（，），P3（，）；
綜上可得，符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1），（1，0），（，），（，）；
（3）如圖，取點(diǎn)Q使∠ACQ＝45°，作直線CQ，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥CQ于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DF于點(diǎn)E，
則△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴AF＝DE，CE＝DF．
設(shè)DE＝AF＝a，則CE＝DF＝a+1，
由OC＝3，則DF＝3﹣a，
∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．
∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3），
∴直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為yx﹣3，
設(shè)Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3，
∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2n＝0．
又n≠0，則n．
∴Q（，）．
7．【解答】解：（1）由題意得，
，
∴，
∴y；
（2）如圖1，
作直線l∥BC且與拋物線相切于點(diǎn)P1，直線l交y軸于E，作直線m∥BC且直線m到BC的距離等于直線l到BC的距離，
∵BC的解析式為y＝x﹣4，
∴設(shè)直線l的解析式為：y＝x+m，
由x+m得，
x2﹣4x﹣3（m+4）＝0，
∵Δ＝0，
∴﹣3（m+4）＝4，
∴m，
∴x2﹣4x+4＝0，y＝x，
∴x＝2，y，
∴P1（2，），
∵E（0，），C（0，﹣4），
∴F（0，﹣4×2﹣（）），
即（0，），
∴直線m的解析式為：y＝x，
∴，
∴，，
∴P2（2﹣2，﹣2），P3（2+2，2），
綜上所述：點(diǎn)P（2，）或（2﹣2，﹣2）或（2+2，2）；
（3）如圖2，
作MG⊥x軸于G，作NH⊥x軸于H，作MK⊥DF，交DF的延長(zhǎng)線于K，
設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，
∵BN＝DN，
∴BD＝2BN，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，
∴OH，
∵NH∥DF，
∴△BHN∽△BFD，
∴，
∴DF＝2NH，
同理可得：△OMG∽△ONH，
∴，
∴MG＝2NH，OG＝2OH＝a+4，
∴KF＝MG＝DF，
∵tan∠DEB＝2tan∠DBE
∴2 ，
∴EF，
∵BF＝4﹣a，
∴EF，
∵EF∥MK，
∴△DEF∽△DMK，
∴，
∴，
∴a＝0，
∴OG＝a+4＝4，
∴G（﹣4，0），
當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y4，
∴M（﹣4，）．
8．【解答】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）過(guò)Q作QE⊥x軸于E，過(guò)C作CF⊥x軸于F，
設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
PA CFPA QE
（1﹣m）×4（1﹣m）（1﹣m）
（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴當(dāng)m＝﹣1時(shí) S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面積的最大值為2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．
9．【解答】解：（1）由題意得：y＝﹣（x+1） （x﹣3），
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）設(shè)P（1，m），
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴P（1，1）；
（3）如圖，
假設(shè)存在M點(diǎn)滿足條件，
作PQ∥BC交y軸于Q，作MN∥BC交y軸于N，
∵PQ的解析式為y＝﹣x+2，
∴Q（0，2），
∵C（0，3），S△BCM＝S△BCP，
∴N（0，4），
∴直線MN的解析式為：y＝﹣x+4，
由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得，
x，
∴M點(diǎn)橫坐標(biāo)為或．
10．【解答】解：（1）∵拋物線yx2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，）和點(diǎn)B（4，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：yx2+x+4；
設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b′，
∴，
解得．
∴直線AB的解析式為：yx+3．
（2）如圖，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)G，
∴G（0，3），
∴OG＝3，OB＝4，BG＝5，
∵PD⊥AB，PE⊥OB，
∴∠PDF＝∠BEF＝∠GOB＝90°，
∵∠P+∠PFD＝∠BFE+∠OBG＝90°，∠PFE＝∠BFE，
∴∠P＝∠OBG，
∴△PDF∽△BOG，
∴PD：DF：PF＝OB：OG：BG＝4：3：5，
∴PDPF，DFPF，
∴S1 PD DFPF2，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，m2+m+4）（0＜m＜4），
∴F（m，m+3），E（m，0），
∴PFm2+m+4﹣（m+3）m2m+1，BE＝4﹣m，F(xiàn)Em+3，
∴S1（m2m+1）2（m﹣4）2（2m+1）2，
S2 BE EF（4﹣m）（m+3）（m﹣4）2，
∵，
∴[（m﹣4）2（2m+1）2]：[（m﹣4）2]，
解得m＝3或m＝﹣4（舍），
∴P（3，）．
（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，3）或（1，3）．理由如下：
法一：由拋物線的解析式可知，C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線PH，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交PH于點(diǎn)H，
∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBH＝45°，
∴∠PBH＝∠OBN，
∵∠H＝∠BKN＝90°，
∴△PHB≌△NKB（AAS），
∴HB＝BK，PH＝NK，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，
∴BK＝3，
∴BH＝3，
令x2+x+4＝3，
解得x＝1或x＝1（舍），
∴PH＝4﹣（1）＝3，
∴NK＝3，
∴N（1，3）；
當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作x軸的平行線NM，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線BM交NM于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q．
∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBM＝45°，
∴∠PBQ＝∠MBN，
∵∠M＝∠PQB＝90°，
∴△PQB≌△NMB（AAS），
∴QB＝MB，PQ＝NM，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，
∴MN＝3，
∴PQ＝3，
令x2+x+4＝3，
解得x＝1（舍）或x＝1，
∴BQ＝4﹣（1）＝3，
∴BM＝3，
∴N（1，3）．
綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，3）或（1，3）．
法二：設(shè)BC與對(duì)稱軸交于E，
可得E（1，3），
過(guò)E做x軸平行線交拋物線于P1P2，
∴直線P1P2和直線DE關(guān)于直線BC對(duì)稱，
令x2+x+4＝3，
解得x＝1或x＝1，
此即線P1和P2的橫坐標(biāo)，
∴P1E＝P2E，
∴EN1＝EN2，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，3）或（1，3）．
11．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，則x＝3，
∴B（3，0），
將B、C兩點(diǎn)代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）令y＝0，則﹣x2+4x﹣3＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），
∴AB＝2，
∴S△ABC2×3＝3，
∵S△PBCS△ABC，
∴S△PBC，
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，
設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），則Q（t，t﹣3），
∴PQ＝|﹣t2+3t|，
∴3×|﹣t2+3t|，
解得t或t，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BC交CQ于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥x軸交于F，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝45°，
∵∠ACQ＝45°，
∴∠BCQ＝∠OCA，
∵OA＝1，
∴tan∠OCA，
∴tan∠BCE，
∵BC＝3，
∴BE，
∵∠OBC＝45°，
∴∠EBF＝45°，
∴EF＝BF＝1，
∴E（4，﹣1），
設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx﹣3，
聯(lián)立方程組，
解得（舍）或，
∴Q（，）．
12．【解答】解：（1）將A（4，0），B（1，4）代入y＝ax2+bx，
∴，解得．
∴拋物線的解析式為：yx2x．
（2）設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+t，
將A（4，0），B（1，4）代入y＝kx+t，
∴，
解得．
∵A（4，0），B（1，4），
∴S△OAB4×4＝8，
∴S△OAB＝2S△PAB＝8，即S△PAB＝4，
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PM與AB交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PM于點(diǎn)E，如圖，
∴S△PAB＝S△PNB+S△PNAPN×BEPN×AMPN＝4，
∴PN．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，m2m）（1＜m＜4），N（m，m），
∴PNm2m﹣（m）．
解得m＝2或m＝3；
∴P（2，）或（3，4）．
（3）∵PD∥OB，
∴∠DPC＝∠BOC，∠PDC＝∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO＝CD：CB＝PD：OB，
∵，，
∴．
設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)F．則F（0，），
過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，PH交AB于點(diǎn)G，如圖，
∵∠PDC＝∠OBC，
∴∠PDG＝∠OBF，
∵PG∥OF，
∴∠PGD＝∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB＝PG：OF，
設(shè)P（n，n2n）（1＜n＜4），
由（2）可知，PGn2n，
∴PG（n）2．
∵1＜n＜4，
∴當(dāng)n時(shí)，的最大值為．
13．【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴頂點(diǎn)D（2，﹣4）．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE，
∵tan∠PDO，
∴∠DOE＝∠PDO，
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OD的右側(cè)時(shí)，DP∥y軸，如圖，
∴P（2，0）；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段OD左側(cè)時(shí)，設(shè)直線DP與y軸交于點(diǎn)G，則△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
設(shè)OG＝t，則DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t，
∴G（0，），
∴直線DG的解析式為：yx，
令y＝0，則x0，
解得x，
∴P（，0）．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）．
（3）∵點(diǎn)B（5，5）與點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸x＝2對(duì)稱，
∴M（﹣1，5）．
如圖，分別過(guò)點(diǎn)M，Q作y軸的平行線，交直線OB于點(diǎn)N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1QK（xB﹣xE），S2MN（xB﹣xE），
∴（m2﹣5m）（m）2，
∵0，
∴當(dāng)m時(shí)，的最大值為．
提示：本題也可分別過(guò)點(diǎn)M，Q作BO的垂線，用m分別表示高線，再求比，也可得出結(jié)論．
14．【解答】解：（1）∵將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0）．
將A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n（m≠0），
將A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3．
∵點(diǎn)C在直線AB上，CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1×1+3＝2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACEAE OBAE CD4×34×2＝2，
∴△BCE的面積為2．
（3）存在，理由如下：
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，﹣m2+2m+3）．
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)記為P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1M⊥x軸于點(diǎn)M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合題意，舍去），m2＝2，
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，3）；
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)記為P2，過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥x軸于點(diǎn)N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合題意，舍去），m2＝4，
∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（4，﹣5）．
綜上所述，拋物線上存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（4，﹣5）．
15．【解答】解：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)知，c＝﹣3，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+bx+3，
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式得：0＝1﹣b﹣3，
解得：b＝﹣2；
（2）由（1）得拋物線的解析式為 y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，則 x2﹣2x﹣3＝0，得 x1＝﹣1，x2＝3．
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）．
∵S△PBC＝S△ABC，
∴AP∥BC．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直線BC的解析式為 y＝x﹣3，
∵AP∥BC，
∴可設(shè)直線AP的解析式為 y＝x+m．
∵A（﹣1，0）在直線AP上，
∴0＝﹣1+m．
∴m＝1．
∴直線AP的解析式為y＝x+1；
（3）存在，理由：
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）．
∵點(diǎn)P在直線y＝x+1和拋物線 y＝x2﹣2x﹣3 上，
∴n＝m+1，n＝m2﹣2m﹣3．
∴m+1＝m2﹣2m﹣3．
解得 m1＝4，m2＝﹣1 （舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，5）．
由點(diǎn)P關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P′，得∠AEP＝∠AEP′，P′E＝PE．
∵AP∥BC，
∴∠PAE＝∠AEP'；
∴∠PAE＝∠PEA．
∴，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，t﹣3），
即（t﹣4）2+（t﹣3﹣5）2＝（5）2，
∴．
當(dāng) 時(shí)，
點(diǎn)E的坐標(biāo)為：，．
設(shè)點(diǎn)P′（s，s﹣3），
由P′E＝PE＝5得：（s﹣6）2+（s﹣3﹣3）2＝（5）2，
解得：s＝1，
則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為 ，．
當(dāng) 時(shí)，同理可得，點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：．
綜上所述，點(diǎn)P′的坐標(biāo)為：， 或 ．
16．【解答】解：（1）由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+2）（x﹣6），
將（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為y（x+2）（x﹣6）x2+2x+6；
（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EC、EB，
∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，
∴OB＝OC＝6，
∵O、E關(guān)于直線BC對(duì)稱，
∴四邊形OBEC為正方形，
∴E（6，6），
連接AE，交BC于點(diǎn)D，由對(duì)稱性|DE|＝|DO|，
此時(shí)|DO|+|DA|有最小值為AE的長(zhǎng)，
∴AE10，
∵△AOD 的周長(zhǎng)為DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值為10，
∴△AOD的周長(zhǎng)的最小值為10+2＝12，
（3）由已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），
設(shè)直線BC的表達(dá)式為 y＝kx+b，
將B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b 中，
則，
解得，
∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+6，
同理可得：直線AC的表達(dá)式為y＝3x+6，
∵PD∥AC，
∴可設(shè)直線PD表達(dá)式為y＝3x+a，
由（1）設(shè)P（m，m2+2m+6），
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入直線PD的表達(dá)式得am2﹣m+6，
∴直線PD的表達(dá)式為：，
由，
得，
∴D（m2m，m2m+6），
∵P，D都在第一象限，
∴S＝S△PBD+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB
|AB|[（m2+2m+6）﹣（m2m+6）]
8×（m2m）
m2+9m
（m2﹣6m）
（m﹣3）2，
∵0，
∴當(dāng) m＝3 時(shí)，S有最大值，最大值為，
此時(shí)P點(diǎn)為 ．
解法二：利用平行等積，將△PAD面積轉(zhuǎn)化為△PCD的面積，那么△PAD與△PBD的面積之和等于△PBC的面積，即求△PBC的面積最大值．
17．【解答】解：（1）由題意得，
y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖1，
作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，
拋物線的對(duì)稱軸是直線：x，
∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，
∴D（﹣1，2），
∵C（0，3），
∴CD，
故只需△MCD的邊CD上的高最大時(shí)，△MCD的面積最大，
設(shè)過(guò)點(diǎn)M與AC平行的直線的解析式為：y＝x+m，
當(dāng)直線y＝x+m與拋物線相切時(shí)，△MCD的面積最大，
由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，
x2+3x+（m﹣3）＝0，
由Δ＝0得，
32﹣4（m﹣3）＝0得，
m﹣3，
∴x2+3x0，
∴x1＝x2，
∴y＝﹣（）2﹣23，
y＝x+33，
∴ME，
∴MQ＝ME sin∠MEQ＝ME sin45°，
∴S△MCD最大；
（3）如圖2，
當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，連接BP，交CQ于R，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)Q關(guān)于CQ對(duì)稱，
∴CP＝CB，
設(shè)P（t，t+3），
由CP2＝CB2得，
2t2＝10，
∴t1，t2（舍去），
∴P（，3），
∵PQ∥BC，
∴，
∴CR＝QR，
∴四邊形BCPQ是平行四邊形，
∵1+（）﹣0＝1，0+（3）﹣3，
∴Q（1，）；
如圖3，
當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上可知：P（，3），
同理可得：Q（1，），
綜上所述：Q（1，）或（1，）．
18．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（5，0），
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5，
∴b＝﹣4，c＝﹣5；
（2）由（1）得，拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x﹣5，
令x＝0，則y＝﹣5；
∴C（0，﹣5）
∴直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣5，P（x0，4x0﹣5），
①如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段BC于點(diǎn)D，
則D（x0，x0﹣5），
∴S△PBCOB PD5×（x0﹣54x0+5）
x0
（x0﹣2.5）2，
∴當(dāng)x0＝2.5時(shí)，S的值取最大，最大值為；
②存在，理由如下：
由題意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，則PE＝PF，
由①可得，PE＝x0﹣5﹣x02+4x0+55x0，
∵PF∥x軸，
∴F（4﹣x0，4x0﹣5），
∴PF＝|2x0﹣4|，
∴|2x0﹣4|5x0，
解得x0＝﹣1（舍）或x0＝4或x0或x0（舍），
∴當(dāng)△PEF是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣5），（，）．
19．【解答】解：（1）①當(dāng)a﹣2＝0時(shí)，即a＝2時(shí)，
y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝3x，
此時(shí)y＝3x與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
②當(dāng)a﹣2≠0時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)為二次函數(shù)，
∵二次函數(shù)圖象拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴拋物線可能存在與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)或與x軸有一個(gè)交點(diǎn)與y軸一個(gè)交點(diǎn)兩種情況．
當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，
由題意得b＝0，此時(shí)a＝0，拋物線為y＝﹣2x2+x．
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2．
∴其圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）（，0）．
當(dāng)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)與y軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
由題意得，y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b所對(duì)應(yīng)的一元二次方程（a﹣2）x2+（a+1）x+b＝0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根．
∴Δ＝（a+1）2﹣4（a﹣2）a＝0，
解得a，
此時(shí)yx2x，
當(dāng)x＝0時(shí)，y，
∴與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），
當(dāng)y＝0時(shí)，x2x0，
解得x1＝x2，
∴與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
綜上所述，若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a可取的值為2，0，，
故答案為：2或0或；
（2）①如圖，設(shè)直線l與BC交于點(diǎn)F，
根據(jù)題意得，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+8，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝8，
∴C（0，8），
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)，
∴P（1，9），
∵B（4，0），C（0，8），
∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+8，
∴F（1，6），
∴PF＝9﹣6＝3，
∴△PBC的面積OB PF6；
②S1﹣S2存在最大值，
理由：如圖，設(shè)直線x＝m交x軸于H，
由①得，OB＝4，AO＝2，AB＝6，OC＝8，AH＝2+m，P（m，﹣m2+2m+8），
∴PH＝﹣m2+2m+8，
∵OD∥PH，
∴△AOD∽△AHP，
∴，
∴，
∴OD＝8﹣2m，
∵S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AOD﹣S△OBC3m2+8m＝﹣3（m）2，
∵﹣3＜0，0＜m＜4，
∴當(dāng)m時(shí)，S1﹣S2存在最大值，最大值為．
20．【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，
∴，
∴，
∴y2+x+4；
（2）如圖1，
∵，
∴，
作PD∥y軸，交BC于D，
∴，
∵OC＝4，
∴PD＝2，
∵B（4，0），C （0，4），
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)P（m，m2+m+4），則D（m，﹣m+4），
∴PD＝（m+4）﹣（﹣x+4）2m＝2，
∴m1＝m2＝2，
當(dāng)m＝2時(shí)，y4，
∴P（2，4）；
（3）如圖2，
設(shè)CM交x軸于D，作DG⊥CM，交直線AC于G，過(guò)點(diǎn)D作EF∥y軸，作CE⊥EF于E，作GF⊥EF于F，
∵∠ACO＝∠BCM，
∴∠ACO+∠DCO＝∠BCM+∠DCO＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠CGD＝90°﹣∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CGD，
∴CD＝DG，
∵∠CDG＝90°，
∴∠CDE+∠GDF＝90°，
∵∠E＝∠F＝90°，
∴∠GDF+∠DGF＝90°，
∴∠CDE＝∠DGF，
∴△CDE≌△DGF（AAS），
∴FG＝DE＝4，DF＝CE，
設(shè)OD＝a，
∴DF＝CE＝OD＝a，
∴G（a﹣4，﹣a），
∵C（0，4），A（﹣2，0），
∴直線AC的解析式為y＝2x+4，
∴2（a﹣4）+4＝﹣a，
∴a，
∴D（，0），
∴直線CM的解析式為y＝﹣3x+4，
由﹣3x+4x+4得，
x1＝0（舍去），x2＝8，
當(dāng)x＝8時(shí)，y＝﹣3×8+4＝﹣20，
∴M1（8，﹣20），
如圖3，
設(shè)射線CM交x軸于T，
∵OC＝OB＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
由上知：tan∠OCD，∠BCD＝∠ACO，∠BCD+∠OCD＝45°，
∵∠BCM+∠CTB＝∠OBC＝45°，∠BCM＝∠ACO，
∴∠CTB＝∠OCD，
∴tan∠CTB，
∴，
∴OT＝3OC＝12，
∴直線CT的解析式為yx+4，
由x+42+x+4得，
x1＝0（舍去），x2，
當(dāng)x時(shí)，y，
∴M2（，
綜上所述：M（8，﹣20）或（．
21．【解答】解：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：16a﹣8a+4＝0，
則a，
故拋物線解析式為y；
（2）設(shè)點(diǎn)Q（m，0），過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，
由﹣＝0，得x1＝﹣2，x2＝4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），AB＝6，BQ＝m+2，
又∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴EG：CO＝BQ：BA，即EG：4＝（m+2）：6，
解得：GE；
∴S△CQE＝S△CBQ﹣S△EBQ（CO﹣GE） BQ（m+2）（4）（m﹣1）2+3，
∴當(dāng)m＝1時(shí)，S△CQE有最大值3，此時(shí)Q（1，0）；
（3）存在．在△ODF中，
（ⅰ）若DO＝DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD＝OD＝DF＝2．
又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝45°．
∴∠DFA＝∠OAC＝45°．
∴∠ADF＝90°．
此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）．
由2，得x＝1±，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（1，2）或P2（1，2）；
（ⅱ）若FO＝FD，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M．
由等腰三角形的性質(zhì)得：OMOD＝1，
∴AM＝3．
∴在等腰直角△AMF中，MF＝AM＝3．
∴F（1，3）．
由﹣＝3，得x1＝1±，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P3（1，3）或P4（1，3）；
（ⅲ）若OD＝OF，
∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°．
∴AC＝4，
∴點(diǎn)O到AC的距離為2，
而OF＝OD＝2＜2與OF≥2矛盾．
∴在AC上不存在點(diǎn)使得OF＝OD＝2．
此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，2）或（1，2）或（1，3）或（1，3）．
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