資源簡介

1.3線段的垂直平分線
課前導學
知識填空
1.性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離 .
2.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的 上.
思維拓展
1.嘗試證明線段垂直平分線的判定定理
已知：如圖，線段，.
求證：點P在線段的垂直平分線上.
2.嘗試寫出用尺規作出線段的垂直平分線作法.
基礎練習
1.如圖，在中，是的垂直平分線.若，，則的周長是________.
2.在中,,AB的垂直平分線交BC于點D,AC的垂直平分線交BC于點E,的度數為______.
3.如圖,在中,,,,垂直平分,點P為直線上一動點,則的最小值是____________.
4.如圖,在中,,.
(1)作的垂直平分線交于點D,垂足為P；(尺規作圖,保留痕跡,不寫作法)
(2)結合(1)中作圖,連接,求的度數.
答案以及解析
一、知識填空
1.相等
2.垂直平分線
二、思維拓展
1.證明：過點作直線，垂足為點，
則是的高.
，
是等腰三角形.
是的中線（三線合一）.
直線是線段的垂直平分線.
點P在線段的垂直平分線上.
2.①分別以點和為圓心，以大于線段長度的一半為半徑作弧，兩弧交于點和.
②作直線.則直線就是線段的垂直平分線.
三、基礎練習
1.答案：13
解析：是的垂直平分線.
，
，
的周長，
故答案為：13.
2.答案：40°/40度
解析：∵AB的垂直平分線交BC于點D,AC的垂直平分線交BC于點E,
∴,,
∴,,
在中,,
故答案為：
3.答案：8
解析：如圖,連接,
是的垂直平分線,
,
∴,最小,
此時點P與點E重合.
所以的最小值即為的長,為8.
所以的最小值為8.
故答案為：8.
4.答案：(1)見解析
(2)
解析：(1)如圖,直線即為所求作的圖形.
(2)∵,
∴.
∵,
∴.
∵垂直平分,
∴.
∴.
∴.1.4角平分線
課前導學
知識填空
1.性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離 .
2.判定：在一個角的內部，到角的兩邊的距離相等的點在 上.
思維拓展
三角形三條角平分線交于一點，這一點稱為三角形的內心.嘗試說出三角形內心的性質及其應用？
基礎練習
1.如圖,在中,,是的角平分線.若,則點D到的距離為( )
A. B. C. D.
2.如圖所示,點O是內一點,平分,于點D,連接,若,,則的面積是______.
3.點P在的平分線上,點P到邊的距離等于5,點D是邊上任意一點,則的最小值是______.
4.如圖,在中,,,.在,上分別截取線段,,使；分別以點M,N為圓心,大于的長為半徑畫弧,在內,兩弧交于點P,作射線,交于點D.則的長為______.
5.如圖,四邊形中,,,于點F,交于點E,連接,平分.
(1)求證：；
(2)若,,求的長.
答案以及解析
一、知識填空
1.相等
2.這個角的平分線
二、思維拓展
三角形的內心到三角形三條邊的距離相等
應用：三角形三條內角平分線的交點到三邊的距離相等是三角形的一個重要特征，該交點與三角形三個頂點的連線形成三個等高的小三角形，利用三個小三角形的面積之和等于原三角形的面積，求角平分線交點到三邊距離或者求三角形的面積，體現等面積法的運用.
三、基礎練習
1.答案：B
解析：如圖,過D作于E,
∵在中,,是的角平分線,,
∴,
∵,
∴,即點D到的距離為,
故選：B.
2.答案：
解析：過O作于點E,
∵平分,于點D,
∴,
∴的面積,
故答案為：.
3.答案：5
解析：∵點P在的平分線上,點P到邊的距離等于5,
P到的距離為5,
點D是邊上任意一點,
,
的最小值為5.
故答案為：5.
4.答案：4
解析：過點D作于點E,
由作圖可知,為的平分線,
,
,
在中,,
,
,
,
,
,
故答案為：4.
5.答案：(1)見解析
(2)4
解析：(1)證明：∵,
∴,
∵平分,
∴,
又∵,
∴；
(2)在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴.1.1等腰三角形
課前導學
知識填空
1.等腰三角形的性質：
等腰三角形的兩個底角相等，（簡寫成“ ”）
等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合．（簡稱“ ”）
2.等腰三角形的判定：如果一個三角形有 ，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“ ”）．
3.等邊三角形的三個內角都相等，并且每個內角都為 度．
4.等邊三角形的定理：
的三角形是等邊三角形．
有一個角是 的等腰三角形是等邊三角形．
5.在證明時，先假設_________________，然后推導出__________________________________
____________________的結果，從而證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法.
____________________________________
6.在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于 .
思維拓展
1.若要證明“兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等”這一命題為真命題,你能寫出“已知”和“求證”，并完成后面的證明過程嗎？
2.除了書上的證明方法外,你還能用其他的方法證明與全等嗎
基礎練習
1.若一個三角形是軸對稱圖形，且有一個內角為，則這個三角形的形狀是( )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等邊三角形 D.上述三種情形都有可能
2.牛頓曾說過：“反證法是數學家最精良的武器之一.”那么我們用反證法證明：“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于時，第一步先假設( )
A.三角形中有一個內角小于 B.三角形中有一個內角大于
C.三角形中每個內角都大于 D.三角形中沒有一個內角小于
3.如圖是西寧市某公園一段索道的示意圖,已知A、B兩點間的距離為30米,,則纜車從A點到B點過程中,上升的高度(的長)為______米.
4.某地地震過后，河沿村中學的同學用下面的方法檢測教室的房梁是否水平：
在等腰直角三角尺斜邊中點拴一條線繩，線繩的另一端掛一個鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結果線繩經過三角尺的直角頂點，同學們由此確信房梁是水平的，他們的判斷對嗎？為什么？
5.如圖，是等腰三角形，點D，E分別在腰AC，AB上，且，連接BD，CE.求證：.
6.如圖,是等邊三角形,點D,E分別在,的延長線上,且,連接.求證：是等邊三角形.
答案以及解析
一、知識填空
1.等邊對等角 三線合一
2.兩個角相等 等角對等邊
3.60
4.三個角都相等 60°
5.命題的結論不成立；與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾
6.斜邊的一半
二、思維拓展
1.已知：，，
求證：
證明：，
，
又，，
又，
2.證明：如圖，作頂角的角平分線
，，
（全等三角形對應角相等）
三、基礎練習
1.答案：C
解析：因為三角形是軸對稱圖形，
則該三角形是等腰三角形，根據有一個內角是的等腰三角形是等邊三角形.
故選：C.
2.答案：C
解析：用反證法證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于時，
第一步先假設三角形中每個內角都大于，
故選：C.
3.答案：15
解析：在中,,米,
米,
故答案為：15.
4.答案：正確，理由見解析
解析：他們的判斷是正確的，因為等腰三角形底邊上的中線和底邊上的高重合.
5.答案：證明見解析
解析：證明：是等腰三角形，
，
在與中，
，
，
.
6.答案：證明見解析
解析：證明：∵是等邊三角形,
∴,
∴,
又∵,
∴是等邊三角形.1.2直角三角形
課前導學
知識填空
1.直角三角形的兩個銳角 .
2.有兩個角互余的三角形是 .
3.直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的 .
4.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是 ．
5.條件和結論正好相反的兩個命題叫做 ．如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的 .
6.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形 .
思維拓展
1.勾股定理的逆定理是判斷一個三角形是否為直角三角形的重要方法，那在判定時，對于三條邊的長度關系需要注意什么？如何準確運用它來判定復雜圖形中的三角形是否為直角三角形？
2.直角三角形的判定定理和性質定理的逆命題都成立嗎？如果成立，如何證明？如果不成立，能舉反例說明嗎？
基礎練習
1.下列每一組數據中的三個數值分別為三角形的三邊長,則不能構成直角三角形的是( )
A.,2, B.6,8,10 C.3,4,5 D.5,12,13
2.如圖，于點D，于點F，要根據“”證明，則還需要添加的條件是( )
A. B. C. D.
3.如圖,甲、乙兩船同時從A港出發,甲船的速度是15海里/時,航向是東北方向(射線方向),乙船比它每小時快5海里,航向是東南方向(射線方向),多少小時后兩船相距100海里？
4.如圖，在中，，是高.求證：
（1）；
（2）.
答案以及解析
一、知識填空
1.互余
2.直角三角形
3.平方
4.直角三角形
5.互逆命題 逆命題
6.全等
二、思維拓展
1.運用勾股定理逆定理時，一定要先確定最長邊，然后計算兩較短邊的平方和是否等于最長邊的平方. 在復雜圖形中，首先要準確找出三角形的三條邊，通過測量或已知條件得到邊長數據，再按照上述方法判斷. 比如在一個多邊形中，有多個三角形，要逐一分析每個三角形的三邊關系，不能混淆邊的對應關系. 而且在一些實際問題中，邊長可能不是直接給出具體數值，而是用代數式表示，這時就需要先進行化簡計算，再運用逆定理判定.
2.以勾股定理及其逆定理為例，勾股定理 “直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方” ，它的逆命題 “如果一個三角形的三邊滿足兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形” 是成立的，證明方法通常是構造一個直角三角形，利用全等三角形來證明原三角形與構造的直角三角形全等，從而證明它是直角三角形. 但并不是所有直角三角形相關命題的逆命題都成立，比如 “直角三角形中，30° 所對的直角邊是斜邊的一半”，若逆命題表述為 “如果三角形中一條直角邊是斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是 30°” ，這是不成立的，反例：在等腰直角三角形中，直角邊與斜邊的關系不符合該逆命題的結論.
三、基礎練習
1.答案：A
解析：A、,不能構成直角三角形,故此選項符合題意；
B、,能構成直角三角形,故此選項不符合題意；
C、,能構成直角三角形,故此選項不符合題意；
D、,能構成直角三角形,故此選項不符合題意；
故選：A.
2.答案：C
解析：于點D，于點F，
，
，
當添加時，根據“”判斷
故選：C.
3.答案：4小時后兩船相距100海里
解析：由題意,得,.
設小時后兩船相距100海里,
根據題意得：,
解得：(舍去)或.
答：4小時后兩船相距100海里.
4.答案：（1）證明見解析
（2）證明見解析
解析：（1）證明：由題意可知，和均是直角三角形.
在和中，
，
.
（2）證明：由（1）知，
.

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