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高考數學填空題的解題策略
數學填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數學中的三種常考題型之一，根據填空時所填寫的內容形式，可以將填空題分成兩種類型：
一是定量型，要求考生填寫數值、數集或數量關系，如：方程的解、不等式的解集、函數的定義域、值域、最大值或最小值、線段長度、角度大小等等。由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以高考題中多數是以定量型問題出現。
二是定性型，要求填寫的是具有某種性質的對象或者填寫給定的數學對象的某種性質，如：給定二次曲線的準線方程、焦點坐標、離心率等等。近幾年出現了定性型的具有多重選擇性的填空題。
在解答填空題時，由于不反映過程，只要求結果，所以對正確性的要求比解答題更高、更嚴格，《考試說明》中對解答填空題提出的基本要求是“正確、合理、迅速”。為此在解填空題時要做到：快——運算要快，力戒小題大作；穩——變形要穩，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解題要活，不要生搬硬套；細——審題要細，不能粗心大意。
數學填空題，絕大多數是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質)判斷型的試題，應答時必須按規則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、數行結合法、等價轉化法等。
一、直接法
這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發、利用定義、定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果。
例1設其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實數m = 。
解：∵，∴∴，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。
例2已知函數在區間上為增函數，則實數a的取值范圍是 。
解：，由復合函數的增減性可知，在上為增函數，∴，∴。
例3現時盛行的足球彩票，其規則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結果：勝、平、負，13長比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎，其它不設獎，則某人獲得特等獎的概率為 。
解：由題設，此人猜中某一場的概率為，且猜中每場比賽結果的事件為相互獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為。
二、特殊化法
當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結果。
例4 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數列，則 。
解：特殊化：令，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為4/5。
例5 過拋物線的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則 。
分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數和應為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而不失一般性。
解：設k = 0，因拋物線焦點坐標為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。
例6 求值 。
分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結果為。
三、數形結合法
對于一些含有幾何背景的填空題，若能數中思形，以形助數，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結果。
例7 如果不等式的解集為A，且，那么實數a的取值范圍是 。
解：根據不等式解集的幾何意義，作函數和
函數的圖象（如圖），從圖上容易得出實數a的取
值范圍是。
例8 求值 。
解：，
構造如圖所示的直角三角形，則其中的角即為，從而
所以可得結果為。
例9 已知實數x、y滿足，則的最大值是 。
解：可看作是過點P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點P的圓上，如圖，當直線處于圖中切線位置時，斜率最大，最大值為。
四、等價轉化法
通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果。
例10 不等式的解集為（4，b），則a= ，b= 。
解：設，則原不等式可轉化為：∴a > 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。
例11 不論k為何實數，直線與曲線恒有交點，則實數a的取值范圍是 。
解：題設條件等價于點（0，1）在圓內或圓上，或等價于點（0，1）到圓，∴。
例12 函數單調遞減區間為 。
解：易知∵y與y2有相同的單調區間，而，∴可得結果為。
總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數學填空題的關鍵。
五、整體代入法
將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構、整體功能或作種種整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的。
[例12] 三棱錐的三個側面兩兩互相垂直，它們的側面積分別是6、4、3，則它的體積等于 。
解：設三條棱長分別為，則。
得。
六、構造法
根據題設條件與結論的特殊性，構造出一些新的數學形式，并借助于它認識和解決問題的一種方法。
[例13] 4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒中，則只有1個空盒的放法共有
種（用數字作答）。
解：符合條件的放法是：有一個盒中放2個球，有2個盒中各放1個球。因此可先將球
分成3堆（一堆2個，其余2堆各1個，即構造了球的“堆”），然后從4個盒中選出3個盒
放1堆球，依分步計算原理，符合條件的放法有（種）。
例15、橢圓 的焦點F1、F2，點P是橢圓上動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍是
解：構造圓x2＋y2＝5，與橢圓 聯立求得交點x02 ＝ x0∈（－ ，）
七、分析法：根據題設條件的特征進行觀察、分析，從而得出正確的結論。
例16、如右圖，在直四棱柱中，當底面四邊形滿足條件 時，有（填上你認為正確的一個條件
即可，不必考慮所有可能性的情形）。
解：因四棱柱為直四棱柱，故為在面上的射影，從而要使，只要與垂直，故底面四邊形只要滿足條件即可。
定量型填空題的常用檢驗方法
一、代入檢驗
若題目求的是方程的解、參數值等有限的、具體的數據時，可逐一代入進行檢驗，以避免因擴大自變量的允許值范圍而產生增解致誤。
例1（2006遼寧高考題）方程的解為 ．
錯解：由條件得（x—1）（x+1）=4，解得：
檢驗：把 代入原方程檢驗知x=時對數沒有意義，舍去。故原方程的解是： 二、賦值檢驗
若答案是無限的、一般性結論時，可賦予一個或幾個特殊值進行檢驗，以避免知識性錯誤。
例2（2004全國卷）已知數列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項
1, n=1,
an= ,n≥2.
錯解：由an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2) 與
---①
得
故 得！
檢驗：當n=2時a2=a1=1知解法有誤，實際上①式僅對于成立。從而，得！（）。所以正確的答案是：！（）。
例3（06江蘇高考題）對正整數n，設曲線在x＝2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數列的前n項和的公式是　　
正確解答：，曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n-1-(n+1)2n
切點為（2，-2n）,所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn=.數列的前n項和為2+22+23+…+2n=2n+1-2
檢驗：可取n=1，2時的值驗證之。
三、作圖檢驗
當問題具有幾何背景時，可通過作圖進行檢驗，以避免一些主觀意想的錯誤。
例4．求過點P（3，2），且與圓相切的直線方程。
誤解：設所求切線方程為，即則圓心（4，1）到此切線的距離等于半徑1，所以 ，
故所求的切線方程為y=2
檢驗：作出圖形可以看出過一點作圓的切線應該是兩條。為什么上面的解法只求出一條？原因是另一條是x=3，其斜率不存在。上面做法先設直線的斜率存在，第一步就把直線x=3排除了。正確的答案是：y=2 或x=3 .
四、極端檢驗
當難以確定端點處是否成立時，可直接取其端點進行檢驗，以避免考慮不周全的錯誤。
例5、已知關于x的不等式的解集是空集，求實數a的取值范圍?________________.
錯解：由，解得-2檢驗：若a=-2，則原不等式為-1≥0，解集是空集，滿足題意；若a=，則原不等式為，即，解得x=，不滿足題意。
故正確答案為-2≤a<.
五、多解檢驗
一種方法解答之后，再用其他方法解之，看它們的結果是否一致，從而可避免方法單一造成的策略性錯誤。
例6、從8名男醫生和7名女醫生中，選出4名醫生組成醫療隊。其中至少有一名男醫生和一名女醫生，共有多少種不同的選法？
錯解：先選出1男1女，再從剩下的13人中選出2人（男女不限），選法共有：
（種）
檢驗：法1，按男隊員（或女隊員）人數分為三類：一男三女，二男二女，三男一女，選法數共有：
法2，15名醫生中選4名有種選法，其中全由男醫生或女醫生組成的不合要求，合要求的選法總數為：
從1，2知答案是：1260 。實際上錯解表面上看沒有問題，仔細一想有大量重復。如A、B、C與女a組成醫療隊，選A、a，再選B、C；先選B、a，再選A、C；選C、a，再選A、B，都組成同一醫療隊，此種解法含有很多重復。這種分步的標準是不對的。
六、回顧檢驗
由于考試時時間緊張，有些學生做題只顧速度快，不注意題目的條件，錯看漏看條件從而導致解題錯誤。避免這樣的錯誤要求同學們平時解題時養成良好的審題習慣和解題后再回顧審視題目反思的習慣。
例7、滿足條件且的角的集合為____________.
錯解：， 。
檢驗：根據題意，答案中的不滿足條件，應改為；其次，要角的取值注意要用集合表示，故正確的答案為

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