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有理數的運算技巧
太平中學 趙興
有理數的運算是中學數學的重要知識組成部分，而且它對初中數學的學習效果起著決定性的作用。在歷年的中考和數學競賽中經常出現與有理數有關的計算題。在此，我對有理數的一些運算技巧給大家作一個簡單的介紹，望對大家的數學學習有所幫助。
一：倒寫相加法
倒寫相加法適合于多個加數且相鄰加數的差相等的有理數的加法，通過倒寫相加法將加法轉化成乘法，達到簡化運算的目的。
例一：計算1+2+3+······+98+99+100
思路分析：得到這樣的題目不能盲目的開始計算，先觀察題目的特征，這一系列數據相鄰兩數的差相等。如果我們將其倒寫一遍則有新發現。兩列數相加恰好對應的兩數之和均為101.將加法轉化成乘法而簡化運算。
解：設 S=1+2+3+······+98+99+100 （1）
把S倒過來寫有：S=100+99+98+······+3+2+1 （2）
（1）+（2）得2 S =101+101+······+101
=100×101
=10100
故有 S =5050
總結：本題的解法充分利用題目中相鄰加數間的差相等的特點，通過倒寫相加法，將加法轉化成乘法。達到簡化運算的目的。本例可以推廣到一般形式：1+2+3+······+n=（1+n）n/2
如果相鄰兩個加數的差不是1的時候怎么辦呢？
例二：計算1+4+7+······+2009
思路分析：先觀察題目的特征，這一系列數據相鄰兩數的差相等。但與上面的題目有不同的地方，同樣可以采用倒寫相加法，但在確定加數的個數的時候要注意一些。我們找出它們的規律為3n+1（n從1開始）
解：設 S=1+4+7+······+2009 （1）
把S倒過來寫有：S=2009+2008+······+7+4+1 （2）
（1）+（2）得2 S=2010+2010+······+2010(共有670個)
=2010 × 670
=1346700
故有 S =673350
總結：本題的解法充分利用題目中相鄰加數的差相等的特點，通過倒寫相加法，將加法轉化成乘法。達到簡化運算的目的。但在確定“2010”的個數的時候要小心，在運用的時候要根據題目本身的特點而靈活運用。才能真正的達到簡化運算的目的。
二：錯位相減法
錯位相減法適合于多個加數且相鄰加數的商相等的有理數的加法，通過錯位相減法將加法轉化成減法，而且減數出前后兩個不一樣以外而中間的減數完全一樣。達到簡化運算的目的。
例一：計算1+2+2+2+·····+2
思路分析：這類題目和上邊的題目有相似的地方，但它們更有區別。題目的加數個數同樣很多，相鄰兩個加數前一個與后一個加數的商相等。我們可以將該列數乘以它們的“商”，再相減就可以簡化運算。
解：設s=1+2+2+2+·····+2 （1） 則有：
2s=2+2+2+·····+2+2 （2）
（2）-（1）=2s-s=2-1
故原式=2-1
總結：本題的解法充分利用題目中相鄰加數（后一個與前一個）的商相等的特點，通過倒寫后再相減達到簡化運算的目的。
例二： 1+4+4+4+····+4
思路分析：這個題目的加數同樣很多，相鄰兩個加數前一個與后一個加數的商相等。我們可以將該列數乘以它們的“商”，再相減就可以簡化運算。但是相減后還要注意它們想減后的倍數關系。
解：設s=1+4+4+4+····+4 （1） 則有：
4s=4+4+4+····+4+4 （2）
（2）-（1）=3s=4-1 故有：
原式s=（4-1）3
總結：本題的解法充分利用題目中相鄰加數（后一個與前一個）的商相等的特點，通過倒寫后再相減達到簡化運算的目的。但在相減以后要注意我們求的是s而不是3s的問題
有理數的運算是初中數學里邊的一個重要的知識點，同時又對初中數學的后期學習相當得重要，我們應該十分的重視有理數的運算。而有理數的運算除掌握書本上的基本運算法則而外，我們必須學會根據它們本身的特點來選取恰當的方法去運算。
有理數的運算技巧并非是一層不變的，我們要學會靈活的去掌握，去運用。我相信通過我們的共同努力，一定能夠突破有理數的運算難題，同學們：加油吧！

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