資源簡介

18.1　平行四邊形
18.1.1　平行四邊形的性質
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解平行四邊形的概念. 幾何直觀、模型觀念
2.探索并掌握平行四邊形對邊相等、對角相等的性質. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
3.理解兩條平行線之間距離的概念,能度量兩條平行線之間的距離. 抽象能力、幾何直觀
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.定義: 兩組對邊分別　平行　的四邊形. 1.如圖, ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,則圖中的平行四邊形共有(C) A.7個 B.8個 C.9個 D.11個
2.性質: (1)兩組對邊分別　平行　、　相等　. (2)兩組對角分別　相等　. (3)鄰角　互補　. 2.(1)如圖,在 ABCD中,若∠B=55°,點E在CD的延長線上,則∠ADE=　125　°. (2)如圖,在 ABCD中,AB=5,AD=3,AC⊥BC,則AC=　4　.
3.兩條平行線之間的距離: (1)定義:兩條平行線中,一條直線上任意一點到另一條直線的　距離　. (2)性質: ①兩條平行線之間的距離　相等　. ②兩條平行線間的任何兩條平行線段都　相等　. 3.如圖,AD∥BC,∠A=∠D=90°,AB=1, AD=2,那么AD,BC間的距離為　1　.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】利用平行四邊形的性質進行計算(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P43T1拓展)如圖,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于點E,交AB的延長線于點F.AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的長和△ADF的面積.
【自主解答】在 ABCD中,AB∥CD,
∴∠CDE=∠F,
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠F=∠ADF,
∴AD=AF=6,
∵AB=3,
∴BF=AF-AB=3;
過D作DH⊥AF交FA的延長線于H,
∵∠BAD=120°,∴∠DAH=60°,
∴∠ADH=30°,∴AH=AD=3,
∴DH==3,
∴S△ADF=AF·DH=×6×3=9.
【舉一反三】
1.在 ABCD中,∠B+∠D=100°,則∠A的度數為(A)
A.130° B.50° C.100° D.65°
2.如圖,在 ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周長為40,則 ABCD的面積為(D)
A.24 B.36 C.40 D.48
3.(2023·株洲中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=5,∠B的平分線BE交AD于點E,則DE的長為　2　.
【技法點撥】
利用平行四邊形的邊角性質解決計算問題
(1)利用平行四邊形對邊相等,求邊長及周長等.
(2)利用平行四邊形對角相等,求角.
【重點2】利用平行四邊形的性質進行證明(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P42例1)
(2023·菏澤中考)如圖,在 ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點E;CF平分∠BCD,交AD于點F.求證:AE=CF.
【自主解答】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠B=∠D,AB=CD,∠BAD=∠DCB,AD∥BC,
∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∴∠BAE=∠DAE=∠BCF=∠DCF,
在△BAE和△DCF中,
∴△BAE≌△DCF(ASA),∴AE=CF.
【舉一反三】
1.(2024·瀘州中考)如圖,在 ABCD中,E,F是對角線BD上的點,且DE=BF.求證:
∠1=∠2.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
,
∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴∠1=∠2.
2.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點E在邊BC上,點F在線段DE上,且DF=CE,∠AFD+∠B=180°,求證:DE=BC.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADE=∠DEC,∠B+∠C=180°,
∵∠AFD+∠B=180°,
∴∠AFD=∠C,
∵DF=CE,
∴△ADF≌△DEC(ASA),
∴AD=DE,
∴BC=DE.
【技法點撥】
應用平行四邊形的邊角性質的兩“注意”
(1)注意隱含條件的挖掘:平行四邊形提供了線段的數量及位置關系,也提供了角的關系,為證明線段的相等、角的相等、三角形的全等提供了條件.
(2)在解題時,能應用平行四邊形直接得到的結論,不要再通過三角形的全等去證明.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)在 ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(A)
A.2∶1∶2∶1 B.1∶2∶2∶1
C.2∶2∶1∶1 D.3∶2∶2∶3
2.(3分·推理能力、幾何直觀)如圖,在平行四邊形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于點E,CF平分∠BCD交AD于點F,若BC=4,EF=1,則AB為(B)
A.3 B.2.5 C.3.5 D.4
3.(3分·推理能力)如圖,在 ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,若∠C=140°,則∠BAE=
　50　°.
4.(3分·推理能力、幾何直觀)如圖,在平面直角坐標系xOy中, ABCD的頂點A(-1,0),點A,B關于y軸對稱,點D在y軸的正半軸上.若∠C=45°,則點C的坐標為　(2,1)　.
5.(8分·幾何直觀、推理能力)(2023·自貢中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,點M,N分別在邊AB,CD上,且AM=CN.求證:DM=BN.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,∠A=∠C,AD=BC,
∵AM=CN,
∴△AMD≌△CNB(SAS),
∴DM=BN.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十一”18.1　平行四邊形
18.1.1　平行四邊形的性質
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解平行四邊形的概念. 幾何直觀、模型觀念
2.探索并掌握平行四邊形對邊相等、對角相等的性質. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
3.理解兩條平行線之間距離的概念,能度量兩條平行線之間的距離. 抽象能力、幾何直觀
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.定義: 兩組對邊分別 的四邊形. 1.如圖, ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,則圖中的平行四邊形共有( ) A.7個 B.8個 C.9個 D.11個
2.性質: (1)兩組對邊分別 、 . (2)兩組對角分別 . (3)鄰角 . 2.(1)如圖,在 ABCD中,若∠B=55°,點E在CD的延長線上,則∠ADE= °. (2)如圖,在 ABCD中,AB=5,AD=3,AC⊥BC,則AC= .
3.兩條平行線之間的距離: (1)定義:兩條平行線中,一條直線上任意一點到另一條直線的 . (2)性質: ①兩條平行線之間的距離 . ②兩條平行線間的任何兩條平行線段都 . 3.如圖,AD∥BC,∠A=∠D=90°,AB=1, AD=2,那么AD,BC間的距離為 .
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】利用平行四邊形的性質進行計算(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P43T1拓展)如圖,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交BC于點E,交AB的延長線于點F.AD=6,AB=3,∠A=120°,求BF的長和△ADF的面積.
【舉一反三】
1.在 ABCD中,∠B+∠D=100°,則∠A的度數為( )
A.130° B.50° C.100° D.65°
2.如圖,在 ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周長為40,則 ABCD的面積為( )
A.24 B.36 C.40 D.48
3.(2023·株洲中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=5,∠B的平分線BE交AD于點E,則DE的長為 .
【技法點撥】
利用平行四邊形的邊角性質解決計算問題
(1)利用平行四邊形對邊相等,求邊長及周長等.
(2)利用平行四邊形對角相等,求角.
【重點2】利用平行四邊形的性質進行證明(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P42例1)
(2023·菏澤中考)如圖,在 ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于點E;CF平分∠BCD,交AD于點F.求證:AE=CF.
【舉一反三】
1.(2024·瀘州中考)如圖,在 ABCD中,E,F是對角線BD上的點,且DE=BF.求證:
∠1=∠2.
2.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點E在邊BC上,點F在線段DE上,且DF=CE,∠AFD+∠B=180°,求證:DE=BC.
【技法點撥】
應用平行四邊形的邊角性質的兩“注意”
(1)注意隱含條件的挖掘:平行四邊形提供了線段的數量及位置關系,也提供了角的關系,為證明線段的相等、角的相等、三角形的全等提供了條件.
(2)在解題時,能應用平行四邊形直接得到的結論,不要再通過三角形的全等去證明.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)在 ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是( )
A.2∶1∶2∶1 B.1∶2∶2∶1
C.2∶2∶1∶1 D.3∶2∶2∶3
2.(3分·推理能力、幾何直觀)如圖,在平行四邊形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于點E,CF平分∠BCD交AD于點F,若BC=4,EF=1,則AB為( )
A.3 B.2.5 C.3.5 D.4
3.(3分·推理能力)如圖,在 ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,若∠C=140°,則∠BAE=
°.
4.(3分·推理能力、幾何直觀)如圖,在平面直角坐標系xOy中, ABCD的頂點A(-1,0),點A,B關于y軸對稱,點D在y軸的正半軸上.若∠C=45°,則點C的坐標為 .
5.(8分·幾何直觀、推理能力)(2023·自貢中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,點M,N分別在邊AB,CD上,且AM=CN.求證:DM=BN.18.1.1　平行四邊形的性質
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并掌握平行四邊形對角線相等的性質. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
2.利用平行四邊形的性質進行有關的計算和證明. 模型觀念、應用意識、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
平行四邊形對角線的性質: 1.平行四邊形的對角線　互相平分　. 2.兩條對角線分平行四邊形為面積　相等　的四個三角形. 3.過對角線交點的任一條直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分. 1.如圖, ABCD的對角線AC,BD交于點O,下列結論一定成立的是(C) A.OA=OB　 B.OA⊥OB　 C.OA=OC　 D.∠OBA=∠OBC 2.如圖,在 ABCD中,全等三角形共有　4　對.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點1】平行四邊形的對角線互相平分(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P44T2拓展)如圖,已知在 ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AC⊥AB,E,F分別在線段OD,OB上,且OE=OF,連接CE,AF.
(1)求證:CE=AF;
(2)若∠DBA=45°,AB=1,
①求BC的長;
②求直線AD與BC之間的距離.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AO=CO,
∵∠COE=∠AOF,OE=OF,
∴△CEO≌△AFO(SAS),
∴CE=AF;
(2)①∵AC⊥AB,
∴∠CAB=90°,
∵∠DBA=45°,
∴OC=OA=AB=1,
∴AC=2,
∴BC==;
②如圖,過A作AG⊥BC于點G,
∵S△ABC=AB·AC=BC·AG,
∴1×2=AG,
∴AG=,
∴直線AD與BC之間的距離為.
【舉一反三】
1.如圖,在 ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AC+BD=16,△AOB的周長為10,則AB的長為(D)
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.8 B.6 C.4 D.2
2.如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于O,過點O作OE⊥AC交AD于E.若AE=3,DE=1,AB=,則AC的長為　3　.
【技法點撥】
平行四邊形性質的應用
【重點2】平行四邊形的面積問題(推理能力、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P44例2強化)
如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,若AB=2,BC=3,∠ABC=60°,求圖中陰影部分的面積.
【自主解答】作AM⊥BC于點M,如圖所示:
則∠AMB=90°,∵∠ABC=60°,
∴∠BAM=30°,∴BM=AB=×2=1,
在Rt△ABM中,AB2=AM2+BM2,
∴AM===,
∴S ABCD=BC·AM=3,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,BO=DO,∴∠OBE=∠ODF,
在△BOE和△DOF中,,
∴△BOE≌△DOF(ASA),∴S△BOE=S△DOF,
∴S陰影部分=S ABCD=.
【舉一反三】
1.如圖,點E在 ABCD的邊AD上,△ABE的面積記為S1,△CDE的面積記為S2,△BCE的面積記為S3,則下列結論正確的是(A)
A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3
C.S1+S22.如圖,在 ABCD中,∠ADC的平分線交AB于點F,交CB的延長線于點E.
(1)求證:CE=AB;
(2)連接CF,若CF⊥DE,∠E=60°,AD=4,求 ABCD的面積.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AD∥CB,
∴∠E=∠2,
∵∠ADC的平分線交AB于點F,
∴∠1=∠2,∴∠E=∠1,
∴CD=CE,∴CE=AB.
(2)過點D作DH⊥AB于點H,
∵∠E=60°,CD=CE,
∴△CDE是等邊三角形,∠CDE=∠ADF=60°,DF=FE,
∵CD∥AB,
∴∠DFA=60°,
∴∠A=60°,△ADF是等邊三角形,
∴∠ADH=30°,DF=4,∵AD=4,∴AH=2,
∴DH==2,
∵CF⊥DE,
∴CD=DE=2×4=8,
∴S ABCD=8×2=16.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力)如圖,在 ABCD中,AC=8,BD=12,AB=5,則△OCD的周長為(D)
A.25 B.30 C.17 D.15
2.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,在 ABCD中,E為邊BC延長線上一點,連接AE,DE.若AD=2,CE=4,△ADE的面積為4,則 ABCD和△ABE的面積分別為(D)
A.4,12 B.4,8
C.2,8 D.8,12
3.(4分·推理能力)如圖,在 ABCD中,AB=5 cm,BC=7 cm,對角線AC,BD相交于點O,則OA的長的取值范圍為　1 cm4.(4分·幾何直觀)如圖,在 ABCD中,AD=3,AB=5,∠ADB=90°,則平行四邊形ABCD的面積為　12　.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十二”18.1.1　平行四邊形的性質
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并掌握平行四邊形對角線相等的性質. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
2.利用平行四邊形的性質進行有關的計算和證明. 模型觀念、應用意識、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
平行四邊形對角線的性質: 1.平行四邊形的對角線 . 2.兩條對角線分平行四邊形為面積 的四個三角形. 3.過對角線交點的任一條直線將平行四邊形分成面積相等的兩部分. 1.如圖, ABCD的對角線AC,BD交于點O,下列結論一定成立的是( ) A.OA=OB　 B.OA⊥OB　 C.OA=OC　 D.∠OBA=∠OBC 2.如圖,在 ABCD中,全等三角形共有 對.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點1】平行四邊形的對角線互相平分(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P44T2拓展)如圖,已知在 ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AC⊥AB,E,F分別在線段OD,OB上,且OE=OF,連接CE,AF.
(1)求證:CE=AF;
(2)若∠DBA=45°,AB=1,
①求BC的長;
②求直線AD與BC之間的距離.
【舉一反三】
1.如圖,在 ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AC+BD=16,△AOB的周長為10,則AB的長為( )
　　　　　 　　　　　　　　　　
A.8 B.6 C.4 D.2
2.如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于O,過點O作OE⊥AC交AD于E.若AE=3,DE=1,AB=,則AC的長為 .
【技法點撥】
平行四邊形性質的應用
【重點2】平行四邊形的面積問題(推理能力、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P44例2強化)
如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,若AB=2,BC=3,∠ABC=60°,求圖中陰影部分的面積.
【舉一反三】
1.如圖,點E在 ABCD的邊AD上,△ABE的面積記為S1,△CDE的面積記為S2,△BCE的面積記為S3,則下列結論正確的是( )
A.S1+S2=S3 B.S1+S2>S3
C.S1+S22.如圖,在 ABCD中,∠ADC的平分線交AB于點F,交CB的延長線于點E.
(1)求證:CE=AB;
(2)連接CF,若CF⊥DE,∠E=60°,AD=4,求 ABCD的面積.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力)如圖,在 ABCD中,AC=8,BD=12,AB=5,則△OCD的周長為( )
A.25 B.30 C.17 D.15
2.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,在 ABCD中,E為邊BC延長線上一點,連接AE,DE.若AD=2,CE=4,△ADE的面積為4,則 ABCD和△ABE的面積分別為( )
A.4,12 B.4,8
C.2,8 D.8,12
3.(4分·推理能力)如圖,在 ABCD中,AB=5 cm,BC=7 cm,對角線AC,BD相交于點O,則OA的長的取值范圍為 .
4.(4分·幾何直觀)如圖,在 ABCD中,AD=3,AB=5,∠ADB=90°,則平行四邊形ABCD的面積為 .

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