資源簡介

18.1.2　平行四邊形的判定
第1課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
1.經(jīng)歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程,體會類比思想及探究圖形判定的一般思路. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
2.掌握平行四邊形的四個判定定理,根據(jù)不同條件靈活選擇適當?shù)呐卸ǘɡ磉M行推理和論證. 推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識
基礎(chǔ)主干落實　　博觀約取 厚積薄發(fā)
新知要點 對點小練
平行四邊形的判定 邊兩組對邊分別 的四邊形 兩組對邊分別 的四邊形 一組對邊 的四邊形 角兩組對角分別 的四邊形 對角線對角線 的四邊形
如圖,在四邊形ABCD中,已知AD∥BC,添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( ) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.AD=BC B.AB∥DC C.AB=DC D.∠A=∠C
重點典例研析　　精鉆細研 學(xué)深悟透
【重點1】平行四邊形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P46例3·2023廣安中考)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為點E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【舉一反三】
如圖,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OB=OD,∠BAC=∠DCA,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【重點2】平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P47練習(xí)T2·2023杭州中考)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在對角線BD上,且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
(2)若△ABE的面積等于2,求△CFO的面積.
【舉一反三】
(2024·武漢中考)如圖,在 ABCD中,點E,F分別在邊BC,AD上,AF=CE.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)連接EF.請?zhí)砑右粋€與線段相關(guān)的條件,使四邊形ABEF是平行四邊形.(不需要說明理由)
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力)在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于O點,給出下列五組條件,能判定此四邊形是平行四邊形的有 組.( )
(1)AB=DC,AD∥BC;(2)AB=CD,AB∥CD;(3)AB∥CD,AD∥BC;(4)OA=OC,OB=OD; (5)AB=CD,AD=BC.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,點E是四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點,且AB∥DC,則添加下列選項中的條件,不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是( )
A.∠D=∠5 B.∠1=∠2
C.∠3=∠4 D.∠D=∠B
3.(4分·推理能力)如圖,已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上兩點,且BF=DE,若
∠AEB=100°,∠ADB=30°,則∠BCF= .
4.(8分·幾何直觀、推理能力)(2023·淄博中考)如圖,在 ABCD中,E,F分別是邊BC和AD上的點,連接AE,CF,且AE∥CF.求證:
(1)∠1=∠2;
(2)△ABE≌△CDF.18.1.2　平行四邊形的判定
第1課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
1.經(jīng)歷平行四邊形判定定理的猜想與證明過程,體會類比思想及探究圖形判定的一般思路. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
2.掌握平行四邊形的四個判定定理,根據(jù)不同條件靈活選擇適當?shù)呐卸ǘɡ磉M行推理和論證. 推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識
基礎(chǔ)主干落實　　博觀約取 厚積薄發(fā)
新知要點 對點小練
平行四邊形的判定 邊兩組對邊分別　平行　的四邊形 兩組對邊分別　相等　的四邊形 一組對邊　平行且相等　的四邊形 角兩組對角分別　相等　的四邊形 對角線對角線　互相平分　的四邊形
如圖,在四邊形ABCD中,已知AD∥BC,添加下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(C) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.AD=BC B.AB∥DC C.AB=DC D.∠A=∠C
重點典例研析　　精鉆細研 學(xué)深悟透
【重點1】平行四邊形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P46例3·2023廣安中考)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為點E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【自主解答】∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
∵AF=CE,AE=AF-EF,CF=CE-EF,
∴AE=CF,
又∵∠BAC=∠DCA,
∴△AEB≌△CFD(ASA),
∴AB=CD,
∵∠BAC=∠ACD,
∴AB∥CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
【舉一反三】
如圖,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OB=OD,∠BAC=∠DCA,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【證明】在△AOB與△COD中,
,
∴△AOB≌△COD(AAS),
∴OA=OC.
又∵OB=OD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
【重點2】平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P47練習(xí)T2·2023杭州中考)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在對角線BD上,且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
(2)若△ABE的面積等于2,求△CFO的面積.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵BE=FD,
∴OB-BE=OD-FD,
∴OE=OF,
又∵OA=OC,
∴四邊形AECF是平行四邊形.
(2)∵S△ABE=2,BE=EF,
∴S△AEF=S△ABE=2,
∵四邊形AECF是平行四邊形,
∴S△CFO=S△CEF=S△AEF=×2=1.
【舉一反三】
(2024·武漢中考)如圖,在 ABCD中,點E,F分別在邊BC,AD上,AF=CE.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)連接EF.請?zhí)砑右粋€與線段相關(guān)的條件,使四邊形ABEF是平行四邊形.(不需要說明理由)
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,
∴AD-AF=BC-CE,
∴DF=BE,
在△ABE與△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)添加BE=CE(答案不唯一),理由如下:
∵AF=CE,BE=CE,∴AF=BE,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴四邊形ABEF是平行四邊形.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力)在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于O點,給出下列五組條件,能判定此四邊形是平行四邊形的有　　　組.(D)
(1)AB=DC,AD∥BC;(2)AB=CD,AB∥CD;(3)AB∥CD,AD∥BC;(4)OA=OC,OB=OD; (5)AB=CD,AD=BC.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,點E是四邊形ABCD的邊BC延長線上的一點,且AB∥DC,則添加下列選項中的條件,不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是(B)
A.∠D=∠5 B.∠1=∠2
C.∠3=∠4 D.∠D=∠B
3.(4分·推理能力)如圖,已知AB=DC,AD=BC,E,F是DB上兩點,且BF=DE,若
∠AEB=100°,∠ADB=30°,則∠BCF=　70°　.
4.(8分·幾何直觀、推理能力)(2023·淄博中考)如圖,在 ABCD中,E,F分別是邊BC和AD上的點,連接AE,CF,且AE∥CF.求證:
(1)∠1=∠2;
(2)△ABE≌△CDF.
【證明】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AF∥EC,又∵AE∥CF,
∴四邊形AECF是平行四邊形,∴∠1=∠2.
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB=CD,AD=BC,
∵四邊形AECF是平行四邊形,
∴AE=FC,AF=CE,∴BE=FD,
在△ABE和△CDF中,∵,
∴△ABE≌△CDF(SSS).
訓(xùn)練升級,請使用　“課時過程性評價 十三”18.1.2　平行四邊形的判定
第2課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
探索并證明三角形的中位線定理,并能進行有關(guān)的計算和證明 推理能力、幾何直觀、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
三角形的中位線 1.定義:連接三角形兩邊　中點　的線段. 2.性質(zhì): (1)位置關(guān)系:　平行　于第三邊. (2)數(shù)量關(guān)系:等于第三邊的　一半　. 如圖,DE是△ABC的中位線,若DE=4,則BC的長為　8　;若∠B=50°,則 ∠ADE的度數(shù)為　50°　;若△ADE的周長為7,則△ABC的周長為　14　.
重點典例研析　　學(xué)貴有方 進而有道
【重點1】三角形的中位線(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·三角形中位線定理的拓展·2023株洲中考)
如圖所示,在△ABC 中,點D,E分別為AB,AC的中點,點H在線段CE上,連接BH,點G,F分別為BH,CH的中點.
(1)求證:四邊形DEFG為平行四邊形;
(2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求線段BG的長度.
【自主解答】(1)∵點D,E分別為AB,AC的中點,點G,F分別為BH,CH的中點,
∴DE∥BC,DE=BC,
GF∥BC,GF=BC,
∴DE∥GF,DE=GF,
∴四邊形DEFG為平行四邊形;
(2)∵四邊形DEFG為平行四邊形,
∴DG=EF=2,
∵DG⊥BH,
∴∠DGB=90°,
∴BG===,
即線段BG的長度為.
【舉一反三】
1.如圖,在△ABC中,D,E,F分別是AB,AC,BC的中點,若∠CFE=55°,則∠ADE的度數(shù)為(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.65° B.60° C.55° D.50°
2.如圖所示,李叔叔家有一塊等邊三角形形狀的空地ABC.已知D,E分別是AB,AC的中點,測得DE=10 m,李叔叔想把四邊形DBCE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞,則需要籬笆的長是　50　m.
【技法點撥】
　三角形中位線定理及應(yīng)用
(1)定理:有兩個含義,一個表示位置關(guān)系,一個表示數(shù)量關(guān)系.
(2)應(yīng)用:在三角形中已知兩邊的中點時,可考慮構(gòu)造三角形的中位線,根據(jù)三角形的中位線定理計算或證明.應(yīng)用這個定理時,有時需要平行關(guān)系,有時需要倍分關(guān)系,用哪個結(jié)論應(yīng)根據(jù)具體情況,靈活使用.
【重點2】三角形的中位線與角平分線的結(jié)合(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P49定理強化)在△ABC中,點D是AB的中點,CE平分∠ACB,AE⊥CE于點E.
(1)求證:DE∥BC;
(2)若AC=5,BC=7,求DE的長.
【自主解答】(1)延長AE交BC于F,
∵CE平分∠ACB,AE⊥CE于點E,
∴∠ACE=∠FCE,∠AEC=∠FEC=90°,
在△ACE和△FCE中,,
∴△ACE≌△FCE(ASA).
∴AE=EF,∵點D是AB的中點,∴AD=BD,∴DE是△ABF的中位線.∴DE∥BC;
(2)∵△ACE≌△FCE,
∴CF=AC=5,
∵DE是△ABF的中位線,
∴DE=BF=(BC-AC)=×(7-5)=1,
故DE的長為1.
【舉一反三】
1.如圖,EF是△ABC的中位線,BD平分∠ABC交EF于點D,若AE=3,DF=1,則邊BC的長為(B)
A.7 B.8 C.9 D.10
2.如圖,在△ABC中,AB=BC=10,BD平分∠ABC交AC于點D,點F在BC上,且BF=4,連接AF,E為AF的中點,連接DE,則DE的長為　3　.
【技法點撥】
　中位線與等腰三角形頂角平分線結(jié)合問題的一般解答模型
①通過等腰三角形的頂角平分線直接或間接得出底邊中線;
②利用中位線定理得出線段之間的數(shù)量關(guān)系.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力)點D,E,F分別為△ABC三邊的中點,若△DEF的周長為3,則△ABC的周長為(C)
A.12 B.9 C.6 D.1.5
2.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,在△ABC中,點D,E分別是AB,AC的中點,
∠B=50°,∠AED=60°,則∠A的度數(shù)為(C)
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.(4分·推理能力)(2023·鹽城中考)在△ABC中,D,E分別為邊AB,AC的中點,BC=
10 cm,則DE的長為　5　cm.
4.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,D是△ABC內(nèi)一點,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,
E,F,G,H分別是AB,BD,CD,AC的中點,求四邊形EFGH的周長.
【解析】∵BD⊥CD,BD=4,CD=3,
∴BC===5,
∵E,F,G,H分別是AB,BD,CD,AC的中點,
∴EH=FG=BC,EF=GH=AD,
∴四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC,又∵AD=7,
∴四邊形EFGH的周長=7+5=12.
訓(xùn)練升級,請使用　“課時過程性評價 十四”18.1.2　平行四邊形的判定
第2課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
探索并證明三角形的中位線定理,并能進行有關(guān)的計算和證明 推理能力、幾何直觀、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
三角形的中位線 1.定義:連接三角形兩邊 的線段. 2.性質(zhì): (1)位置關(guān)系: 于第三邊. (2)數(shù)量關(guān)系:等于第三邊的 . 如圖,DE是△ABC的中位線,若DE=4,則BC的長為 ;若∠B=50°,則 ∠ADE的度數(shù)為 ;若△ADE的周長為7,則△ABC的周長為 .
重點典例研析　　學(xué)貴有方 進而有道
【重點1】三角形的中位線(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·三角形中位線定理的拓展·2023株洲中考)
如圖所示,在△ABC 中,點D,E分別為AB,AC的中點,點H在線段CE上,連接BH,點G,F分別為BH,CH的中點.
(1)求證:四邊形DEFG為平行四邊形;
(2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求線段BG的長度.
【舉一反三】
1.如圖,在△ABC中,D,E,F分別是AB,AC,BC的中點,若∠CFE=55°,則∠ADE的度數(shù)為( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.65° B.60° C.55° D.50°
2.如圖所示,李叔叔家有一塊等邊三角形形狀的空地ABC.已知D,E分別是AB,AC的中點,測得DE=10 m,李叔叔想把四邊形DBCE用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞,則需要籬笆的長是 m.
【技法點撥】
　三角形中位線定理及應(yīng)用
(1)定理:有兩個含義,一個表示位置關(guān)系,一個表示數(shù)量關(guān)系.
(2)應(yīng)用:在三角形中已知兩邊的中點時,可考慮構(gòu)造三角形的中位線,根據(jù)三角形的中位線定理計算或證明.應(yīng)用這個定理時,有時需要平行關(guān)系,有時需要倍分關(guān)系,用哪個結(jié)論應(yīng)根據(jù)具體情況,靈活使用.
【重點2】三角形的中位線與角平分線的結(jié)合(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P49定理強化)在△ABC中,點D是AB的中點,CE平分∠ACB,AE⊥CE于點E.
(1)求證:DE∥BC;
(2)若AC=5,BC=7,求DE的長.
【舉一反三】
1.如圖,EF是△ABC的中位線,BD平分∠ABC交EF于點D,若AE=3,DF=1,則邊BC的長為( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.如圖,在△ABC中,AB=BC=10,BD平分∠ABC交AC于點D,點F在BC上,且BF=4,連接AF,E為AF的中點,連接DE,則DE的長為 .
【技法點撥】
　中位線與等腰三角形頂角平分線結(jié)合問題的一般解答模型
①通過等腰三角形的頂角平分線直接或間接得出底邊中線;
②利用中位線定理得出線段之間的數(shù)量關(guān)系.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力)點D,E,F分別為△ABC三邊的中點,若△DEF的周長為3,則△ABC的周長為( )
A.12 B.9 C.6 D.1.5
2.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,在△ABC中,點D,E分別是AB,AC的中點,
∠B=50°,∠AED=60°,則∠A的度數(shù)為( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
3.(4分·推理能力)(2023·鹽城中考)在△ABC中,D,E分別為邊AB,AC的中點,BC=
10 cm,則DE的長為 cm.
4.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,D是△ABC內(nèi)一點,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,
E,F,G,H分別是AB,BD,CD,AC的中點,求四邊形EFGH的周長.

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