資源簡介

18.2　特殊的平行四邊形
18.2.1　矩形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解矩形的概念,明確矩形與平行四邊形的區別與聯系;探索并證明矩形的性質,會用矩形性質解決相關問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
2.理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一重要結論. 推理能力、模型觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.矩形的定義及性質 (1)定義:有一個角是　直角　的平行四邊形. (2)性質:①具有平行四邊形的所有性質. ②角:四個角都是　直角　. ③對角線:對角線　相等　. 1.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O, (1)若∠ACB=70°,則∠AOB=　140°　. (2)若∠BAC=30°,BC=3,則BD=　6　.
2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 2.(2023·郴州中考)在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,BC=8,則AB邊上的中線CD=　5　.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
【重點1】矩形的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P53例1拓展)如圖,四邊形ABCD是矩形,對角線AC,BD相交于點O,BE∥AC交DC的延長線于點E.
(1)求證:BD=BE;
(2)若∠DBC=30°,BO=1,求四邊形ABED的面積.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD.
∵BE∥AC,
∴四邊形ABEC是平行四邊形.
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)∵在矩形ABCD中,BO=1,
∴BD=2BO=2×1=2,
∵∠DBC=30°,
∴∠BDC=90°-30°=60°,
∴△OCD是等邊三角形.
∴CD=OD=1.
∴AB=CD=1,DE=CD+CE=CD+AB=1+1=2.
在Rt△BCD中,BC===,
∴四邊形ABED的面積為(AB+DE)·BC=×(1+2)×=.
【舉一反三】
(2023·臺州中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在邊AD上取一點E,使BE=BC,過點C作CF⊥BE,垂足為點F,則BF的長為　2　.
【技法點撥】
矩形性質的三點應用
(1)證明線段平行、相等或倍分關系.
(2)證明角相等或求角的度數.
(3)解決與全等有關的問題.
【重點2】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P61T9拓展)
如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點N.點M是對角線BD的中點,連接AM,CM.已知AB=AC,AB⊥AC,∠BCD=90°,AM=CD.
(1)求證:△ABM ≌△ACM;
(2)若BC=4,求AN的長.
【自主解答】(1)∵點M是對角線BD的中點,
∴BM=DM,
∵∠BCD=90°,
∴BM=DM=CM,
又∵AB=AC,AM=AM,
∴△ABM ≌△ACM(SSS).
(2)如圖,延長AM交BC于E,
∵AB=AC,BM=CM,
∴AM垂直平分BC,
∴AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
又∵∠BCD=90°,
∴AM∥CD,
∵AM=CD,
∴四邊形AMCD是平行四邊形,
∴AN=AC,
∵AB⊥AC,AB=AC,
∴在Rt△ABC中,2AC2=BC2=42,
∴AC=2,
∴AN=×2=.
【舉一反三】
1.(2023·德陽中考)如圖,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,點F是AB邊的中點,則DF=(A)
A. B. C.2 D.1
2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點,∠B=30°,點E在BC上,且CE=AC,則∠CDE的大小為　75°　.
【技法點撥】
　直角三角形斜邊上中線的性質及其拓展
(1)性質:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D為BC的中點,則AD=BC.
(2)拓展:
①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)矩形是特殊的平行四邊形,下列性質中,矩形具有而平行四邊形不一定具有的是(D)
A.對邊平行 B.對邊相等
C.對角線互相平分 D.對角線相等
2.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點D與點C被湖隔開,若AC=0.9 km,BC=1.2 km,則D,C兩點間的距離為(B)
A.0.6 km　 B.0.75 km　 C.1 km　 D.1.5 km
3.(4分·推理能力)如圖,在矩形ABCD中,點O,M分別是AC,AD的中點,OM=3,OB=5,則AD的長為　8　.
4.(8分·幾何直觀、推理能力)(2024·陜西中考)如圖,四邊形ABCD是矩形,點E和點F在邊BC上,且BE=CF,求證:AF=DE.
【證明】∵四邊形ABCD為矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°,
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF.
即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,,
∴△ABF ≌△DCE(SAS),
∴AF=DE.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十五”18.2.1　矩形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
探索并證明矩形的判定,會用矩形判定解決相關問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
矩形的判定方法: (1)定義:有一個角是　直角　的平行四邊形. (2)三個角都是　直角　的四邊形. (3)對角線　相等　的平行四邊形. 　要判斷一個四邊形門框是否為矩形,在下面四個初擬的方案中,可行的是(D) A.測量對角線是否互相平分 B.測量兩組對邊是否相等 C.測量對角線是否相等 D.測量其中三個角是否為直角
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】矩形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P54例2拓展)
如圖,在 ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于點E,BF平分∠CBD,交CD于點F.
(1)求證:DE=BF;
(2)若AD=BD,求證:四邊形DEBF是矩形.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠ADB=∠CBD,
∵DE平分∠ADB,BF平分∠CBD,
∴∠EDB=∠ADB,∠DBF=∠CBD,
∴∠EDB=∠DBF,∴DE∥BF,
又∵AB∥CD,∴四邊形DEBF是平行四邊形.∴DE=BF.
(2)∵AD=BD,DE平分∠ADB,
∴DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
又∵四邊形DEBF是平行四邊形,
∴四邊形DEBF是矩形.
【舉一反三】
(2024·日照質檢)如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD交于點O,OB=OC,∠BAD的平分線AE交BC于點E.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AC=6,∠ACB=30°,求CE的長.
【解析】(1)∵在 ABCD中,對角線AC,BD交于點O,
∴OA=OC,OB=OD,
又∵OB=OC,
∴OA=OB=OC=OD,
∴AC=BD,
∴四邊形ABCD是矩形;
(2)∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BAD=90°,
又∵AC=6,∠ACB=30°,
∴AB=AC=3,BC===3,
∵∠BAD的平分線AE交BC于點E,
∴∠BAE=∠BAD=45°,∠BEA=180°-∠ABE-∠BAE=180°-90°-45°=45°,
∴∠BAE=∠BEA,∴BE=AB=3,
∴CE=BC-BE=3-3.
【重點2】矩形性質和判定的綜合應用
(幾何直觀、推理能力)
【典例2】
(2023·大慶中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,E為線段CD的中點,連接AC,AE,延長AE,BC交于點F,連接DF,∠ACF=90°.
(1)求證:四邊形ACFD是矩形;
(2)若CD=13,CF=5,求四邊形ABCE的面積.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠AFC,∠ADC=∠DCF,
∵E為線段CD的中點,
∴DE=CE,
∴△ADE ≌△FCE,
∴AE=EF,
∴四邊形ACFD是平行四邊形,
∵∠ACF=90°,
∴平行四邊形ACFD是矩形.
(2)過點E作EG⊥AC于點G,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,
∵四邊形ACFD是矩形,
∴AD=CF,∴AD=BC=CF=5,
∵CD=13,∴DF==12,
∴四邊形ABCE的面積等于S△ABC+S△AEC,
S△ABC=×AC×BC=×12×5=30,S△ACE=×AC×GE,
∵點E是對角線的中心,
∴GE=AD=,
∴S△ACE=×AC×GE=×12×=15,
∴四邊形ABCE的面積為30+15=45.
【舉一反三】
如圖, ABCD的對角線AC,BD交于點O,過點D作DE⊥BC于E,延長CB到點F,使BF=CE,連接AF,OF.
(1)求證:四邊形AFED是矩形.
(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°,試求OF的長.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC,∵BF=CE,
∴FE=BC,∴FE=AD,
∴四邊形AFED是平行四邊形,
∵DE⊥BC,∴∠DEF=90°,
∴四邊形AFED是矩形.
(2)由(1)得:∠AFE=90°,FE=AD,
∵AD=7,BE=2,
∴FE=7,
∴FB=FE-BE=5,
∴CE=BF=5,
∴FC=FE+CE=7+5=12,
∵∠ABF=45°,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴AF=FB=5,
在Rt△AFC中,由勾股定理得:AC===13,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OA=OC,
∴OF=AC=.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)(2024·瀘州中考)已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列條件中,不能判定 ABCD為矩形的是(D)
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
2.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,在 ABCD中,O是對角線AC,BD的交點,△ABO是等邊三角形,若AC=8,則平行四邊形ABCD的面積是(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.16 B.4 C.8 D.16
3.(4分·推理能力)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AC=6,若要使平行四邊形ABCD為矩形,則OB的長度應為　3　.
4.(8分·幾何直觀、推理能力)(2023·樂山中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D為AB邊上任意一點(不與點A,B重合),過點D作DE∥BC,DF∥AC,分別交AC,BC于點E,F,連接EF.
(1)求證:四邊形ECFD是矩形;
(2)若CF=2,CE=4,求點C到EF的距離.
【解析】(1)∵DE∥BC,DF∥AC,
∴四邊形ECFD為平行四邊形,
∵∠C=90°,
∴四邊形ECFD是矩形.
(2)∵∠C=90°,CF=2,CE=4,
∴EF==2,
設點C到EF的距離為h,
∵S△CEF=CE·CF=EF·h,
∴4×2=2h,
∴h=,
∴點C到EF的距離為.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十六”18.2　特殊的平行四邊形
18.2.1　矩形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解矩形的概念,明確矩形與平行四邊形的區別與聯系;探索并證明矩形的性質,會用矩形性質解決相關問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
2.理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一重要結論. 推理能力、模型觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.矩形的定義及性質 (1)定義:有一個角是 的平行四邊形. (2)性質:①具有平行四邊形的所有性質. ②角:四個角都是 . ③對角線:對角線 . 1.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O, (1)若∠ACB=70°,則∠AOB= . (2)若∠BAC=30°,BC=3,則BD= .
2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. 2.(2023·郴州中考)在△ABC中, ∠C=90°,AC=6,BC=8,則AB邊上的中線CD= .
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
【重點1】矩形的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P53例1拓展)如圖,四邊形ABCD是矩形,對角線AC,BD相交于點O,BE∥AC交DC的延長線于點E.
(1)求證:BD=BE;
(2)若∠DBC=30°,BO=1,求四邊形ABED的面積.
【舉一反三】
(2023·臺州中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在邊AD上取一點E,使BE=BC,過點C作CF⊥BE,垂足為點F,則BF的長為 .
【技法點撥】
矩形性質的三點應用
(1)證明線段平行、相等或倍分關系.
(2)證明角相等或求角的度數.
(3)解決與全等有關的問題.
【重點2】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P61T9拓展)
如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點N.點M是對角線BD的中點,連接AM,CM.已知AB=AC,AB⊥AC,∠BCD=90°,AM=CD.
(1)求證:△ABM ≌△ACM;
(2)若BC=4,求AN的長.
【舉一反三】
1.(2023·德陽中考)如圖,在△ABC中,∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC,點F是AB邊的中點,則DF=( )
A. B. C.2 D.1
2.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點,∠B=30°,點E在BC上,且CE=AC,則∠CDE的大小為 .
【技法點撥】
　直角三角形斜邊上中線的性質及其拓展
(1)性質:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,在Rt△BAC中,∠BAC=90°,D為BC的中點,則AD=BC.
(2)拓展:
①∠1=∠2,∠3=∠4;②∠ADB=2∠3=2∠4,∠ADC=2∠1=2∠2.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)矩形是特殊的平行四邊形,下列性質中,矩形具有而平行四邊形不一定具有的是( )
A.對邊平行 B.對邊相等
C.對角線互相平分 D.對角線相等
2.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中點D與點C被湖隔開,若AC=0.9 km,BC=1.2 km,則D,C兩點間的距離為( )
A.0.6 km　 B.0.75 km　 C.1 km　 D.1.5 km
3.(4分·推理能力)如圖,在矩形ABCD中,點O,M分別是AC,AD的中點,OM=3,OB=5,則AD的長為 .
4.(8分·幾何直觀、推理能力)(2024·陜西中考)如圖,四邊形ABCD是矩形,點E和點F在邊BC上,且BE=CF,求證:AF=DE.18.2.1　矩形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
探索并證明矩形的判定,會用矩形判定解決相關問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
矩形的判定方法: (1)定義:有一個角是 的平行四邊形. (2)三個角都是 的四邊形. (3)對角線 的平行四邊形. 　要判斷一個四邊形門框是否為矩形,在下面四個初擬的方案中,可行的是( ) A.測量對角線是否互相平分 B.測量兩組對邊是否相等 C.測量對角線是否相等 D.測量其中三個角是否為直角
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
【重點1】矩形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P54例2拓展)
如圖,在 ABCD中,DE平分∠ADB,交AB于點E,BF平分∠CBD,交CD于點F.
(1)求證:DE=BF;
(2)若AD=BD,求證:四邊形DEBF是矩形.
【舉一反三】
(2024·日照質檢)如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD交于點O,OB=OC,∠BAD的平分線AE交BC于點E.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AC=6,∠ACB=30°,求CE的長.
【重點2】矩形性質和判定的綜合應用
(幾何直觀、推理能力)
【典例2】
(2023·大慶中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,E為線段CD的中點,連接AC,AE,延長AE,BC交于點F,連接DF,∠ACF=90°.
(1)求證:四邊形ACFD是矩形;
(2)若CD=13,CF=5,求四邊形ABCE的面積.
【舉一反三】
如圖, ABCD的對角線AC,BD交于點O,過點D作DE⊥BC于E,延長CB到點F,使BF=CE,連接AF,OF.
(1)求證:四邊形AFED是矩形.
(2)若AD=7,BE=2,∠ABF=45°,試求OF的長.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)(2024·瀘州中考)已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列條件中,不能判定 ABCD為矩形的是( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
2.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,在 ABCD中,O是對角線AC,BD的交點,△ABO是等邊三角形,若AC=8,則平行四邊形ABCD的面積是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.16 B.4 C.8 D.16
3.(4分·推理能力)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,AC=6,若要使平行四邊形ABCD為矩形,則OB的長度應為 .
4.(8分·幾何直觀、推理能力)(2023·樂山中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點D為AB邊上任意一點(不與點A,B重合),過點D作DE∥BC,DF∥AC,分別交AC,BC于點E,F,連接EF.
(1)求證:四邊形ECFD是矩形;
(2)若CF=2,CE=4,求點C到EF的距離.

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