資源簡介

18.2.2　菱形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解菱形的概念,明確菱形和平行四邊形的區別和聯系. 抽象能力
2.探索并證明菱形的性質,會用菱形性質解決相關問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
3.掌握菱形的面積公式,會求菱形的面積. 幾何直觀、模型觀念
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.菱形的定義與性質: (1)定義:有一組 的平行四邊形. (2)性質:①具有平行四邊形所有的性質. ②邊: 都相等. ③對角線互相 ,并且每一條對角線 一組對角. ④是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,它的對角線所在的直線是它的對稱軸. 1.如圖,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一條對角線,則∠BDC的度數是 . (2)若∠A=120°,AB=3,則BD= ;AC= .
2.菱形面積: S菱形=底×高=兩條對角線乘積的一半 2.一個對角線長分別為6 cm和8 cm的菱形,這個菱形的面積為 .
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點2】菱形的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P56例3·2023嘉興中考)如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,連接EF.
(1)求證:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數.
【舉一反三】
1.(2024·福州期末)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過點D作DH⊥AB于點H,連接OH,若∠BAD=58°,則∠DHO的度數為 .
2.(2024·武漢期中)如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點O,DH⊥AB于點H,交AC于點E.
(1)若∠DAB=70°,求∠HDO的度數;
(2)若AO=6,點E是AO中點,求DH的長.
【技法點撥】
菱形的邊和對角線的應用
1.菱形“邊”的應用:菱形的四條邊相等,可以知一邊求菱形的周長,也可以求證線段相等.
2.菱形“對角線”的應用:菱形對角線互相垂直,可求證垂直(直角三角形等),可計算菱形的邊長、周長、對角線的長以及面積問題.
【重點2】菱形性質的實際應用(幾何直觀,推理能力)
【典例2】(教材再開發·P56例3拓展)如圖,四邊形ABCD是一個菱形綠草地,其周長為40 m,∠ABC=120°,在其內部有一個矩形花壇EFGH,其四個頂點恰好在菱形ABCD各邊的中點,現準備在花壇中種植茉莉花,其單價為30元/m2,則需投資資金多少元 (取1.732)
【舉一反三】
　如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構成的,根據實際需要可以調節A,E間的距離.若A,E間的距離調節到90 cm,菱形的邊長AB=30 cm,則∠DCB的度數是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.80° B.100° C.120° D.140°
【技法點撥】
利用菱形的性質解決問題的方法
利用菱形的性質,可解決實際問題中有關菱形邊角的計算(或證明線段、角的相等)問題.一
般是根據菱形的性質,將有關的邊、角的求解問題,轉化到三角形中(或證明三角形的全等),再利用學過的知識進行求解(或證出線段、角的相等),從而解決問題.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)下列性質中菱形不一定具有的性質是( )
A.對角線互相平分
B.對角線互相垂直
C.對角線相等
D.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
2.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,且AC=6,BD=8,過點A作AE⊥BC于點E,則AE長為( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.(4分·推理能力)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,點E在對角線BD上,且BE=BA,那么∠AEB的度數是 .
4.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,BE∥AC,AE∥BD,OE與AB交于點F.
(1)求證:四邊形AEBO為矩形;
(2)若OE=10,AC=16,求菱形ABCD的面積.18.2.2　菱形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
探索并證明菱形的判定定理,會用判定定理解決相關問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
菱形的判定方法: (1)定義:有一組 的平行四邊形. (2)邊: 都相等的四邊形. (3)對角線互相 的平行四邊形. 如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于點O.請添加一個條件: ,使四邊形ABCD成為菱形.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
【重點1】菱形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P68T12)(2023·懷化中考)如圖,在矩形ABCD中,過對角線BD的中點O作BD的垂線EF,分別交AD,BC于點E,F.
(1)證明:△BOF ≌△DOE;
(2)連接BE,DF,證明:四邊形EBFD是菱形.
【舉一反三】
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D為AB的中點,AE∥CD,CE∥AB,則四邊形ADCE的周長為 .
【技法點撥】
菱形的常用判定方法的選擇
已有條件 需要條件
平行四邊形 鄰邊相等
對角線互相垂直
每條對角線平分一組對角
一般四邊形 四條邊都相等
對角線互相垂直平分
對角線互相平分,且每一條對角線平分一組對角
【重點2】菱形性質和判定的綜合應用(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P67T5·2023隨州中考)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.
【舉一反三】
如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D為BC的中點,E為AD的中點.過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F,連接BF.
(1)求證:四邊形ADBF為菱形;
(2)若AB=8,菱形ADBF的面積為40,求AC的長.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)如圖,要使 ABCD成為菱形,需要添加的條件可以是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.∠BAC=90° D.AC=BD
2.(4分·運算能力、幾何直觀)(2023·西藏中考)如圖,兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起,已知∠ABC=60°,則陰影部分的面積是( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.3 C. D.6
3.(4分·推理能力)如圖,在等腰三角形ABC中,CB=CA,將其沿AB折疊使點C與點D重合,延長AB至點F,DB至點E,∠EBF=55°,則∠C的度數是 .
4.(8分·幾何直觀、推理能力)(2023·湘西中考)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,BM∥DN,且分別交對角線AC于點M,N,連接MD,BN.
(1)求證:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求證:四邊形BMDN是菱形.18.2.2　菱形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
探索并證明菱形的判定定理,會用判定定理解決相關問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
菱形的判定方法: (1)定義:有一組　鄰邊相等　的平行四邊形. (2)邊:　四條邊　都相等的四邊形. (3)對角線互相　垂直　的平行四邊形. 如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,AC⊥BD于點O.請添加一個條件:　AD∥BC(AB=CD或OB=OD或∠ADB=∠CBD等)　,使四邊形ABCD成為菱形.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
【重點1】菱形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P68T12)(2023·懷化中考)如圖,在矩形ABCD中,過對角線BD的中點O作BD的垂線EF,分別交AD,BC于點E,F.
(1)證明:△BOF ≌△DOE;
(2)連接BE,DF,證明:四邊形EBFD是菱形.
【自主解答】(1)如圖所示,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵O是BD的中點,
∴BO=DO,
在△BOF與△DOE中,,
∴△BOF ≌△DOE(AAS);
(2)∵△BOF ≌△DOE,∴ED=BF,
又∵ED∥BF,
∴四邊形EBFD是平行四邊形,
∵EF⊥BD,
∴四邊形EBFD是菱形.
【舉一反三】
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D為AB的中點,AE∥CD,CE∥AB,則四邊形ADCE的周長為　10　.
【技法點撥】
菱形的常用判定方法的選擇
已有條件 需要條件
平行四邊形 鄰邊相等
對角線互相垂直
每條對角線平分一組對角
一般四邊形 四條邊都相等
對角線互相垂直平分
對角線互相平分,且每一條對角線平分一組對角
【重點2】菱形性質和判定的綜合應用(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P67T5·2023隨州中考)如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若BC=3,DC=2,求四邊形OCED的面積.
【自主解答】(1)∵DE∥AC,CE∥BD,
∴四邊形OCED是平行四邊形,
∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD,OC=AC,OD=BD,∴OC=OD,
∴平行四邊形OCED是菱形;
(2)矩形ABCD的面積為BC·DC=3×2=6,∴△OCD的面積為×6=,
∴菱形OCED的面積為2×=3.
【舉一反三】
如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D為BC的中點,E為AD的中點.過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F,連接BF.
(1)求證:四邊形ADBF為菱形;
(2)若AB=8,菱形ADBF的面積為40,求AC的長.
【解析】(1)∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE,
∵E為AD的中點,
∴AE=DE,
∴△AFE ≌△DCE(AAS),
∴EF=EC,
∵D為BC的中點,
∴AD∥FB,
∵AF∥BC,
∴四邊形AFBD是平行四邊形,
∵∠BAC=90°,D是BC的中點,
∴AD=BD=BC,
∴四邊形ADBF是菱形;
(2)∵四邊形ADBF是菱形,
∴S菱形ADBF=2S△ABD,
∵點D是BC的中點,
∴S△ABC=2S△ABD,
∴S菱形ADBF=S△ABC=40,
∴AB·AC=40,
∴×8·AC=40,
∴AC=10,
∴AC的長為10.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)如圖,要使 ABCD成為菱形,需要添加的條件可以是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AB=AC B.AC⊥BD
C.∠BAC=90° D.AC=BD
2.(4分·運算能力、幾何直觀)(2023·西藏中考)如圖,兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起,已知∠ABC=60°,則陰影部分的面積是(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.3 C. D.6
3.(4分·推理能力)如圖,在等腰三角形ABC中,CB=CA,將其沿AB折疊使點C與點D重合,延長AB至點F,DB至點E,∠EBF=55°,則∠C的度數是　70°　.
4.(8分·幾何直觀、推理能力)(2023·湘西中考)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,BM∥DN,且分別交對角線AC于點M,N,連接MD,BN.
(1)求證:∠DMN=∠BNM;
(2)若∠BAC=∠DAC.求證:四邊形BMDN是菱形.
【解析】(1)連接BD,交AC于點O,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴OB=OD,
∵BM∥DN,
∴∠MBO=∠NDO,
又∠BOM=∠DON,
∴△BOM ≌△DON,
∴BM=DN,
∴四邊形BMDN為平行四邊形,
∴BN∥DM,
∴∠DMN=∠BNM;
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BC∥AD,
∴∠BCA=∠DAC,
∵∠BAC=∠DAC,
∴∠BAC=∠BCA,
∴AB=BC,
∴四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴MN⊥BD,
∴平行四邊形BMDN是菱形.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十八”18.2.2　菱形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解菱形的概念,明確菱形和平行四邊形的區別和聯系. 抽象能力
2.探索并證明菱形的性質,會用菱形性質解決相關問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
3.掌握菱形的面積公式,會求菱形的面積. 幾何直觀、模型觀念
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.菱形的定義與性質: (1)定義:有一組　鄰邊相等　的平行四邊形. (2)性質:①具有平行四邊形所有的性質. ②邊:　四條邊　都相等. ③對角線互相　垂直　,并且每一條對角線　平分　一組對角. ④是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,它的對角線所在的直線是它的對稱軸. 1.如圖,在菱形ABCD中, (1)∠A=100°,BD是菱形ABCD的一條對角線,則∠BDC的度數是　40°　. (2)若∠A=120°,AB=3,則BD=　3　;AC=　3　.
2.菱形面積: S菱形=底×高=兩條對角線乘積的一半 2.一個對角線長分別為6 cm和8 cm的菱形,這個菱形的面積為　24 cm2　.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
【重點2】菱形的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P56例3·2023嘉興中考)如圖,在菱形ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,連接EF.
(1)求證:AE=AF;
(2)若∠B=60°,求∠AEF的度數.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∠B=∠D,
又∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
在△AEB和△AFD中,
,
∴△ABE ≌△ADF(AAS),
∴AE=AF.
(2)∵四邊形ABCD是菱形,
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠B=60°,
∴∠BAD=120°.
又∵∠AEB=90°,∠B=60°,
∴∠BAE=30°.
由(1)知△ABE ≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF=30°,
∴∠EAF=120°-30°-30°=60°.
∵AE=AF,
∴△AEF是等邊三角形,
∴∠AEF=60°.
【舉一反三】
1.(2024·福州期末)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過點D作DH⊥AB于點H,連接OH,若∠BAD=58°,則∠DHO的度數為　29°　.
2.(2024·武漢期中)如圖,四邊形ABCD是菱形,對角線AC,BD相交于點O,DH⊥AB于點H,交AC于點E.
(1)若∠DAB=70°,求∠HDO的度數;
(2)若AO=6,點E是AO中點,求DH的長.
【解析】(1)∵四邊形ABCD為菱形,
∴AC⊥BD,∠DAC=∠BAC=∠DAB,
∵∠DAB=70°,∴∠BAO=∠BAD=35°,
又∵DH⊥AB,∠DHA=∠DOA=90°,
∴∠HDO+∠DOA=∠EAH+∠EHA,
∴∠HDO=∠HAO=35°;
(2)∵四邊形ABCD為菱形,
∴OA=OC,AC⊥BD,AB∥CD,
∵AO=6,點E是AO中點,
∴AE=OE=3,CE=9,
∵DH⊥AB,
∴∠DHA=∠HDC=90°=∠DOA,
在Rt△EDC中,由勾股定理得:DE2+CD2=EC2,
設DO=x,則:x2+9+x2+36=81,
∴x2=18,
∵x>0,
∴x=3,
∴BD=2DO=6,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:AB2=OA2+OB2=36+18=54,
∵AB>0,
∴AB=3,
又∵S菱形ABCD=AC×BD=AB×DH,
∴×12×6=3×DH,
∴DH=4.
【技法點撥】
菱形的邊和對角線的應用
1.菱形“邊”的應用:菱形的四條邊相等,可以知一邊求菱形的周長,也可以求證線段相等.
2.菱形“對角線”的應用:菱形對角線互相垂直,可求證垂直(直角三角形等),可計算菱形的邊長、周長、對角線的長以及面積問題.
【重點2】菱形性質的實際應用(幾何直觀,推理能力)
【典例2】(教材再開發·P56例3拓展)如圖,四邊形ABCD是一個菱形綠草地,其周長為40 m,∠ABC=120°,在其內部有一個矩形花壇EFGH,其四個頂點恰好在菱形ABCD各邊的中點,現準備在花壇中種植茉莉花,其單價為30元/m2,則需投資資金多少元 (取1.732)
【自主解答】連接BD,AC相交于點O,如圖,
∵四邊形ABCD是一個菱形,
∴AC⊥BD,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAD=60°,
∴△ABD為等邊三角形,
∵菱形的周長為40 m,
∴菱形的邊長為10 m,
∴BD=10 m,BO=5 m,
∴在Rt△AOB中,OA===5 m,
∴AC=2OA=10 m.
∵E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,∴EH=BD=5 m,EF=AC=5 m,∴S矩形=5×5=50(m2),
則需投資資金50×30≈1 500×1.732=2 598元.
【舉一反三】
　如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構成的,根據實際需要可以調節A,E間的距離.若A,E間的距離調節到90 cm,菱形的邊長AB=30 cm,則∠DCB的度數是(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.80° B.100° C.120° D.140°
【技法點撥】
利用菱形的性質解決問題的方法
利用菱形的性質,可解決實際問題中有關菱形邊角的計算(或證明線段、角的相等)問題.一
般是根據菱形的性質,將有關的邊、角的求解問題,轉化到三角形中(或證明三角形的全等),再利用學過的知識進行求解(或證出線段、角的相等),從而解決問題.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)下列性質中菱形不一定具有的性質是(C)
A.對角線互相平分
B.對角線互相垂直
C.對角線相等
D.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
2.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,且AC=6,BD=8,過點A作AE⊥BC于點E,則AE長為(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
3.(4分·推理能力)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,點E在對角線BD上,且BE=BA,那么∠AEB的度數是　70°　.
4.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,BE∥AC,AE∥BD,OE與AB交于點F.
(1)求證:四邊形AEBO為矩形;
(2)若OE=10,AC=16,求菱形ABCD的面積.
【解析】(1)∵BE∥AC,AE∥BD,
∴四邊形AEBO是平行四邊形.
又∵菱形ABCD對角線交于點O,
∴AC⊥BD,即∠AOB=90°,
∴四邊形AEBO是矩形.
(2)∵四邊形ABCD是菱形,
∴OA=AC=8,
∵OE=10,∠OAE=90°,
∴AE==6,
∴OB=6,
∴S△ABC=AC·OB=×16×6=48,
∴菱形ABCD的面積為2S△ABC=2×48=96.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十七”

展開更多......

收起↑