資源簡介

18.2.3　正方形
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達成
1.理解正方形的概念,明確正方形和菱形以及矩形的區(qū)別和聯(lián)系. 抽象能力
2.探索并證明正方形的性質(zhì)和判定,會用其解決相關(guān)問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點
1.正方形的性質(zhì)
(1)四個角都是 ;
(2)四條邊都 ;
(3)對角線 且 ,每一條對角線平分一組對角;
(4)是軸對稱圖形,有四條對稱軸,兩條對角線及對邊中點的連線所在的直線是它的對稱軸.
對點小練
1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性質(zhì)是( )
A.對角線互相平分 B.對角線相等
C.對角線互相垂直 D.對角線平分一組對角
(2)如圖,在正方形ABCD中,
①若對角線的長為2,則其面積為 .
②若點E是對角線AC上一點,且AE=AB,則∠EBA的度數(shù)是 .
新知要點
2.正方形的判定
對點小練
2.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,再添加一個條件,使得四邊形ABCD是正方形,這個條件可以是 (寫出一個條件即可).
重點典例研析　　學(xué)貴有方 進而有道
重點1 正方形的性質(zhì)(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P68T8·2023黃石中考)如圖,正方形ABCD中,點M,N分別在AB,BC上,且BM=CN,AN與DM相交于點P.
(1)求證:△ABN≌△DAM;
(2)求∠APM的大小.
【舉一反三】
1.(2023·河北中考)如圖,在Rt△ABC中,AB=4,點M是斜邊BC的中點,以AM為邊作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,則S△ABC=( )
A.4 B.8 C.12 D.16
2.(2024·北京期中)如圖,點P是正方形ABCD的對角線BD上一點,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分別為點E,F,連接AP,EF,若AP=2,則EF= .
【技法點撥】
正方形性質(zhì)應(yīng)用的分析方法
已知條件 分析思路
已知只有正方形時 從正方形的邊、角入手分析:分析哪些邊相等,哪個內(nèi)角等于90°
已知中出現(xiàn)正方形的“對角線”時 從正方形的對角線性質(zhì)入手分析: ①對角線互相垂直、互相平分,相等,特別注意每條對角線平分一組內(nèi)角. ②對角線所在的直線是正方形的對稱軸
重點2 正方形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P68T10拓展)如圖,四邊形AECF是菱形,對角線AC,EF交于點O,點D,B是對角線EF所在直線上兩點,且DE=BF,連接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)若四邊形ABCD的面積為72,BF=4,求菱形AECF的面積.
【舉一反三】
1.下列說法正確的是( )
A.對角線相等的菱形是正方形
B.有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形
C.有一個角是直角的平行四邊形是正方形
D.各邊都相等的四邊形是正方形
2.(2024·十堰期中)如圖,直角梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,BC=CD,DG∥BC交BA的延長線于點G,E是BC邊上一點,將△CDE沿DE折疊,C點恰好落在AE上的F處.
(1)求證:四邊形BCDG為正方形;
(2)若AB=6,CE=4,求CD的長.
【技法點撥】
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是( )
A.對角線平分一組對角
B.對角線相等
C.對角線互相垂直平分
D.四條邊相等
2.(4分·推理能力)(2023·威海中考)如圖,在正方形ABCD中,分別以點A,B為圓心,以AB的長為半徑畫弧,兩弧交于點E,連接DE,則∠CDE= °.
3.(4分·推理能力)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,MD⊥AC于點D,ME⊥BC于點E,連接MC,DE.若不增加任何字母與輔助線,使四邊形MECD是正方形,則還需添加一個條件是 .
4.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,正方形ABCD的邊長為4,連接對角線AC,點E為BC邊上一點,∠EAF=45°且AE=AF,FM⊥AC.
(1)求證:BE=FM;
(2)求BE的長度.18.2.3　正方形
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達成
1.理解正方形的概念,明確正方形和菱形以及矩形的區(qū)別和聯(lián)系. 抽象能力
2.探索并證明正方形的性質(zhì)和判定,會用其解決相關(guān)問題. 推理能力、幾何直觀、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點
1.正方形的性質(zhì)
(1)四個角都是　直角　;
(2)四條邊都　相等　;
(3)對角線　相等　且　互相垂直平分　,每一條對角線平分一組對角;
(4)是軸對稱圖形,有四條對稱軸,兩條對角線及對邊中點的連線所在的直線是它的對稱軸.
對點小練
1.(1)正方形、矩形、菱形都具有的性質(zhì)是(A)
A.對角線互相平分 B.對角線相等
C.對角線互相垂直 D.對角線平分一組對角
(2)如圖,在正方形ABCD中,
①若對角線的長為2,則其面積為　4　.
②若點E是對角線AC上一點,且AE=AB,則∠EBA的度數(shù)是　67.5°　.
新知要點
2.正方形的判定
對點小練
2.如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,再添加一個條件,使得四邊形ABCD是正方形,這個條件可以是　AB=AD(答案不唯一)　(寫出一個條件即可).
重點典例研析　　學(xué)貴有方 進而有道
重點1 正方形的性質(zhì)(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P68T8·2023黃石中考)如圖,正方形ABCD中,點M,N分別在AB,BC上,且BM=CN,AN與DM相交于點P.
(1)求證:△ABN≌△DAM;
(2)求∠APM的大小.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90°,
∵BM=CN,
∴BC-CN=AB-BM,即BN=AM,
在△ABN和△DAM中,
∴△ABN≌△DAM(SAS);
(2)由(1)知△ABN≌△DAM,
∴∠MAP=∠ADM,
∴∠MAP+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°,
∴∠APM=180°-(∠MAP+∠AMP)=90°.
【舉一反三】
1.(2023·河北中考)如圖,在Rt△ABC中,AB=4,點M是斜邊BC的中點,以AM為邊作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,則S△ABC=(B)
A.4 B.8 C.12 D.16
2.(2024·北京期中)如圖,點P是正方形ABCD的對角線BD上一點,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分別為點E,F,連接AP,EF,若AP=2,則EF=　2　.
【技法點撥】
正方形性質(zhì)應(yīng)用的分析方法
已知條件 分析思路
已知只有正方形時 從正方形的邊、角入手分析:分析哪些邊相等,哪個內(nèi)角等于90°
已知中出現(xiàn)正方形的“對角線”時 從正方形的對角線性質(zhì)入手分析: ①對角線互相垂直、互相平分,相等,特別注意每條對角線平分一組內(nèi)角. ②對角線所在的直線是正方形的對稱軸
重點2 正方形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P68T10拓展)如圖,四邊形AECF是菱形,對角線AC,EF交于點O,點D,B是對角線EF所在直線上兩點,且DE=BF,連接AD,AB,CD,CB,∠ADO=45°.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)若四邊形ABCD的面積為72,BF=4,求菱形AECF的面積.
【自主解答】(1)∵菱形AECF的對角線AC和EF交于點O,
∴AC⊥EF,OA=OC,OE=OF,
∵DE=BF,
∴OE+DE=OF+BF,∴BO=DO.
又∵AC⊥BD,
∴四邊形ABCD是菱形,
∵∠ADO=45°,
∴∠DAO=∠ADO=45°,
∴AO=DO,∴AC=BD,
∴菱形ABCD是正方形;
(2)∵正方形ABCD的面積為72,
∴AC·BD=72,
∴×4BO2=72,
∴BO=DO=CO=AO=6,
∴AC=12,∵BF=4,∴OF=2,
∵四邊形AECF是菱形,
∴EF=2EO=2OF=4,AC⊥EF,
∴S菱形AECF=AC·EF=24.
【舉一反三】
1.下列說法正確的是(A)
A.對角線相等的菱形是正方形
B.有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形
C.有一個角是直角的平行四邊形是正方形
D.各邊都相等的四邊形是正方形
2.(2024·十堰期中)如圖,直角梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,BC=CD,DG∥BC交BA的延長線于點G,E是BC邊上一點,將△CDE沿DE折疊,C點恰好落在AE上的F處.
(1)求證:四邊形BCDG為正方形;
(2)若AB=6,CE=4,求CD的長.
【解析】(1)∵DG∥BC,∠C=90°,
∴∠GDC=90°,
又∠B=90°,
∴四邊形BCDG為矩形,
又BC=CD,
∴四邊形BCDG為正方形;
(2)由折疊得,∠DFA=∠DFE=∠C=90°,DC=DF,FE=CE=4,
∵四邊形BCDG為正方形,
∴DG=DC,∠DGA=90°,
∴DG=DF,
∴Rt△DGA≌Rt△DFA,
∴GA=FA,
設(shè)正方形BCDG的邊長為a,則GA=FA=a-6,
∵EF=EC=4,
∴BE=a-4,AE=AF+EF=a-6+4=a-2,
在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+BE2=AE2,
∴62+(a-4)2=(a-2)2,
解得a=12,
∴CD的長為12.
【技法點撥】
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念)正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是(B)
A.對角線平分一組對角
B.對角線相等
C.對角線互相垂直平分
D.四條邊相等
2.(4分·推理能力)(2023·威海中考)如圖,在正方形ABCD中,分別以點A,B為圓心,以AB的長為半徑畫弧,兩弧交于點E,連接DE,則∠CDE=　15　°.
3.(4分·推理能力)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,MD⊥AC于點D,ME⊥BC于點E,連接MC,DE.若不增加任何字母與輔助線,使四邊形MECD是正方形,則還需添加一個條件是　CE=CD(答案不唯一)　.
4.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,正方形ABCD的邊長為4,連接對角線AC,點E為BC邊上一點,∠EAF=45°且AE=AF,FM⊥AC.
(1)求證:BE=FM;
(2)求BE的長度.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是正方形,∠EAF=45°,∴∠CAB=∠CAE+∠EAB=45°,∠EAF=∠CAE+∠FAM=45°,
∴∠EAB=∠FAM,
∵FM⊥AC,∴∠ABE=∠AMF=90°,
∴在△ABE和△AMF中,
,
∴△ABE≌△AMF(AAS),
∴BE=FM;
(2)∵在正方形ABCD中,邊長為4,FM⊥AC,
∴AC===4,∠DCA=45°,∠MFC=180°-90°-45°=45°=∠DCA,
∴FM=CM,
又∵△ABE≌△AMF,
∴AM=AB=4,BE=FM=CM,
∴CM=AC-AM=4-4,
∴BE=4-4.

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