資源簡介

19.1　函數
19.1.1　變量與函數
課時學習目標 素養目標達成
1.識別簡單實際問題中的常量、變量及其意義,找出變量之間的數量關系及變化規律 抽象能力
2.能用適當的函數表示方法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系,會求自變量的取值范圍,理解函數值的意義 抽象能力、運算能力、模型觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.變量與常量(在一個變化過程中) (1)變量:數值 的量. (2)常量:數值 的量. 1.球的體積是V,半徑為R,則V=πR3,其中變量和常量分別是( ) A.變量是V,R;常量是,π　 B.變量是R,π;常量是 C.變量是V,R,π;常量是 D.變量是V,R3;常量是π
2.函數的概念 在一個變化過程中,有兩個變量(數值變化的量)x與y,對于x的每一個確定的值,y都有 的值與其對應,則x是自變量,y是x的函數. 2.下列關系式中,y不是x的函數的是( ) A.y=±(x≥0)　 B.x+y=10 C.y=|x| D.xy=1
3.與函數相關的概念 (1)自變量取值:①使函數關系式有意義; ②符合問題的實際意義. (2)函數值:當x=a時y=b,那么b叫做當自變量的值為a時的函數值. (3)解析式:用來表示 與 之間關系的關于 的數學式子. 3.(1)函數y=中自變量x的取值范圍是( ) A.x≥1　　　　 B.x≠2 C.x>1或x≠2 D.x≥1且x≠2 (2)在一定條件下,若物體運動路程s(米)與時間t(秒)的關系式為s=5t2+2t,則當t=4時,該物體所經過的路程為 .
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 變量與常量(抽象能力)
【典例1】(教材再開發·P71練習拓展)小亮爸爸到加油站加油,如圖是所用的加油機上的數據顯示牌,金額隨著數量的變化而變化.則下列判斷正確的是( )
A.金額是自變量　　　 B.單價是自變量
C.7.76和31是常量 D.金額是數量的函數
【舉一反三】
如圖,把兩根木條AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木條AC自由轉動至AC'位置.在轉動過程中,下面的量是常量的為( )
A.∠BAC的度數 B.BC的長度
C.△ABC的面積 D.AC的長度
【技法點撥】
確定常量、變量的“一個標準”
在同一個問題中,一個量的取值是否發生變化,是判斷常量、變量的唯一標準.如果發生變化,該量為變量,不發生變化的量為常量.
重點2 自變量的取值范圍(運算能力)
【典例2】(教材再開發·P74例1 強化)
求下列函數的自變量x的取值范圍.
(1)y=;
(2)y=x-3+;
(3)y=+.
【舉一反三】
1.下列函數中,自變量x的取值范圍是x>1的函數是( )
A.y=2 B.y=
C.y=x-1 D.y=
2.若代數式+(x-π)0有意義,則變量x的取值范圍是 .
【技法點撥】
確定自變量取值范圍的三種常見情況
(1)函數解析式是整式,自變量的取值范圍是任意實數.
(2)函數解析式中有分式(或負指數冪),滿足分母(或底數)不等于0.
(3)函數解析式中有二次根式,滿足被開方數大于等于0.
特別提醒:實際問題中的函數解析式要使實際問題有意義或符合題目的要求.
重點3 函數與函數值(抽象能力、模型觀念)
【典例3】(教材再開發·P74練習T1 拓展)
長方形的一邊長是16,其鄰邊長為x,周長是y,面積為S.
(1)寫出y和x之間的關系式;
(2)寫出S和x之間的關系式;
(3)當S=160時,x等于多少 y等于多少
(4)當x增加2時,y增加多少 S增加多少
【舉一反三】
如圖,直線a∥b,直線c與直線a,b分別交于點A,B,當直線b繞點B旋轉時,∠1的大小會發生變化,直線a為保證與b平行,相應的∠2的大小也會發生變化.
(1)設∠1=x°,∠2=y°,求y與x之間的關系式.
(2)當x=70時,求y的值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·抽象能力)一個長方形的面積是10 cm2,其長是a cm,寬是b cm,下列判斷錯誤的是( )
A.10是常量 B.10是變量
C.b是變量 D.a是變量
2.(4分·抽象能力)把一個長為5,寬為3的長方形的寬增加x(0≤x<2),長不變,所得長方形的面積y關于x的函數解析式為( )
A.y=5x+15 B.y=x-15
C.y=5x D.y=3x+15
3.(4分·推理能力)(2024·齊齊哈爾中考)在函數y=+中,自變量x的取值范圍是 .
4.(8分·抽象能力、模型觀念)如圖,AB=3,P是線段AB上的一點,分別以AP,BP為邊作正方形.
(1)設AP=x,求出兩個正方形的面積之和S與x之間的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)當x=時,求S的值.19.1　函數
19.1.1　變量與函數
課時學習目標 素養目標達成
1.識別簡單實際問題中的常量、變量及其意義,找出變量之間的數量關系及變化規律 抽象能力
2.能用適當的函數表示方法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系,會求自變量的取值范圍,理解函數值的意義 抽象能力、運算能力、模型觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.變量與常量(在一個變化過程中) (1)變量:數值　發生變化　的量. (2)常量:數值　始終不變　的量. 1.球的體積是V,半徑為R,則V=πR3,其中變量和常量分別是(A) A.變量是V,R;常量是,π　 B.變量是R,π;常量是 C.變量是V,R,π;常量是 D.變量是V,R3;常量是π
2.函數的概念 在一個變化過程中,有兩個變量(數值變化的量)x與y,對于x的每一個確定的值,y都有　　唯一確定　的值與其對應,則x是自變量,y是x的函數. 2.下列關系式中,y不是x的函數的是(A) A.y=±(x≥0)　 B.x+y=10 C.y=|x| D.xy=1
3.與函數相關的概念 (1)自變量取值:①使函數關系式有意義; ②符合問題的實際意義. (2)函數值:當x=a時y=b,那么b叫做當自變量的值為a時的函數值. (3)解析式:用來表示　函數　與　自變量　之間關系的關于　自變量　的數學式子. 3.(1)函數y=中自變量x的取值范圍是(D) A.x≥1　　　　 B.x≠2 C.x>1或x≠2 D.x≥1且x≠2 (2)在一定條件下,若物體運動路程s(米)與時間t(秒)的關系式為s=5t2+2t,則當t=4時,該物體所經過的路程為　88米　.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 變量與常量(抽象能力)
【典例1】(教材再開發·P71練習拓展)小亮爸爸到加油站加油,如圖是所用的加油機上的數據顯示牌,金額隨著數量的變化而變化.則下列判斷正確的是(D)
A.金額是自變量　　　 B.單價是自變量
C.7.76和31是常量 D.金額是數量的函數
【舉一反三】
如圖,把兩根木條AB和AC的一端A用螺栓固定在一起,木條AC自由轉動至AC'位置.在轉動過程中,下面的量是常量的為(D)
A.∠BAC的度數 B.BC的長度
C.△ABC的面積 D.AC的長度
【技法點撥】
確定常量、變量的“一個標準”
在同一個問題中,一個量的取值是否發生變化,是判斷常量、變量的唯一標準.如果發生變化,該量為變量,不發生變化的量為常量.
重點2 自變量的取值范圍(運算能力)
【典例2】(教材再開發·P74例1 強化)
求下列函數的自變量x的取值范圍.
(1)y=;
(2)y=x-3+;
(3)y=+.
【自主解答】(1)由題意,得3x-1≠0,解得x≠;
(2)由題意,得|x|-1≠0,解得x≠±1;
(3)由題意,得1-x≥0且x+2>0,解得-2【舉一反三】
1.下列函數中,自變量x的取值范圍是x>1的函數是(B)
A.y=2 B.y=
C.y=x-1 D.y=
2.若代數式+(x-π)0有意義,則變量x的取值范圍是　x≥-5且x≠2 023且x≠π　.
【技法點撥】
確定自變量取值范圍的三種常見情況
(1)函數解析式是整式,自變量的取值范圍是任意實數.
(2)函數解析式中有分式(或負指數冪),滿足分母(或底數)不等于0.
(3)函數解析式中有二次根式,滿足被開方數大于等于0.
特別提醒:實際問題中的函數解析式要使實際問題有意義或符合題目的要求.
重點3 函數與函數值(抽象能力、模型觀念)
【典例3】(教材再開發·P74練習T1 拓展)
長方形的一邊長是16,其鄰邊長為x,周長是y,面積為S.
(1)寫出y和x之間的關系式;
(2)寫出S和x之間的關系式;
(3)當S=160時,x等于多少 y等于多少
(4)當x增加2時,y增加多少 S增加多少
【自主解答】(1)由長方形的周長公式,
得y=2(x+16)=2x+32;
(2)由長方形的面積公式,得S=16x;
(3)當S=160時,即16x=160,∴x=10,
當x=10時,y=2×10+32=52.∴當S=160時,x=10,y=52;
(4)當x1=a時,S1=16a,y1=2a+32,
當x2=a+2時,S2=16a+32,y2=2a+36,
∴y2-y1=4,S2-S1=32,
∴當x增加2時,y增加4,S增加32.
【舉一反三】
如圖,直線a∥b,直線c與直線a,b分別交于點A,B,當直線b繞點B旋轉時,∠1的大小會發生變化,直線a為保證與b平行,相應的∠2的大小也會發生變化.
(1)設∠1=x°,∠2=y°,求y與x之間的關系式.
(2)當x=70時,求y的值.
【解析】(1)∵直線a∥b,∴∠1+∠BAC+∠2=180°,∵∠BAC=90°,
∴∠1+∠2=180°-90°=90°,即:x+y=90,∴y=90-x.
答:y與x之間的關系式為:y=90-x.
(2)當x=70時,y=90-70=20,
答:當x=70時,y的值為20.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·抽象能力)一個長方形的面積是10 cm2,其長是a cm,寬是b cm,下列判斷錯誤的是(B)
A.10是常量 B.10是變量
C.b是變量 D.a是變量
2.(4分·抽象能力)把一個長為5,寬為3的長方形的寬增加x(0≤x<2),長不變,所得長方形的面積y關于x的函數解析式為(A)
A.y=5x+15 B.y=x-15
C.y=5x D.y=3x+15
3.(4分·推理能力)(2024·齊齊哈爾中考)在函數y=+中,自變量x的取值范圍是　x>-3且x≠-2　.
4.(8分·抽象能力、模型觀念)如圖,AB=3,P是線段AB上的一點,分別以AP,BP為邊作正方形.
(1)設AP=x,求出兩個正方形的面積之和S與x之間的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(2)當x=時,求S的值.
【解析】(1)∵AP=x,AB=3,
∴BP=AB-AP=3-x,
∴S=x2+(3-x)2
=x2+9-6x+x2
=2x2-6x+9,
∴S=2x2-6x+9(0(2)當x=時,S=2×()2-6×+9
=2×-9+9
=.

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