資源簡介

19.2.2　一次函數
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能夠判斷兩個變量是否構成一次函數關系,結合具體情境理解一次函數的概念 抽象能力、模型觀念
2.能結合實際問題中的數量關系寫出一次函數的解析式 抽象能力、應用意識
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
一次函數的概念 一般地,形如 (k,b是常數,k≠0)的函數,叫做一次函數,其中k叫做比例系數. 特別地,當 時,y=kx(k≠0)是正比例函數. 1.下列函數中,y是x的一次函數的是( ) A.y=2x2-3 B.y=-3x C.y=3 D.y2=x 2.若y=mx|m+1|-2是關于x的一次函數,則m的值為 .
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 一次函數的概念(模型觀念、抽象能力)
【典例1】(教材再開發·P90練習T1拓展)
已知函數y=(m-2)x3-|m|+m+7.
(1)當m為何值時,y是x的一次函數
(2)若函數是一次函數,則x為何值時,y的值為3
【舉一反三】
1.(2024·棗莊期末)函數①y=kx+b;②y=2x;③y=-;④y=x+3;⑤y=x2-2x+1.是一次函數的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.(2024·西安期中)已知函數y=(m+2)+m-2是一次函數,求m的值.
【技法點撥】
判斷一次函數的三點注意
(1)關于自變量的代數式必須為整式.
(2)自變量的最高次數是一次,一次項系數不等于0.
(3)正比例函數也是一次函數.
重點2 根據實際問題列一次函數解析式(抽象能力)
【典例2】(教材再開發·P89問題2 強化)某市出租車車費標準如下:3 km以內(含3 km)收費8元;超過3 km的部分每千米收費6元.
(1)寫出應收費y(元)與出租車行駛路程x(km)之間的關系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租車行駛4 km,應付車費多少元
(3)小波付車費16元,那么出租車行駛了多少千米
【舉一反三】
小華周末約同學一起開車到離家100千米的景點旅游,出發前,汽車油箱內儲油35升,當行駛80千米時,發現油箱剩余油量為25升(假設行駛過程中汽車的耗油量是均勻的).
(1)求該車平均每千米的耗油量,并寫出剩余油量Q(升)與行駛路程x(千米)之間的關系式;
(2)當x=60時,求剩余油量Q的值;
(3)當油箱中剩余油量低于3升時,汽車將自動報警,如果往返途中不加油,他們能否在汽車報警前回到家 請說明理由.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·抽象能力)下列函數:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1.其中是一次函數的個數為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(3分·推理能力)若函數y=(m-1)+3是一次函數,則m的值為( )
A.-1 B.1 C.0 D.-1或1
3.(4分·抽象能力)已知函數y=3x-6,當x=0時,y= ;當y=0時,x= .
4.(4分·推理能力)已知函數y=(m+7)x5m-9+m為一次函數,此時函數的解析式為 .
5.(6分·應用意識、運算能力)一盤蚊香長105 cm,燃燒時每小時縮短10 cm.
(1)請寫出點燃后蚊香的長y(cm)與蚊香燃燒時間t(h)之間的函數關系式;
(2)該蚊香可燃燒多長時間 19.2.2　一次函數
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會用待定系數法求一次函數解析式,能明確一次函數與幾何變換的關系 抽象能力、推理能力
2.能用所學的函數知識解決現實生活中的問題,會構建函數“模型” 模型觀念、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.一次函數與幾何變換 1.將直線y=2x-1向右平移2個單位長度,所得直線的解析式為( ) A.y=2x+1 B.y=2x-2 C.y=2x-3 D.y=2x-5
2.待定系數法:先設出函數 ,再根據條件確定解析式中 ,從而得出函數解析式的方法. 2.一次函數y=kx+b的圖象經過(1,1), (2,-4),則k與b的值為( ) A. B. C. D.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 待定系數法求一次函數解析式(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P93 例4 拓展)如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=2x+8的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,在y軸上取一點C,且AC=BC.
(1)求點C的坐標.
(2)D為AB上的一點,且橫坐標為-2,在x軸上找一點P,使得PD+PC的值最小,求出此時點P的坐標.
【舉一反三】
如圖,直線y=kx+6與x軸,y軸分別交于點E、點F,點E的坐標為(-8,0).
(1)求k的值;
(2)已知點A(-6,0),若點P(x,y)是直線上第二象限內的一個動點,試寫出△OPA的面積S關于x的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)探究:在(2)的條件下,當點P運動到什么位置時,△OPA的面積為 并說明理由.
【技法點撥】
求一次函數解析式的四個步驟
(1)設:設函數解析式為y=kx+b(k≠0).
(2)代:將已知點的坐標或x,y的對應值代入所設解析式中,得到關于系數k,b的方程組.
(3)解:解方程組求得系數k,b的值.
(4)寫:將k,b的值代入所設解析式中,寫出解析式.
重點2 應用一次函數解決實際問題(模型觀念、應用能力)
【典例2】(教材再開發·P95“思考” 拓展)某公司組織10輛汽車裝運蘋果、蘆柑、香梨三種水果共60噸去外地銷售,要求10輛汽車全部裝滿,每輛汽車只能裝運同一種水果,且裝運每種水果的車輛都不少于2輛,根據表格提供的信息,解決以下問題:
項目 蘋果 蘆柑 香梨
每輛汽車載貨量(噸) 7 6 5
每噸水果獲利(萬元) 0.15 0.2 0.1
(1)設裝運蘋果的車輛為x輛,裝運蘆柑的車輛為y輛,求y與x之間的函數關系式,并直接寫出x的取值范圍.
(2)用w來表示銷售獲得的利潤,那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲利最大 并求出w的最大值.
【舉一反三】
如圖是小明“探究拉力F與斜面高度h關系”的實驗裝置,A,B是水平面上兩個固定的點,用彈簧測力計拉著適當大小的木塊分別沿傾斜程度不同的斜面BC(斜面足夠長)斜向上做勻速直線運動,實驗結果如圖1、圖2所示.經測算,在彈性范圍內,沿斜面的拉力F(N)是高度h(cm)的一次函數.
(1)求出F與h之間的函數解析式;(不需要寫出自變量的取值范圍)
(2)若彈簧測力計的最大量程是6 N,求裝置高度h的取值范圍.
【技法點撥】
待定系數法在實際問題中的兩種類型
(1)當問題已明確所求解的函數是一次函數時,便可用待定系數法.
(2)若函數的圖象是線段(或直線),所求的函數就是一次函數,而且用待定系數法解答時,只需在線段(或直線)上找出兩個已知點即可.
易錯提醒:實際問題要注意自變量的取值范圍.反映在函數圖象上一般是射線或者線段,而不是直線.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)如果一次函數y=kx+b的圖象經過點(2,-1)和(0,3),那么此一次函數的解析式為( )
A.y=-2x+3 B.y=-3x+2
C.y=3x-2 D.y=x-3
2.(3分·抽象能力)如圖,將8個邊長均為1的小正方形擺放在平面直角坐標系中,直線l經過小正方形的頂點A,B,則直線l的函數解析式為( )
A.y=x+1 B.y=x+1
C.y=x+1 D.y=x+1
3.(4分·應用意識)(2024·上海中考)某種商品的銷售量y(萬元)與廣告投入x(萬元)成一次函數關系,當投入10萬元時銷售量為1 000萬元,當投入90萬元時銷售量為5 000萬元,則投入80萬元時,銷售量為 萬元.
4.(4分·推理能力、抽象能力)已知△ABC的頂點坐標分別為A(-5,0),B(3,0),C(0,3),當過點C的直線l將△ABC分成面積相等的兩部分時,直線l所表示的函數解析式為 .
5.(6分·抽象能力、推理能力、應用意識、模型觀念)如圖,在平面直角坐標系中(O為坐標原點),點A(-2,0)、點B(0,-1),點C的坐標是(0,2).
(1)求直線AB的函數解析式.
(2)設點D(m,0)為x軸上一點,且S△ABC=S△ABD,求點D的坐標.19.2.2　一次函數
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握一次函數的圖象及其性質 推理能力、抽象能力
2.能用“兩點法”畫一次函數的圖象 幾何直觀
3.結合圖象,理解直線y=kx+b(k,b是常數,k≠0)中常數k和b的取值對直線位置的影響 幾何直觀、推理能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.一次函數的圖象 (1)形狀:一條經過(0, )和( ,0)的直線. (2)與y=kx(k≠0)圖象的關系: 一次函數y=kx+b(k,b是常數,k≠0)的圖象可以由直線y=kx(k≠0)平移 個單位長度得到(當b>0時,向 平移;當b<0時,向 平移) 1.一次函數y=-x+2的圖象大致是( ) 2.函數y=-x向下平移1個單位長度后的解析式為 .
2.一次函數的性質 當k>0時,y的值隨x值的增大而 ; 當k<0時,y的值隨x值的增大而 . 3.一次函數y=-x-2的圖象不經過的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2024·自貢中考)一次函數y=(3m+1)x-2的值隨x的增大而增大,請寫出一個滿足條件的m的值: .
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1 一次函數的圖象(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P91例2拓展)已知一次函數y=x-4的圖象與x軸、y軸分別交于點A,B,請解答下列問題:
(1)點A的坐標為 ,點B的坐標為 ;
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出一次函數y=x-4的圖象;
(3)點(6,-4) 該函數圖象上;(填“在”或“不在”)
(4)求原點到此函數圖象的距離.
【舉一反三】
1.已知關于x的一次函數為y=mx+4m-2,下列說法中錯誤的是( )
A.函數圖象與y軸交于點(0,-2)
B.若m=,則函數圖象經過第一、三、四象限
C.若函數圖象經過原點,則m=
D.無論m為何實數,函數圖象總經過(-4,-2)
2.將直線y=2x向上平移6個單位長度后,該直線與坐標軸圍成的三角形的面積是 .
重點2 一次函數的性質(抽象能力、推理能力)
【典例2】已知一次函數y=(3-2m)x-m+2,
(1)當m為何值時,該函數圖象經過原點;
(2)若該函數圖象與y軸交點在x軸上方,求m的取值范圍;
(3)若該函數圖象經過第一、二、四象限,求m的取值范圍.
【舉一反三】
已知一次函數y=(a2+1)x-3(a為常數,且a≠0)的圖象過P(x1,y1),Q(x2,y2),若x1>x2,則y1 y2.(填“>”或“<”)
【技法點撥】
一次函數的圖象與性質
直線y=kx+b(k≠0)的位置由k和b的符號決定.其中k決定直線從左向右上升還是下降;b決定直線與y軸的交點的位置是正半軸、負半軸還是原點.k,b一起決定直線y=kx+b(k≠0)經過的象限.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、推理能力)滿足k>0,b=3的一次函數y=kx+b的圖象大致是( )
2.(3分·推理能力)已知A(-1,a),B(2,b)兩點都在關于x的一次函數y=-x+m的圖象上,則a,b的大小關系為( )
A.a≥b B.a>b
C.a3.(3分·推理能力)一次函數y=-x+2的圖象與x軸、y軸分別交于A,B兩點,則AB長為( )
A. B.2 C.2 D.4
4.(5分·推理能力、抽象能力)若直線y=mx+1向上平移3個單位長度后經過點P(2,3),則m值為 .
5.(6分·抽象能力、推理能力)已知一次函數y=(m+2)x+(m-4).
(1)當m在什么范圍時,y隨x的增大而減小
(2)當m為何值時,函數圖象經過原點
(3)當m在什么范圍時,函數圖象與y軸的交點在x軸的下方 19.2.2　一次函數
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能夠判斷兩個變量是否構成一次函數關系,結合具體情境理解一次函數的概念 抽象能力、模型觀念
2.能結合實際問題中的數量關系寫出一次函數的解析式 抽象能力、應用意識
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
一次函數的概念 一般地,形如　y=kx+b　(k,b是常數,k≠0)的函數,叫做一次函數,其中k叫做比例系數. 特別地,當　b=0　時,y=kx(k≠0)是正比例函數. 1.下列函數中,y是x的一次函數的是(B) A.y=2x2-3 B.y=-3x C.y=3 D.y2=x 2.若y=mx|m+1|-2是關于x的一次函數,則m的值為　-2　.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 一次函數的概念(模型觀念、抽象能力)
【典例1】(教材再開發·P90練習T1拓展)
已知函數y=(m-2)x3-|m|+m+7.
(1)當m為何值時,y是x的一次函數
(2)若函數是一次函數,則x為何值時,y的值為3
【自主解答】(1)由y=(m-2)x3-|m|+m+7是一次函數,
得,解得m=-2.
故當m=-2時,y=(m-2)x3-|m|+m+7是一次函數;
(2)當y=3時,3=-4x+5,解得x=,
故當x=時,y的值為3.
【舉一反三】
1.(2024·棗莊期末)函數①y=kx+b;②y=2x;③y=-;④y=x+3;⑤y=x2-2x+1.是一次函數的有(B)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.(2024·西安期中)已知函數y=(m+2)+m-2是一次函數,求m的值.
【解析】∵函數y=(m+2)+m-2是一次函數,
∴,
解得m=2.
【技法點撥】
判斷一次函數的三點注意
(1)關于自變量的代數式必須為整式.
(2)自變量的最高次數是一次,一次項系數不等于0.
(3)正比例函數也是一次函數.
重點2 根據實際問題列一次函數解析式(抽象能力)
【典例2】(教材再開發·P89問題2 強化)某市出租車車費標準如下:3 km以內(含3 km)收費8元;超過3 km的部分每千米收費6元.
(1)寫出應收費y(元)與出租車行駛路程x(km)之間的關系式(其中x≥3);
(2)小亮乘出租車行駛4 km,應付車費多少元
(3)小波付車費16元,那么出租車行駛了多少千米
【自主解答】(1)當x≥3時,y=8+6(x-3)=6x-10;
(2)當x=4時,y=6×4-10=14,
∴小亮乘出租車行駛4 km,應付車費14元;
(3)令y=16,則6x-10=16,∴x=,
∴小波付車費16元,出租車行駛了千米.
【舉一反三】
小華周末約同學一起開車到離家100千米的景點旅游,出發前,汽車油箱內儲油35升,當行駛80千米時,發現油箱剩余油量為25升(假設行駛過程中汽車的耗油量是均勻的).
(1)求該車平均每千米的耗油量,并寫出剩余油量Q(升)與行駛路程x(千米)之間的關系式;
(2)當x=60時,求剩余油量Q的值;
(3)當油箱中剩余油量低于3升時,汽車將自動報警,如果往返途中不加油,他們能否在汽車報警前回到家 請說明理由.
【解析】(1)該汽車平均每千米的耗油量為(35-25)÷80=0.125(升),
∴行駛路程x(千米)與剩余油量Q(升)的關系式為Q=35-0.125x;
(2)當x=60時,Q=35-0.125×60=27.5(升),
答:當x=60時,剩余油量Q的值為27.5升;
(3)他們能在汽車報警前回到家,
(35-3)÷0.125=256(千米),
由256>200知他們能在汽車報警前回到家.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·抽象能力)下列函數:①y=x;②y=;③y=;④y=x2+1.其中是一次函數的個數為(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(3分·推理能力)若函數y=(m-1)+3是一次函數,則m的值為(A)
A.-1 B.1 C.0 D.-1或1
3.(4分·抽象能力)已知函數y=3x-6,當x=0時,y=　-6　;當y=0時,x=　2　.
4.(4分·推理能力)已知函數y=(m+7)x5m-9+m為一次函數,此時函數的解析式為　y=9x+2　.
5.(6分·應用意識、運算能力)一盤蚊香長105 cm,燃燒時每小時縮短10 cm.
(1)請寫出點燃后蚊香的長y(cm)與蚊香燃燒時間t(h)之間的函數關系式;
(2)該蚊香可燃燒多長時間
【解析】(1)∵蚊香的長等于蚊香的原長減去燃燒的長度,
∴y=105-10t;
(2)∵蚊香燃盡的時候蚊香的長度y=0,
∴105-10t=0,
解得t=10.5,
∴該蚊香可燃燒10.5小時.19.2.2　一次函數
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握一次函數的圖象及其性質 推理能力、抽象能力
2.能用“兩點法”畫一次函數的圖象 幾何直觀
3.結合圖象,理解直線y=kx+b(k,b是常數,k≠0)中常數k和b的取值對直線位置的影響 幾何直觀、推理能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.一次函數的圖象 (1)形狀:一條經過(0,　b　)和(　-　,0)的直線. (2)與y=kx(k≠0)圖象的關系: 一次函數y=kx+b(k,b是常數,k≠0)的圖象可以由直線y=kx(k≠0)平移　|b|　個單位長度得到(當b>0時,向　上　平移;當b<0時,向　下　平移) 1.一次函數y=-x+2的圖象大致是(C) 2.函數y=-x向下平移1個單位長度后的解析式為　y=-x-1　.
2.一次函數的性質 當k>0時,y的值隨x值的增大而　增大　; 當k<0時,y的值隨x值的增大而　減小　. 3.一次函數y=-x-2的圖象不經過的象限是(A) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(2024·自貢中考)一次函數y=(3m+1)x-2的值隨x的增大而增大,請寫出一個滿足條件的m的值:　1(答案不唯一)　.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1 一次函數的圖象(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P91例2拓展)已知一次函數y=x-4的圖象與x軸、y軸分別交于點A,B,請解答下列問題:
(1)點A的坐標為 　　　　,點B的坐標為 　　　　;
(2)在給定的平面直角坐標系中畫出一次函數y=x-4的圖象;
(3)點(6,-4)　　　　該函數圖象上;(填“在”或“不在”)
(4)求原點到此函數圖象的距離.
【自主解答】(1)令y=0,則x=3,令x=0,則y=-4,
所以點A的坐標為(3,0),點B的坐標為(0,-4);
答案:(3,0)　(0,-4)
(2)如圖:
(3)當x=6時,y=×6=8≠-4,
∴點(6,-4)不在該函數圖象上;
答案:不在
(4)設原點到此函數圖象的距離為h,
AB===5,
S△AOB=×OA×OB=×3×4=6,
S△AOB=×AB×h=×5×h=h,
∵6=h,∴h=2.4.
【舉一反三】
1.已知關于x的一次函數為y=mx+4m-2,下列說法中錯誤的是(A)
A.函數圖象與y軸交于點(0,-2)
B.若m=,則函數圖象經過第一、三、四象限
C.若函數圖象經過原點,則m=
D.無論m為何實數,函數圖象總經過(-4,-2)
2.將直線y=2x向上平移6個單位長度后,該直線與坐標軸圍成的三角形的面積是　9　.
重點2 一次函數的性質(抽象能力、推理能力)
【典例2】已知一次函數y=(3-2m)x-m+2,
(1)當m為何值時,該函數圖象經過原點;
(2)若該函數圖象與y軸交點在x軸上方,求m的取值范圍;
(3)若該函數圖象經過第一、二、四象限,求m的取值范圍.
【自主解答】(1)∵一次函數y=(3-2m)x-m+2的圖象經過原點,
∴-m+2=0,解得m=2.當m=2時,3-2×2=-1≠0,
∴當m=2時,該函數圖象經過原點;
(2)∵一次函數y=(3-2m)x-m+2的圖象與y軸交點在x軸上方,
∴,
解得:m<2且m≠.
∴若該函數圖象與y軸交點在x軸上方,則m的取值范圍為m<2且m≠;
(3)∵一次函數y=(3-2m)x-m+2的圖象經過第一、二、四象限,
∴,解得∴若該函數圖象經過第一、二、四象限,則m的取值范圍為【舉一反三】
已知一次函數y=(a2+1)x-3(a為常數,且a≠0)的圖象過P(x1,y1),Q(x2,y2),若x1>x2,則y1　>　y2.(填“>”或“<”)
【技法點撥】
一次函數的圖象與性質
直線y=kx+b(k≠0)的位置由k和b的符號決定.其中k決定直線從左向右上升還是下降;b決定直線與y軸的交點的位置是正半軸、負半軸還是原點.k,b一起決定直線y=kx+b(k≠0)經過的象限.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、推理能力)滿足k>0,b=3的一次函數y=kx+b的圖象大致是(A)
2.(3分·推理能力)已知A(-1,a),B(2,b)兩點都在關于x的一次函數y=-x+m的圖象上,則a,b的大小關系為(B)
A.a≥b B.a>b
C.a3.(3分·推理能力)一次函數y=-x+2的圖象與x軸、y軸分別交于A,B兩點,則AB長為(C)
A. B.2 C.2 D.4
4.(5分·推理能力、抽象能力)若直線y=mx+1向上平移3個單位長度后經過點P(2,3),則m值為　-　.
5.(6分·抽象能力、推理能力)已知一次函數y=(m+2)x+(m-4).
(1)當m在什么范圍時,y隨x的增大而減小
(2)當m為何值時,函數圖象經過原點
(3)當m在什么范圍時,函數圖象與y軸的交點在x軸的下方
【解析】(1)m+2<0,解得m<-2,
∴當m<-2時,y隨x的增大而減小;
(2)m-4=0,解得m=4,
∴當m=4時,一次函數圖象經過原點;
(3)m-4<0,且m+2≠0,
解得m<4且m≠-2,
∴當m<4且m≠-2時,一次函數圖象與y軸的交點在x軸的下方.19.2.2　一次函數
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會用待定系數法求一次函數解析式,能明確一次函數與幾何變換的關系 抽象能力、推理能力
2.能用所學的函數知識解決現實生活中的問題,會構建函數“模型” 模型觀念、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.一次函數與幾何變換 1.將直線y=2x-1向右平移2個單位長度,所得直線的解析式為(D) A.y=2x+1 B.y=2x-2 C.y=2x-3 D.y=2x-5
2.待定系數法:先設出函數　解析式　,再根據條件確定解析式中　未知的系數　,從而得出函數解析式的方法. 2.一次函數y=kx+b的圖象經過(1,1), (2,-4),則k與b的值為(C) A. B. C. D.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 待定系數法求一次函數解析式(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P93 例4 拓展)如圖,在平面直角坐標系中,一次函數y=2x+8的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,在y軸上取一點C,且AC=BC.
(1)求點C的坐標.
(2)D為AB上的一點,且橫坐標為-2,在x軸上找一點P,使得PD+PC的值最小,求出此時點P的坐標.
【自主解答】(1)當x=0時,y=8,∴B(0,8),
當y=0時,2x+8=0,解得x=-4,∴A(-4,0),
設C(0,t),則OC=t,AC=BC=8-t,
在Rt△OAC中,42+t2=(8-t)2,解得t=3,∴C(0,3).
(2)如圖,作點C關于x軸的對稱點E,連接DE,交x軸于點P,
∴PC=PE,∴PC+PD=PE+PD=DE,∴此時PC+PD的值最小.
∵當x=-2時,y=2x+8=4,∴D(-2,4).
∵點E與C(0,3)關于x軸對稱,∴E(0,-3).
設直線DE的解析式為y=kx+b,
把E(0,-3),D(-2,4)分別代入,得,解得,
∴直線DE的解析式為y=-x-3.
當y=0時,-x-3=0,解得:x=-,
∴點P的坐標為(-,0).
【舉一反三】
如圖,直線y=kx+6與x軸,y軸分別交于點E、點F,點E的坐標為(-8,0).
(1)求k的值;
(2)已知點A(-6,0),若點P(x,y)是直線上第二象限內的一個動點,試寫出△OPA的面積S關于x的函數解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)探究:在(2)的條件下,當點P運動到什么位置時,△OPA的面積為 并說明理由.
【解析】(1)∵點E(-8,0)在直線y=kx+6上,∴0=-8k+6,
∴k=.
(2)∵k=,∴直線的解析式為y=x+6,
∵P點在y=x+6上,設P(x,x+6),∴△OPA以OA為底的邊上的高是|x+6|,
當點P在第二象限時, |x+6|=x+6,∵點A的坐標為(-6,0),∴OA=6.
∴S=×6×(x+6)=x+18.∵P點在第二象限,∴-8(3)設點P坐標為(m,n)時,其面積S=,則·|n|·6=,
解得|n|=,則n=,n=-(舍棄),當n=時,=m+6,則m=-5,
故P(-5,),所以點P的坐標為(-5,)時,△OPA的面積為.
【技法點撥】
求一次函數解析式的四個步驟
(1)設:設函數解析式為y=kx+b(k≠0).
(2)代:將已知點的坐標或x,y的對應值代入所設解析式中,得到關于系數k,b的方程組.
(3)解:解方程組求得系數k,b的值.
(4)寫:將k,b的值代入所設解析式中,寫出解析式.
重點2 應用一次函數解決實際問題(模型觀念、應用能力)
【典例2】(教材再開發·P95“思考” 拓展)某公司組織10輛汽車裝運蘋果、蘆柑、香梨三種水果共60噸去外地銷售,要求10輛汽車全部裝滿,每輛汽車只能裝運同一種水果,且裝運每種水果的車輛都不少于2輛,根據表格提供的信息,解決以下問題:
項目 蘋果 蘆柑 香梨
每輛汽車載貨量(噸) 7 6 5
每噸水果獲利(萬元) 0.15 0.2 0.1
(1)設裝運蘋果的車輛為x輛,裝運蘆柑的車輛為y輛,求y與x之間的函數關系式,并直接寫出x的取值范圍.
(2)用w來表示銷售獲得的利潤,那么怎樣安排車輛能使此次銷售獲利最大 并求出w的最大值.
【自主解答】(1)已知裝運蘋果的車輛為x輛,裝運蘆柑的車輛為y輛,則裝運香梨的車輛為(10-x-y)輛.
7x+6y+5(10-x-y)=60,
∴y=-2x+10(2≤x≤4);
(2)w=7×0.15x+6×0.2(-2x+10)+5×0.1[10-x-(-2x+10)],
即w=-0.85x+12,
∵-0.85<0,∴w隨x的增大而減小,
∴當x=2時,w有最大值10.3萬元,
∴裝運蘋果的車輛2輛,裝運蘆柑的車輛6輛,裝運香梨的車輛2輛時,此次銷售獲利最大,最大利潤為10.3萬元.
【舉一反三】
如圖是小明“探究拉力F與斜面高度h關系”的實驗裝置,A,B是水平面上兩個固定的點,用彈簧測力計拉著適當大小的木塊分別沿傾斜程度不同的斜面BC(斜面足夠長)斜向上做勻速直線運動,實驗結果如圖1、圖2所示.經測算,在彈性范圍內,沿斜面的拉力F(N)是高度h(cm)的一次函數.
(1)求出F與h之間的函數解析式;(不需要寫出自變量的取值范圍)
(2)若彈簧測力計的最大量程是6 N,求裝置高度h的取值范圍.
【解析】(1)設F與h之間的函數解析式為F=kh+b(k,b為常數,且k≠0).
將h=11,F=2.1和h=21,F=3.1代入F=kh+b,
得,解得,
∴F與h之間的函數解析式為F=h+1.
(2)∵F≤6,即h+1≤6,解得h≤50,
∴裝置高度h的取值范圍是0【技法點撥】
待定系數法在實際問題中的兩種類型
(1)當問題已明確所求解的函數是一次函數時,便可用待定系數法.
(2)若函數的圖象是線段(或直線),所求的函數就是一次函數,而且用待定系數法解答時,只需在線段(或直線)上找出兩個已知點即可.
易錯提醒:實際問題要注意自變量的取值范圍.反映在函數圖象上一般是射線或者線段,而不是直線.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)如果一次函數y=kx+b的圖象經過點(2,-1)和(0,3),那么此一次函數的解析式為(A)
A.y=-2x+3 B.y=-3x+2
C.y=3x-2 D.y=x-3
2.(3分·抽象能力)如圖,將8個邊長均為1的小正方形擺放在平面直角坐標系中,直線l經過小正方形的頂點A,B,則直線l的函數解析式為(A)
A.y=x+1 B.y=x+1
C.y=x+1 D.y=x+1
3.(4分·應用意識)(2024·上海中考)某種商品的銷售量y(萬元)與廣告投入x(萬元)成一次函數關系,當投入10萬元時銷售量為1 000萬元,當投入90萬元時銷售量為5 000萬元,則投入80萬元時,銷售量為　4 500　萬元.
4.(4分·推理能力、抽象能力)已知△ABC的頂點坐標分別為A(-5,0),B(3,0),C(0,3),當過點C的直線l將△ABC分成面積相等的兩部分時,直線l所表示的函數解析式為　y=3x+3　.
5.(6分·抽象能力、推理能力、應用意識、模型觀念)如圖,在平面直角坐標系中(O為坐標原點),點A(-2,0)、點B(0,-1),點C的坐標是(0,2).
(1)求直線AB的函數解析式.
(2)設點D(m,0)為x軸上一點,且S△ABC=S△ABD,求點D的坐標.
【解析】(1)設直線AB的函數解析式為y=kx+b(k≠0),
把點A(-2,0)、點B(0,-1)代入得,解得,
∴直線AB的解析式為y=-x-1;
(2)S△ABC=×[2-(-1)]×2=3,
∵S△ABC=S△ABD,∴S△ABD=2S△ABC=2×3=6,
∴|m-(-2)|×1=6,解得m=10或m=-14,
∴點D的坐標為(10,0)或(-14,0).

展開更多......

收起↑