資源簡介

16.1　二次根式
第2課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
經(jīng)歷探索二次根式兩個(gè)性質(zhì)的過程,并能進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和化簡. 運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺 起于累土
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.二次根式的性質(zhì)1 ()2=　a　(a≥0) 1.計(jì)算:(1)=　5　. (2)=　18　.
2.二次根式的性質(zhì)2 =　a　(a≥0) 2.計(jì)算:(1)= 　.　 (2)=　7　.
3.拓展性質(zhì) =|a|= 3.若=3-b,則b的取值范圍是(B) A.b<3 B.b≤3 C.b>3 D.b≥3
重點(diǎn)典例研析　　循道而行 方能致遠(yuǎn)
重點(diǎn)1 利用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算(運(yùn)算能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P4例3拓展)
計(jì)算:(1)+;
(2)-;
(3)+-2 0170-.
【自主解答】(1)+=2+2=4;
(2)原式=45-3=42;
(3)原式=2+2-1-3=0.
【舉一反三】
1.下列各式中,成立的是(D)
A.=- B.-=5
C.=x D.=9
2.計(jì)算:(-)2+= +3　.
3.計(jì)算:(1)++|-|.
(2)+-.
【解析】(1)原式=-2+=-1.
(2)原式=9-3-6=0.
【技法點(diǎn)撥】
利用二次根式進(jìn)行計(jì)算的兩個(gè)“注意”
1.注意用的是哪個(gè)性質(zhì);
2.注意計(jì)算的順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣.
重點(diǎn)2 利用()2=a(a≥0)分解因式(模型觀念、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P5T4拓展)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1)9a4-4b4;
(2)x2-2x+3.
【自主解答】(1)原式=(3a2+2b2)(3a2-2b2)
=(3a2+2b2)(a+b)(a-b);
(2)原式=(x-)2.
【舉一反三】
1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:3x2-9=　3(x+)(x-)　.
2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:-9x4+16.
【解析】-9x4+16=16-9x4=(4+3x2)(4-3x2)=(4+3x2)(2+x)(2-x).
【技法點(diǎn)撥】
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的策略
(1)如果含有4次冪及以上的偶次冪,一般為多級分解;
(2)對于一般有理數(shù)a(a≥0)的變形,一般要用到a=;
(3)注意關(guān)鍵詞“實(shí)數(shù)范圍”內(nèi),謹(jǐn)防分解不徹底.
重點(diǎn)3 利用=|a|化簡(模型觀念、運(yùn)算能力)
【典例3】(教材再開發(fā)·P4性質(zhì)拓展)
我們知道=|a|是二次根式的一條重要性質(zhì).請利用該性質(zhì)解答以下問題:
(1)化簡:=　　　,=　　　;
(2)若=2-x,則x的取值范圍為　　　　;
(3)已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示,化簡:-|c-a|+.
【自主解答】(1)=|-7|=7,=|3-π|=π-3.
答案:7　π-3
(2)∵=|x-2|=2-x,∴x-2≤0,∴x≤2.
答案:x≤2
(3)由題中數(shù)軸得:a0,b-c<0,
∴-|c-a|+=-a-(c-a)+(c-b)=-a-c+a+c-b=-b.
【舉一反三】
如圖,則化簡|a-1|-的結(jié)果為　1-2a　.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運(yùn)算能力)下列計(jì)算結(jié)果中,正確的是(B)
A.=2 B.=2
C.=2 D.=2
2.(4分·運(yùn)算能力)下列計(jì)算結(jié)果中,正確的是(C)
A.=±3 B.=-3
C.=3 D.-=3
3.(4分·模型觀念、運(yùn)算能力)實(shí)數(shù)x,y在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡的結(jié)果是　y-x　.
4.(8分·運(yùn)算能力)計(jì)算:
(1);
(2)6;
(3)-4;
(4)-22+(-2)2++.
【解析】(1)=(-2)2×=12.
(2)6=6=6×=7.
(3)-4=-4
=-4×=-2.
(4)-22+(-2)2++
=-4+4+3+3
=6.16.1　二次根式
第1課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.理解二次根式的定義及有關(guān)概念. 抽象能力
2.理解二次根式的雙重非負(fù)性,能夠利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算. 抽象能力、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.二次根式的定義 形如 (a≥0)　的式子. 1.下列各式中,不是二次根式的是(B) A. B. C. D.
2.二次根式的雙重非負(fù)性 a≥0,≥0 2.(1)如果二次根式有意義,那么x的取值范圍是　x≥3　. (2)已知y=+-3,則x=　6　,y=　-3　.
重點(diǎn)典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點(diǎn)1 二次根式的概念(抽象能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發(fā)·P2二次根式定義拓展)
下列各式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
,,,(x>0),,,-,,(x≥0,y≥0),.
【自主解答】二次根式需要具備兩個(gè)條件:一是形式如“”;二是所含被開方數(shù)(式)是非負(fù)數(shù).可知,(x>0),,-,(x≥0,y≥0),是二次根式.其中,的根指數(shù)分別為3,4,不是二次根式;,是分式,不是二次根式;因?yàn)閤2+4x+4=(x+2)2≥0,所以是二次根式.
【舉一反三】
1.下列各式中,一定是二次根式的是(C)
A. B. C. D.
2.下列式子:①;②;③;④;⑤.是二次根式的有
?、佗邰荨?(填序號)
【技法點(diǎn)撥】
二次根式的特征
(1)含根號且根指數(shù)為2(通常省略不寫);
(2)被開方數(shù)(式)為非負(fù)數(shù).
重點(diǎn)2 二次根式有意義的條件(推理能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發(fā)·P2例1拓展)
求使下列各式有意義的所有x的取值范圍:
(1);(2)-;(3);(4).
【自主解答】(1)由題意得3-2x≥0,解得x≤;
(2)由題意得,解得x≥;
(3)由題意得,解得x≥-1且x≠2;
(4)∵x2+2x+2=x2+2x+1+1=(x+1)2+1,又∵(x+1)2≥0,∴(x+1)2+1≥1,
∵要使有意義,則x2+2x+2≥0,
∴x為任意實(shí)數(shù)時(shí),都有意義,
∴x的取值范圍為任意實(shí)數(shù).
【舉一反三】
若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)+有意義,則a的取值范圍是　a≤1且a≠-　.
重點(diǎn)3 二次根式的非負(fù)性(推理能力、模型觀念)
【典例3】(教材再開發(fā)·P3二次根式性質(zhì)拓展)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A,B,且a,b滿足+=0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
(1)求a,b的值;
(2)求△ABC的面積.
【自主解答】(1)∵+=0,
∴a+2=0,b-4=0,
∴a=-2,b=4;
(2)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-2,0),(4,0),
∴S△ABC=AB·OC=×6×3=9.
【舉一反三】
若+(y-2 025)2=0,則xy=　-1　.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)下列各式中,一定是二次根式的是(A)
A.(a≥0) B.
C. D.
2.(3分·模型觀念)(2023·江西中考)若有意義,則a的值可以是(D)
A.-1 B.0 C.2 D.6
3.(4分·模型觀念、運(yùn)算能力)若實(shí)數(shù)a,b滿足+2=b+4,則a-b=　9　.
4.(4分·模型觀念)(2023·永州中考)已知x為正整數(shù),寫出一個(gè)使在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)沒有意義的x值是　1(或2)　.
5.(6分·模型觀念、運(yùn)算能力)已知二次根式.
(1)求x的取值范圍;
(2)求當(dāng)x=-2時(shí),二次根式的值;
(3)若二次根式的值為零,求x的值.
【解析】(1)根據(jù)二次根式有意義的條件可得3-x≥0,解得x≤6,
∴x的取值范圍是x≤6;
(2)當(dāng)x=-2時(shí),二次根式===2;
(3)由題意可得3-x=0,解得x=6.16.1　二次根式
第1課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.理解二次根式的定義及有關(guān)概念. 抽象能力
2.理解二次根式的雙重非負(fù)性,能夠利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算. 抽象能力、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.二次根式的定義 形如 的式子. 1.下列各式中,不是二次根式的是( ) A. B. C. D.
2.二次根式的雙重非負(fù)性 a≥0,≥0 2.(1)如果二次根式有意義,那么x的取值范圍是 . (2)已知y=+-3,則x= ,y= .
重點(diǎn)典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點(diǎn)1 二次根式的概念(抽象能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發(fā)·P2二次根式定義拓展)
下列各式子中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:
,,,(x>0),,,-,,(x≥0,y≥0),.
【舉一反三】
1.下列各式中,一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列式子:①;②;③;④;⑤.是二次根式的有
.(填序號)
【技法點(diǎn)撥】
二次根式的特征
(1)含根號且根指數(shù)為2(通常省略不寫);
(2)被開方數(shù)(式)為非負(fù)數(shù).
重點(diǎn)2 二次根式有意義的條件(推理能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發(fā)·P2例1拓展)
求使下列各式有意義的所有x的取值范圍:
(1);(2)-;(3);(4).
【舉一反三】
若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)+有意義,則a的取值范圍是 .
重點(diǎn)3 二次根式的非負(fù)性(推理能力、模型觀念)
【典例3】(教材再開發(fā)·P3二次根式性質(zhì)拓展)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A,B,且a,b滿足+=0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
(1)求a,b的值;
(2)求△ABC的面積.
【舉一反三】
若+(y-2 025)2=0,則xy= .
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)下列各式中,一定是二次根式的是( )
A.(a≥0) B.
C. D.
2.(3分·模型觀念)(2023·江西中考)若有意義,則a的值可以是( )
A.-1 B.0 C.2 D.6
3.(4分·模型觀念、運(yùn)算能力)若實(shí)數(shù)a,b滿足+2=b+4,則a-b= .
4.(4分·模型觀念)(2023·永州中考)已知x為正整數(shù),寫出一個(gè)使在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)沒有意義的x值是 .
5.(6分·模型觀念、運(yùn)算能力)已知二次根式.
(1)求x的取值范圍;
(2)求當(dāng)x=-2時(shí),二次根式的值;
(3)若二次根式的值為零,求x的值.16.1　二次根式
第2課時(shí)
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
經(jīng)歷探索二次根式兩個(gè)性質(zhì)的過程,并能進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和化簡. 運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺 起于累土
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.二次根式的性質(zhì)1 ()2= (a≥0) 1.計(jì)算:(1)= . (2)= .
2.二次根式的性質(zhì)2 = (a≥0) 2.計(jì)算:(1)= .　 (2)= .
3.拓展性質(zhì) =|a|= 3.若=3-b,則b的取值范圍是( ) A.b<3 B.b≤3 C.b>3 D.b≥3
重點(diǎn)典例研析　　循道而行 方能致遠(yuǎn)
重點(diǎn)1 利用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算(運(yùn)算能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P4例3拓展)
計(jì)算:(1)+;
(2)-;
(3)+-2 0170-.
【舉一反三】
1.下列各式中,成立的是( )
A.=- B.-=5
C.=x D.=9
2.計(jì)算:(-)2+= .
3.計(jì)算:(1)++|-|.
(2)+-.
【技法點(diǎn)撥】
利用二次根式進(jìn)行計(jì)算的兩個(gè)“注意”
1.注意用的是哪個(gè)性質(zhì);
2.注意計(jì)算的順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣.
重點(diǎn)2 利用()2=a(a≥0)分解因式(模型觀念、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P5T4拓展)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:(1)9a4-4b4;
(2)x2-2x+3.
【舉一反三】
1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:3x2-9= .
2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式:-9x4+16.
【技法點(diǎn)撥】
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的策略
(1)如果含有4次冪及以上的偶次冪,一般為多級分解;
(2)對于一般有理數(shù)a(a≥0)的變形,一般要用到a=;
(3)注意關(guān)鍵詞“實(shí)數(shù)范圍”內(nèi),謹(jǐn)防分解不徹底.
重點(diǎn)3 利用=|a|化簡(模型觀念、運(yùn)算能力)
【典例3】(教材再開發(fā)·P4性質(zhì)拓展)
我們知道=|a|是二次根式的一條重要性質(zhì).請利用該性質(zhì)解答以下問題:
(1)化簡:= ,= ;
(2)若=2-x,則x的取值范圍為 ;
(3)已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示,化簡:-|c-a|+.
【舉一反三】
如圖,則化簡|a-1|-的結(jié)果為 .
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運(yùn)算能力)下列計(jì)算結(jié)果中,正確的是( )
A.=2 B.=2
C.=2 D.=2
2.(4分·運(yùn)算能力)下列計(jì)算結(jié)果中,正確的是( )
A.=±3 B.=-3
C.=3 D.-=3
3.(4分·模型觀念、運(yùn)算能力)實(shí)數(shù)x,y在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡的結(jié)果是 .
4.(8分·運(yùn)算能力)計(jì)算:
(1);
(2)6;
(3)-4;
(4)-22+(-2)2++.

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