資源簡介

17.1　勾股定理
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能用勾股定理的知識在數軸上表示無理數. 抽象能力、運算能力、模型觀念、幾何直觀
2.利用勾股定理解決網格中的有關問題.
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
應用1:在數軸上表示無理數 利用數軸的單位長度,構造直角三角形,利用勾股定理求得表示無理數的線段長,并且在數軸上表示出來. 1.如圖,在數軸上,點A表示的數為3,過點A作直線l⊥OA,在l上取點B,使AB=2,以原點O為圓心,以OB為半徑作弧,則弧與數軸的交點C表示的數為 　.
應用2:網格中的勾股定理 每一個小網格四個角都是直角,在網格上的點構造直角三角形利用勾股定理進行有關的計算. 2.如圖所示的網格中,每個小正方形的邊長均為1.則網格上的△ABC中,邊長為無理數的邊數為(B) A.1 B.2 C.3 D.0
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 在數軸上表示無理數(幾何直觀、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P27練習T1拓展)
(1)用直尺和圓規在如圖所示的數軸上作出表示的點A.(要求:不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)若數軸上的另一點B與點A關于1所在的點對稱,則點B對應的數是　　　　.
【自主解答】(1)如圖,點A即為所求.
(2)∵點A到對稱點1的距離為-1,
∴點B表示的數為1-(-1)=2-.
答案:2-
【舉一反三】
1.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=1,BC在數軸上,點B對應的數為1,以點B為圓心,AB的長為半徑畫弧,交數軸于點D,則點D表示的數是(A)
A.1- B.2-
C.1- D.-1
2.(2023·大連中考)如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(1,0)和(0,2),連接AB,以點A為圓心、AB的長為半徑畫弧,與x軸正半軸相交于點C,則點C的橫坐標是 +1　.
【技法點撥】
在數軸上表示無理數的三步法
一“拆分”:利用勾股定理拆分出哪兩條線段長的平方和等于所畫線段(斜邊)長的平方.
二“構造”:以數軸原點為直角三角形斜邊的頂點,構造直角三角形.
三“畫弧”:以數軸原點為圓心,以斜邊長為半徑畫弧,即可在數軸上找到表示該無理數的點.
重點2 網格中的勾股定理(推理能力、模型觀念)
【典例2】如圖,在每個小正方形的邊長為1的網格中,點A,B,C均在格點上.
(1)直接寫出AC的長為　　　　,△ABC的面積為　　　　;
(2)請在如圖所示的網格中,用無刻度的直尺和圓規作出AC邊上的高BD,并保留作圖痕跡;
(3)求BD的長.
【自主解答】(1)AC==,
S△ABC=4×5-×2×4-×2×5-×1×4=9.
答案:　9
(2)如圖所示,BD即為所求,
(3)∵S△ABC=AC·BD=×·BD=9,
∴BD=.
【舉一反三】
1.如圖是城市某區域的示意圖,建立平面直角坐標系后,學校和體育場的坐標分別是(3,1),(4,-2),下列各地點中,離原點最近的是(A)
A.超市 B.醫院 C.體育場 D.學校
2.如圖,在3×3的正方形網格中,每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,若BD是△ABC的邊AC上的高,則BD的長為 　.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運算能力)如圖,邊長為1的正方形網格圖中,點A,B都在格點上,若BC=,則AC的長為(B)
A. B. C.2 D.3
2.(8分·幾何直觀、運算能力)網格中的小正方形邊長均為1,△ABC的三個頂點均在格點上,完成下列問題:
(1)AB= 　;BC= 　;AC= 　;
(2)△ABC的面積為　2.5　.
3.(8分·推理能力、幾何直觀)
(1)如圖①,點A表示的數是　　　　;點B表示的數是　　　　;
(2)利用(1)中的方法,在圖②數軸上分別描出表示-,的點.
【解析】(1)如圖①,
由勾股定理得,OE==,
∴OA=OB=OE=,
∴點A表示的數是,點B表示的數是-;
答案:　-
(2)如圖②所示,點C表示-的點,點D表示的點.
由題意得OA=,
∴OC=OF==,OD=OG===.17.1　勾股定理
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.經歷勾股定理的探究過程.了解關于勾股定理的一些文化歷史背景,通過對我國古代研究勾股定理的成就的介紹,培養學生的民族自豪感. 抽象能力、推理能力、幾何直觀
2.能用勾股定理解決一些簡單的實際問題. 運算能力、模型觀念、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
勾股定理: 文字語言符號語言+圖示直角三角形的兩直角邊的 等于 a2+b2=
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c為其三邊長. (1)若a=3,b=4,則c= ; (2)若a=5,c=13,則b= ; (3)若b=8,c=10,則a= ; (4)若c=20,a∶b=4∶3,則b= .
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 求圖形的邊長或高(幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P24練習1拓展)
如圖,在△ABC中,BC=4,∠A=45°,∠B=60°,求AC的長.
.
【舉一反三】
(2023·本溪中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以點A為圓心,適當長為半徑作弧,分別交AB,AC于點E,F,分別以點E,F為圓心,大于EF的長為半徑作弧,兩弧在∠BAC的內部相交于點G,作射線AG,交BC于點D,則BD的長為( )
A. B. C. D.
重點2 勾股定理與圖形面積(推理能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發·P24練習T2拓展)如圖是一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.正方形A,B,C,D的面積分別是3,6,3,4,則正方形G的面積是( )
A.10 B.7 C.16 D.21
【舉一反三】
1.如圖,以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作半圓,若斜邊AB=3,則圖中陰影部分的面積為( )
A.9π B.π C.π D.3π
2.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形,若S1+S4=100,S2-S3=28,則S2= .
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、運算能力)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,則以AB為邊的正方形的周長是( )
A.12 B.16 C.20 D.25
2.(4分·模型觀念)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,分別以AB,BC為邊作正方形ABFG與正方形BCDE,已知邊AC=2,正方形BCDE的面積是1,則正方形ABFG的面積是( )
A.5 B.3 C. D.
3.(4分·幾何直觀、推理能力)(2023·重慶中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊的中線,若AB=5,BC=6,則AD的長度為 .
4.(8分·推理能力、運算能力)如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,∠C=30°, AC=6,AB=4.
(1)求BD的長.
(2)求點D到AC的距離.(以上結果保留根號)17.1　勾股定理
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.經歷勾股定理的探究過程.了解關于勾股定理的一些文化歷史背景,通過對我國古代研究勾股定理的成就的介紹,培養學生的民族自豪感. 抽象能力、推理能力、幾何直觀
2.能用勾股定理解決一些簡單的實際問題. 運算能力、模型觀念、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
勾股定理: 文字語言符號語言+圖示直角三角形的兩直角邊的　平方和　等于　斜邊的平方　 a2+b2=　c2　
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c為其三邊長. (1)若a=3,b=4,則c=　5　; (2)若a=5,c=13,則b=　12　; (3)若b=8,c=10,則a=　6　; (4)若c=20,a∶b=4∶3,則b=　12　.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 求圖形的邊長或高(幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P24練習1拓展)
如圖,在△ABC中,BC=4,∠A=45°,∠B=60°,求AC的長.
【自主解答】過點C作CD⊥AB交AB于點D,
∵∠B=60°,∴∠BCD=30°,
∵BC=4,∴BD=BC=2,∴CD==2,
∵∠A=45°,∴∠ACD=∠A=45°,∴AD=CD=2,
∴AC==2.
【舉一反三】
(2023·本溪中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以點A為圓心,適當長為半徑作弧,分別交AB,AC于點E,F,分別以點E,F為圓心,大于EF的長為半徑作弧,兩弧在∠BAC的內部相交于點G,作射線AG,交BC于點D,則BD的長為(D)
A. B. C. D.
重點2 勾股定理與圖形面積(推理能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發·P24練習T2拓展)如圖是一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.正方形A,B,C,D的面積分別是3,6,3,4,則正方形G的面積是(C)
A.10 B.7 C.16 D.21
【舉一反三】
1.如圖,以Rt△ABC的三邊為直徑分別向外作半圓,若斜邊AB=3,則圖中陰影部分的面積為(C)
A.9π B.π C.π D.3π
2.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形,若S1+S4=100,S2-S3=28,則S2=　64　.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、運算能力)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,則以AB為邊的正方形的周長是(C)
A.12 B.16 C.20 D.25
2.(4分·模型觀念)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,分別以AB,BC為邊作正方形ABFG與正方形BCDE,已知邊AC=2,正方形BCDE的面積是1,則正方形ABFG的面積是(A)
A.5 B.3 C. D.
3.(4分·幾何直觀、推理能力)(2023·重慶中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊的中線,若AB=5,BC=6,則AD的長度為　4　.
4.(8分·推理能力、運算能力)如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,∠C=30°, AC=6,AB=4.
(1)求BD的長.
(2)求點D到AC的距離.(以上結果保留根號)
【解析】(1)∵AD是BC邊上的高,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=∠ADB=90°,
∵∠C=30°,AC=6,
∴AD=AC=×6=3,
∴BD===.
(2)如圖,過點D作DH⊥AC于點H,
∵∠ADC=90°,AD=3,AC=6,
∴CD===3,
∵S△ADC=AD·CD=AC·DH,
∴×3×3=×6×DH,
∴DH=,即點D到AC的距離為.17.1　勾股定理
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能用勾股定理的知識在數軸上表示無理數. 抽象能力、運算能力、模型觀念、幾何直觀
2.利用勾股定理解決網格中的有關問題.
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
應用1:在數軸上表示無理數 利用數軸的單位長度,構造直角三角形,利用勾股定理求得表示無理數的線段長,并且在數軸上表示出來. 1.如圖,在數軸上,點A表示的數為3,過點A作直線l⊥OA,在l上取點B,使AB=2,以原點O為圓心,以OB為半徑作弧,則弧與數軸的交點C表示的數為 .
應用2:網格中的勾股定理 每一個小網格四個角都是直角,在網格上的點構造直角三角形利用勾股定理進行有關的計算. 2.如圖所示的網格中,每個小正方形的邊長均為1.則網格上的△ABC中,邊長為無理數的邊數為( ) A.1 B.2 C.3 D.0
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 在數軸上表示無理數(幾何直觀、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P27練習T1拓展)
(1)用直尺和圓規在如圖所示的數軸上作出表示的點A.(要求:不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)若數軸上的另一點B與點A關于1所在的點對稱,則點B對應的數是 .
【舉一反三】
1.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=1,BC在數軸上,點B對應的數為1,以點B為圓心,AB的長為半徑畫弧,交數軸于點D,則點D表示的數是( )
A.1- B.2-
C.1- D.-1
2.(2023·大連中考)如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(1,0)和(0,2),連接AB,以點A為圓心、AB的長為半徑畫弧,與x軸正半軸相交于點C,則點C的橫坐標是 .
【技法點撥】
在數軸上表示無理數的三步法
一“拆分”:利用勾股定理拆分出哪兩條線段長的平方和等于所畫線段(斜邊)長的平方.
二“構造”:以數軸原點為直角三角形斜邊的頂點,構造直角三角形.
三“畫弧”:以數軸原點為圓心,以斜邊長為半徑畫弧,即可在數軸上找到表示該無理數的點.
重點2 網格中的勾股定理(推理能力、模型觀念)
【典例2】如圖,在每個小正方形的邊長為1的網格中,點A,B,C均在格點上.
(1)直接寫出AC的長為 ,△ABC的面積為 ;
(2)請在如圖所示的網格中,用無刻度的直尺和圓規作出AC邊上的高BD,并保留作圖痕跡;
(3)求BD的長.
【舉一反三】
1.如圖是城市某區域的示意圖,建立平面直角坐標系后,學校和體育場的坐標分別是(3,1),(4,-2),下列各地點中,離原點最近的是( )
A.超市 B.醫院 C.體育場 D.學校
2.如圖,在3×3的正方形網格中,每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上,若BD是△ABC的邊AC上的高,則BD的長為 .
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運算能力)如圖,邊長為1的正方形網格圖中,點A,B都在格點上,若BC=,則AC的長為( )
A. B. C.2 D.3
2.(8分·幾何直觀、運算能力)網格中的小正方形邊長均為1,△ABC的三個頂點均在格點上,完成下列問題:
(1)AB= ;BC= ;AC= ;
(2)△ABC的面積為 .
3.(8分·推理能力、幾何直觀)
(1)如圖①,點A表示的數是 ;點B表示的數是 ;
(2)利用(1)中的方法,在圖②數軸上分別描出表示-,的點.17.1　勾股定理
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
能用勾股定理解決一些簡單的實際問題. 抽象能力、應用意識、模型觀念、幾何直觀
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
應用1:幾何體上最短路徑問題 展成平面圖形轉化為直角三角形進行計算 1.如圖,在高為3 m,斜坡長為5 m的樓梯臺階上鋪地毯,地毯的長度為(C) A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
應用2:求物體的高度或者寬度等 構造直角三角形,然后應用勾股定理進行計算 2.數學興趣小組為測量學校A與河對岸的科技館B之間的距離,在A的同岸選取點C,測得AC=30,∠A= 45°,∠C=90°,如圖,據此可求得A,B之間的距離為　30　.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1 勾股定理在實際問題中的應用(幾何直觀、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P25例2拓展)如圖,已知釣魚竿AC的長為10米,露在水面上的魚線BC長為6米,某釣魚者想看看魚鉤上的情況,把魚竿AC轉動到AC'的位置,此時露在水面上的魚線B'C'的長度為8米,求BB'的長.
【自主解答】在Rt△ABC中,AC=10米,BC=6米,
∴AB===8(米),
在Rt△AB'C'中,AC'=10米,B'C'=8米,
∴AB'===6(米),
∴BB'=AB-AB'=8-6=2(米).
【舉一反三】
1.如圖1是第七屆國際數學教育大會(ICME)的會徽,在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形,恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若OC=,BC=1,∠AOB=30°,則OA的值為(A)
A. B. C. D.1
2.《九章算術》是我國古代數學名著,書中有下列問題:“今有戶高多于廣六尺八寸,兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何 ”其意思為:今有一門,高比寬多6尺8寸,門對角線距離恰好為1丈.問門高、寬各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)如圖,設門高AB為x尺,根據題意,可列方程為　x2+(x-6.8)2=102　.
重點2 利用勾股定理解決立體圖形中的最短路徑問題(推理能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發·P39T12拓展)如圖,一個無蓋長方體的小杯子放置在桌面上,AB=BC=6 cm,CD=10 cm;
(1)一只螞蟻從A點出發,沿小杯子外表面爬到D點,求螞蟻怎樣爬最短,最短路程是多少
(2)把一雙筷子放進杯子里,請問,杯子中能放進的筷子的最大長度是多少
【自主解答】(1)①將面ABEF和面BCDE展開,如圖,
∵AB=BC=6 cm,CD=10 cm,∴AC=12 cm,∠C=90°,
由勾股定理得:AD===2(cm);
②將面ABEF和上底面展開,如圖,
∵AB=DE=6 cm,BE=10 cm,∴DB=16 cm,∠B=90°,
由勾股定理得:AD===2(cm);
所以,①中的路程最短,最短路程為2 cm;
(2)如圖,當筷子沿AD傾斜放的時候,能夠放得最長,
∵AB=BC=6 cm,CD=10 cm,
∴由勾股定理得:AC===6(cm),
∴AD===2(cm),
所以,杯子中能放進的筷子的最大長度是2 cm.
【舉一反三】
1.如圖是底面周長為24,高為5的圓柱體.一只小螞蟻要從點A爬到點B,則螞蟻爬行的最短距離是(C)
A.7 B.10 C.13 D.21
2.(2024·大慶質檢)如圖,教室的墻面ADEF與地面ABCD垂直,點P在墻面上,若PA=AB=13 m,點P到AD的距離是12 m,有一只螞蟻要從點P爬行到點B,則它的最短行程是　5　m.
【技法點撥】
求立體圖形中最短路徑問題的四個步驟
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(5分·運算能力)如圖,一豎直的木桿在離地面3.6米處折斷,木桿頂端落地后離木桿底端4.8米,木桿折斷之前的高度為(C)
A.6米 B.7.2米
C.9.6米 D.10.8米
2.(5分·模型觀念)有一個長方體的鐵盒,長、寬、高分別是5 cm,4 cm,3 cm,則這個鐵盒中能放入的木棒最長為　　　　cm.(鐵盒的厚度忽略不計)(C)
A.7 B.8 C.5 D.4
3.(5分·幾何直觀、推理能力)一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向,距離燈塔45海里的A處,它沿北偏東30°方向航行60海里到達B處,此時與燈塔P的距離為　75海里　. 17.1　勾股定理
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
能用勾股定理解決一些簡單的實際問題. 抽象能力、應用意識、模型觀念、幾何直觀
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
應用1:幾何體上最短路徑問題 展成平面圖形轉化為直角三角形進行計算 1.如圖,在高為3 m,斜坡長為5 m的樓梯臺階上鋪地毯,地毯的長度為( ) A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
應用2:求物體的高度或者寬度等 構造直角三角形,然后應用勾股定理進行計算 2.數學興趣小組為測量學校A與河對岸的科技館B之間的距離,在A的同岸選取點C,測得AC=30,∠A= 45°,∠C=90°,如圖,據此可求得A,B之間的距離為 .
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1 勾股定理在實際問題中的應用(幾何直觀、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P25例2拓展)如圖,已知釣魚竿AC的長為10米,露在水面上的魚線BC長為6米,某釣魚者想看看魚鉤上的情況,把魚竿AC轉動到AC'的位置,此時露在水面上的魚線B'C'的長度為8米,求BB'的長.
【舉一反三】
1.如圖1是第七屆國際數學教育大會(ICME)的會徽,在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形,恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若OC=,BC=1,∠AOB=30°,則OA的值為( )
A. B. C. D.1
2.《九章算術》是我國古代數學名著,書中有下列問題:“今有戶高多于廣六尺八寸,兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何 ”其意思為:今有一門,高比寬多6尺8寸,門對角線距離恰好為1丈.問門高、寬各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)如圖,設門高AB為x尺,根據題意,可列方程為 .
重點2 利用勾股定理解決立體圖形中的最短路徑問題(推理能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發·P39T12拓展)如圖,一個無蓋長方體的小杯子放置在桌面上,AB=BC=6 cm,CD=10 cm;
(1)一只螞蟻從A點出發,沿小杯子外表面爬到D點,求螞蟻怎樣爬最短,最短路程是多少
(2)把一雙筷子放進杯子里,請問,杯子中能放進的筷子的最大長度是多少
【舉一反三】
1.如圖是底面周長為24,高為5的圓柱體.一只小螞蟻要從點A爬到點B,則螞蟻爬行的最短距離是( )
A.7 B.10 C.13 D.21
2.(2024·大慶質檢)如圖,教室的墻面ADEF與地面ABCD垂直,點P在墻面上,若PA=AB=13 m,點P到AD的距離是12 m,有一只螞蟻要從點P爬行到點B,則它的最短行程是 m.
【技法點撥】
求立體圖形中最短路徑問題的四個步驟
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(5分·運算能力)如圖,一豎直的木桿在離地面3.6米處折斷,木桿頂端落地后離木桿底端4.8米,木桿折斷之前的高度為( )
A.6米 B.7.2米
C.9.6米 D.10.8米
2.(5分·模型觀念)有一個長方體的鐵盒,長、寬、高分別是5 cm,4 cm,3 cm,則這個鐵盒中能放入的木棒最長為 cm.(鐵盒的厚度忽略不計)( )
A.7 B.8 C.5 D.4
3.(5分·幾何直觀、推理能力)一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向,距離燈塔45海里的A處,它沿北偏東30°方向航行60海里到達B處,此時與燈塔P的距離為 .

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