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17.2　勾股定理的逆定理
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.理解勾股定理的逆定理,經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)測量-猜想-論證”的定理探究過程,體會(huì)“構(gòu)造法”證明數(shù)學(xué)命題的基本思想;能夠利用勾股定理的逆定理解決簡單的問題. 推理能力、模型觀念、運(yùn)算能力
2.了解逆命題的概念,了解原命題為真命題,它的逆命題不一定為真命題. 推理能力、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠(yuǎn)
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a,b,c滿足 ,那么這個(gè)三角形是 . 1.下列各組數(shù)中,能構(gòu)成直角三角形的是( ) A.1,2,3 B.5,7,10 C.,, D.5,12,14
2.勾股數(shù): 能夠成為直角三角形三邊長的三個(gè) . 2.下列四組數(shù)據(jù)中,是勾股數(shù)的是( ) A.1,2,3 B.2,3,4 C.5,12,13 D.4,5,6
3.互逆命題與互逆定理: (1)兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反,其中一個(gè)叫做原命題,另一個(gè)叫做它的逆命題. (2)如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的,那么它也是一個(gè)定理,稱這兩個(gè)定理為互逆定理. 3.“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是 ,它是 命題(填“真”或“假”).
重點(diǎn)典例研析　　啟思凝智 教學(xué)相長
重點(diǎn)1 勾股數(shù)(運(yùn)算能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發(fā)·P39T11拓展)(2024·滄州期中)清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷研究勾股定理,提出推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”,其中有一個(gè)法則是“如果k是大于2的偶數(shù),那么k,k的一半的平方減1,k的一半的平方加1是一組勾股數(shù)”.
(1)當(dāng)k=14時(shí),寫出這一組勾股數(shù) .
(2)證明“羅士琳法則”的正確性.
【舉一反三】
觀察以下幾組勾股數(shù),并尋找規(guī)律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…,請你寫出具有以上規(guī)律的第⑥組勾股數(shù)為 .
【技法點(diǎn)撥】
一組勾股數(shù),都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù)),得到一組新數(shù),這組新數(shù)同樣是勾股數(shù).
重點(diǎn)2 勾股定理以及逆定理的應(yīng)用(運(yùn)算能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發(fā)·P34T5拓展)
某校根據(jù)《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》,注重“勞動(dòng)+教育”深度融合,讓學(xué)生在勞動(dòng)教育中感受勞動(dòng)之美,提升綜合素養(yǎng).如圖是某班的勞動(dòng)實(shí)踐基地,經(jīng)測量∠A=90°,AB=3 m,DA=4 m,BC=12 m,CD=13 m.
(1)求出空地ABCD的面積.
(2)若該班在此勞動(dòng)實(shí)踐基地上種植水稻,得到43.2 kg水稻,問:每平方米可以收割多少千克水稻
【舉一反三】
某天,暴雨突然來襲,兩艘搜救艇接到消息,在海面上有遇險(xiǎn)船只從A,B兩地發(fā)出求救信號(hào).于是,第一艘搜救艇以40 km/h的速度離開港口O沿北偏東40°的方向向A地出發(fā),同時(shí),第二艘搜救艇也從港口O出發(fā),以30 km/h的速度向B地出發(fā),2小時(shí)后,他們同時(shí)到達(dá)各自的目標(biāo)位置.此時(shí),他們相距100 km.
(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度 (求∠BOD的大小)
(2)由于B地需要被援救的人數(shù)較多,故需要搭載人數(shù)較少的第一艘搜救艇改道去到B地支援,在從A地前往到B地的過程中,與港口O最近的距離是多少
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀)在△ABC中,點(diǎn)D在直線AB上,且AD2+CD2=AC2,則下列結(jié)論正確的是( )
A.∠ACB=90° B.∠BCD=90°
C.∠BDC=90° D.∠CAD=90°
2.(4分·運(yùn)算能力)滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是( )
A.三內(nèi)角之比為1∶2∶3
B.三邊長分別為5,12,14
C.三邊長之比為3∶4∶5
D.三邊長分別為1,,
3.(8分·應(yīng)用意識(shí))如圖,在筆直的公路AB旁有一條河流,為方便運(yùn)輸貨物,現(xiàn)要從公路AB上的D處建一座橋梁到達(dá)C處,已知點(diǎn)C與公路上的停靠站A的直線距離為9 km,與公路上另一停靠站B的直線距離為12 km,公路AB的長度為15 km,且CD⊥AB.
(1)求證:AC⊥BC;
(2)求修建的橋梁CD的長.17.2　勾股定理的逆定理
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.理解勾股定理的逆定理,經(jīng)歷“實(shí)驗(yàn)測量-猜想-論證”的定理探究過程,體會(huì)“構(gòu)造法”證明數(shù)學(xué)命題的基本思想;能夠利用勾股定理的逆定理解決簡單的問題. 推理能力、模型觀念、運(yùn)算能力
2.了解逆命題的概念,了解原命題為真命題,它的逆命題不一定為真命題. 推理能力、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　筑牢根基 行穩(wěn)致遠(yuǎn)
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a,b,c滿足　a2+b2=c2　,那么這個(gè)三角形是　直角三角形　. 1.下列各組數(shù)中,能構(gòu)成直角三角形的是(C) A.1,2,3 B.5,7,10 C.,, D.5,12,14
2.勾股數(shù): 能夠成為直角三角形三邊長的三個(gè)　正整數(shù)　. 2.下列四組數(shù)據(jù)中,是勾股數(shù)的是(C) A.1,2,3 B.2,3,4 C.5,12,13 D.4,5,6
3.互逆命題與互逆定理: (1)兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反,其中一個(gè)叫做原命題,另一個(gè)叫做它的逆命題. (2)如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的,那么它也是一個(gè)定理,稱這兩個(gè)定理為互逆定理. 3.“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是　如果兩個(gè)角互補(bǔ),那么這兩個(gè)角互為同旁內(nèi)角　,它是　假　命題(填“真”或“假”).
重點(diǎn)典例研析　　啟思凝智 教學(xué)相長
重點(diǎn)1 勾股數(shù)(運(yùn)算能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發(fā)·P39T11拓展)(2024·滄州期中)清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷研究勾股定理,提出推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”,其中有一個(gè)法則是“如果k是大于2的偶數(shù),那么k,k的一半的平方減1,k的一半的平方加1是一組勾股數(shù)”.
(1)當(dāng)k=14時(shí),寫出這一組勾股數(shù)　　　　　.
(2)證明“羅士琳法則”的正確性.
【自主解答】(1)當(dāng)k=14時(shí),
根據(jù)題意得-1=48,+1=50,
∴這一組勾股數(shù)為14,48,50;
答案:14,48,50
(2)∵k2+=k2+
=k2+k4+1-k2
=k4+k2+1.
==k4+k2+1,
∴當(dāng)k大于2時(shí),k2+
=,
∴如果k是大于2的偶數(shù),那么k,k的一半的平方減1,k的一半的平方加1是一組勾股數(shù).
【舉一反三】
觀察以下幾組勾股數(shù),并尋找規(guī)律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;…,請你寫出具有以上規(guī)律的第⑥組勾股數(shù)為　13,84,85　.
【技法點(diǎn)撥】
一組勾股數(shù),都擴(kuò)大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù)),得到一組新數(shù),這組新數(shù)同樣是勾股數(shù).
重點(diǎn)2 勾股定理以及逆定理的應(yīng)用(運(yùn)算能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發(fā)·P34T5拓展)
某校根據(jù)《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》,注重“勞動(dòng)+教育”深度融合,讓學(xué)生在勞動(dòng)教育中感受勞動(dòng)之美,提升綜合素養(yǎng).如圖是某班的勞動(dòng)實(shí)踐基地,經(jīng)測量∠A=90°,AB=3 m,DA=4 m,BC=12 m,CD=13 m.
(1)求出空地ABCD的面積.
(2)若該班在此勞動(dòng)實(shí)踐基地上種植水稻,得到43.2 kg水稻,問:每平方米可以收割多少千克水稻
【自主解答】(1)如圖,連接BD,在Rt△ABD中,BD2=AD2+AB2=42+32=25,即BD=5,在△CBD中,CD2=132=169,BC2=122=144,
∵25+144=169,即CD2=BD2+BC2,
∴△BCD是直角三角形,且∠CBD=90°,
∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=AB·AD+BC·BD=36 m2.
(2)由題意可得,43.2÷36=1.2(kg),
答:每平方米可以收割1.2 kg水稻.
【舉一反三】
某天,暴雨突然來襲,兩艘搜救艇接到消息,在海面上有遇險(xiǎn)船只從A,B兩地發(fā)出求救信號(hào).于是,第一艘搜救艇以40 km/h的速度離開港口O沿北偏東40°的方向向A地出發(fā),同時(shí),第二艘搜救艇也從港口O出發(fā),以30 km/h的速度向B地出發(fā),2小時(shí)后,他們同時(shí)到達(dá)各自的目標(biāo)位置.此時(shí),他們相距100 km.
(1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度 (求∠BOD的大小)
(2)由于B地需要被援救的人數(shù)較多,故需要搭載人數(shù)較少的第一艘搜救艇改道去到B地支援,在從A地前往到B地的過程中,與港口O最近的距離是多少
【解析】(1)由題意得:OA=40×2=80(km);OB=30×2=60(km),
∵OB2+OA2=802+602=10 000,AB2=1002=10 000,
∴OB2+OA2=AB2,
∴△OAB為直角三角形,∴∠AOB=90°,
由題知∠AOD=40°,∴∠BOD=50°,
即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50°.
(2)過點(diǎn)O作OE⊥AB,此時(shí)OE的長度即為最近距離,
由題意知OA=80 km,OB=60 km,AB=100 km,
在Rt△OAB中,S△OAB=OA·OB=AB·OE,即80×60=100×OE,
∴OE=48 km.
答:與港口O最近的距離是48 km.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀)在△ABC中,點(diǎn)D在直線AB上,且AD2+CD2=AC2,則下列結(jié)論正確的是(C)
A.∠ACB=90° B.∠BCD=90°
C.∠BDC=90° D.∠CAD=90°
2.(4分·運(yùn)算能力)滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是(B)
A.三內(nèi)角之比為1∶2∶3
B.三邊長分別為5,12,14
C.三邊長之比為3∶4∶5
D.三邊長分別為1,,
3.(8分·應(yīng)用意識(shí))如圖,在筆直的公路AB旁有一條河流,為方便運(yùn)輸貨物,現(xiàn)要從公路AB上的D處建一座橋梁到達(dá)C處,已知點(diǎn)C與公路上的停靠站A的直線距離為9 km,與公路上另一停靠站B的直線距離為12 km,公路AB的長度為15 km,且CD⊥AB.
(1)求證:AC⊥BC;
(2)求修建的橋梁CD的長.
【解析】(1)由題可知AC=9 km,BC=12 km,AB=15 km.
∵92+122=225=152,
即AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴AC⊥BC.
(2)∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,
AC=9 km,BC=12 km,AB=15 km,
∴CD==(km).
答:修建的橋梁CD的長為 km.

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