資源簡介

1　平行四邊形的性質
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握平行四邊形對角線的性質 運算能力、推理能力
2.熟練應用平行四邊形對角線的性質 模型觀念、應用意識
基礎主干落實
新知要點
平行四邊形對角線的性質
(1)文字敘述:對角線互相平分.
(2)符號語言:∵四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD相交于點O,
∴OA=OC,OB=OD.
對點小練
1.如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AC=8,則OC=( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2.下列說法正確的是( )
A.平行四邊形是軸對稱圖形
B.平行四邊形的鄰邊相等
C.平行四邊形的對角線互相垂直
D.平行四邊形的對角線互相平分
重點典例研析
重點1 平行四邊形的性質——對角線(運算能力、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P138例2·2023·南京中考)如圖,在 ABCD中,點M,N分別在邊BC,AD上,且AM∥CN,對角線BD分別交AM,CN于點E,F.求證:BE=DF.
【舉一反三】
1.(2023·成都中考)如圖,在 ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,則下列結論一定正確的是( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.(2024·溫州期中)如圖, ABCD的周長為16,對角線AC,BD交于點O,且△ABO的周長比△BCO的周長多2,則AB=( )
A.3 B.5
C.7 D.9
3.(2024·雅安中考節選)如圖,點O是 ABCD對角線的交點,過點O的直線分別交AD,BC于點E,F.求證:△ODE≌△OBF.
【技法點撥】
平行四邊形對角線性質的拓展
1.由任意一條對角線分割成的兩個三角形全等;
2.由兩條對角線分割成的四個小三角形:
(1)面積都相等;
(2)相對的兩個三角形全等;
(3)相鄰兩個三角形的周長之差為平行四邊形兩鄰邊的差;
3.過平行四邊形兩條對角線的交點的直線平分這個平行四邊形的周長和面積.
重點2 平行四邊形性質的綜合運用(運算能力、推理能力)
【典例2】如圖,將 ABCD沿對角線AC翻折,點B落在點E處,CE交AD于點F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,求 ABCD的周長.
【舉一反三】
1.如圖, ABCD的對角線AC,BD交于點O,AE平分∠BAD,交BC于點E,且
∠ADC=60°,AD=2AB,連接OE.結論:①∠CAD=30°;②OD=AB;③S ABCD=AC·CD;
④S四邊形OECD=S△AOD;⑤OA=OB.其中成立的有( )
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
2.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為邊AD上一點,將△DEC沿CE翻折得到△FEC,點F在AC上,且滿足AF=EF,若∠D=48°,則∠ACE的度數為 .
【技法點撥】
平行四邊形的綜合——折疊問題
1.折疊性質:
(1)翻折前后兩個圖形全等,對應邊相等,對應角相等.
(2)對應點連線被對稱軸垂直平分.
2.結合平行四邊形的性質可以證明相等的線段或求角的度數.
3.運用勾股定理或者全等三角形證明線段相等或求角的度數.
特別提醒:折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱圖形.1　平行四邊形的性質
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.掌握平行四邊形對角線的性質 運算能力、推理能力
2.熟練應用平行四邊形對角線的性質 模型觀念、應用意識
基礎主干落實
新知要點
平行四邊形對角線的性質
(1)文字敘述:對角線互相平分.
(2)符號語言:∵四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD相交于點O,
∴OA=OC,OB=OD.
對點小練
1.如圖,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AC=8,則OC=(A)
A.4 B.5 C.6 D.8
2.下列說法正確的是(D)
A.平行四邊形是軸對稱圖形
B.平行四邊形的鄰邊相等
C.平行四邊形的對角線互相垂直
D.平行四邊形的對角線互相平分
重點典例研析
重點1 平行四邊形的性質——對角線(運算能力、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P138例2·2023·南京中考)如圖,在 ABCD中,點M,N分別在邊BC,AD上,且AM∥CN,對角線BD分別交AM,CN于點E,F.求證:BE=DF.
【自主解答】連接AC交BD于O,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AO=OC,BO=DO.
∵AM∥CN,∴∠EAC=∠FCA,
在△AEO與△CFO中,,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∴BO-OE=OD-OF,
∴BE=DF.
【舉一反三】
1.(2023·成都中考)如圖,在 ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,則下列結論一定正確的是(B)
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.(2024·溫州期中)如圖, ABCD的周長為16,對角線AC,BD交于點O,且△ABO的周長比△BCO的周長多2,則AB=(B)
A.3 B.5
C.7 D.9
3.(2024·雅安中考節選)如圖,點O是 ABCD對角線的交點,過點O的直線分別交AD,BC于點E,F.求證:△ODE≌△OBF.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB,
∵點O是 ABCD對角線的交點,∴OD=OB,
在△ODE和△OBF中,,
∴△ODE≌△OBF(AAS).
【技法點撥】
平行四邊形對角線性質的拓展
1.由任意一條對角線分割成的兩個三角形全等;
2.由兩條對角線分割成的四個小三角形:
(1)面積都相等;
(2)相對的兩個三角形全等;
(3)相鄰兩個三角形的周長之差為平行四邊形兩鄰邊的差;
3.過平行四邊形兩條對角線的交點的直線平分這個平行四邊形的周長和面積.
重點2 平行四邊形性質的綜合運用(運算能力、推理能力)
【典例2】如圖,將 ABCD沿對角線AC翻折,點B落在點E處,CE交AD于點F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,求 ABCD的周長.
【自主解答】∵∠B=80°,四邊形ABCD為平行四邊形,
∴∠D=80°.由折疊可知∠ACB=∠ACE,
又AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠DAC,∴△AFC為等腰三角形.∴AF=FC=a.
設∠ECD=x,則∠ACE=2x,∴∠DAC=2x,
在△ADC中,由三角形內角和定理可知,2x+2x+x+80°=180°,
解得x=20°.
由三角形外角定理可得∠DFC=4x=80°,
故△DFC為等腰三角形,∴DC=FC=a,
∴AD=AF+FD=a+b,
故 ABCD的周長為2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b.
【舉一反三】
1.如圖, ABCD的對角線AC,BD交于點O,AE平分∠BAD,交BC于點E,且
∠ADC=60°,AD=2AB,連接OE.結論:①∠CAD=30°;②OD=AB;③S ABCD=AC·CD;
④S四邊形OECD=S△AOD;⑤OA=OB.其中成立的有(C)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
2.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為邊AD上一點,將△DEC沿CE翻折得到△FEC,點F在AC上,且滿足AF=EF,若∠D=48°,則∠ACE的度數為　54°　.
【技法點撥】
平行四邊形的綜合——折疊問題
1.折疊性質:
(1)翻折前后兩個圖形全等,對應邊相等,對應角相等.
(2)對應點連線被對稱軸垂直平分.
2.結合平行四邊形的性質可以證明相等的線段或求角的度數.
3.運用勾股定理或者全等三角形證明線段相等或求角的度數.
特別提醒:折疊是一種對稱變換,它屬于軸對稱圖形.1　平行四邊形的性質
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解并掌握平行四邊形及其有關概念 幾何直觀
2.掌握平行四邊形的性質 運算能力、推理能力
3.能綜合運用平行四邊形的性質解決簡單的平行四邊形的計算問題,并能進行有關證明 應用意識、模型觀念
基礎主干落實
新知要點
1.平行四邊形的定義
(1)文字敘述:兩組對邊分別平行的四邊形
記作: ABCD
讀作:平行四邊形ABCD
(2)符號語言:∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
2.性質
(1)邊:對邊平行且相等.
(2)角:對角相等,鄰角互補.
(3)對稱性:中心對稱圖形,對稱中心是對角線的交點.
3.有關計算
(1)周長:鄰邊和×2;　(2)面積:底×高.
對點小練
1.在四邊形ABCD中,若AB∥CD,AD　∥　BC,則四邊形ABCD為平行四邊形.
2.(1)如圖,在 ABCD中,一定正確的是(C)
A.AD=CD
B.AC=BD
C.AB=CD
D.CD=BC
(2)在 ABCD中,∠A=40°,∠C的度數是(B)
A.20° B.40° C.80° D.140°
3.在 ABCD中,周長為10,AB=4,BC=　1　.
重點典例研析
重點1 利用平行四邊形的性質進行證明(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P136例1·2024吉林中考)如圖,在 ABCD中,點O是AB的中點,連接CO并延長,交DA的延長線于點E.
求證:AE=BC.
【自主解答】∵點O是AB的中點,∴AO=OB,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,∴∠E=∠BCO,
又∠AOE=∠BOC,
∴△AOE≌△BOC(AAS),∴AE=BC.
【舉一反三】
1.(2023·隨州中考)如圖,在 ABCD中,分別以B,D為圓心,大于BD的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,過M,N兩點作直線交BD于點O,交AD,BC于點E,F,下列結論不正確的是(D)
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
2.(2024·瀘州中考)如圖,在 ABCD中,E,F是對角線BD上的點,且DE=BF.
求證:∠1=∠2.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,,
∴△ADE≌△CBF(SAS),∴∠1=∠2.
【技法點撥】
　平行四邊形中的證明策略
結論 步驟或策略
證明線段相等或平行 (1)根據平行四邊形的性質得到對角相等、對邊平行且相等; (2)再利用這些條件證明三角形全等,進而證明線段之間的關系.
證明角相等 (1)平行四邊形的對角相等; (2)對頂角相等; (3)等邊對等角; (4)兩直線平行,同位(內錯)角相等; (5)全等三角形對應角相等; (6)同角(等角)的補角或余角相等.
重點2利用平行四邊形的性質進行計算(幾何直觀、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P137習題6.1T1補充)如圖,在 ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F.
(1)若AB=4,AD=6,求CE的長;
(2)若∠F=62°,求∠BAE和∠D的度數.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC∥AD,AD=BC=6,
∴∠FAD=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAF,
∴∠BEA=∠BAE,∴BA=BE.
∵AB=4,∴BE=4,∴CE=BC-BE=2.
(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥DC,∠B=∠D,∴∠BAE=∠F.
∵∠F=62°,
∴∠BEA=∠BAE=62°,
∴∠B=56°,∴∠D=56°.
【舉一反三】
1.(2024·合肥期末)如圖,在 ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于點E,DF⊥BC于點F,BE與DF交于點H,則∠BHF=(B)
A.71° B.61° C.29° D.51°
2.如圖,在 ABCD中,∠ABC的平分線交AD于點E,∠BCD的平分線交AD于點F,若AB=3,AD=4,則EF的長是(B)
A.1 B.2 C.2.5 D.3
3.(2024·宿遷期中)如圖,在 ABCD中,AC⊥BC,BC=5,AC=3,則CD的長為 　.
【技法點撥】
平行四邊形中的計算技巧
1.平行四邊形中求角度:利用平行四邊形對角相等,鄰角互補.
2.平行四邊形中求線段長度:(1)利用平行四邊形對邊相等;(2)在平行四邊形中,對邊平行+角平分線→等腰三角形;(3)在平行四邊形中出現直角三角形時,利用勾股定理求長度;
(4)等面積法求長度.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、運算能力)已知在平行四邊形ABCD中,∠A+∠C=130°,則∠D的度數是(C)
A.50° B.65° C.115° D.130°
2.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,過點D分別作AB,BC的垂線,垂足分別為E,F,若AB=12,DE=6,BE=4,則DF的長為(B)
A.7 B.7.2　 C.8　 D.8.8
3.(3分·運算能力、模型觀念·2023·株洲中考)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分線AE交線段CD于點E,則EC=　2　.
4.(3分·幾何直觀、應用意識)如圖所示,在平面直角坐標系中,平行四邊形ABCD的頂點A,B,D的坐標分別為(0,0),(5,0),(3,2),則頂點C的坐標是　(8,2)　.
5.(8分·應用意識、模型觀念)如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在BC邊上,
且AD=DE,點F為線段DE上一點,且∠AFD=∠C.求證:AF=DC.
【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,
∴∠ADF=∠CED,
在△FDA和△CED中,,
∴△FDA≌△CED(AAS),∴AF=CD.1　平行四邊形的性質
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解并掌握平行四邊形及其有關概念 幾何直觀
2.掌握平行四邊形的性質 運算能力、推理能力
3.能綜合運用平行四邊形的性質解決簡單的平行四邊形的計算問題,并能進行有關證明 應用意識、模型觀念
基礎主干落實
新知要點
1.平行四邊形的定義
(1)文字敘述:兩組對邊分別 的四邊形
記作: 讀作:平行四邊形ABCD
(2)符號語言:∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
2.性質
(1)邊:對邊平行且相等.
(2)角:對角相等,鄰角互補.
(3)對稱性:中心對稱圖形,對稱中心是對角線的交點.
3.有關計算
(1)周長: ;　(2)面積: .
對點小練
1.在四邊形ABCD中,若AB∥CD,AD BC,則四邊形ABCD為平行四邊形.
2.(1)如圖,在 ABCD中,一定正確的是( )
A.AD=CD
B.AC=BD
C.AB=CD
D.CD=BC
(2)在 ABCD中,∠A=40°,∠C的度數是( )
A.20° B.40° C.80° D.140°
3.在 ABCD中,周長為10,AB=4,BC= .
重點典例研析
重點1 利用平行四邊形的性質進行證明(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P136例1·2024吉林中考)如圖,在 ABCD中,點O是AB的中點,連接CO并延長,交DA的延長線于點E.
求證:AE=BC.
【舉一反三】
1.(2023·隨州中考)如圖,在 ABCD中,分別以B,D為圓心,大于BD的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,N,過M,N兩點作直線交BD于點O,交AD,BC于點E,F,下列結論不正確的是( )
A.AE=CF B.DE=BF
C.OE=OF D.DE=DC
2.(2024·瀘州中考)如圖,在 ABCD中,E,F是對角線BD上的點,且DE=BF.
求證:∠1=∠2.
【技法點撥】
　平行四邊形中的證明策略
結論 步驟或策略
證明線段相等或平行 (1)根據平行四邊形的性質得到對角相等、對邊平行且相等; (2)再利用這些條件證明三角形全等,進而證明線段之間的關系.
證明角相等 (1)平行四邊形的對角相等; (2)對頂角相等; (3)等邊對等角; (4)兩直線平行,同位(內錯)角相等; (5)全等三角形對應角相等; (6)同角(等角)的補角或余角相等.
重點2利用平行四邊形的性質進行計算(幾何直觀、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P137習題6.1T1補充)如圖,在 ABCD中,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F.
(1)若AB=4,AD=6,求CE的長;
(2)若∠F=62°,求∠BAE和∠D的度數.
【舉一反三】
1.(2024·合肥期末)如圖,在 ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于點E,DF⊥BC于點F,BE與DF交于點H,則∠BHF=( )
A.71° B.61° C.29° D.51°
2.如圖,在 ABCD中,∠ABC的平分線交AD于點E,∠BCD的平分線交AD于點F,若AB=3,AD=4,則EF的長是( )
A.1 B.2 C.2.5 D.3
3.(2024·宿遷期中)如圖,在 ABCD中,AC⊥BC,BC=5,AC=3,則CD的長為 .
【技法點撥】
平行四邊形中的計算技巧
1.平行四邊形中求角度:利用平行四邊形對角相等,鄰角互補.
2.平行四邊形中求線段長度:(1)利用平行四邊形對邊相等;(2)在平行四邊形中,對邊平行+角平分線→等腰三角形;(3)在平行四邊形中出現直角三角形時,利用勾股定理求長度;
(4)等面積法求長度.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、運算能力)已知在平行四邊形ABCD中,∠A+∠C=130°,則∠D的度數是( )
A.50° B.65° C.115° D.130°
2.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,過點D分別作AB,BC的垂線,垂足分別為E,F,若AB=12,DE=6,BE=4,則DF的長為( )
A.7 B.7.2　 C.8　 D.8.8
3.(3分·運算能力、模型觀念·2023·株洲中考)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分線AE交線段CD于點E,則EC= .
4.(3分·幾何直觀、應用意識)如圖所示,在平面直角坐標系中,平行四邊形ABCD的頂點A,B,D的坐標分別為(0,0),(5,0),(3,2),則頂點C的坐標是 .
5.(8分·應用意識、模型觀念)如圖,在平行四邊形ABCD中,點E在BC邊上,
且AD=DE,點F為線段DE上一點,且∠AFD=∠C.求證:AF=DC.

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