資源簡介

2　平行四邊形的判定
第2課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
1.能證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 幾何直觀、推理能力
2.理解平行四邊形的判定定理,并學(xué)會簡單運用 應(yīng)用意識、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實
新知要點
平行四邊形的判定定理3
(1)文字敘述:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;
(2)符號語言:∵AO=OC,BO=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
對點小練
在四邊形ABCD中,已知OA=OC,再添加一個條件能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是(C)
A.AB=CD
B.AD=BC
C.OB=OD
D.∠BAD+∠ADC=180°
重點典例研析
重點1對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(教材溯源·P144例2·2023·杭州中考)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在對角線BD上,且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
(2)若△ABE的面積等于2,求△CFO的面積.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,∴EO=FO,
∴四邊形AECF是平行四邊形;
(2)∵BE=EF,∴S△ABE=S△AEF=2,
∵四邊形AECF是平行四邊形,
∴S△AEF=S△CEF=2,EO=FO,∴S△CFO=1.
【舉一反三】
已知,如圖所示,AB,CD相交于點O,AC∥DB,AO=BO,E,F分別是OC,OD的中點.
求證:四邊形AFBE是平行四邊形.
【證明】因為AC∥BD,所以∠C=∠D.
在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(AAS),
∴CO=DO.
∵E,F分別是OC,OD的中點,
∴OF=OD,OE=OC,∴EO=FO,
又∵AO=BO,
∴四邊形AFBE是平行四邊形.
【技法點撥】
用對角線互相平分判定平行四邊形的幾種情況
1.當出現(xiàn)線段的中點時;
2.當出現(xiàn)兩條線段互相平分時;
3.當要證的平行四邊形與已知的平行四邊形有一條公共對角線,而另一條對角線在一條直線上時.
重點2 平行四邊形判定方法的選擇(幾何直觀、模型觀念)
【典例2】(2024·吉安期末)如圖所示,E,F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點.
(1)若AB=CD,只添加一個條件:　　　,使四邊形ABCD為平行四邊形;
(2)在(1)的條件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求證:四邊形BEDF是平行四邊形.
【自主解答】(1)只添加一個條件:AB∥CD(答案不唯一),
∵AB=CD,AB∥CD,
∴四邊形ABCD為平行四邊形;
答案:AB∥CD(答案不唯一)
(2)如圖所示,連接BF,DE,
∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF,∠BEA=∠DFC=90°,
∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF,
在△BAE和△DCF中,,
∴△BAE≌△DCF(AAS),
∴BE=DF,
又∵BE∥DF,
∴四邊形BEDF是平行四邊形.
【舉一反三】
如圖所示,請在下列四個關(guān)系中,選出兩個恰當?shù)年P(guān)系作為條件,推出四邊形ABCD是平行四邊形,并予以證明.(寫出一種即可)
關(guān)系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四邊形ABCD中,　　,　　,
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【解析】已知:①③,①④,②④,③④均可,其余均不可以.
方法一:
已知:在四邊形ABCD中,①AD∥BC,③∠A=∠C,
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
證明:∵AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°,
∵∠A=∠C,
∴∠C+∠B=180°.
∴AB∥CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
方法二:
已知:在四邊形ABCD中,①AD∥BC,④∠B+∠C=180°,
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
證明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,
又∵AD∥BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形;
方法三:
已知:在四邊形ABCD中,②AB=CD,④∠B+∠C=180°,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
證明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,
又∵AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形;
方法四:
已知:在四邊形ABCD中,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°,
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
證明:∵∠B+∠C=180°,
∴AB∥CD,
又∵∠A=∠C,
∴∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
【技法點撥】
　判定平行四邊形的方法選擇
已知條件 證明思路
一組對邊相等 另一組對邊也相等
相等的邊也平行
一組對邊平行 另一組對邊也平行
平行的邊也相等
一組對角相等 另一組對角也相等
一組對邊平行
對角線相交 對角線互相平分
素養(yǎng)當堂測評
1.(4分·幾何直觀、模型觀念·2024·樂山中考)如圖所示,下列條件中,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是(D)
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
2.(4分·幾何直觀、模型觀念)在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,在下列條件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能判定四邊形ABCD為平行四邊形的有　①②④⑤　(填序號).
3.(7分·幾何直觀、推理能力)如圖所示,在四邊形ABCD中,M,N分別是BD上兩點,AM∥CN,AN∥CM.若BM=DN,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【證明】如圖,連接AC交BD于點O,
∵AM∥CN,AN∥CM,
∴四邊形AMCN是平行四邊形,
∴OM=ON,OA=OC,
∵BM=DN,
∴OM+BM=ON+DN,
即OB=OD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.2　平行四邊形的判定
第2課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
1.能證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 幾何直觀、推理能力
2.理解平行四邊形的判定定理,并學(xué)會簡單運用 應(yīng)用意識、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實
新知要點
平行四邊形的判定定理3
(1)文字敘述:對角線 的四邊形是平行四邊形;
(2)符號語言:∵AO=OC,BO=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
對點小練
在四邊形ABCD中,已知OA=OC,再添加一個條件能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是( )
A.AB=CD
B.AD=BC
C.OB=OD
D.∠BAD+∠ADC=180°
重點典例研析
重點1對角線互相平分的四邊形是平行四邊形(幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(教材溯源·P144例2·2023·杭州中考)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在對角線BD上,且BE=EF=FD,連接AE,EC,CF,FA.
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形.
(2)若△ABE的面積等于2,求△CFO的面積.
【舉一反三】
已知,如圖所示,AB,CD相交于點O,AC∥DB,AO=BO,E,F分別是OC,OD的中點.
求證:四邊形AFBE是平行四邊形.
【技法點撥】
用對角線互相平分判定平行四邊形的幾種情況
1.當出現(xiàn)線段的中點時;
2.當出現(xiàn)兩條線段互相平分時;
3.當要證的平行四邊形與已知的平行四邊形有一條公共對角線,而另一條對角線在一條直線上時.
重點2 平行四邊形判定方法的選擇(幾何直觀、模型觀念)
【典例2】(2024·吉安期末)如圖所示,E,F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點.
(1)若AB=CD,只添加一個條件: ,使四邊形ABCD為平行四邊形;
(2)在(1)的條件下,若BE⊥AC,DF⊥AC,求證:四邊形BEDF是平行四邊形.
【舉一反三】
如圖所示,請在下列四個關(guān)系中,選出兩個恰當?shù)年P(guān)系作為條件,推出四邊形ABCD是平行四邊形,并予以證明.(寫出一種即可)
關(guān)系:①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°.
已知:在四邊形ABCD中, , ,
求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
.
【技法點撥】
　判定平行四邊形的方法選擇
已知條件 證明思路
一組對邊相等 另一組對邊也相等
相等的邊也平行
一組對邊平行 另一組對邊也平行
平行的邊也相等
一組對角相等 另一組對角也相等
一組對邊平行
對角線相交 對角線互相平分
素養(yǎng)當堂測評
1.(4分·幾何直觀、模型觀念·2024·樂山中考)如圖所示,下列條件中,不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
2.(4分·幾何直觀、模型觀念)在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,在下列條件中,①AB∥CD,AD∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AB∥CD,AD=BC;④OA=OC,OB=OD;⑤AB∥CD,∠BAD=∠BCD,能判定四邊形ABCD為平行四邊形的有 (填序號).
3.(7分·幾何直觀、推理能力)如圖所示,在四邊形ABCD中,M,N分別是BD上兩點,AM∥CN,AN∥CM.若BM=DN,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.2　平行四邊形的判定
第3課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
1.利用平行四邊形的判定定理探索平行線間的關(guān)系 幾何直觀、運算能力
2.熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)與判定定理 推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識
基礎(chǔ)主干落實
新知要點
1.平行線之間的距離的定義
如果兩條直線互相平行,則其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離都相等,這個距離稱為平行線之間的距離.
對點小練
1.如圖所示,直線l1∥l2,其中P在l1上,A,B,C,D在l2上,且PB⊥l2,則l1與l2間的距離是(B)
A.線段PA 的長度
B.線段 PB 的長度
C.線段PC 的長度
D.線段 PD 的長度
新知要點
2.性質(zhì):(1)兩條平行線之間的距離處處相等;
(2)夾在兩條平行線間的平行線段相等.
對點小練
2.如圖所示,將一把帶有60°角的三角尺放在兩條平行線間,三角尺最短邊長為
24 cm,三角尺最短邊和平行線成45°角,則平行線間的距離為(B)
A.12 cm　　　B.12 cm
C.24 cm　　　D.24 cm
重點典例研析
重點1 平行線間的距離(幾何直觀、運算能力)
【典例1】如圖所示,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AC=2AD,點E是OD的中點,連接AE.
(1)求證:AE⊥BD;
(2)若BD=8,AC=12,求 ABCD的面積以及AB,CD兩條平行線間的距離.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AC=2AO,∵AC=2AD,∴AO=AD,
又∵E為OD的中點,∴AE⊥BD;
(2)∵BD=8,∴OE=2,BE=6,
∵AC=12,∴AO=6,
∴AE===4,
∴S ABCD=2S△ABD=2××BD·AE
=8×4=32,∴S△ABD=16.
設(shè)AB,CD兩條平行線間的距離為x,
AB===2,
則x·AB=16,即x=16,
∴x=,即AB,CD兩條平行線間的距離為.
【舉一反三】
1. (2024·永州期末)如圖所示,直線l1∥l2,△ABC的面積為10,則△DBC的面積(C)
A.大于10 B.小于10
C.等于10 D.不確定
2.如圖所示,在 ABCD中,過對角線BD上任意一點P作EF∥BC,GH∥AB,且AH=2HD,若△HDP的面積為1,則 ABCD的面積為(D)
A.9 B.6
C.12 D.18
重點2平行四邊形的性質(zhì)和判定定理的綜合運用(推理能力、應(yīng)用意識)
【典例2】(教材溯源·P146例4·2023·綿陽中考)如圖, ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在AC上,且AE=CF.
(1)求證:BE∥DF;
(2)過點O作OM⊥BD,垂足為O,交DF于點M,若△BFM的周長為12,求四邊形BEDF的周長.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥DC,AB=DC,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE與△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS),
∴∠AEB=∠CFD,
∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF;
(2)由(1)知,△ABE≌△CDF,BE∥DF,∴BE=DF,
∴四邊形BEDF是平行四邊形,∴DO=BO,
∵OM⊥BD,∴DM=BM,
∵△BFM的周長為12,
∴BM+MF+BF=DM+MF+BF=DF+BF=12,
∴四邊形BEDF的周長為24.
【舉一反三】
(2024·北京期中)已知:如圖所示,四邊形ABCD為平行四邊形,點E,A,C,F在同一直線上,AE=CF.求證:四邊形BFDE為平行四邊形.
【證明】連接BE,DF,
∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAF=∠DCE,
∵AE=CF,
∴AF=CE,
∴△CDE≌△ABF(SAS),
∴DE=BF,∠DEC=∠BFA,
∴DE∥BF,
∴四邊形BFDE為平行四邊形.
【技法點撥】
平行四邊形性質(zhì)和判定定理的綜合應(yīng)用
素養(yǎng)當堂測評
1.(3分·幾何直觀、推理能力)如圖所示,是由小正方形組成的3×3的網(wǎng)格,每個小正方形的頂點稱為格點,線段AB的兩個端點都是格點,以AB為對角線作平行四邊形,使另兩個頂點也在格點上,則這樣的平行四邊形最多可以作　　　個.(C)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(3分·幾何直觀、推理能力)如圖所示,點E,F分別是 ABCD邊AD,BC的中點,G,H是對角線BD上的兩點,且BG=DH.則下列結(jié)論中,不正確的是(D)
A.GF=EH
B.四邊形EGFH是平行四邊形
C.EG=FH
D.EH⊥BD
3.(4分·幾何直觀,模型觀念)設(shè)AB,CD,EF是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線,已知AB與CD的距離是12 cm,EF與CD的距離是5 cm,則AB與EF的距離等于　7或17　cm.
4.(10分·應(yīng)用意識、模型觀念)如圖所示,在 ABCD中,點E,點F分別是AD,BC的中點,連接BE,DF.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)若BE平分∠ABC,AB=3,求平行四邊形ABCD的周長.
【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵點E,點F分別是AD,BC的中點,
∴AE=DE=AD,BF=CF=BC,
∴DE=BF,
又∵DE∥BF,∴四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
又∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AE=AB=3,
∴AD=2AE=6,
∴平行四邊形ABCD的周長=2×(3+6)=18.2　平行四邊形的判定
第1課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
1.能證明平行四邊形關(guān)于邊的兩種判定定理 幾何直觀、推理能力
2.理解平行四邊形的這兩種判定定理,并學(xué)會簡單運用 應(yīng)用意識、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實
新知要點
1.判定定理1
(1)文字敘述:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
(2)符號語言:∵AD=BC, ,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
對點小練
1.在四邊形ABCD中,AB=4,BC=5,當CD= ,DA= 時,四邊形ABCD是平行四邊形.
新知要點
2.判定定理2
(1)文字敘述:一組對邊 的四邊形是平行四邊形.
(2)符號語言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
對點小練
2.如圖,已知AB∥CD,添加下列條件可以使四邊形ABCD成為平行四邊形的是( )
A.∠1=∠2
B.AD=BC
C.AB=CD
D.AD=AB
重點典例研析
重點1兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形(幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(教材再開發(fā)·P142習(xí)題6.3T2變式)如圖,E,F是 ABCD對角線AC上的兩點,AE=CF.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)連接DE,BF,求證:四邊形DEBF是平行四邊形.
【舉一反三】
(2023·寧夏中考)如圖,已知EF∥AC,B,D分別是AC和EF上的點,∠EDC=∠CBE.求證:四邊形BCDE是平行四邊形.
【技法點撥】
平行四邊形判定的方法
1.定義法:兩組對邊分別平行(無需證明).
2.判定1:兩組對邊分別相等(利用三角形全等證明).
重點2 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(幾何直觀、模型觀念)
【典例2】(教材溯源·P141例1·2023·廣安中考)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為點E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【舉一反三】
(2024·鹽城期中)在平面直角坐標系中,有四個點O(0,0),A(4,0),B(1,3),C(x,3),若以O(shè),A,B,C為頂點的四邊形是平行四邊形,則x= .
素養(yǎng)當堂測評
1. (3分·幾何直觀、模型觀念)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,下列條件能判定這個四邊形是平行四邊形的是( )
A.AB∥DC,AD=BC　 B.AB=BC,AD=CD
C.AB∥DC,AB=DC　 D.AD=BC,AO=CO
2.(3分·幾何直觀、模型觀念)已知四邊形ABCD,有以下四個條件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.從這四個條件中任選兩個,能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數(shù)為( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(4分·模型觀念、推理能力)如圖,△ABC,△ACE,△ECD都是等邊三角形,則圖中的平行四邊形有 個.
4.(10分·幾何直觀、模型觀念)(2024·湖南中考)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,點E在邊AB上, .
請從“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件,填在橫線上(填序號),再解決下列問題:
(1)求證:四邊形BCDE為平行四邊形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求線段AE的長.2　平行四邊形的判定
第1課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
1.能證明平行四邊形關(guān)于邊的兩種判定定理 幾何直觀、推理能力
2.理解平行四邊形的這兩種判定定理,并學(xué)會簡單運用 應(yīng)用意識、模型觀念
基礎(chǔ)主干落實
新知要點
1.判定定理1
(1)文字敘述:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
(2)符號語言:∵AD=BC,AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
對點小練
1.在四邊形ABCD中,AB=4,BC=5,當CD=　4　,DA=　5　時,四邊形ABCD是平行四邊形.
新知要點
2.判定定理2
(1)文字敘述:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
(2)符號語言:∵AD∥BC,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
對點小練
2.如圖,已知AB∥CD,添加下列條件可以使四邊形ABCD成為平行四邊形的是(C)
A.∠1=∠2
B.AD=BC
C.AB=CD
D.AD=AB
重點典例研析
重點1兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形(幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(教材再開發(fā)·P142習(xí)題6.3T2變式)如圖,E,F是 ABCD對角線AC上的兩點,AE=CF.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)連接DE,BF,求證:四邊形DEBF是平行四邊形.
【自主解答】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
(2)連接DE,BF,如圖所示,
由(1)得:△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,同理:DE=BF,
∴四邊形DEBF是平行四邊形.
【舉一反三】
(2023·寧夏中考)如圖,已知EF∥AC,B,D分別是AC和EF上的點,∠EDC=∠CBE.求證:四邊形BCDE是平行四邊形.
【證明】∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°.
又∵∠EDC=∠CBE,
∴∠CBE+∠C=180°,∴EB∥DC,
∴四邊形BCDE是平行四邊形.
【技法點撥】
平行四邊形判定的方法
1.定義法:兩組對邊分別平行(無需證明).
2.判定1:兩組對邊分別相等(利用三角形全等證明).
重點2 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(幾何直觀、模型觀念)
【典例2】(教材溯源·P141例1·2023·廣安中考)如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD交于點O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分別為點E,F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
【自主解答】∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,
∴AE=CF.
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD.
在△ABE與△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AB=CD,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
【舉一反三】
(2024·鹽城期中)在平面直角坐標系中,有四個點O(0,0),A(4,0),B(1,3),C(x,3),若以O(shè),A,B,C為頂點的四邊形是平行四邊形,則x=　-3或5　.
素養(yǎng)當堂測評
1. (3分·幾何直觀、模型觀念)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,下列條件能判定這個四邊形是平行四邊形的是(C)
A.AB∥DC,AD=BC　 B.AB=BC,AD=CD
C.AB∥DC,AB=DC　 D.AD=BC,AO=CO
2.(3分·幾何直觀、模型觀念)已知四邊形ABCD,有以下四個條件:①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD.從這四個條件中任選兩個,能使四邊形ABCD成為平行四邊形的選法種數(shù)為(C)
A.6 B.5 C.4 D.3
3.(4分·模型觀念、推理能力)如圖,△ABC,△ACE,△ECD都是等邊三角形,則圖中的平行四邊形有　2　個.
4.(10分·幾何直觀、模型觀念)(2024·湖南中考)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,點E在邊AB上,　　　.
請從“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件,填在橫線上(填序號),再解決下列問題:
(1)求證:四邊形BCDE為平行四邊形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求線段AE的長.
【解析】(1)選擇①,∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,
又∵AB∥CD,∴四邊形BCDE為平行四邊形.
選擇②,∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,
又∵AB∥CD,∴四邊形BCDE為平行四邊形.
(2)由(1)可知,四邊形BCDE為平行四邊形,∴DE=BC=10,
∵AD⊥AB,∴∠A=90°,
∴AE===6,
即線段AE的長為6.2　平行四邊形的判定
第3課時
課時學(xué)習(xí)目標 素養(yǎng)目標達成
1.利用平行四邊形的判定定理探索平行線間的關(guān)系 幾何直觀、運算能力
2.熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)與判定定理 推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識
基礎(chǔ)主干落實
新知要點
1.平行線之間的距離的定義
如果兩條直線 ,則其中一條直線上任意一點到另一條直線的 都相等,這個距離稱為平行線之間的距離.
對點小練
1.如圖所示,直線l1∥l2,其中P在l1上,A,B,C,D在l2上,且PB⊥l2,則l1與l2間的距離是( )
A.線段PA 的長度
B.線段 PB 的長度
C.線段PC 的長度
D.線段 PD 的長度
新知要點
2.性質(zhì):(1)兩條平行線之間的距離處處 ;
(2)夾在兩條平行線間的 相等.
對點小練
2.如圖所示,將一把帶有60°角的三角尺放在兩條平行線間,三角尺最短邊長為
24 cm,三角尺最短邊和平行線成45°角,則平行線間的距離為( )
A.12 cm　　　B.12 cm
C.24 cm　　　D.24 cm
重點典例研析
重點1 平行線間的距離(幾何直觀、運算能力)
【典例1】如圖所示,在 ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,AC=2AD,點E是OD的中點,連接AE.
(1)求證:AE⊥BD;
(2)若BD=8,AC=12,求 ABCD的面積以及AB,CD兩條平行線間的距離.
【舉一反三】
1. (2024·永州期末)如圖所示,直線l1∥l2,△ABC的面積為10,則△DBC的面積( )
A.大于10 B.小于10
C.等于10 D.不確定
2.如圖所示,在 ABCD中,過對角線BD上任意一點P作EF∥BC,GH∥AB,且AH=2HD,若△HDP的面積為1,則 ABCD的面積為( )
A.9 B.6
C.12 D.18
重點2平行四邊形的性質(zhì)和判定定理的綜合運用(推理能力、應(yīng)用意識)
【典例2】(教材溯源·P146例4·2023·綿陽中考)如圖, ABCD的對角線AC,BD相交于點O,點E,F在AC上,且AE=CF.
(1)求證:BE∥DF;
(2)過點O作OM⊥BD,垂足為O,交DF于點M,若△BFM的周長為12,求四邊形BEDF的周長.
【舉一反三】
(2024·北京期中)已知:如圖所示,四邊形ABCD為平行四邊形,點E,A,C,F在同一直線上,AE=CF.求證:四邊形BFDE為平行四邊形.
【技法點撥】
平行四邊形性質(zhì)和判定定理的綜合應(yīng)用
素養(yǎng)當堂測評
1.(3分·幾何直觀、推理能力)如圖所示,是由小正方形組成的3×3的網(wǎng)格,每個小正方形的頂點稱為格點,線段AB的兩個端點都是格點,以AB為對角線作平行四邊形,使另兩個頂點也在格點上,則這樣的平行四邊形最多可以作 個.( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(3分·幾何直觀、推理能力)如圖所示,點E,F分別是 ABCD邊AD,BC的中點,G,H是對角線BD上的兩點,且BG=DH.則下列結(jié)論中,不正確的是( )
A.GF=EH
B.四邊形EGFH是平行四邊形
C.EG=FH
D.EH⊥BD
3.(4分·幾何直觀,模型觀念)設(shè)AB,CD,EF是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線,已知AB與CD的距離是12 cm,EF與CD的距離是5 cm,則AB與EF的距離等于 cm.
4.(10分·應(yīng)用意識、模型觀念)如圖所示,在 ABCD中,點E,點F分別是AD,BC的中點,連接BE,DF.
(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;
(2)若BE平分∠ABC,AB=3,求平行四邊形ABCD的周長.

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