資源簡介

3　三角形的中位線
課時學習目標 素養目標達成
1.理解三角形中位線的定義,會證明三角形的中位線定理 幾何直觀、推理能力
2.能應用三角形中位線定理解決相關的問題 運算能力、應用意識、模型觀念
基礎主干落實
新知要點
1.三角形中位線的定義
(1)文字敘述:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線;
(2)符號語言:
∵AD=BD,AE=CE,
∴DE是△ABC的中位線.
2.中位線定理:
(1)文字敘述:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半;
(2)符號語言:∵DE為△ABC的中位線,
∴DE∥BC,且DE=BC.
對點小練
1.如圖所示,線段DE是△ABC的中位線,若BC=20 cm,則DE=　10 cm　;
若∠ADE=32°,則∠B=　32　°.
2.如圖所示,點D,E分別是△ABC的邊BA,BC的中點,DE=6,則AC的長為　12　.
重點典例研析
重點1三角形中位線定理(幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(2024·北京中考節選)如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點,DB,CE交于點F,DF=FB,AF∥DC.求證:四邊形AFCD為平行四邊形.
【自主解答】∵E是AB的中點,∴AE=BE,
∵DF=BF,∴EF是△ABD的中位線,
∴EF∥AD,∴CF∥AD,
∵AF∥CD,∴四邊形AFCD為平行四邊形.
【舉一反三】
1.(2024·浙江中考)如圖,D,E分別是△ABC邊AB,AC的中點,連接BE,DE.
若∠AED=∠BEC, DE=2,則BE的長為　4　.
2.(2024·濟寧期末)如圖所示,在四邊形ABCD中,點E,F分別是邊AB,AD的中點,BC=10,CD=6,EF=4,∠AFE=52°,則∠ADC的度數為　142°　.　　　　　　　　　
重點2 中點四邊形(推理能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發·P152習題6.6T3變式)
如圖所示,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
【自主解答】連接AC,如圖所示,∵點E是AB的中點,點F是BC的中點,
∴EF∥AC,EF=AC.
同理,可得出:HG∥AC,HG=AC,
∴EF∥HG,EF=HG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
【舉一反三】
1.如圖所示,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BD,CD,AC的中點,AD=4,BC=5,則四邊形EFGH的周長是　9　.
2.如圖所示,△ABC的中線BE,CF相交于點G,已知P,Q分別是BG,CG的中點.求證:四邊形EFPQ是平行四邊形.
【證明】∵BE,CF是△ABC的中線,∴AF=BF,AE=CE,∴EF=BC,EF∥BC,
∵P,Q分別是BG,CG的中點,∴PQ=BC,PQ∥BC,∴PQ=EF,PQ∥EF,
∴四邊形EFPQ是平行四邊形.
【技法點撥】
中點四邊形規律小結
(1)當原四邊形是一般四邊形時,它的中點四邊形是平行四邊形;
(2)中點四邊形的形狀與原四邊形對角線互相平分無關;
(3)中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和;
(4)中點四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.
素養當堂測評
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖所示,在△ABC中,AB=BC=7,BD平分∠ABC交AC于點D,點F在BC上,且BF=1,連接AF,E為AF的中點,連接DE,則DE的長為(B)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖所示,在四邊形ABCD中,AD=BC,點P是對角線BD的中點,E,F分別是AB,CD的中點,若∠EPF=130°,則∠PEF的度數為(A)
A.25° B.30° C.35° D.50°
3.(4分·幾何直觀、模型觀念)如圖所示,在四邊形ABCD中,∠BCD=90°,連接AC,點E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,若BC=GC=2,AC=2,則四邊形EFGH的周長為　4　. 3　三角形的中位線
課時學習目標 素養目標達成
1.理解三角形中位線的定義,會證明三角形的中位線定理 幾何直觀、推理能力
2.能應用三角形中位線定理解決相關的問題 運算能力、應用意識、模型觀念
基礎主干落實
新知要點
1.三角形中位線的定義
(1)文字敘述:連接三角形 叫做三角形的中位線;
(2)符號語言:
∵AD=BD,AE=CE,
∴DE是△ABC的中位線.
2.中位線定理:
(1)文字敘述:三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半;
(2)符號語言:∵DE為△ABC的中位線,
∴DE∥BC,且DE=BC.
對點小練
1.如圖所示,線段DE是△ABC的中位線,若BC=20 cm,則DE= ;
若∠ADE=32°,則∠B= °.
2.如圖所示,點D,E分別是△ABC的邊BA,BC的中點,DE=6,則AC的長為 .
重點典例研析
重點1三角形中位線定理(幾何直觀、模型觀念)
【典例1】(2024·北京中考節選)如圖,在四邊形ABCD中,E是AB的中點,DB,CE交于點F,DF=FB,AF∥DC.求證:四邊形AFCD為平行四邊形.
【舉一反三】
1.(2024·浙江中考)如圖,D,E分別是△ABC邊AB,AC的中點,連接BE,DE.
若∠AED=∠BEC, DE=2,則BE的長為 .
2.(2024·濟寧期末)如圖所示,在四邊形ABCD中,點E,F分別是邊AB,AD的中點,BC=10,CD=6,EF=4,∠AFE=52°,則∠ADC的度數為 .　　　　　　　　　
重點2 中點四邊形(推理能力、模型觀念)
【典例2】(教材再開發·P152習題6.6T3變式)
如圖所示,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.
【舉一反三】
1.如圖所示,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BD,CD,AC的中點,AD=4,BC=5,則四邊形EFGH的周長是 .
2.如圖所示,△ABC的中線BE,CF相交于點G,已知P,Q分別是BG,CG的中點.求證:四邊形EFPQ是平行四邊形.
【技法點撥】
中點四邊形規律小結
(1)當原四邊形是一般四邊形時,它的中點四邊形是平行四邊形;
(2)中點四邊形的形狀與原四邊形對角線互相平分無關;
(3)中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和;
(4)中點四邊形的面積等于原四邊形面積的一半.
素養當堂測評
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖所示,在△ABC中,AB=BC=7,BD平分∠ABC交AC于點D,點F在BC上,且BF=1,連接AF,E為AF的中點,連接DE,則DE的長為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖所示,在四邊形ABCD中,AD=BC,點P是對角線BD的中點,E,F分別是AB,CD的中點,若∠EPF=130°,則∠PEF的度數為( )
A.25° B.30° C.35° D.50°
3.(4分·幾何直觀、模型觀念)如圖所示,在四邊形ABCD中,∠BCD=90°,連接AC,點E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,若BC=GC=2,AC=2,則四邊形EFGH的周長為 .

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