資源簡介

4　多邊形的內角和與外角和
課時學習目標 素養目標達成
掌握多邊形的內角和與外角和定理 運算能力、幾何直觀、應用意識
基礎主干落實
新知要點
1.多邊形的內角和定理
(1)多邊形的內角和:從n邊形的一個頂點出發可以引(n-3)條對角線,這些對角線把n邊形分割成(n-2)個三角形,因此n邊形的內角和為(n-2)·180°.
(2)正n邊形的每個內角是.
對點小練
1.(1)從五邊形的一個頂點出發,可以畫出　兩　條對角線.
(2)從一個七邊形的某個頂點出發,分別連接這個點與其余各頂點,可以把一個七邊形分割成　5　個三角形.
(3)正七邊形的內角和為　900°　.
新知要點
2.多邊形的外角和定理
(1)多邊形的外角:多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角.
(2)多邊形的外角和都等于360°.
(3)正n邊形的每個外角等于.
對點小練
2.(1)七邊形的外角和為(C)
A.1260°　　　　B.900°
C.360° D.180°
(2)正六邊形的一個外角的度數為　60　°.
重點典例研析
重點1 多邊形的內角和定理(運算能力、幾何直觀)
【典例1】(教材再開發·P153例1變式)如圖,在正五邊形ABCDE中,AF∥CD交DB的延長線于點F,交DE的延長線于點G,求∠G的度數.
【自主解答】方法1:∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴∠C=∠CDE==108°,CD=CB,
∴∠CDB=36°,
∴∠GDF=108°-36°=72°,
∵AF∥CD,
∴∠F=∠CDB=36°,
∴∠G=180°-∠GDF-∠F=72°;
方法2:∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴∠CDG==108°.
∵AF∥CD,
∴∠G=180°-∠CDG=72°.
【舉一反三】
1.(2024·威海中考)如圖,在正六邊形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足為點I.
若∠EFG=20°,則∠ABI=　50°　.
2.如果一個正方形被截掉一個角后,得到一個多邊形,那么這個多邊形的內角和是
　540°或360°或180°　.
【技法點撥】
多邊形內角和的三點注意
(1)多邊形的內角和是指n個內角的度數之和.
(2)多邊形的內角和為(n-2)·180°,且內角和為180°的整數倍.
(3)由多邊形的邊數可以求出其內角和,由多邊形的內角和也可以求出多邊形的邊數.
重點2多邊形的外角和定理(幾何直觀、模型觀念、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P156例2拓展)若BP,CP分別平分△ABC的內角∠ABC和∠ACB,那么∠P與∠A之間有怎樣的等量關系
【自主解答】∠P=90°+∠A,理由如下:
∵BP,CP分別平分∠ABC和∠ACB,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB=(180°-∠A)=90°-∠A,
∴∠P=180°-∠PCB-∠PBC=180°-(90°-∠A)=90°+∠A.
【舉一反三】
1.如圖,若BP,CP分別平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE,那么∠P與∠A之間有怎樣的等量關系
【解析】∠P=90°-∠A,理由如下:
∵BP,CP分別平分∠DBC和∠BCE,
∴∠PBC=∠DBC,∠PCB=∠ECB,
∴∠PBC+∠PCB=∠DBC+∠ECB=(180°+∠A)=90°+∠A,
∴∠P=180°-∠PCB-∠PBC=180°-(90°+∠A)=90°-∠A.
2.如圖,若BP,CP分別平分△ABC的內角∠ABC和外角∠ACF,那么∠P與∠A之間有怎樣的等量關系
【解析】∠P=∠A,理由如下:
∵BP,CP分別平分∠ABC和∠ACF,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCF=∠ACF,
∴∠P=∠PCF-∠PBC=∠ACF-∠ABC=(∠ACF-∠ABC)=∠A,∴∠P=∠A.
素養當堂測評
1.(4分·幾何直觀)從六邊形的一個頂點出發,可以畫m條對角線,它們將六邊形分成n個三角形,則m+n=(C)
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(4分·運算能力)一個多邊形的內角和等于外角和的兩倍,那么這個多邊形是(D)
A.三邊形　B.四邊形　C.五邊形　D.六邊形
3.(4分·運算能力、幾何直觀·2024·赤峰中考)如圖是正n邊形紙片的一部分,其中l,m是正n邊形兩條邊的一部分,若l,m所在的直線相交形成的銳角為60°,則n的值是(B)
A.5 B.6 C.8 D.10
4.(8分·幾何直觀、運算能力)如圖,在四邊形ABCD中,BP,CP分別平分∠ABC,
∠BCD.
(1)若∠A=100°,∠D=130°,∠ABC=∠BCD,求∠ABC的度數;
(2)若∠A=α,∠D=β,求∠BPC.(用含α,β的式子表示)
【解析】(1)∵∠A=100°,∠D=130°,
∴∠ABC+∠BCD=(4-2)×180°-100°-130°=360°-100°-130°=130°,
∵∠ABC=∠BCD,∴∠ABC=65°;
(2)∵BP,CP分別平分∠ABC,∠BCD,
∴∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠BCD,
∵∠A=α,∠D=β,∴∠ABC+∠BCD=360°-α-β,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠BCD)
=(360°-α-β)=180°-(α+β),
∴∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
=180°-[180°-(α+β)]=180°-180°+(α+β)=(α+β).4　多邊形的內角和與外角和
課時學習目標 素養目標達成
掌握多邊形的內角和與外角和定理 運算能力、幾何直觀、應用意識
基礎主干落實
新知要點
1.多邊形的內角和定理
(1)多邊形的內角和:從n邊形的一個頂點出發可以引 條對角線,這些對角線把n邊形分割成 個三角形,因此n邊形的內角和為 .
(2)正n邊形的每個內角是.
對點小練
1.(1)從五邊形的一個頂點出發,可以畫出 條對角線.
(2)從一個七邊形的某個頂點出發,分別連接這個點與其余各頂點,可以把一個七邊形分割成 個三角形.
(3)正七邊形的內角和為 .
新知要點
2.多邊形的外角和定理
(1)多邊形的外角:多邊形內角的一邊與另一邊的 所組成的角.
(2)多邊形的外角和都等于 .
(3)正n邊形的每個外角等于.
對點小練
2.(1)七邊形的外角和為( )
A.1260°　　　　B.900°
C.360° D.180°
(2)正六邊形的一個外角的度數為 °.
重點典例研析
重點1 多邊形的內角和定理(運算能力、幾何直觀)
【典例1】(教材再開發·P153例1變式)如圖,在正五邊形ABCDE中,AF∥CD交DB的延長線于點F,交DE的延長線于點G,求∠G的度數.
【舉一反三】
1.(2024·威海中考)如圖,在正六邊形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足為點I.
若∠EFG=20°,則∠ABI= .
2.如果一個正方形被截掉一個角后,得到一個多邊形,那么這個多邊形的內角和是
.
【技法點撥】
多邊形內角和的三點注意
(1)多邊形的內角和是指n個內角的度數之和.
(2)多邊形的內角和為(n-2)·180°,且內角和為180°的整數倍.
(3)由多邊形的邊數可以求出其內角和,由多邊形的內角和也可以求出多邊形的邊數.
重點2多邊形的外角和定理(幾何直觀、模型觀念、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P156例2拓展)若BP,CP分別平分△ABC的內角∠ABC和∠ACB,那么∠P與∠A之間有怎樣的等量關系
【舉一反三】
1.如圖,若BP,CP分別平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE,那么∠P與∠A之間有怎樣的等量關系
2.如圖,若BP,CP分別平分△ABC的內角∠ABC和外角∠ACF,那么∠P與∠A之間有怎樣的等量關系
素養當堂測評
1.(4分·幾何直觀)從六邊形的一個頂點出發,可以畫m條對角線,它們將六邊形分成n個三角形,則m+n=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(4分·運算能力)一個多邊形的內角和等于外角和的兩倍,那么這個多邊形是( )
A.三邊形　B.四邊形　C.五邊形　D.六邊形
3.(4分·運算能力、幾何直觀·2024·赤峰中考)如圖是正n邊形紙片的一部分,其中l,m是正n邊形兩條邊的一部分,若l,m所在的直線相交形成的銳角為60°,則n的值是( )
A.5 B.6 C.8 D.10
4.(8分·幾何直觀、運算能力)如圖,在四邊形ABCD中,BP,CP分別平分∠ABC,
∠BCD.
(1)若∠A=100°,∠D=130°,∠ABC=∠BCD,求∠ABC的度數;
(2)若∠A=α,∠D=β,求∠BPC.(用含α,β的式子表示)

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