資源簡介

1　因式分解
課時學習目標 素養目標達成
1.經歷探索因式分解方法的過程,體會數學知識的整體聯系 推理能力
2.了解因式分解的意義,以及與整式乘法的互逆關系 抽象能力、推理能力
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
1.因式分解:把一個多項式化成 的形式,這種變形叫做因式分解. 1.下列各式從左到右的變形,屬于因式分解的是( ) A.(a+b)·(a+b)=(a+b)2　 B.x2-4x+4=(x-2)2 C.x2+2x+2=(x+1)2+1 D.(x-y)2=x2-2xy+y2
2.因式分解與整式乘法的關系:整式乘法與多項式的因式分解是 的過程. 2.對于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2xy=x(1-2y),從左到右的變形,表述正確的是( ) A.都是乘法運算　　　 B.①是乘法運算,②是因式分解 C.都是因式分解 D.①是因式分解,②是乘法運算
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 因式分解的概念(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P93隨堂練習T2)下列從左邊到右邊的變形中,哪些是因式分解 哪些不是因式分解 如果不是,請說明理由.
(1)(x+4)(x-4)=x2-16;
(2)x2-4=(x+2)(x-2);
(3)x4-y4+1=(x2+y2)(x+y)(x-y)+1;
(4)x2-2x+1=x(x-2)+1;
(5)x2-4xy+4y2=(x-2y)2;
(6)-a2-2ab-b2=-(a+b)2.
【舉一反三】
1.下列從左到右的變形中,是因式分解的是( )
A.(m-3)(m+3)=m2-9
B.m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1
D.m2+2m=m(m+2)
2.學完因式分解后,李老師在黑板上寫下了3個等式:①15x2y=3x·5xy;②(x+y)(x-y) =x2-y2;③4x2-4x+1=(2x-1)2.其中是因式分解的有( )
A.0個 B.1個
C.2個 D.3個
【技法點撥】
因式分解的四點注意
1.分解的對象必須是多項式.
2.分解的結果一定是幾個整式的乘積的形式.
3.要分解到不能分解為止.
4.分解后的括號內有同類項要合并.
重點2 因式分解與整式乘法的關系(推理能力)
【典例2】仔細閱讀下面例題,解答問題:
例題:已知二次三項式x2-4x+m有一個因式是x+3,求另一個因式以及m的值.
解:設另一個因式為(x+n),則x2-4x+m
=(x+3)·(x+n)=x2+(n+3)x+3n,
∴n+3=-4,m=3n,解得n=-7,m=-21,∴另一個因式為(x-7),m的值為-21.
問題:
(1)若二次三項式x2-5x+6可分解為(x-2)(x+a),則a= ;
(2)若二次三項式2x2+bx-5可分解為(2x-1)(x+5),則b= ;
(3)仿照上面的方法解答下面的問題:已知二次三項式2x2+5x-k有一個因式是2x-3,求另一個因式以及k的值.
【舉一反三】
1.已知多項式x4+mx+n能分解為(x2+px+q)·(x2+2x-3),則p= ,q= .
2.分解因式x2+ax+b,甲看錯了a的值,分解的結果是(x-3)(x+2),乙看錯了b的值,分解的結果是(x-2)(x-3),求a+b的值.
【技法點撥】
因式分解與整式乘法的區別和聯系
項目 因式分解 整式乘法
區別 (1)把一個多項式化成幾個整式的積的形式; (2)是多項式的恒等變形 (1)把幾個整式相乘的形式化為一個整式的形式; (2)是一種運算
聯系 互逆的恒等變形:多項式幾個整式的積
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)下列等式,從左到右的變形,屬于因式分解的是( )
A.6x2y3=2x2·3y3　 B.a(a+1)(a-1)=a3-a
C.a2-2a+1=(a-1)2 D.x2+1=x(x+)
2.(3分·運算能力、推理能力)因式分解“16m2- ”得(4m+5n)(4m-5n),則“ ”是( )
A.5n2 B.25n2 C.75n2 D.125n2
3.(4分·幾何直觀)根據如圖所示的拼圖過程,寫出一個多項式的因式分解:
.
4.(4分·推理能力、運算能力)如果x2+Ax+B=(x-3)(x+5),則3A-B= .
5.(6分·運算能力、應用意識)利用因式分解說明:32 025-4×32 024+10×32 023能被21整除.1　因式分解
課時學習目標 素養目標達成
1.經歷探索因式分解方法的過程,體會數學知識的整體聯系 推理能力
2.了解因式分解的意義,以及與整式乘法的互逆關系 抽象能力、推理能力
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
1.因式分解:把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做因式分解. 1.下列各式從左到右的變形,屬于因式分解的是(B) A.(a+b)·(a+b)=(a+b)2　 B.x2-4x+4=(x-2)2 C.x2+2x+2=(x+1)2+1 D.(x-y)2=x2-2xy+y2
2.因式分解與整式乘法的關系:整式乘法與多項式的因式分解是互逆的過程. 2.對于①(x+1)(x-1)=x2-1,②x-2xy=x(1-2y),從左到右的變形,表述正確的是(B) A.都是乘法運算　　　 B.①是乘法運算,②是因式分解 C.都是因式分解 D.①是因式分解,②是乘法運算
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 因式分解的概念(抽象能力、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P93隨堂練習T2)下列從左邊到右邊的變形中,哪些是因式分解 哪些不是因式分解 如果不是,請說明理由.
(1)(x+4)(x-4)=x2-16;
(2)x2-4=(x+2)(x-2);
(3)x4-y4+1=(x2+y2)(x+y)(x-y)+1;
(4)x2-2x+1=x(x-2)+1;
(5)x2-4xy+4y2=(x-2y)2;
(6)-a2-2ab-b2=-(a+b)2.
【自主解答】(2)(5)(6)從左到右的變形符合因式分解的定義,是因式分解;(1)從左到右的變形屬于整式乘法,不是因式分解;(3)(4)從左到右的變形不是化成整式的積的形式,不是因式分解.
【舉一反三】
1.下列從左到右的變形中,是因式分解的是(D)
A.(m-3)(m+3)=m2-9
B.m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1
D.m2+2m=m(m+2)
2.學完因式分解后,李老師在黑板上寫下了3個等式:①15x2y=3x·5xy;②(x+y)(x-y) =x2-y2;③4x2-4x+1=(2x-1)2.其中是因式分解的有(B)
A.0個 B.1個
C.2個 D.3個
【技法點撥】
因式分解的四點注意
1.分解的對象必須是多項式.
2.分解的結果一定是幾個整式的乘積的形式.
3.要分解到不能分解為止.
4.分解后的括號內有同類項要合并.
重點2 因式分解與整式乘法的關系(推理能力)
【典例2】仔細閱讀下面例題,解答問題:
例題:已知二次三項式x2-4x+m有一個因式是x+3,求另一個因式以及m的值.
解:設另一個因式為(x+n),則x2-4x+m
=(x+3)·(x+n)=x2+(n+3)x+3n,
∴n+3=-4,m=3n,解得n=-7,m=-21,∴另一個因式為(x-7),m的值為-21.
問題:
(1)若二次三項式x2-5x+6可分解為(x-2)(x+a),則a=　　　　;
(2)若二次三項式2x2+bx-5可分解為(2x-1)(x+5),則b=　　　　;
(3)仿照上面的方法解答下面的問題:已知二次三項式2x2+5x-k有一個因式是2x-3,求另一個因式以及k的值.
【自主解答】(1)∵(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a=x2-5x+6,∴a-2=-5,
解得a=-3.
答案:-3
(2)∵(2x-1)(x+5)=2x2+9x-5=2x2+bx-5,∴b=9.
答案:9
(3)設另一個因式為(x+n),則2x2+5x-k=(2x-3)·(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,
∴2n-3=5,k=3n,解得n=4,k=12,
∴另一個因式為(x+4),k的值為12.
【舉一反三】
1.已知多項式x4+mx+n能分解為(x2+px+q)·(x2+2x-3),則p=　-2　,q=　7　.
2.分解因式x2+ax+b,甲看錯了a的值,分解的結果是(x-3)(x+2),乙看錯了b的值,分解的結果是(x-2)(x-3),求a+b的值.
【解析】∵分解因式x2+ax+b,甲看錯了a的值,分解的結果是(x-3)(x+2)=x2-x-6,
∴b=-6;
∵分解因式x2+ax+b,乙看錯了b的值,分解的結果是(x-2)(x-3)=x2-5x+6,
∴a=-5,∴a+b=-5-6=-11.
【技法點撥】
因式分解與整式乘法的區別和聯系
項目 因式分解 整式乘法
區別 (1)把一個多項式化成幾個整式的積的形式; (2)是多項式的恒等變形 (1)把幾個整式相乘的形式化為一個整式的形式; (2)是一種運算
聯系 互逆的恒等變形:多項式幾個整式的積
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·推理能力)下列等式,從左到右的變形,屬于因式分解的是(C)
A.6x2y3=2x2·3y3　 B.a(a+1)(a-1)=a3-a
C.a2-2a+1=(a-1)2 D.x2+1=x(x+)
2.(3分·運算能力、推理能力)因式分解“16m2- ”得(4m+5n)(4m-5n),則“ ”是(B)
A.5n2 B.25n2 C.75n2 D.125n2
3.(4分·幾何直觀)根據如圖所示的拼圖過程,寫出一個多項式的因式分解:
　x2+2x+4x+8=(x+4)(x+2)　.
4.(4分·推理能力、運算能力)如果x2+Ax+B=(x-3)(x+5),則3A-B=　21　.
5.(6分·運算能力、應用意識)利用因式分解說明:32 025-4×32 024+10×32 023能被21整除.
【解析】32 025-4×32 024+10×32 023
=32 023×32-4×32 023×3+10×32 023
=32 023(32-4×3+10)=32 023×7
=32 022×3×7=32 022×21,
∵32 022×21能被21整除,
∴32 025-4×32 024+10×32 023能被21整除.

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