資源簡介

第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.用分式方程的數學模型反映現實情境中的實際問題 應用意識、模型觀念
2.用分式方程解決現實情境中的問題 運算能力、應用意識、模型觀念
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
一、列分式方程解應用題的一般步驟 1.審:分析題意,找出數量關系和等量關系. 2.設:直接設法與間接設法. 3.列:根據等量關系,列出方程. 4.解:解方程,得未知數的值. 5.驗:有兩次檢驗.(1)是否為所列方程的解. (2)是否符合實際意義. 6.答:注意單位和答案完整. 二、常見的幾種實際問題類型 1.行程問題:路程=速度×時間. 2.工程問題:工作量=工作效率×工作時間. 3.利潤問題:利潤=售價-進價. 利潤率=×100%. 4.若用v表示輪船的速度,用v順,v逆,v水分別表示輪船順水、逆水和水流的速度,則 v順=v+v水,v逆=v-v水, v=, v水=. 1.A,B兩地相距36千米,一艘輪船從A地順流行至B地,又立即從B地逆流返回A地,共用9小時,已知水流速度為4千米/時,若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時,則可列方程為 =9　. 2.甲做360個零件與乙做480個零件所用的時間相同,已知兩人每天共做140個零件,若設甲每天做x個零件,所列方程正確的是(A) A.=　　　 B.= C.+=140 D.-140= 3.某學校用420元錢到商場去購買“84”消毒液,經過還價,每瓶便宜0.5元,結果比用原價多買了20瓶,求原價每瓶多少元.若設原價每瓶x元,則可列出方程為(B) A.-=20　 B.-=20 C.-=0.5 D.-=0.5
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1】工程及行程問題(運算能力、應用意識)
【典例1】(教材溯源·P129例3·2024揚州中考)為了提高垃圾處理效率,某垃圾處理廠購進A,B兩種機器,A型機器比B型機器每天多處理40噸垃圾,A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數相等.B型機器每天處理多少噸垃圾
【解析】設B型機器每天處理x噸垃圾,則A型機器每天處理(x+40)噸垃圾,
根據題意得:=,
解得:x=60,
經檢驗,x=60是所列方程的解,且符合題意.
答:B型機器每天處理60噸垃圾.
【舉一反三】
1.(2024·達州中考)甲、乙兩人各自加工120個零件,甲由于個人原因沒有和乙同時進行,乙先加工30分鐘后,甲開始加工.甲為了追趕上乙的進度,加工的速度是乙的1.2倍,最后兩人同時完成.求乙每小時加工零件多少個.設乙每小時加工x個零件,可列方程為(D)
A.-=30 B.-=30
C.-= D.-=
2.一艘輪船在靜水中的最大航速為30 km/h,它以最大航速沿江順流航行120 km所用時間,與以最大航速逆流航行60 km所用時間相同,則江水的流速為　10 km/h　.
3.(2024·云南中考)某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀,已知A地到B地的路程為300千米,乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時,C型車的平均速度是D型車平均速度的3倍,求D型車的平均速度.
【解析】設D型車的平均速度是x千米/時,則C型車的平均速度是3x千米/時,
根據題意得:-=2,解得:x=100,
經檢驗,x=100是所列方程的解,且符合題意.
答:D型車的平均速度是100千米/時.
【技法點撥】
工程問題及行程問題解題策略
(1)工程問題明確題中的等量關系,要抓住工作量=工作效率×工作時間或工作時間=.
(2)行程問題中明確的數量關系,速度=或時間=.
(3)注意避免常見的錯誤.
①易出現單位不統一的錯誤;
②有時候,解出的未知數的值符合方程,但與實際問題不符,易忘記舍去.
重點2銷售問題(運算能力、應用意識)
【典例2】(教材溯源·P129隨堂練習·2024重慶中考A卷)為促進新質生產力的發展,某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新換代.
(1)為鼓勵企業進行生產線的設備更新,某市出臺了相應的補貼政策.根據相關政策,更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼,更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30條生產線的設備,該企業可獲得70萬元的補貼.該企業甲、乙兩類生產線各有多少條
(2)經測算,更新1條甲類生產線的設備比更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元,用200萬元更新甲類生產線的設備數量和用180萬元更新乙類生產線的設備數量相同,那么該企業在獲得70萬元的補貼后,還需投入多少資金更新生產線的設備
【解析】(1)設該企業有x條甲類生產線,y條乙類生產線,
根據題意得:,解得:.
答:該企業有10條甲類生產線,20條乙類生產線;
(2)設更新1條乙類生產線的設備需投入m萬元,則更新1條甲類生產線的設備需投入(m+5)萬元,
根據題意得:=,解得:m=45,
經檢驗,m=45是所列方程的解,且符合題意,
∴10(m+5)+20m-70=10×(45+5)+20×45-70=1 330.
答:還需投入1 330萬元資金更新生產線的設備.
【舉一反三】
(2024·長春模擬)新能源汽車環保節能,越來越受到消費者的喜愛,各種品牌相繼投放市場,一汽貿公司經銷某品牌新能源汽車,去年銷售總額為5 000萬元,今年每輛車的銷售價格比去年降低2萬元,銷售數量與去年相同,銷售總額比去年少
1 000萬元,今年每輛車的銷售價格是多少萬元
【解析】設今年每輛車的銷售價格為x萬元,
根據題意,得=.
解得:x=8.
檢驗:當x=8時,x(x+2)≠0,所以x=8是原分式方程的解.
答:今年每輛車的銷售價格為8萬元.
【技法點撥】
銷售問題常用公式
(1)利潤=售價-進價.
(2)利潤率=×100%.
(3)售價=標價×.
(4)售價=進價×(1+利潤率).
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(3分·模型觀念、應用意識)甲、乙兩地相距400千米,一輛汽車從甲地開往乙地,實際每小時比原計劃多行駛12千米,結果提前1小時到達.設這輛汽車原計劃的平均速度為x千米/時,根據題意可列方程為(A)
A.=+1
B.=+1
C.+1=　
D.+1=
2.(3分·運算能力、應用意識、模型觀念)新安街道某段道路改造工程,由甲、乙兩個工程隊合作30天可完成,若單獨施工,甲工程隊所用天數是乙工程隊所用天數的2倍.甲工程隊單獨完成此項工程需要　90　天.
3.(9分·運算能力、應用意識·2023·濟寧中考)為加快公共領域充電基礎設施建設,某停車場計劃購買A,B兩種型號的充電樁.已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元,且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數量相等.
(1)A,B兩種型號充電樁的單價各是多少
(2)該停車場計劃共購買25個A,B型充電樁,購買總費用不超過26萬元,且B型充電樁的購買數量不少于A型充電樁購買數量的.問:共有哪幾種購買方案 哪種方案所需購買總費用最少
【解析】(1)設A型充電樁的單價為x萬元,則B型充電樁的單價為(x+0.3)萬元,根據題意得=,解得x=0.9,經檢驗x=0.9是原方程的解,x+0.3=1.2.
答:A型充電樁的單價為0.9萬元,B型充電樁的單價為1.2萬元;
(2)設購買A型充電樁m個,則購買B型充電樁(25-m)個,
根據題意,得:,
解得:≤m≤.
∵m為整數,∴m=14,15,16.∴該停車場有3種購買充電樁方案,方案一:購買14個A型充電樁、11個B型充電樁;方案二:購買15個A型充電樁、10個B型充電樁;方案三:購買16個A型充電樁、9個B型充電樁.
∵A型充電樁的單價低于B型充電樁的單價,
∴方案三所需購買總費用最少,最少費用為16×0.9+1.2×9=25.2(萬元).
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 三十四”4　分式方程
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解分式方程的概念 模型觀念
2.掌握解分式方程的基本思路和方法 運算能力
3.理解解分式方程時可能無解的原因,并掌握分式方程的驗根方法 推理能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.分式方程的定義 分母中 的方程. 1.下列方程是分式方程的是( ) A.-=0 B.=-2 C.x2-1=3 D.2x+1=3x
2.解分式方程的步驟: 2.(1)分式方程+=1的解為( ) A.x=2　　　　　　　 B.x=-2 C.x=1 D.x=-1 (2)方程=的解為 .
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1分式方程的定義(模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P125議一議拓展)判斷下列方程是不是分式方程,并說明理由.
(1)=8;
(2)=;
(3)=1;
(4)-2=x(a為非零常數).
【舉一反三】
1.下列方程:①x2-2x=;②=1;③x4-2x2=0;④x2-1=0.其中是分式方程的有( )
A.②③　　 B.①②
C.①③　　　 D.②④
2.在關于x的方程:①=+;②-=0;③=;④=;⑤+=(a為常數)中,整式方程有 ,分式方程有 .(填序號)
【技法點撥】
判斷分式方程的三點注意
1.方程的分母中是否含有未知數是分式方程與整式方程的根本區別;
2.分母中含有字母的方程不一定是分式方程,比如=5(a為非零常數),a不是未知數,所以該方程是整式方程;
3.判斷一個方程是否為分式方程時,是對原方程本身進行判斷,不能利用等式的基本性質或分式的基本性質對方程進行變形后再判斷,比如=4是分式方程.
重點2解分式方程(運算能力)
【典例2】(教材溯源·P126例1)解方程:
(1)(2024·廣州中考)=.
(2)(2024·包頭中考)-2=.
(3)(2024·福建中考)+1=.
【舉一反三】
1.(2023·株洲中考)將關于x的分式方程=去分母可得( )
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
2.(2024·德陽中考)分式方程=的解是( )
A.3 B.2 C. D.
【技法點撥】
解分式方程的一般步驟
(1)去分母將其化為整式方程.
(2)解整式方程.
(3)驗根.方法一:把求得的未知數的值代入原方程,看此未知數的值是否適合原方程;方法二:把求得的未知數的值代入分式的分母,看分母的值是否等于零.
(4)寫出分式方程的解.
特別提醒
分式方程解完要檢驗.
重點3已知分式方程根的情況求待定字母(運算能力、推理能力)
【典例3】(2024·遂寧中考)分式方程=1-的解為正數,則m的取值范圍為( )
A.m>-3
B.m>-3且m≠-2
C.m<3
D.m<3且m≠-2
【舉一反三】
(2024·龍東中考)已知關于x的分式方程-2=無解,則k的值為( )
A.2或-1 B.-2
C.2或1 D.-1
【技法點撥】
分式方程無解的兩種情況
(1)由分式方程轉化得到的整式方程的解,使得最簡公分母為零,此時分式方程有增根.
(2)由分式方程轉化的整式方程無解,此時分式方程也無解.
特別提醒
增根不是分式方程的解.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·抽象能力)在①=5;②(x-1)+(x+1)=4;③-=1;④+=-1;⑤(3x-7)中,分式方程有( )
A.1個　 B.2個　 C.3個　 D.4個
2.(3分·運算能力、推理能力·2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解為正整數,則整數m的值為 .
3.(6分·運算能力)解方程:
(1)=-3;
(2)(2024·陜西中考)+=1.
4.(8分·運算能力、推理能力)已知關于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的根是x=5,求a的值;
(2)若分式方程無解,求a的值.第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.用分式方程的數學模型反映現實情境中的實際問題 應用意識、模型觀念
2.用分式方程解決現實情境中的問題 運算能力、應用意識、模型觀念
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
一、列分式方程解應用題的一般步驟 1.審:分析題意,找出數量關系和等量關系. 2.設:直接設法與間接設法. 3.列:根據 ,列出方程. 4.解:解方程,得未知數的值. 5.驗:有兩次檢驗.(1)是否為所列方程的解. (2)是否符合 . 6.答:注意單位和答案完整. 二、常見的幾種實際問題類型 1.行程問題:路程= × . 2.工程問題:工作量= × . 3.利潤問題:利潤=售價- . 利潤率=×100%. 4.若用v表示輪船的速度,用v順,v逆,v水分別表示輪船順水、逆水和水流的速度,則 v順=v+ ,v逆=v- , v=, v水=. 1.A,B兩地相距36千米,一艘輪船從A地順流行至B地,又立即從B地逆流返回A地,共用9小時,已知水流速度為4千米/時,若設該輪船在靜水中的速度為x千米/時,則可列方程為 . 2.甲做360個零件與乙做480個零件所用的時間相同,已知兩人每天共做140個零件,若設甲每天做x個零件,所列方程正確的是( ) A.=　　　 B.= C.+=140 D.-140= 3.某學校用420元錢到商場去購買“84”消毒液,經過還價,每瓶便宜0.5元,結果比用原價多買了20瓶,求原價每瓶多少元.若設原價每瓶x元,則可列出方程為( ) A.-=20　 B.-=20 C.-=0.5 D.-=0.5
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1】工程及行程問題(運算能力、應用意識)
【典例1】(教材溯源·P129例3·2024揚州中考)為了提高垃圾處理效率,某垃圾處理廠購進A,B兩種機器,A型機器比B型機器每天多處理40噸垃圾,A型機器處理500噸垃圾所用天數與B型機器處理300噸垃圾所用天數相等.B型機器每天處理多少噸垃圾
【舉一反三】
1.(2024·達州中考)甲、乙兩人各自加工120個零件,甲由于個人原因沒有和乙同時進行,乙先加工30分鐘后,甲開始加工.甲為了追趕上乙的進度,加工的速度是乙的1.2倍,最后兩人同時完成.求乙每小時加工零件多少個.設乙每小時加工x個零件,可列方程為( )
A.-=30 B.-=30
C.-= D.-=
2.一艘輪船在靜水中的最大航速為30 km/h,它以最大航速沿江順流航行120 km所用時間,與以最大航速逆流航行60 km所用時間相同,則江水的流速為 .
3.(2024·云南中考)某旅行社組織游客從A地到B地的航天科技館參觀,已知A地到B地的路程為300千米,乘坐C型車比乘坐D型車少用2小時,C型車的平均速度是D型車平均速度的3倍,求D型車的平均速度.
【技法點撥】
工程問題及行程問題解題策略
(1)工程問題明確題中的等量關系,要抓住工作量=工作效率×工作時間或工作時間=.
(2)行程問題中明確的數量關系,速度=或時間=.
(3)注意避免常見的錯誤.
①易出現單位不統一的錯誤;
②有時候,解出的未知數的值符合方程,但與實際問題不符,易忘記舍去.
重點2銷售問題(運算能力、應用意識)
【典例2】(教材溯源·P129隨堂練習·2024重慶中考A卷)為促進新質生產力的發展,某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新換代.
(1)為鼓勵企業進行生產線的設備更新,某市出臺了相應的補貼政策.根據相關政策,更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼,更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30條生產線的設備,該企業可獲得70萬元的補貼.該企業甲、乙兩類生產線各有多少條
(2)經測算,更新1條甲類生產線的設備比更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元,用200萬元更新甲類生產線的設備數量和用180萬元更新乙類生產線的設備數量相同,那么該企業在獲得70萬元的補貼后,還需投入多少資金更新生產線的設備
【舉一反三】
(2024·長春模擬)新能源汽車環保節能,越來越受到消費者的喜愛,各種品牌相繼投放市場,一汽貿公司經銷某品牌新能源汽車,去年銷售總額為5 000萬元,今年每輛車的銷售價格比去年降低2萬元,銷售數量與去年相同,銷售總額比去年少
1 000萬元,今年每輛車的銷售價格是多少萬元
【技法點撥】
銷售問題常用公式
(1)利潤=售價-進價.
(2)利潤率=×100%.
(3)售價=標價×.
(4)售價=進價×(1+利潤率).
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(3分·模型觀念、應用意識)甲、乙兩地相距400千米,一輛汽車從甲地開往乙地,實際每小時比原計劃多行駛12千米,結果提前1小時到達.設這輛汽車原計劃的平均速度為x千米/時,根據題意可列方程為( )
A.=+1
B.=+1
C.+1=　
D.+1=
2.(3分·運算能力、應用意識、模型觀念)新安街道某段道路改造工程,由甲、乙兩個工程隊合作30天可完成,若單獨施工,甲工程隊所用天數是乙工程隊所用天數的2倍.甲工程隊單獨完成此項工程需要 天.
3.(9分·運算能力、應用意識·2023·濟寧中考)為加快公共領域充電基礎設施建設,某停車場計劃購買A,B兩種型號的充電樁.已知A型充電樁比B型充電樁的單價少0.3萬元,且用15萬元購買A型充電樁與用20萬元購買B型充電樁的數量相等.
(1)A,B兩種型號充電樁的單價各是多少
(2)該停車場計劃共購買25個A,B型充電樁,購買總費用不超過26萬元,且B型充電樁的購買數量不少于A型充電樁購買數量的.問:共有哪幾種購買方案 哪種方案所需購買總費用最少 4　分式方程
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解分式方程的概念 模型觀念
2.掌握解分式方程的基本思路和方法 運算能力
3.理解解分式方程時可能無解的原因,并掌握分式方程的驗根方法 推理能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.分式方程的定義 分母中含有未知數的方程. 1.下列方程是分式方程的是(B) A.-=0 B.=-2 C.x2-1=3 D.2x+1=3x
2.解分式方程的步驟: 2.(1)分式方程+=1的解為(A) A.x=2　　　　　　　 B.x=-2 C.x=1 D.x=-1 (2)方程=的解為　x=-1　.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1分式方程的定義(模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P125議一議拓展)判斷下列方程是不是分式方程,并說明理由.
(1)=8;
(2)=;
(3)=1;
(4)-2=x(a為非零常數).
【解析】(1)=8分母中不含有未知數,不是分式方程;
(2)=分母中含有未知數,是分式方程;
(3)=1分母中含有未知數,是分式方程;
(4)-2=x(a為非零常數)分母中雖然有字母a,但a為非零常數,不是未知數,不是分式方程.
【舉一反三】
1.下列方程:①x2-2x=;②=1;③x4-2x2=0;④x2-1=0.其中是分式方程的有(B)
A.②③　　 B.①②
C.①③　　　 D.②④
2.在關于x的方程:①=+;②-=0;③=;④=;⑤+=(a為常數)中,整式方程有　②③⑤　,分式方程有　①④　.(填序號)
【技法點撥】
判斷分式方程的三點注意
1.方程的分母中是否含有未知數是分式方程與整式方程的根本區別;
2.分母中含有字母的方程不一定是分式方程,比如=5(a為非零常數),a不是未知數,所以該方程是整式方程;
3.判斷一個方程是否為分式方程時,是對原方程本身進行判斷,不能利用等式的基本性質或分式的基本性質對方程進行變形后再判斷,比如=4是分式方程.
重點2解分式方程(運算能力)
【典例2】(教材溯源·P126例1)解方程:
(1)(2024·廣州中考)=.
(2)(2024·包頭中考)-2=.
(3)(2024·福建中考)+1=.
【解析】(1)原方程去分母得:x=6x-15,
解得x=3,檢驗:當x=3時,x(2x-5)≠0,
故原方程的解為x=3.
(2)-2=,x-2-2(x-4)=x,
解得x=3,檢驗:當x=3時,x-4≠0,
∴x=3是原方程的根.
(3)去分母得:
3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理得:3x-10=2x,
解得x=10,
檢驗:當x=10時,(x+2)(x-2)≠0,
故原方程的解為x=10.
【舉一反三】
1.(2023·株洲中考)將關于x的分式方程=去分母可得(A)
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
2.(2024·德陽中考)分式方程=的解是(D)
A.3 B.2 C. D.
【技法點撥】
解分式方程的一般步驟
(1)去分母將其化為整式方程.
(2)解整式方程.
(3)驗根.方法一:把求得的未知數的值代入原方程,看此未知數的值是否適合原方程;方法二:把求得的未知數的值代入分式的分母,看分母的值是否等于零.
(4)寫出分式方程的解.
特別提醒
分式方程解完要檢驗.
重點3已知分式方程根的情況求待定字母(運算能力、推理能力)
【典例3】(2024·遂寧中考)分式方程=1-的解為正數,則m的取值范圍為(B)
A.m>-3
B.m>-3且m≠-2
C.m<3
D.m<3且m≠-2
【舉一反三】
(2024·龍東中考)已知關于x的分式方程-2=無解,則k的值為(A)
A.2或-1 B.-2
C.2或1 D.-1
【技法點撥】
分式方程無解的兩種情況
(1)由分式方程轉化得到的整式方程的解,使得最簡公分母為零,此時分式方程有增根.
(2)由分式方程轉化的整式方程無解,此時分式方程也無解.
特別提醒
增根不是分式方程的解.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·抽象能力)在①=5;②(x-1)+(x+1)=4;③-=1;④+=-1;⑤(3x-7)中,分式方程有(B)
A.1個　 B.2個　 C.3個　 D.4個
2.(3分·運算能力、推理能力·2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解為正整數,則整數m的值為 　-1　.
3.(6分·運算能力)解方程:
(1)=-3;
(2)(2024·陜西中考)+=1.
【解析】(1)=-3,
方程兩邊同乘(x-2),得1=x-1-3(x-2),
解得x=2,
檢驗:當x=2時,x-2=0,
∴x=2是原方程的增根,原分式方程無解;
(2)方程兩邊都乘(x+1)(x-1),得2+x(x+1)=(x+1)(x-1),解得x=-3,
檢驗:當x=-3時,(x+1)(x-1)≠0,
所以原分式方程的解是x=-3.
4.(8分·運算能力、推理能力)已知關于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的根是x=5,求a的值;
(2)若分式方程無解,求a的值.
【解析】(1)∵分式方程的根是x=5,
∴-1=1,解得a=1,
∴a的值為1;
(2)分式方程去分母得x2+ax-5x+10=x2-2x,即ax-3x+10=0,
①當a-3=0時,方程無解,∴a=3;
②當分式方程有增根時,x=0或2,
當x=0時,0-0+10=0,此時不存在a的值,
當x=2時,2a-6+10=0,解得a=-2,
綜上所述,若分式方程無解,a的值為3或-2.
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