資源簡介

1　等腰三角形
第1課時
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.進(jìn)一步了解作為證明基礎(chǔ)的幾條基本事實(shí)的內(nèi)容; 幾何直觀、推理能力
2.能證明等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論,并應(yīng)用定理及其推論解決問題; 幾何直觀、模型觀念、推理能力
3.經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程,逐步掌握證明的方法,發(fā)展推理能力. 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.全等三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等. 1.如圖,△ABC≌△BAD.若AB=6,AC=4,BC=5,則AD的長為(B) A.4 B.5 C.6 D.以上都不對
2.全等三角形的判定方法:SSS,SAS,ASA,AAS. 2.如圖,點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△DEF的是(A) A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC
3.等腰三角形的性質(zhì) 文字圖示幾何語言等邊對等角:等腰三角形的兩底角相等∵AB=AC,∴∠B=∠C三線合一:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD,AD平分 ∠BAC
3.(1)等腰三角形的頂角是80°,則底角的度數(shù)是(D) A.80° B.70° C.60° D.50° (2)如圖,已知△ABC是等腰三角形,AB=BC,BD平分∠ABC,若AC=10,則AD的長為　5　.
重點(diǎn)典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點(diǎn)1 全等三角形的性質(zhì)和判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P4習(xí)題1.1T2變式)已知:如圖,點(diǎn)A,D,C,F在同一直線上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.
求證:AD=CF.
【自主解答】∵AB∥DE,
∴∠A=∠EDF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(AAS),∴AC=DF,
∴AC-DC=DF-DC,即AD=CF.
【舉一反三】
1.如圖是兩個全等三角形,圖中的字母表示三角形的邊長,則∠1的度數(shù)是(B)
A.76°
B.62°
C.42°
D.76°,62°或42°都可以
2.如圖,點(diǎn)E,F在△ABC的邊AC上,且EF=BC,DE∥BC,∠DFE=∠B.求證:DE=AC.
【證明】∵DE∥BC,∴∠DEF=∠C,
在△DEF和△ACB中,,
∴△DEF≌△ACB(ASA),
∴DE=AC.
【技法點(diǎn)撥】
判定三角形全等的常見思路
易錯提醒
SSA,AAA不能判定兩個三角形全等.
重點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)(幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P4習(xí)題1.1T4強(qiáng)化)如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是BA延長線上一點(diǎn),點(diǎn)F是AC上一點(diǎn),連接EF并延長交BC于點(diǎn)G,且AE=AF.
(1)若∠B=50°,求∠E的度數(shù).
(2)求證:AD∥EG.
【自主解答】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C=50°,∴∠BAC=180°-50°-50°=80°.
∵AE=AF,∴∠E=∠AFE,∵∠BAC=∠E+∠AFE,∴∠E=∠AFE=40°.
(2)∵AB=AC,D為BC的中點(diǎn),
∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠BAC,
∵AE=AF,∴∠E=∠AFE,又∵∠BAC=∠E+∠AFE,∴∠E=∠BAC,∴∠E=
∠BAD,∴AD∥EG.
【舉一反三】
1.(2023·眉山中考)如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,則∠ACD的度數(shù)為(C)
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,線段AD是∠BAC的平分線,點(diǎn)E,F是AD上任意兩點(diǎn)(不含A,D).若AB=5 cm,AD=4 cm,則陰影部分的面積是6cm2.
3.如圖,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上任意一點(diǎn),過P作PD⊥AC于D,PE⊥AB于E,若S△ABC=12,則PE+PD=.
【技法點(diǎn)撥】
等腰三角形的三線合一模型
　等腰三角形中,見底邊中點(diǎn),連中線,得垂直.
條件 圖示 結(jié)論
AB=AC,D是BC的中點(diǎn) AD⊥BC,且BD=CD,AD=
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運(yùn)算能力、幾何直觀·2024·湖南中考)若等腰三角形的一個底角的度數(shù)為40°,則它的頂角的度數(shù)為100°.
2.(4分·運(yùn)算能力、幾何直觀·2023·重慶中考B卷)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊的中線,若AB=5,BC=6,則AD的長度為4.
3.(4分·推理能力、幾何直觀·2024·內(nèi)江中考)如圖,在△ABC中,∠DCE=40°,
AE=AC,BC=BD,則∠ACB的度數(shù)為100°.
4.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,∠A=∠B,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點(diǎn)O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數(shù).
【解析】(1)∵AE和BD相交于點(diǎn)O,
∴∠AOD=∠BOE,又∵∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,∴∠BEO=∠1,
∴∠BEO+∠AED=∠1+∠AED,即∠AEC=∠BED.
又∵AE=BE,
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED,
∴∠C=∠BDE,DE=CE.
又∵∠1=42°,
∴∠C=∠CDE==69°,
∴∠BDE=∠C=69°.1　等腰三角形
第4課時
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.探索并掌握等邊三角形的判定定理; 幾何直觀、推理能力
2.探索并會應(yīng)用直角三角形30°的角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系定理. 幾何直觀、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢 向上向陽
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.等邊三角形的判定 定理描述圖示幾何語言三個角都 的三角形是等邊三角形∵∠A=∠B =∠C, ∴△ABC是等邊三角形有一個角等于 的等腰三角形是等邊三角形∵AB=AC,∠A= , ∴△ABC是等邊三角形
1.(1)下列推理中,不能判斷△ABC是等邊三角形的是( ) A.∠A=∠B=∠C　　　 B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°,∠B=60° D.AB=AC,∠B=∠C (2)如圖,以點(diǎn)O為圓心,任意長為半徑畫弧,與射線OM交于點(diǎn)A,再以點(diǎn)A為圓心,AO長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)B,畫出射線OB,則∠AOB=( ) A.30° B.45° C.60° D.90° (3)在△ABC中,如果AB=AC=8,∠A= ∠C,那么BC= .
2.含30°角的直角三角形 定理在 三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的 邊等于 的一半圖示及幾何語言∵∠C=90°, ∠B=30°, ∴AC=
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, AB=2,則BC為 .
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
重點(diǎn)1 等邊三角形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB交BC于點(diǎn)D,AE⊥AC交BC于點(diǎn)E.求證:△ADE是等邊三角形.
【舉一反三】
1.下列三角形:①有兩個角等于60°的三角形;②有一個角等于60°的等腰三角形;③三個外角(每個頂點(diǎn)處各取一個外角)都相等的三角形;④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有( )
A.①②③④ B.①②④
C.①③ D.②③④
2.若△ABC的三條邊長分別是a,b,c,且(a-b)2+|b-c|=0,則這個三角形是( )
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.如圖,在△ABC中,BD是中線,延長BC到點(diǎn)E,使CE=CD,若DB=DE,∠E=30°.求證:△ABC是等邊三角形.
【技法點(diǎn)撥】
證等邊三角形的思路
1.見到特殊角如120°,60°,30°等,想到可能存在等邊三角形.
2.證法:已知一角60°,只需證等腰三角形或另外兩角也是60°.
重點(diǎn)2 含30°角的直角三角形的性質(zhì)(幾何直觀、運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P13習(xí)題T2強(qiáng)化)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于點(diǎn)D.若CD=1,則BD= .
【舉一反三】
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最長邊AB=16 cm,則最短邊BC的長是( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,∠B=30°,點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn),連接AP,則AP的長度不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,若∠A=30°,BD=1,則AD= .
【技法點(diǎn)撥】
含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系
如圖△ABC中,∠B=30°,則AC∶AB∶BC=1∶2∶,故含30°角的直角三角形知一邊可求另外兩邊.
易錯提醒　含30°角的直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用前提必須是直角三角形,其他三角形結(jié)論不成立.1　等腰三角形
第3課時
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形; 幾何直觀、推理能力
2.通過實(shí)例體會反證法的含義. 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　博觀約取 厚積薄發(fā)
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.等腰三角形的判定 文字描述圖示幾何語言有兩個角 的三角形是等腰三角形. 簡稱:等角對 ∵∠B=∠C, ∴
1.(1)下列三角形中,等腰三角形有( ) A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 (2)已知一個三角形中有兩個角度數(shù)如下,其中不能構(gòu)成等腰三角形的是( ) A.40°,70° B.50°,80° C.60°,90° D.40°,100°
2.反證法:先假設(shè)命題的結(jié)論 ,然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相 的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立的證明方法. 2.假設(shè)命題a>0不成立,那么a與0的大小關(guān)系只能是 .
重點(diǎn)典例研析　　精鉆細(xì)研 學(xué)深悟透
重點(diǎn)1 等腰三角形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P9隨堂練習(xí)T1拓展)如圖,在△ABC中,MN∥BC,∠ABC和∠ACB的平分線分別交MN于點(diǎn)E,F,若EF=4,MN=8,求BM+CN.
【舉一反三】
(2024·江西中考)追本溯源題(1)是來自課本中的習(xí)題,請你完成解答,提煉方法并完成題(2).
(1)如圖1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作BC的平行線,交AB于點(diǎn)E,請判斷△BDE的形狀,并說明理由.
方法應(yīng)用
(2)如圖2,在平行四邊形ABCD中,BE平分∠ABC,交邊AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF⊥BE交DC的延長線于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G.
①圖中一定是等腰三角形的有_______.
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
②已知AB=3,BC=5,求CF的長.
【技法點(diǎn)撥】
角平分線、平行線、等腰三角形,知二推一
圖示 結(jié)論
①∠1=∠2 ②AC∥BD ③AB=AC(或AB=AD) 知二推一
重點(diǎn)2 反證法(幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P9例3強(qiáng)化)用反證法證明:在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°.
【舉一反三】
1.用反證法證明命題“在同一個平面內(nèi),若a⊥c,b⊥c,則a∥b”時,第一步應(yīng)假設(shè)( )
A.a不平行于b B.a平行于b
C.b不平行于c D.b平行于c
2.用反證法證明:已知直線a∥c,b∥c,求證:a∥b.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)下列條件中不能說明三角形是等腰三角形的是( )
A.有兩個內(nèi)角分別是40°,40°的三角形
B.有一個角為45°的直角三角形
C.一個外角是130°,與它不相鄰的一個內(nèi)角為50°的三角形
D.有兩個內(nèi)角分別是70°,50°的三角形
2. (4分·推理能力、幾何直觀)已知,如圖,在△ABC中,BO和CO分別平分∠ABC和∠ACB,過點(diǎn)O作DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,若BD+EC=5,則線段DE的長為( )
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,點(diǎn)E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF與DE交于點(diǎn)G,求證:GE=GF.1　等腰三角形
第4課時
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.探索并掌握等邊三角形的判定定理; 幾何直觀、推理能力
2.探索并會應(yīng)用直角三角形30°的角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系定理. 幾何直觀、運(yùn)算能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢 向上向陽
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.等邊三角形的判定 定理描述圖示幾何語言三個角都相等的三角形是等邊三角形∵∠A=∠B =∠C, ∴△ABC是等邊三角形有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形∵AB=AC,∠A=60°, ∴△ABC是等邊三角形
1.(1)下列推理中,不能判斷△ABC是等邊三角形的是(D) A.∠A=∠B=∠C　　　 B.AB=AC,∠B=60° C.∠A=60°,∠B=60° D.AB=AC,∠B=∠C (2)如圖,以點(diǎn)O為圓心,任意長為半徑畫弧,與射線OM交于點(diǎn)A,再以點(diǎn)A為圓心,AO長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)B,畫出射線OB,則∠AOB=(C) A.30° B.45° C.60° D.90° (3)在△ABC中,如果AB=AC=8,∠A= ∠C,那么BC=　8　.
2.含30°角的直角三角形 定理在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半圖示及幾何語言∵∠C=90°, ∠B=30°, ∴AC=AB
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, AB=2,則BC為　1　.
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
重點(diǎn)1 等邊三角形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB交BC于點(diǎn)D,AE⊥AC交BC于點(diǎn)E.求證:△ADE是等邊三角形.
【自主解答】∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵AD⊥AB,AE⊥AC,
∴∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠ADB=∠AEC=60°,∴∠EAD=180°-60°-60°=60°,∴△ADE是等邊三角形.
【舉一反三】
1.下列三角形:①有兩個角等于60°的三角形;②有一個角等于60°的等腰三角形;③三個外角(每個頂點(diǎn)處各取一個外角)都相等的三角形;④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形.其中是等邊三角形的有(A)
A.①②③④ B.①②④
C.①③ D.②③④
2.若△ABC的三條邊長分別是a,b,c,且(a-b)2+|b-c|=0,則這個三角形是(B)
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.如圖,在△ABC中,BD是中線,延長BC到點(diǎn)E,使CE=CD,若DB=DE,∠E=30°.求證:△ABC是等邊三角形.
【證明】∵DB=DE,∴∠DBC=∠E=30°,
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E=30°,∠DCE=180°-∠E-∠CDE=120°,
∴∠BCD=180°-∠DCE=60°,
∴∠BDC=∠ADB=90°,
∵BD是中線,∴AD=CD,
又∵BD=BD,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴AB=BC,
∴△ABC是等邊三角形.
【技法點(diǎn)撥】
證等邊三角形的思路
1.見到特殊角如120°,60°,30°等,想到可能存在等邊三角形.
2.證法:已知一角60°,只需證等腰三角形或另外兩角也是60°.
重點(diǎn)2 含30°角的直角三角形的性質(zhì)(幾何直觀、運(yùn)算能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P13習(xí)題T2強(qiáng)化)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB,交BC于點(diǎn)D.若CD=1,則BD=　2　.
【舉一反三】
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最長邊AB=16 cm,則最短邊BC的長是(D)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,∠B=30°,點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn),連接AP,則AP的長度不可能是(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如圖,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,若∠A=30°,BD=1,則AD=　3　.
【技法點(diǎn)撥】
含30°角的直角三角形的三邊關(guān)系
如圖△ABC中,∠B=30°,則AC∶AB∶BC=1∶2∶,故含30°角的直角三角形知一邊可求另外兩邊.
易錯提醒　含30°角的直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用前提必須是直角三角形,其他三角形結(jié)論不成立.1　等腰三角形
第3課時
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形; 幾何直觀、推理能力
2.通過實(shí)例體會反證法的含義. 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　博觀約取 厚積薄發(fā)
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.等腰三角形的判定 文字描述圖示幾何語言有兩個角相等的三角形是等腰三角形. 簡稱:等角對等邊∵∠B=∠C, ∴AB=AC
1.(1)下列三角形中,等腰三角形有(B) A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 (2)已知一個三角形中有兩個角度數(shù)如下,其中不能構(gòu)成等腰三角形的是(C) A.40°,70° B.50°,80° C.60°,90° D.40°,100°
2.反證法:先假設(shè)命題的結(jié)論不成立,然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立的證明方法. 2.假設(shè)命題a>0不成立,那么a與0的大小關(guān)系只能是　a≤0　.
重點(diǎn)典例研析　　精鉆細(xì)研 學(xué)深悟透
重點(diǎn)1 等腰三角形的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P9隨堂練習(xí)T1拓展)如圖,在△ABC中,MN∥BC,∠ABC和∠ACB的平分線分別交MN于點(diǎn)E,F,若EF=4,MN=8,求BM+CN.
【自主解答】∵M(jìn)N∥BC,
∴∠MEB=∠EBC,∠NFC=∠FCB,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠ABE=∠CBE,∠ACF=∠FCB,
∴∠MBE=∠MEB,∠NFC=∠ACF,
∴MB=ME,NF=NC,
∵EF=4,MN=8,
∴MB+NC=ME+NF=MN+FE=12.
【舉一反三】
(2024·江西中考)追本溯源題(1)是來自課本中的習(xí)題,請你完成解答,提煉方法并完成題(2).
(1)如圖1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作BC的平行線,交AB于點(diǎn)E,請判斷△BDE的形狀,并說明理由.
方法應(yīng)用
(2)如圖2,在平行四邊形ABCD中,BE平分∠ABC,交邊AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF⊥BE交DC的延長線于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G.
①圖中一定是等腰三角形的有_______.
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
②已知AB=3,BC=5,求CF的長.
【解析】(1)△BDE是等腰三角形,
理由如下:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵BC∥ED,∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EDB=∠ABD,
∴EB=ED,
∴△BDE是等腰三角形.
(2)①共有4個等腰三角形.
分別是:△ABE,△ABG,△AFD,△CGF.
答案:B
②由(1)可知,∠ABE=∠EBG=∠AEB,AB=AE=3,
∵AF⊥BE,
∴∠BAF=∠EAF.
∵BC∥AD,
∴∠EAG=∠AGB,
∴∠BAF=∠AGB,
∴AB=BG=3,
∵AB∥FD,
∴∠BAF=∠CFG,
∵∠AGB=∠CGF,
∴∠CGF=∠CFG,
∴CG=CF,
∵CG=BC-BG=5-3=2,
∴CF=2.
【技法點(diǎn)撥】
角平分線、平行線、等腰三角形,知二推一
圖示 結(jié)論
①∠1=∠2 ②AC∥BD ③AB=AC(或AB=AD) 知二推一
重點(diǎn)2 反證法(幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P9例3強(qiáng)化)用反證法證明:在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°.
【自主解答】假設(shè)△ABC中每個內(nèi)角都小于60°,即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°,于是∠A+∠B+∠C<180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾,因此“△ABC中每個內(nèi)角都小于60°”的假設(shè)不成立.所以,在△ABC中,∠A,∠B,∠C中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°.
【舉一反三】
1.用反證法證明命題“在同一個平面內(nèi),若a⊥c,b⊥c,則a∥b”時,第一步應(yīng)假設(shè)(A)
A.a不平行于b B.a平行于b
C.b不平行于c D.b平行于c
2.用反證法證明:已知直線a∥c,b∥c,求證:a∥b.
【解析】假設(shè)a與b相交,
則過M點(diǎn)有兩條直線平行于直線c,
這與過直線外一點(diǎn)平行于已知直線的直線有且只有一條相矛盾,所以a∥b.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)下列條件中不能說明三角形是等腰三角形的是(D)
A.有兩個內(nèi)角分別是40°,40°的三角形
B.有一個角為45°的直角三角形
C.一個外角是130°,與它不相鄰的一個內(nèi)角為50°的三角形
D.有兩個內(nèi)角分別是70°,50°的三角形
2. (4分·推理能力、幾何直觀)已知,如圖,在△ABC中,BO和CO分別平分∠ABC和∠ACB,過點(diǎn)O作DE∥BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,若BD+EC=5,則線段DE的長為(A)
A.5 B.6 C.7 D.8
3.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,點(diǎn)E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF與DE交于點(diǎn)G,求證:GE=GF.
【證明】∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,
∴BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS),
∴∠AFB=∠DEC,
∴GE=GF.1　等腰三角形
第2課時
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.了解等腰三角形中的重要線段,深化對等腰三角形軸對稱的認(rèn)識; 幾何直觀、推理能力
2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理. 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺 起于累土
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.等腰三角形中的重要線段的性質(zhì) 名稱性質(zhì)等腰三角形中的重要線段兩底角的平分線相等兩腰上的高相等兩腰上的中線相等
1.如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC和∠ACB的平分線BD和CE相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論不一定正確的是(C) A.BD=CE B.AE=AD C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
2.等邊三角形的性質(zhì) 性質(zhì)圖形語言符號語言(1)三邊相等 等邊△ABC∵△ABC是等邊三角形, ∴AB=BC= AC(2)三個內(nèi)角都相等,每個角都是60°∵△ABC是等邊三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°
2.(1)如圖,在等邊△ABC中,AF是它的角平分線,若AC=8,則BF=(A) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)如圖所示,△ABC是等邊三角形,AD∥BC,△ACD是直角三角形,則∠D=　30°　.
重點(diǎn)典例研析　　循道而行 方能致遠(yuǎn) 全解全析P233
重點(diǎn)1 等腰三角形中重要的線段(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P5例1拓展)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD是中線,BE是角平分線,AD與BE交于點(diǎn)O,求∠AOB的度數(shù).
【自主解答】在△ABC中,AB=AC,AD是中線,∠BAC=80°,
∴AD⊥BC,∠ACB=∠ABC=×(180°-∠BAC)=50°,
∴∠ADB=90°,
∵BE是角平分線,
∴∠CBO=∠ABC=25°,
∴∠AOB=∠CBO+∠ADB=115°.
【舉一反三】
1.如圖,CE是△ABC的角平分線,若AB=AC,∠BAC=40°,則∠ACE的度數(shù)是(B)
A.20° B.35°
C.40° D.70°
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F,DE=
5 cm,則BF=(B)
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm
3.如圖,在△ABC中,BC=AC,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,則AE=　3　.
【技法點(diǎn)撥】
等腰三角形中重要線段的應(yīng)用策略
1.見到底邊上的高
→“三線合一”
2.見到腰上的高→“等面積法”求高.
3.見到中線→中線分得的兩個三角形的面積相等.
4.見到角平分線→三角形內(nèi)角和求角度.
重點(diǎn)2 等邊三角形的性質(zhì)(幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P7習(xí)題1.2T3拓展)如圖,△ABC,△ADE是等邊三角形,點(diǎn)B,C,D在同一直線上.
求證:(1)CE=AC+DC;
(2)∠ECD=60°.
【自主解答】(1)∵△ABC,△ADE是等邊三角形,
∴BC=AC=AB,AE=AD,∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE,
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD=AC+DC,
∴CE=BD=AC+DC.
(2)∵△ABC為等邊三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
由(1)知△BAD≌△CAE,
∴∠ACE=∠ABD=60°,
∴∠ECD=180°-∠ACB-∠ACE=60°.
【舉一反三】
1.如圖,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D在邊AC上,∠DBC=40°,則∠ADB的度數(shù)為(D)
A.25° B.60° C.90° D.100°
2.如圖,B,C,D在同一直線上,△ABC,△ADE是等邊三角形,若CE=15 cm,CD=6 cm,則AC=(A)
A.9 cm B.8 cm
C.7 cm D.10 cm
3.如圖,△ABO是邊長為2的等邊三角形,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是　(-1,)　.
4.如圖,△ABC是等邊三角形,D,E在直線BC上,DB=EC,求證:∠D=∠E.
【證明】∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ABD=∠ACE=120°,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠D=∠E.
【技法點(diǎn)撥】
　“手拉手”模型——兩個等邊三角形
模型
條件 △ABC和△CDE為等邊三角形,B,C,D三點(diǎn)在同一條直線上
結(jié)論 (1)△ACD≌△BCE (2)△ACG≌△BCF (3)△DCG≌△ECF
原理 利用等邊三角形的邊角性質(zhì)證得三角形全等
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,等腰△ABC中,點(diǎn)D,E分別在腰AB,AC上,添加下列條件,不能判定△ABE≌△ACD的是(B)
A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
2.(4分·運(yùn)算能力、幾何直觀·2023·臨夏州中考)如圖,BD是等邊△ABC的邊AC上的高,以點(diǎn)D為圓心,DB長為半徑作弧交BC的延長線于點(diǎn)E,則∠DEC=(C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
3. (4分·運(yùn)算能力、幾何直觀)如圖l1∥l2,等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B,C分別在l1和l2上,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為　80°　.
4.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,△ABC和△ADE均為等邊三角形,點(diǎn)D在邊BC上,連接CE.
(1)求∠ACE的度數(shù);
(2)猜想線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
【解析】(1)∵△ABC和△ADE均為等邊三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=
∠DAE=∠ABD=60°,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ACE=∠ABD=60°;
(2)AC=CD+CE,證明如下:
由(1)可知△ABD≌△ACE,∴BD=CE,
∵BC=BD+DC,∴BC=CE+DC,
∵△ABC為等邊三角形,∴AC=BC,
∴AC=BC=CE+DC,∴線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系為AC=CD+CE.1　等腰三角形
第2課時
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.了解等腰三角形中的重要線段,深化對等腰三角形軸對稱的認(rèn)識; 幾何直觀、推理能力
2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理. 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　九層之臺 起于累土
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.等腰三角形中的重要線段的性質(zhì) 名稱性質(zhì)等腰三角形中的重要線段兩底角的平分線 兩腰上的高 兩腰上的中線
1.如圖,等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC和∠ACB的平分線BD和CE相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論不一定正確的是( ) A.BD=CE B.AE=AD C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
2.等邊三角形的性質(zhì) 性質(zhì)圖形語言符號語言(1)三邊 等邊△ABC∵△ABC是等邊三角形, ∴AB=BC= AC(2)三個內(nèi)角都 ,每個角都是 ∵△ABC是等邊三角形, ∴∠A=∠B=∠C=60°
2.(1)如圖,在等邊△ABC中,AF是它的角平分線,若AC=8,則BF=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)如圖所示,△ABC是等邊三角形,AD∥BC,△ACD是直角三角形,則∠D= .
重點(diǎn)典例研析　　循道而行 方能致遠(yuǎn) 全解全析P233
重點(diǎn)1 等腰三角形中重要的線段(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P5例1拓展)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD是中線,BE是角平分線,AD與BE交于點(diǎn)O,求∠AOB的度數(shù).
【舉一反三】
1.如圖,CE是△ABC的角平分線,若AB=AC,∠BAC=40°,則∠ACE的度數(shù)是( )
A.20° B.35°
C.40° D.70°
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F,DE=
5 cm,則BF=( )
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm
3.如圖,在△ABC中,BC=AC,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4,則AE= .
【技法點(diǎn)撥】
等腰三角形中重要線段的應(yīng)用策略
1.見到底邊上的高
→“三線合一”
2.見到腰上的高→“等面積法”求高.
3.見到中線→中線分得的兩個三角形的面積相等.
4.見到角平分線→三角形內(nèi)角和求角度.
重點(diǎn)2 等邊三角形的性質(zhì)(幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P7習(xí)題1.2T3拓展)如圖,△ABC,△ADE是等邊三角形,點(diǎn)B,C,D在同一直線上.
求證:(1)CE=AC+DC;
(2)∠ECD=60°.
【舉一反三】
1.如圖,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D在邊AC上,∠DBC=40°,則∠ADB的度數(shù)為( )
A.25° B.60° C.90° D.100°
2.如圖,B,C,D在同一直線上,△ABC,△ADE是等邊三角形,若CE=15 cm,CD=6 cm,則AC=( )
A.9 cm B.8 cm
C.7 cm D.10 cm
3.如圖,△ABO是邊長為2的等邊三角形,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .
4.如圖,△ABC是等邊三角形,D,E在直線BC上,DB=EC,求證:∠D=∠E.
【技法點(diǎn)撥】
　“手拉手”模型——兩個等邊三角形
模型
條件 △ABC和△CDE為等邊三角形,B,C,D三點(diǎn)在同一條直線上
結(jié)論 (1)△ACD≌△BCE (2)△ACG≌△BCF (3)△DCG≌△ECF
原理 利用等邊三角形的邊角性質(zhì)證得三角形全等
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,等腰△ABC中,點(diǎn)D,E分別在腰AB,AC上,添加下列條件,不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
2.(4分·運(yùn)算能力、幾何直觀·2023·臨夏州中考)如圖,BD是等邊△ABC的邊AC上的高,以點(diǎn)D為圓心,DB長為半徑作弧交BC的延長線于點(diǎn)E,則∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
3. (4分·運(yùn)算能力、幾何直觀)如圖l1∥l2,等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B,C分別在l1和l2上,若∠1=20°,則∠2的度數(shù)為 .
4.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,△ABC和△ADE均為等邊三角形,點(diǎn)D在邊BC上,連接CE.
(1)求∠ACE的度數(shù);
(2)猜想線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.1　等腰三角形
第1課時
課時學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.進(jìn)一步了解作為證明基礎(chǔ)的幾條基本事實(shí)的內(nèi)容; 幾何直觀、推理能力
2.能證明等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論,并應(yīng)用定理及其推論解決問題; 幾何直觀、模型觀念、推理能力
3.經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程,逐步掌握證明的方法,發(fā)展推理能力. 幾何直觀、推理能力
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.全等三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊 ,對應(yīng)角 . 1.如圖,△ABC≌△BAD.若AB=6,AC=4,BC=5,則AD的長為( ) A.4 B.5 C.6 D.以上都不對
2.全等三角形的判定方法:SSS, ,ASA, . 2.如圖,點(diǎn)B,F,C,E在同一條直線上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△DEF的是( ) A.∠A=∠D B.AC=DF C.AB=ED D.BF=EC
3.等腰三角形的性質(zhì) 文字圖示幾何語言等邊對等角:等腰三角形的兩底角 ∵AB=AC,∴∠B=∠C三線合一:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線 ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴
3.(1)等腰三角形的頂角是80°,則底角的度數(shù)是( ) A.80° B.70° C.60° D.50° (2)如圖,已知△ABC是等腰三角形,AB=BC,BD平分∠ABC,若AC=10,則AD的長為 .
重點(diǎn)典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點(diǎn)1 全等三角形的性質(zhì)和判定(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發(fā)·P4習(xí)題1.1T2變式)已知:如圖,點(diǎn)A,D,C,F在同一直線上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.
求證:AD=CF.
【舉一反三】
1.如圖是兩個全等三角形,圖中的字母表示三角形的邊長,則∠1的度數(shù)是( )
A.76°
B.62°
C.42°
D.76°,62°或42°都可以
2.如圖,點(diǎn)E,F在△ABC的邊AC上,且EF=BC,DE∥BC,∠DFE=∠B.求證:DE=AC.
【技法點(diǎn)撥】
判定三角形全等的常見思路
易錯提醒
SSA,AAA不能判定兩個三角形全等.
重點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)(幾何直觀、運(yùn)算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發(fā)·P4習(xí)題1.1T4強(qiáng)化)如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是BA延長線上一點(diǎn),點(diǎn)F是AC上一點(diǎn),連接EF并延長交BC于點(diǎn)G,且AE=AF.
(1)若∠B=50°,求∠E的度數(shù).
(2)求證:AD∥EG.
【舉一反三】
1.(2023·眉山中考)如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,則∠ACD的度數(shù)為( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.如圖,在△ABC中,AB=AC,線段AD是∠BAC的平分線,點(diǎn)E,F是AD上任意兩點(diǎn)(不含A,D).若AB=5 cm,AD=4 cm,則陰影部分的面積是 cm2.
3.如圖,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上任意一點(diǎn),過P作PD⊥AC于D,PE⊥AB于E,若S△ABC=12,則PE+PD=.
【技法點(diǎn)撥】
等腰三角形的三線合一模型
　等腰三角形中,見底邊中點(diǎn),連中線,得垂直.
條件 圖示 結(jié)論
AB=AC,D是BC的中點(diǎn) AD⊥BC,且BD=CD,AD=
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·運(yùn)算能力、幾何直觀·2024·湖南中考)若等腰三角形的一個底角的度數(shù)為40°,則它的頂角的度數(shù)為 °.
2.(4分·運(yùn)算能力、幾何直觀·2023·重慶中考B卷)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊的中線,若AB=5,BC=6,則AD的長度為 .
3.(4分·推理能力、幾何直觀·2024·內(nèi)江中考)如圖,在△ABC中,∠DCE=40°,
AE=AC,BC=BD,則∠ACB的度數(shù)為 .
4.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,∠A=∠B,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點(diǎn)O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數(shù).

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