資源簡介

2　直角三角形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并掌握直角三角形的性質定理:直角三角形的兩銳角互余;掌握有兩角互余的三角形是直角三角形 幾何直觀、推理能力
2.證明勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單實際問題 幾何直觀、推理能力、應用意識、運算能力
3.結合具體實例了解逆命題的概念,會識別互逆命題,并知道原命題成立其逆命題不一定成立 推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.直角三角形的性質和判定 性質幾何語言性質1:直角三角形的兩個銳角 ∵△ABC是直角三角形, ∴∠A+∠B= °判定1:有兩個角互余的三角形是 三角形∵∠A+∠B=90°, ∴△ABC是 三角形,∠ =90°勾股定理:直角三角形兩條直角邊的 等于斜邊的平方∵△ABC是直角三角形, ∴AC2+BC2= 勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于 的平方,那么這個三角形是直角三角形∵AC2+BC2= , ∴△ABC是直角三角形,∠ =90°圖示
1.(1)在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,則△ABC是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.斜三角形 (2)下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是( ) A.1.5,2,2 B.7,24,25 C.6,8,10 D.9,12,15 (3)如圖,在四邊形ABCD中,∠D= ∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,則AB=( ) A.20 B.25 C.35 D.30
2.互逆命題和逆定理 (1)互逆命題:在兩個命題中,如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的 和 ,那么這兩個命題稱為互逆命題. (2)逆定理:如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它也是一個定理,其中一個定理稱為另一個定理的 . 2.命題“等邊三角形的三個角都相等”.這個命題的逆命題是 .這個逆命題是 命題.(填“真”或“假”)
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 直角三角形的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P18習題T5補充)空心玻璃圓柱的底面圓的周長是24,高是5,內底面的點A處有一只螞蟻,要吃到B點的食物,求最短路徑的長.
【舉一反三】
1.如圖,在三角形紙片ABC中,∠C=90°,將這個紙片沿直線DE剪去一個角后變成一個四邊形ABED,則圖中∠1+∠2的度數為( )
A.180° B.90° C.315° D.270°
2.如圖,在等腰△ABC中,∠A=120°,AB=4,則△ABC的面積為( )
A.2 B.4 C.4 D.8
3.如圖為底面圓周長為24 cm、高為9 cm的圓柱體,一只螞蟻從距離上邊緣4 cm的點A沿側面爬行到下底面上的點B,則所經過的最短路線長為 .
【技法點撥】
重點2 直角三角形的判定(幾何直觀、運算能力、推理能力)
【典例2】 (教材再開發·P18T4強化)如圖所示的一塊地,已知∠ADC=90°,AD=
12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,則這塊地的面積為( )
A.92 m2 B.93 m2
C.96 m2 D.90 m2
【舉一反三】
1.滿足下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是( )
A.兩個內角互余
B.∠B+∠A=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
2.如圖,已知∠A=90°,AC=AB=3,CD=,BD=2,則點C到BD的距離為( )
A. 　　　B.
C. 　　　D.
【技法點撥】
直角三角形的判定與性質的綜合應用
1.由勾股定理逆定理或兩銳角互余判定三角形是直角三角形;
2.用勾股定理求線段長或由三角形內角和求角等.
重點3 互逆命題和互逆定理(幾何直觀、推理能力)
【典例3】(教材再開發·P16隨堂練習T3強化)命題“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命題是 命題.(填“真”或“假”)
【舉一反三】
下列定理中,沒有逆定理的是( )
A.兩直線平行,同位角相等
B.兩個全等三角形的對應角相等
C.直角三角形的兩個銳角互余
D.兩內角相等的三角形是等腰三角形
【技法點撥】
辨析逆命題與逆定理
1.所有命題都有逆命題;
2.定理不一定有逆定理;
3.真命題的逆命題不一定是正確的;
4.一個定理若存在逆定理,則這個逆定理一定是正確的.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,則AB的長為( )
A.18 B.20
C.21 D.26
2.(4分·運算能力、推理能力)在直角三角形中,一個銳角比另外一個銳角的3倍還多10°,則這兩個銳角分別為 .
3.(4分·運算能力、幾何直觀)我國古代數學家趙爽創制了一幅“趙爽弦圖”,極富創新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,則AE= .
4.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,在△ABC中,∠B=34°,∠C=70°,AD⊥BC于點D,AE平分∠BAC交BC于點E,DF⊥AE于點F.
(1)求∠BAE的度數;
(2)求∠ADF的度數.2　直角三角形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并掌握直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理 幾何直觀、推理能力
2.已知一直角邊和斜邊,能用尺規作出直角三角形 幾何直觀、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
直角三角形全等的判定方法 定理 和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等,簡稱“HL”圖示幾何 語言∵在Rt△ABC和Rt△DEF中, = ,AC=DF, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
如圖,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別為點E,F,且CE=DF,AC=BD,那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是( ) A.HL B.SSS C.SAS D.AAS
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1用“HL”證直角三角形全等(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P21習題T2拓展)
如圖,AB,CD相交于點O,AC=BD,AE⊥CD于點E,BF⊥CD于點F,且CE=DF.求證:AC∥BD.
【舉一反三】
1.如圖,點P是∠BAC內一點,PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F,PE=PF,則能直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的理由是( )
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
2.如圖,已知△ABC,AE⊥BC于E,BD⊥AC于D,AE=BD.求證:△ABC是等腰三角形.
【技法點撥】
用“HL”證明直角三角形全等的思路
已知兩個三角形是直角三角形,
(1)若斜邊對應相等,只需確定一組直角邊對應相等;
(2)若一組直角邊對應相等,只需確定斜邊對應相等.
重點2 直角三角形全等的判定與性質的綜合應用(幾何直觀、運算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P21T4強化)如圖,等腰直角三角形ABC的直角頂點C與坐標原點O重合,分別過點A,B作x軸的垂線,垂足為D,E,點A的坐標為(-2,5),則線段DE的長為( )
A.4 B.6 C.6.5 D.7
【舉一反三】
1.如圖,AB=AC,CD⊥AB于點D,BE⊥AC于點E,BE與CD相交于點O,連接AO,圖中有 對全等的直角三角形.
2.如圖,點C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求證:△ABC≌△CDE.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,則下列各圖中的直角三角形與Rt△ABC全等的是( )
2.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在Rt△ABC和Rt△EDF中,∠BAC=∠DEF=90°,∠B=∠D,在不添加任何輔助線的情況下,請你添加一個條件: ,使得Rt△ABC和Rt△EDF全等.
3.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,直線l過正方形ABCD的頂點B,點A,C到直線l的距離分別為1和2,則正方形的邊長是 .
4.(8分·推理能力、幾何直觀)在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,CF=AE,BC=DA.求證:Rt△ABE≌Rt△CDF.2　直角三角形
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并掌握直角三角形的性質定理:直角三角形的兩銳角互余;掌握有兩角互余的三角形是直角三角形 幾何直觀、推理能力
2.證明勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單實際問題 幾何直觀、推理能力、應用意識、運算能力
3.結合具體實例了解逆命題的概念,會識別互逆命題,并知道原命題成立其逆命題不一定成立 推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.直角三角形的性質和判定 性質幾何語言性質1:直角三角形的兩個銳角互余∵△ABC是直角三角形, ∴∠A+∠B=90°判定1:有兩個角互余的三角形是直角三角形∵∠A+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形,∠C=90°勾股定理:直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方∵△ABC是直角三角形, ∴AC2+BC2=AB2勾股定理的逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形∵AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形,∠C=90°圖示
1.(1)在△ABC中,若∠A=∠B+∠C,則△ABC是(B) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.斜三角形 (2)下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是(A) A.1.5,2,2 B.7,24,25 C.6,8,10 D.9,12,15 (3)如圖,在四邊形ABCD中,∠D= ∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,則AB=(B) A.20 B.25 C.35 D.30
2.互逆命題和逆定理 (1)互逆命題:在兩個命題中,如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件,那么這兩個命題稱為互逆命題. (2)逆定理:如果一個定理的逆命題經過證明是真命題,那么它也是一個定理,其中一個定理稱為另一個定理的逆定理. 2.命題“等邊三角形的三個角都相等”.這個命題的逆命題是　三個角都相等的三角形是等邊三角形　.這個逆命題是　真　命題.(填“真”或“假”)
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 直角三角形的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P18習題T5補充)空心玻璃圓柱的底面圓的周長是24,高是5,內底面的點A處有一只螞蟻,要吃到B點的食物,求最短路徑的長.
【自主解答】展開圓柱的半個側面是長方形,
矩形的長是圓柱的底面周長的一半,即為12,長方形的寬是圓柱的高5.
如圖,連接AB即是最短距離,
由勾股定理得,AB==13,
答:最短路徑的長為13.
【舉一反三】
1.如圖,在三角形紙片ABC中,∠C=90°,將這個紙片沿直線DE剪去一個角后變成一個四邊形ABED,則圖中∠1+∠2的度數為(D)
A.180° B.90° C.315° D.270°
2.如圖,在等腰△ABC中,∠A=120°,AB=4,則△ABC的面積為(C)
A.2 B.4 C.4 D.8
3.如圖為底面圓周長為24 cm、高為9 cm的圓柱體,一只螞蟻從距離上邊緣4 cm的點A沿側面爬行到下底面上的點B,則所經過的最短路線長為　13 cm　.
【技法點撥】
重點2 直角三角形的判定(幾何直觀、運算能力、推理能力)
【典例2】 (教材再開發·P18T4強化)如圖所示的一塊地,已知∠ADC=90°,AD=
12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,則這塊地的面積為(C)
A.92 m2 B.93 m2
C.96 m2 D.90 m2
【舉一反三】
1.滿足下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是(C)
A.兩個內角互余
B.∠B+∠A=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5
2.如圖,已知∠A=90°,AC=AB=3,CD=,BD=2,則點C到BD的距離為(B)
A. 　　　B.
C. 　　　D.
【技法點撥】
直角三角形的判定與性質的綜合應用
1.由勾股定理逆定理或兩銳角互余判定三角形是直角三角形;
2.用勾股定理求線段長或由三角形內角和求角等.
重點3 互逆命題和互逆定理(幾何直觀、推理能力)
【典例3】(教材再開發·P16隨堂練習T3強化)命題“如果a=b,那么|a|=|b|”的逆命題是　假　命題.(填“真”或“假”)
【舉一反三】
下列定理中,沒有逆定理的是(B)
A.兩直線平行,同位角相等
B.兩個全等三角形的對應角相等
C.直角三角形的兩個銳角互余
D.兩內角相等的三角形是等腰三角形
【技法點撥】
辨析逆命題與逆定理
1.所有命題都有逆命題;
2.定理不一定有逆定理;
3.真命題的逆命題不一定是正確的;
4.一個定理若存在逆定理,則這個逆定理一定是正確的.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,則AB的長為(B)
A.18 B.20
C.21 D.26
2.(4分·運算能力、推理能力)在直角三角形中,一個銳角比另外一個銳角的3倍還多10°,則這兩個銳角分別為　20°,70°　.
3.(4分·運算能力、幾何直觀)我國古代數學家趙爽創制了一幅“趙爽弦圖”,極富創新意識地給出了勾股定理的證明.如圖所示,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積是25,小正方形的面積是1,則AE=　3　.
4.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,在△ABC中,∠B=34°,∠C=70°,AD⊥BC于點D,AE平分∠BAC交BC于點E,DF⊥AE于點F.
(1)求∠BAE的度數;
(2)求∠ADF的度數.
【解析】(1)∵∠B=34°,∠C=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=76°,
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×76°=38°;
(2)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∵∠C=70°,∴∠DAC=90°-∠C=20°,
∵∠EAC=38°,∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=38°-20°=18°,
∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,
∴∠ADF=90°-∠DAE=90°-18°=72°.2　直角三角形
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并掌握直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理 幾何直觀、推理能力
2.已知一直角邊和斜邊,能用尺規作出直角三角形 幾何直觀、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
直角三角形全等的判定方法 定理斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等,簡稱“HL”圖示幾何 語言∵在Rt△ABC和Rt△DEF中,AB=DE,AC=DF, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
如圖,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別為點E,F,且CE=DF,AC=BD,那么Rt△AEC≌Rt△BFD的理由是(A) A.HL B.SSS C.SAS D.AAS
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1用“HL”證直角三角形全等(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P21習題T2拓展)
如圖,AB,CD相交于點O,AC=BD,AE⊥CD于點E,BF⊥CD于點F,且CE=DF.求證:AC∥BD.
【自主解答】∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴∠AEC=∠BFD=90°,
∵在Rt△ACE和Rt△BDF中,,
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL),
∴∠C=∠D,
∴AC∥BD.
【舉一反三】
1.如圖,點P是∠BAC內一點,PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F,PE=PF,則能直接得到Rt△PEA≌Rt△PFA的理由是(A)
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
2.如圖,已知△ABC,AE⊥BC于E,BD⊥AC于D,AE=BD.求證:△ABC是等腰三角形.
【解析】∵AE⊥BC,BD⊥AC,
∴∠ADB=∠BEA=90°.
在Rt△ADB與Rt△BEA中,
∵,
∴Rt△ADB≌Rt△BEA(HL),
∴∠DAB=∠EBA(全等三角形的對應角相等),
∴CA=CB,即△ABC是等腰三角形.
【技法點撥】
用“HL”證明直角三角形全等的思路
已知兩個三角形是直角三角形,
(1)若斜邊對應相等,只需確定一組直角邊對應相等;
(2)若一組直角邊對應相等,只需確定斜邊對應相等.
重點2 直角三角形全等的判定與性質的綜合應用(幾何直觀、運算能力、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P21T4強化)如圖,等腰直角三角形ABC的直角頂點C與坐標原點O重合,分別過點A,B作x軸的垂線,垂足為D,E,點A的坐標為(-2,5),則線段DE的長為(D)
A.4 B.6 C.6.5 D.7
【舉一反三】
1.如圖,AB=AC,CD⊥AB于點D,BE⊥AC于點E,BE與CD相交于點O,連接AO,圖中有　3　對全等的直角三角形.
2.如圖,點C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求證:△ABC≌△CDE.
【證明】∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,
∴∠BCA=∠DEC,
在△ABC和△CDE中,,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,則下列各圖中的直角三角形與Rt△ABC全等的是(A)
2.(4分·幾何直觀、推理能力)如圖,在Rt△ABC和Rt△EDF中,∠BAC=∠DEF=90°,∠B=∠D,在不添加任何輔助線的情況下,請你添加一個條件:　BC=DF(答案不唯一)　,使得Rt△ABC和Rt△EDF全等.
3.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,直線l過正方形ABCD的頂點B,點A,C到直線l的距離分別為1和2,則正方形的邊長是 　.
4.(8分·推理能力、幾何直觀)在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,CF=AE,BC=DA.求證:Rt△ABE≌Rt△CDF.
【證明】在Rt△ADC與Rt△CBA中,
,
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL),∴DC=BA.
又∵BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
在Rt△ABE與Rt△CDF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).

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