資源簡介

3　線段的垂直平分線
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能運用線段垂直平分線的性質定理和判定定理解決問題. 推理能力、模型觀念
2.已知等腰三角形的底邊和底邊上的高,能用尺規作出等腰三角形;能用尺規過一點作已知直線的垂線. 幾何直觀
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
三角形三邊垂直平分線的性質 三角形形狀繪圖性質銳角三角形三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,并且這一點到三個頂點的距離　相等　 直角三角形鈍角三角形
1.如圖,線段AC,AB的垂直平分線交于點O,已知OC=2 cm,則OB等于(B) A.1 cm 　　　B.2 cm C.3 cm 　　　D.4 cm 2.在△ABC紙片上有一點P,且PA=PB,則P點一定(B) A.是邊AB的中點 B.在邊AB的垂直平分線上 C.在邊AB的高線上 D.在邊AB的中線上 3.通過如下尺規作圖,能使DA+DB=BC的是(D)
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1三角形三邊垂直平分線的性質(推理能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P24例2拓展)如圖,在△ABC中,邊AB,AC的垂直平分線交于點P,連接BP,CP,若∠A=50°,則∠BPC=(A)
A.100° B.95° C.90° D.50°
【舉一反三】
如圖,點P為△ABC三邊垂直平分線的交點,若∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度數.
【解析】∵P為△ABC三邊垂直平分線的交點,∴PA=PC=PB,∴∠PAC=
∠PCA=20°,∠PBC=∠PCB=30°.
∵∠PAB=∠PBA,∴∠PAB=×(180°-2×20°-2×30°)=40°.
【技法點撥】
對三角形三邊垂直平分線性質的解讀
1.銳角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的內部.
2.直角三角形三邊垂直平分線的交點是直角三角形斜邊的中點.
3.鈍角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的外部.
重點2 有關線段垂直平分線的尺規作圖(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P25“做一做”強化)如圖,在△ABC中,AB=AC,以點C為圓心,CB長為半徑畫弧,交AB于點D,再分別以點B,D為圓心,大于BD長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,作射線CM交AB于點E,若AE=5,BE=1,則EC的長度為(C)
A.3 B. C. D.2
【舉一反三】
1.如圖所示,一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛,M,N分別是位于公路AB兩側的村莊,當汽車行駛到哪個位置時,與村莊M,N的距離相等 (作圖說明)
【解析】①連接MN;
②作線段MN的垂直平分線l,
交直線AB于C點,則C點即為所求作.
2.如圖,河流AB的一旁有一村莊P,現要在河流上修建供水站向村莊P供水,要使供水路徑最短,求作供水站M的位置.
【解析】如圖,點M就是所求作的點.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)如果三角形中兩條邊的垂直平分線的交點在第三條邊上,那么這個三角形一定是(D)
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.等邊三角形 D.直角三角形
2.(4分·運算能力、模型觀念)如圖,O為△ABC三邊垂直平分線的交點,點O到點A的距離為6 cm,則AO+BO+CO=　18 cm　.
3.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分線分別交BC于點D,E,BC=6 cm,請計算出∠DAE的度數和△ADE的周長.
【解析】∵AB和AC的垂直平分線分別交BC于點D,E,
∴BD=AD,CE=AE,
∴∠DAB=∠B=32°,∠EAC=∠C=48°,
∴∠ADE=∠B+∠DAB=64°,∠AED=∠C+∠EAC=96°,∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°,
∴△ADE的周長為AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=6 cm.3　線段的垂直平分線
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并掌握線段的垂直平分線的性質定理和判定定理,進一步發展推理能力. 幾何直觀、推理能力
2.能運用線段垂直平分線的性質定理和判定定理解決問題. 推理能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
線段垂直平分線定理 定理圖形語言幾何語言線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離 ∵PQ垂直平分AB, ∴PA= 到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的 上∵ = ,∴點P在線段AB的垂直平分線上
1.如圖,在四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足為點E,下列結論不一定成立的是( ) A.AB=AD B.∠BCE=∠DCE C.△BEC≌△DEC D.AB=BD 2.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分線,∠CAE∶∠EAB=4∶1,則∠B的度數為 .
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 線段的垂直平分線的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P23T1拓展)如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,AC的垂直平分線交CB于點D,連接AD.
(1)判斷△ABD的形狀,并說明理由;
(2)過點A作AE⊥BD,垂足為點E,若△ABD的周長是10,求CE的長.
【舉一反三】
1.如圖,在△ABC中,BC邊的垂直平分線DE交邊BC于點D,交邊AB于點E.若△EDC的周長為24,△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12,則線段DE的長為 .
2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE是線段AB的垂直平分線,交AB于點D,交AC于點E.求∠EBC的度數.
【技法點撥】
垂直平分線的化“折”為直
如圖,DE垂直平分AC,則折線BD-AD的長為線段BC的長,即BD+AD=BC.
重點2 線段的垂直平分線的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P23T2強化)如圖,平面上的四邊形ABCD是一只“風箏”的骨架,其中AB=AD,CB=CD,某同學觀察了這只“風箏”的骨架后,認為四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD垂直,垂足為E,并且BE=ED,你認為這位同學的判斷正確嗎 請說明理由.
【舉一反三】
1.如圖,電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發射塔.按照設計要求,發射塔到兩個城鎮M,N的距離必須相等,則發射塔應該建在( )
A.A處 B.B處 C.C處 D.D處
2.如圖,已知點A(0,8),點B(-6,8),若x軸上一點P到A,B兩點的距離相等,則點P的坐標為 .
3.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于點E.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度數;
(2)求證:直線AD是線段CE的垂直平分線.
【技法點撥】
常見線段垂直平分線的推理
1.若兩個點到同一線段兩端點的距離相等,想到過這兩點的直線是線段的垂直平分線.
2.見到線段的中點,且過中點垂直,想到線段的垂直平分線.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在△ABC中,分別以點A和點C為圓心,大于AC的長為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等),兩弧相交于M,N兩點,直線MN分別與邊BC,AC相交于點D,E,連接AD.若AC=8,AD=5,則DE的長為( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(4分·運算能力、推理能力)如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=67.5°,D為AB的中點,且DE⊥AB交AC于點E,BC=2,則AC的長為( )
A.2 B.4
C.2+2 D.4
3.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,在△ABC中,AC的垂直平分線交AC于點D,交BC于點E,連接AE.若∠B=40°,∠C=30°,則∠BAE的度數為 .
4.(8分·推理能力、幾何直觀)在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜邊AB,分別交AB,BC于D,E.若∠CAB=∠B+30°,求∠AEB.3　線段的垂直平分線
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并掌握線段的垂直平分線的性質定理和判定定理,進一步發展推理能力. 幾何直觀、推理能力
2.能運用線段垂直平分線的性質定理和判定定理解決問題. 推理能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
線段垂直平分線定理 定理圖形語言幾何語言線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等∵PQ垂直平分AB, ∴PA=PB到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上∵PA=PB,∴點P在線段AB的垂直平分線上
1.如圖,在四邊形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足為點E,下列結論不一定成立的是(D) A.AB=AD B.∠BCE=∠DCE C.△BEC≌△DEC D.AB=BD 2.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,DE是AB的垂直平分線,∠CAE∶∠EAB=4∶1,則∠B的度數為　15°　.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 線段的垂直平分線的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P23T1拓展)如圖,在△ABC中,∠B=2∠C,AC的垂直平分線交CB于點D,連接AD.
(1)判斷△ABD的形狀,并說明理由;
(2)過點A作AE⊥BD,垂足為點E,若△ABD的周長是10,求CE的長.
【自主解答】(1)△ABD為等腰三角形,
理由:∵AC的垂直平分線交CB于點D,
∴AD=CD,∴∠C=∠CAD,
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C.
∵∠B=2∠C,∴∠ADB=∠B,
∴AD=AB,
∴△ABD為等腰三角形.
(2)∵AE⊥BD,
∴DE=BE.
∵△ABD的周長是10,
∴AD+DE=5,
∴CE=CD+DE=AD+DE=5.
【舉一反三】
1.如圖,在△ABC中,BC邊的垂直平分線DE交邊BC于點D,交邊AB于點E.若△EDC的周長為24,△ABC與四邊形AEDC的周長之差為12,則線段DE的長為　6　.
2.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE是線段AB的垂直平分線,交AB于點D,交AC于點E.求∠EBC的度數.
【解析】∵∠C=90°,∠A=36°,
∴∠ABC=90°-36°=54°.
∵DE是線段AB的垂直平分線,
∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=36°,∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=54°-36°=18°.
【技法點撥】
垂直平分線的化“折”為直
如圖,DE垂直平分AC,則折線BD-AD的長為線段BC的長,即BD+AD=BC.
重點2 線段的垂直平分線的判定(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P23T2強化)如圖,平面上的四邊形ABCD是一只“風箏”的骨架,其中AB=AD,CB=CD,某同學觀察了這只“風箏”的骨架后,認為四邊形ABCD的兩條對角線AC,BD垂直,垂足為E,并且BE=ED,你認為這位同學的判斷正確嗎 請說明理由.
【自主解答】正確,理由如下:
∵AB=AD,
∴點A在BD的垂直平分線上.
又∵CB=CD,
∴點C在BD的垂直平分線上,
∴AC所在直線為BD的垂直平分線,
∴BE=DE,AC⊥BD.
【舉一反三】
1.如圖,電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發射塔.按照設計要求,發射塔到兩個城鎮M,N的距離必須相等,則發射塔應該建在(C)
A.A處 B.B處 C.C處 D.D處
2.如圖,已知點A(0,8),點B(-6,8),若x軸上一點P到A,B兩點的距離相等,則點P的坐標為　(-3,0)　.
3.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于點E.
(1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度數;
(2)求證:直線AD是線段CE的垂直平分線.
【解析】(1)∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠BAC=25°.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,
∴∠EDA=90°-25°=65°.
(2)∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°=∠ACB.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAC.
∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC.
∵AD平分∠BAC,
∴AD⊥CE,AD平分CE,即直線AD是線段CE的垂直平分線.
【技法點撥】
常見線段垂直平分線的推理
1.若兩個點到同一線段兩端點的距離相等,想到過這兩點的直線是線段的垂直平分線.
2.見到線段的中點,且過中點垂直,想到線段的垂直平分線.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在△ABC中,分別以點A和點C為圓心,大于AC的長為半徑作弧(弧所在圓的半徑都相等),兩弧相交于M,N兩點,直線MN分別與邊BC,AC相交于點D,E,連接AD.若AC=8,AD=5,則DE的長為(D)
A.6 B.5 C.4 D.3
2.(4分·運算能力、推理能力)如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=67.5°,D為AB的中點,且DE⊥AB交AC于點E,BC=2,則AC的長為(C)
A.2 B.4
C.2+2 D.4
3.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,在△ABC中,AC的垂直平分線交AC于點D,交BC于點E,連接AE.若∠B=40°,∠C=30°,則∠BAE的度數為　80°　.
4.(8分·推理能力、幾何直觀)在△ABC中,∠C=90°,DE垂直平分斜邊AB,分別交AB,BC于D,E.若∠CAB=∠B+30°,求∠AEB.
【解析】∵DE垂直平分斜邊AB,∴AE=BE,
∴∠EAB=∠B.
∵∠CAB=∠B+30°,∠CAB=∠CAE+∠EAB,∴∠CAE=30°.
∵∠C=90°,∴∠AEC=60°,
∴∠AEB=120°.3　線段的垂直平分線
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能運用線段垂直平分線的性質定理和判定定理解決問題. 推理能力、模型觀念
2.已知等腰三角形的底邊和底邊上的高,能用尺規作出等腰三角形;能用尺規過一點作已知直線的垂線. 幾何直觀
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
三角形三邊垂直平分線的性質 三角形形狀繪圖性質銳角三角形三角形三條邊的垂直平分線相交于 ,并且這一點到三個頂點的距離 直角三角形鈍角三角形
1.如圖,線段AC,AB的垂直平分線交于點O,已知OC=2 cm,則OB等于( ) A.1 cm 　　　B.2 cm C.3 cm 　　　D.4 cm 2.在△ABC紙片上有一點P,且PA=PB,則P點一定( ) A.是邊AB的中點 B.在邊AB的垂直平分線上 C.在邊AB的高線上 D.在邊AB的中線上 3.通過如下尺規作圖,能使DA+DB=BC的是( )
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1三角形三邊垂直平分線的性質(推理能力、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P24例2拓展)如圖,在△ABC中,邊AB,AC的垂直平分線交于點P,連接BP,CP,若∠A=50°,則∠BPC=( )
A.100° B.95° C.90° D.50°
【舉一反三】
如圖,點P為△ABC三邊垂直平分線的交點,若∠PAC=20°,∠PCB=30°,求∠PAB的度數.
【技法點撥】
對三角形三邊垂直平分線性質的解讀
1.銳角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的內部.
2.直角三角形三邊垂直平分線的交點是直角三角形斜邊的中點.
3.鈍角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形的外部.
重點2 有關線段垂直平分線的尺規作圖(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P25“做一做”強化)如圖,在△ABC中,AB=AC,以點C為圓心,CB長為半徑畫弧,交AB于點D,再分別以點B,D為圓心,大于BD長為半徑畫弧,兩弧相交于點M,作射線CM交AB于點E,若AE=5,BE=1,則EC的長度為( )
A.3 B. C. D.2
【舉一反三】
1.如圖所示,一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛,M,N分別是位于公路AB兩側的村莊,當汽車行駛到哪個位置時,與村莊M,N的距離相等 (作圖說明)
2.如圖,河流AB的一旁有一村莊P,現要在河流上修建供水站向村莊P供水,要使供水路徑最短,求作供水站M的位置.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)如果三角形中兩條邊的垂直平分線的交點在第三條邊上,那么這個三角形一定是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.等邊三角形 D.直角三角形
2.(4分·運算能力、模型觀念)如圖,O為△ABC三邊垂直平分線的交點,點O到點A的距離為6 cm,則AO+BO+CO= .
3.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,在△ABC中,∠B=32°,∠C=48°,AB和AC的垂直平分線分別交BC于點D,E,BC=6 cm,請計算出∠DAE的度數和△ADE的周長.

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