資源簡介

4　角平分線
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解三角形的三條角平分線相交于一點,這個點到三條邊的距離相等的性質. 幾何直觀、推理能力
2.運用角平分線的性質定理和判定定理解決問題. 推理能力、模型觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
三角形三個內角平分線的性質 文字語言三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等.圖形語言符號語言∵AD,BE,CF分別平分∠BAC,∠ABC,∠BCA且交于點P,PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB, ∴PM=PN=PQ
1.到三角形三條邊距離相等的點是此三角形(A) A.三條角平分線的交點　　 B.三條中線的交點 C.三條高的交點 D.三邊中垂線的交點 2.在△ABC中,∠B,∠C的平分線交于點O,如果點O到BC邊的距離為5,則點O到AB邊的距離為　5　. 3.如圖所示,點O是△ABC內一點,BO平分∠ABC,OD⊥BC于點D,連接OA,若OD=5,AB=20,則△AOB的面積是　50　.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 三角形角平分線的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P30例2拓展)如圖,在△ABC中,∠CAB=60°,∠CAB的平分線AP與∠CBA的平分線BP相交于點P,連接CP.
(1)求證:CP平分∠ACB;
(2)若AP=4,△ABC的周長為20,求△ABC的面積.
【自主解答】(1)過點P作PD⊥AB于D,作PE⊥BC于E,作PF⊥AC于F,
則PD,PE,PF分別是P到AB,BC,CA的距離,
∵P是∠CAB的平分線AP與∠CBA的平分線BP的交點,
∴PD=PE=PF,
∴CP平分∠ACB;
(2)∵∠CAB=60°,
∴∠PAB=30°,
在Rt△PAD中,PA=4,
∴PD=2,
∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA=AB·PD+BC·PE+CA·PF
=(AB+BC+CA)·PD
=×20×2
=20.
【舉一反三】
1.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線,且相交于點F,則下列說法錯誤的是(D)
A.BF=CF
B.點F到∠BAC兩邊的距離相等
C.CE=BD
D.點F到A,B,C三點的距離相等
2.如圖,O是△ABC內一點,且O到△ABC三邊AB,BC,CA的距離分別為OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=66°,則∠BOC=(C)
A.120°　　B.130°　　C.123°　　D.125°
【技法點撥】
三角形的三條角平分線交點的性質
圖示 條件 結論
BE,CF分別平分∠ABC, ∠ACB且交于點P ∠BPC=90°+∠A
AP,BP,CP分別平分∠BAC,∠ABC,∠ACB且交于點P S△ABP+S△BCP+S△ACP= S△ABC; S△ABC=C△ABC·PM
重點2 三角形角平分線的應用(模型觀念、推理能力)
【典例2】 (教材再開發·P32T4拓展)如圖是油路管道的一部分,延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形,兩條直角邊分別為6 m和8 m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道,則O到三條支路的管道總長(計算時視管道為線,中心O為點)是　6 m　.
【舉一反三】
1.甲、乙、丙、丁四位同學解決以下問題,則正確的作圖是(C)
問題:某旅游景區內有一塊三角形綠地ABC,如圖所示,現要在道路AB邊上建一個休息點M,使它到AC和BC兩邊的距離相等,在圖中確定休息點M的位置
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如圖,△ABC的三邊AC,BC,AB的長分別是8,12,16,點O是△ABC三條角平分線的交點,則S△OAB∶S△OBC∶S△OAC的值為(A)
A.4∶3∶2 B.5∶3∶2 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·運算能力、推理能力)如圖,點O到△ABC三邊的距離相等,∠ABC=84°,則∠AOC=　132°　.
2.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,P是△ABC的內角∠ABC與它的外角∠ACD的平分線的交點,點P到直線AC的距離為5 cm,則點P到直線AB的距離是
　5　cm.
3.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖①,在△ABC中,∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線交于點D.
(1)∠D=50°,求∠A的度數;
(2)如圖②,連接AD,求證:AD平分∠BAC.
【解析】(1)∵∠D=50°,
∴∠BCD+∠CBD=130°,
∵∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線交于點D,
∴∠BCE=2∠BCD,∠CBF=2∠CBD,
∴∠BCE+∠CBF=2∠BCD+2∠CBD=
2(∠BCD+∠CBD)=260°,
∴∠ACB+∠ABC=(180°-∠BCE)+(180°-∠CBF)=360°-(∠BCE+∠CBF)=100°,
∴∠A=180°-(∠ACB+∠ABC)=80°;
(2)分別過D作DM,DN,DG垂直于AB,BC,AC,垂足分別為M,N,G,
∵BD平分∠CBF,DM⊥AB于點M,DN⊥BC于點N,
∴DM=DN.
同理DG=DN,∴DM=DG,
∴點D在∠BAC的平分線上,
∴AD平分∠BAC.4　角平分線
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解三角形的三條角平分線相交于一點,這個點到三條邊的距離相等的性質. 幾何直觀、推理能力
2.運用角平分線的性質定理和判定定理解決問題. 推理能力、模型觀念
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
三角形三個內角平分線的性質 文字語言三角形的三條角平分線相交于 ,并且這一點到 的距離相等.圖形語言符號語言∵AD,BE,CF分別平分∠BAC,∠ABC,∠BCA且交于點P,PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB, ∴
1.到三角形三條邊距離相等的點是此三角形( ) A.三條角平分線的交點　　 B.三條中線的交點 C.三條高的交點 D.三邊中垂線的交點 2.在△ABC中,∠B,∠C的平分線交于點O,如果點O到BC邊的距離為5,則點O到AB邊的距離為 . 3.如圖所示,點O是△ABC內一點,BO平分∠ABC,OD⊥BC于點D,連接OA,若OD=5,AB=20,則△AOB的面積是 .
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 三角形角平分線的性質(幾何直觀、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P30例2拓展)如圖,在△ABC中,∠CAB=60°,∠CAB的平分線AP與∠CBA的平分線BP相交于點P,連接CP.
(1)求證:CP平分∠ACB;
(2)若AP=4,△ABC的周長為20,求△ABC的面積.
【舉一反三】
1.如圖,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分別是∠ABC和∠ACB的平分線,且相交于點F,則下列說法錯誤的是( )
A.BF=CF
B.點F到∠BAC兩邊的距離相等
C.CE=BD
D.點F到A,B,C三點的距離相等
2.如圖,O是△ABC內一點,且O到△ABC三邊AB,BC,CA的距離分別為OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=66°,則∠BOC=( )
A.120°　　B.130°　　C.123°　　D.125°
【技法點撥】
三角形的三條角平分線交點的性質
圖示 條件 結論
BE,CF分別平分∠ABC, ∠ACB且交于點P ∠BPC=90°+∠A
AP,BP,CP分別平分∠BAC,∠ABC,∠ACB且交于點P S△ABP+S△BCP+S△ACP= S△ABC; S△ABC=C△ABC·PM
重點2 三角形角平分線的應用(模型觀念、推理能力)
【典例2】 (教材再開發·P32T4拓展)如圖是油路管道的一部分,延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形,兩條直角邊分別為6 m和8 m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連接管道,則O到三條支路的管道總長(計算時視管道為線,中心O為點)是 .
【舉一反三】
1.甲、乙、丙、丁四位同學解決以下問題,則正確的作圖是( )
問題:某旅游景區內有一塊三角形綠地ABC,如圖所示,現要在道路AB邊上建一個休息點M,使它到AC和BC兩邊的距離相等,在圖中確定休息點M的位置
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.如圖,△ABC的三邊AC,BC,AB的長分別是8,12,16,點O是△ABC三條角平分線的交點,則S△OAB∶S△OBC∶S△OAC的值為( )
A.4∶3∶2 B.5∶3∶2 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·運算能力、推理能力)如圖,點O到△ABC三邊的距離相等,∠ABC=84°,則∠AOC= .
2.(4分·運算能力、幾何直觀)如圖,P是△ABC的內角∠ABC與它的外角∠ACD的平分線的交點,點P到直線AC的距離為5 cm,則點P到直線AB的距離是
cm.
3.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖①,在△ABC中,∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線交于點D.
(1)∠D=50°,求∠A的度數;
(2)如圖②,連接AD,求證:AD平分∠BAC.4　角平分線
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.證明角平分線的性質定理,探索并證明角平分線的判定定理,進一步發展推理能力. 幾何直觀、推理能力
2.能運用角平分線的性質定理和判定定理解決問題. 推理能力、模型觀念
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
　如圖所示,若DE⊥AB,DF⊥AC,則對于∠1和∠2的大小關系,下列說法中,正確的是( ) A.一定相等 　　　　　　 B.一定不相等 C.當BD=CD時相等 　　 D.當DE=DF時相等
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 角平分線的性質定理(幾何直觀、推理能力)
【典例1】 (2024·湖南中考)如圖,在銳角三角形ABC中,AD是邊BC上的高,在BA,BC上分別截取線段BE,BF,使BE=BF;分別以點E,F為圓心,大于EF的長為半徑畫弧,在∠ABC內,兩弧交于點P,作射線BP,交AD于點M,過點M作MN⊥AB于點N.若MN=2,AD=4MD,則AM= .
【舉一反三】
1. (2024·綿陽期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,DE⊥AB于點E,若DE=3 cm,則AC=( )
A.9 cm B.6 cm C.12 cm D.3 cm
2.如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于點D,DE⊥BC于點E,且BC=10 cm,則△DEC的周長是 .
【技法點撥】
由角平分線求三角形面積
(1)兩垂直,一平分,三個條件缺一不可.
(2)常作輔助線:過點D作DF⊥BC交BC延長線于點F,得DE=DF.
(3)若BD平分∠ABC,則S△BCD=BC·DE.
重點2 角平分線的判定定理(模型觀念、推理能力)
【典例2】如圖,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于點E,CF⊥AB交AB的延長線于點F.求證:AC平分∠DAB.
【舉一反三】
1.如圖,點O在一塊直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于點M,ON⊥BC于點N.若OM=ON,則∠ABO= .
2.(教材再開發·P30T2強化)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F,BE=CF.求證:AD是△ABC的角平分線.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,則下列結論中,錯誤的是( )
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
2.(4分·幾何直觀、推理能力)(2024·天津中考)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以點A為圓心,適當長為半徑畫弧,交AB于點E,交AC于點F;再分別以點E,F為圓心,大于EF的長為半徑畫弧,兩弧(所在圓的半徑相等)在∠BAC的內部相交于點P;畫射線AP,與BC相交于點D,則∠ADC的大小為( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交于點F,CF=BF,求證:點F在∠A的平分線上.4　角平分線
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.證明角平分線的性質定理,探索并證明角平分線的判定定理,進一步發展推理能力. 幾何直觀、推理能力
2.能運用角平分線的性質定理和判定定理解決問題. 推理能力、模型觀念
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
　如圖所示,若DE⊥AB,DF⊥AC,則對于∠1和∠2的大小關系,下列說法中,正確的是(D) A.一定相等 　　　　　　 B.一定不相等 C.當BD=CD時相等 　　 D.當DE=DF時相等
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 角平分線的性質定理(幾何直觀、推理能力)
【典例1】 (2024·湖南中考)如圖,在銳角三角形ABC中,AD是邊BC上的高,在BA,BC上分別截取線段BE,BF,使BE=BF;分別以點E,F為圓心,大于EF的長為半徑畫弧,在∠ABC內,兩弧交于點P,作射線BP,交AD于點M,過點M作MN⊥AB于點N.若MN=2,AD=4MD,則AM=　6　.
【舉一反三】
1. (2024·綿陽期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∠ABC的平分線BD交AC于點D,DE⊥AB于點E,若DE=3 cm,則AC=(A)
A.9 cm B.6 cm C.12 cm D.3 cm
2.如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于點D,DE⊥BC于點E,且BC=10 cm,則△DEC的周長是　10 cm　.
【技法點撥】
由角平分線求三角形面積
(1)兩垂直,一平分,三個條件缺一不可.
(2)常作輔助線:過點D作DF⊥BC交BC延長線于點F,得DE=DF.
(3)若BD平分∠ABC,則S△BCD=BC·DE.
重點2 角平分線的判定定理(模型觀念、推理能力)
【典例2】如圖,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于點E,CF⊥AB交AB的延長線于點F.求證:AC平分∠DAB.
【自主解答】∵CE⊥AD于點E,CF⊥AB,
∴∠DEC=∠BFC=90°.
∵∠D+∠ABC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,∴∠D=∠CBF.
在△CDE與△CBF中,,
∴△CDE≌△CBF(AAS),
∴CE=CF,∴AC平分∠DAB.
【舉一反三】
1.如圖,點O在一塊直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于點M,ON⊥BC于點N.若OM=ON,則∠ABO=　15°　.
2.(教材再開發·P30T2強化)如圖,在△ABC中,D是BC的中點,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F,BE=CF.求證:AD是△ABC的角平分線.
【證明】∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴△BDE和△CDF是直角三角形.
∵,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是△ABC的角平分線.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·推理能力、幾何直觀)如圖,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,則下列結論中,錯誤的是(B)
A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
2.(4分·幾何直觀、推理能力)(2024·天津中考)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以點A為圓心,適當長為半徑畫弧,交AB于點E,交AC于點F;再分別以點E,F為圓心,大于EF的長為半徑畫弧,兩弧(所在圓的半徑相等)在∠BAC的內部相交于點P;畫射線AP,與BC相交于點D,則∠ADC的大小為(B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.(8分·推理能力、幾何直觀)如圖,BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交于點F,CF=BF,求證:點F在∠A的平分線上.
【證明】∵BD⊥AM,CE⊥AN,
∴∠CDF=∠BEF=90°.
在△CDF和△BEF中,,
∴△CDF≌△BEF(AAS),
∴DF=EF,∴點F在∠A的平分線上.

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