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第十章　靜電場(chǎng)中的能量
第3節(jié)　電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系
Ed
電場(chǎng)強(qiáng)度
沿電場(chǎng)方向的距離
勻強(qiáng)
電場(chǎng)方向
×
×
×
電勢(shì)差
沿電場(chǎng)強(qiáng)度方向距離之比
電場(chǎng)
單位距離
伏[特]每米
√
√
√
√
√
√
√
√
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√
√
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甲
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CINCLUDEPICTURE"分層演練素養(yǎng)達(dá)標(biāo)LLL.TIF"
(限時(shí)：45分鐘)
【合格考練】
1．關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度的公式①E＝k、②E＝、③E＝，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．它們都只對(duì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)成立
B．①②式只對(duì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)成立，③式只對(duì)勻強(qiáng)電場(chǎng)成立
C．①式只對(duì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)成立，②式對(duì)任何電場(chǎng)都成立，③式只對(duì)勻強(qiáng)電場(chǎng)成立
D．①式只對(duì)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)成立，②③式對(duì)任何電場(chǎng)都成立
解析：選C。公式②是電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式，適用于所有電場(chǎng)；而兩個(gè)點(diǎn)電荷間相互作用力，根據(jù)庫(kù)侖定律F＝k，代入②式就會(huì)得出①式的表達(dá)式，因此①式是由兩個(gè)點(diǎn)電荷間作用力推出的，故只適用于點(diǎn)電荷的電場(chǎng)，而③式是電荷在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力做功Edq＝Uq推出的，因此③式只適用于勻強(qiáng)電場(chǎng)，C正確，A、B、D錯(cuò)誤。
2．(多選)關(guān)于勻強(qiáng)電場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)差的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，等于電場(chǎng)強(qiáng)度和這兩點(diǎn)間距離的乘積
B．沿電場(chǎng)線方向，相同距離上電勢(shì)降落必相等
C．電勢(shì)降低最快的方向必是電場(chǎng)強(qiáng)度方向
D．在相同距離的兩點(diǎn)上，電勢(shì)差大的，其電場(chǎng)強(qiáng)度也大
解析：選BC。UAB＝Ed中的d為A、B兩點(diǎn)沿電場(chǎng)方向的距離，A、D錯(cuò)誤；由UAB＝Ed可知沿電場(chǎng)線方向，電勢(shì)降落最快，且相同距離上電勢(shì)降落必相等，B、C正確。
3.如圖所示，三個(gè)同心圓是一個(gè)點(diǎn)電荷周圍的三個(gè)等勢(shì)面，已知這三個(gè)圓的半徑成等差數(shù)列。A、B、C分別是這三個(gè)等勢(shì)面上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)在同一條電場(chǎng)線上。A、C兩點(diǎn)的電勢(shì)依次為φA＝10 V和φC＝2 V，則B點(diǎn)的電勢(shì)(　　)
A．一定等于6 V　　　　　 B．一定低于6 V
C．一定高于6 V D．無(wú)法確定
解析：選B。從點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線和等勢(shì)面的特點(diǎn)知，EA＞EB＞EC，AB＝BC，由U＝Ed定性分析，UAB＞UBC，所以φB＜6 V。
4.如圖所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)E＝100 V/m，A、B兩點(diǎn)相距10 cm，A、B連線與電場(chǎng)線夾角為60°，若取A點(diǎn)電勢(shì)為0，則B點(diǎn)電勢(shì)為(　　)
A．－10 V B．10 V
C．－5 V D．－3 V
解析：選C。A、B連線沿電場(chǎng)線的距離為d＝0.05 m，根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系可知，UAB＝Ed＝5 V，電場(chǎng)中B點(diǎn)的電勢(shì)等于B點(diǎn)到零電勢(shì)點(diǎn)的電勢(shì)差，φB＝UBA＝－UAB＝－5 V，C正確。
5．(多選)如圖，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，A、B、C、D、E、F位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2 cm的正六邊形的頂點(diǎn)上，勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于正六邊形所在的平面。已知A、B、D、E的電勢(shì)分別為－2 V、 0、 6 V、 4 V。則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．C點(diǎn)的電勢(shì)φC＝2 V
B．A、F間的電勢(shì)差UAF＝2 V
C．C、F間的電勢(shì)差UCF＝4 V
D．該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E＝200 V/m
解析：選CD。連接AD、BF、CE，如圖所示：
由圖可知AD與BF、CE都垂直，故電場(chǎng)強(qiáng)度方向由D指向A，由正六邊形對(duì)稱性可知F與B的電勢(shì)相等，C與E的電勢(shì)相等，故F點(diǎn)的電勢(shì)為0，C點(diǎn)的電勢(shì)為4 V，則A、F間的電勢(shì)差為UAF＝φA－φF＝－2 V－0＝－2 V
C、F間的電勢(shì)差為UCF＝φC－φF＝4 V－0＝4 V
由幾何關(guān)系得dOA＝L sin 30°
UOA＝UFA＝－UAF＝2 V
則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E＝＝ V/m＝200 V/m，故A、B錯(cuò)誤，C、D正確。
6.(2023·四川成都聯(lián)考期末)如圖，空間中存在平行于三角形ABC所在平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)。已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm。將一電荷量為q＝＋1×10－5C的電荷從A點(diǎn)移到B點(diǎn)，靜電力做功為0。從B點(diǎn)移到C點(diǎn)，靜電力做功為－×10－3J，則(　　)
A．將該電荷從B點(diǎn)移到C點(diǎn)，其電勢(shì)能減小
B．A點(diǎn)的電勢(shì)高于B點(diǎn)的電勢(shì)
C．該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為1 000 V/m，方向垂直于AB斜向下
D．將該電荷從A點(diǎn)移到C點(diǎn)，靜電力做功為×10－3J
解析：選C。將該電荷從B點(diǎn)移到C點(diǎn)，靜電力做負(fù)功，其電勢(shì)能增大，故A錯(cuò)誤；勻強(qiáng)電場(chǎng)中，將一電荷從A點(diǎn)移到B點(diǎn)，靜電力做功為0，則AB是一條等勢(shì)線，A點(diǎn)的電勢(shì)等于B點(diǎn)的電勢(shì)，故B錯(cuò)誤；將一正電荷從B點(diǎn)移到C點(diǎn)，其電勢(shì)能增大，則φC>φB，且AB是一條等勢(shì)線，勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向垂直于AB斜向下，根據(jù)題意UBC＝＝－100 V，勻強(qiáng)電場(chǎng)中E＝＝1 000 V/m，故C正確；A點(diǎn)和B點(diǎn)的電勢(shì)相等，故將該電荷從A點(diǎn)移到C點(diǎn)，靜電力做功也為－×10－3 J，故D錯(cuò)誤。
7．如圖所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一直角三角形OBC，電場(chǎng)方向與三角形所在平面平行，若三角形三頂點(diǎn)O、B、C處的電勢(shì)分別為φO、φB、φC，已知φO＝0，φB＝3 V，φC＝6 V，OB＝4 cm，OC＝6 cm。則下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為125 V/m
B．勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為200 V/m
C．勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的方向斜向下與OC夾角為30°
D．一個(gè)電子由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)再運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中電場(chǎng)力做功3 eV
解析：選A。如圖
根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的特點(diǎn)，OC中點(diǎn)D的電勢(shì)為3 V，則BD為一條等勢(shì)線，電場(chǎng)方向如圖，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向斜向下與OC夾角為θ，tan θ＝＝
θ＝37°
由幾何關(guān)系得，O到BD的距離d＝2.4 cm，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中E＝＝ V/m＝125 V/m
故A正確，B、C錯(cuò)誤；根據(jù)W＝qU可知一個(gè)電子由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)再運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中電場(chǎng)力做功為W＝－e×3 V＝－3 eV，故D錯(cuò)誤。
8．(多選)如圖所示，A、B、C是勻強(qiáng)電場(chǎng)中平行于電場(chǎng)線的某一平面上的三個(gè)點(diǎn)，各點(diǎn)的電勢(shì)分別為φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G為AC的中點(diǎn)，在下列各示意圖中，能正確表示該電場(chǎng)強(qiáng)度方向的是(　　)
解析：選BC。根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)的特點(diǎn)可知，H、F的電勢(shì)分別為φH＝4 V，φF＝3 V，G的電勢(shì)φG＝＝4 V，則φH＝φG，則電場(chǎng)線垂直于GH，又φC＝φF＝3 V，可知電場(chǎng)線與CF垂直，故選B、C。
【等級(jí)考練】
9．如圖所示，在平行于ABC平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為6 cm的等邊三角形，A、B、C三點(diǎn)電勢(shì)分別為8 V，－4 V和2 V，D為靠近A點(diǎn)的AB線段的三等分點(diǎn)。下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．電場(chǎng)強(qiáng)度為400 V/m
B．電場(chǎng)線方向與AB平行，方向指向A
C．電子在A點(diǎn)的電勢(shì)能小于在B點(diǎn)的電勢(shì)能
D．若將一電子從C點(diǎn)移至D點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為－2 eV
解析：選C。由勻強(qiáng)電場(chǎng)中的任一線段兩端電勢(shì)與中點(diǎn)電勢(shì)的關(guān)系，則有AB的中點(diǎn)F點(diǎn)的電勢(shì)為
φF＝＝ V＝2 V
則F、C為等電勢(shì)點(diǎn)，F(xiàn)C為等勢(shì)線，則AB為一電場(chǎng)線，方向由A到B，則
勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為
E＝＝ V/m＝200 V/m
方向由A到B，故A、B錯(cuò)誤；電子帶負(fù)電，由Ep＝qφ知其在電勢(shì)高處電勢(shì)能小，故C正確；D點(diǎn)的電勢(shì)為
φD＝8 V－ V＝4 V
則UCD＝－2 V，將一電子從C點(diǎn)移至D點(diǎn)，電場(chǎng)力做功為W＝－eUCD＝2 eV，故D錯(cuò)誤。
10.(多選)空間有平行于梯形區(qū)域abcd的勻強(qiáng)電場(chǎng)，已知∠a＝45°，∠c和∠d均為直角，且上底bc＝2 cm、下底ad＝4 cm，a、b、c三點(diǎn)的電勢(shì)分別為4 V、8 V、10 V。將一電荷量q＝－2×10－5 C的點(diǎn)電荷從a點(diǎn)開(kāi)始沿abcd路線移動(dòng)，則下列判斷正確的是(　　)
A．梯形區(qū)域的下底ad中點(diǎn)的電勢(shì)為6 V
B．該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為 V/m
C．該點(diǎn)電荷在c點(diǎn)的電勢(shì)能為＋2×10－4 J
D．該點(diǎn)電荷從a點(diǎn)移到d點(diǎn)過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)它做的功為＋8×10－5 J
解析：選AD。根據(jù)題述a、b、c三點(diǎn)電勢(shì)分別為4 V、8 V、10 V，如圖所示，g為ad中點(diǎn)，根據(jù)在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，平行線上相等長(zhǎng)度的線段電勢(shì)差相等可知，ad中點(diǎn)的電勢(shì)為6 V，d點(diǎn)電勢(shì)為8 V，A正確；由幾何關(guān)系可知，ab⊥bd，根據(jù)電場(chǎng)線與等勢(shì)線垂直可知，電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿ba方向。由E＝可得該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E＝＝100 V，B錯(cuò)誤；根據(jù)電勢(shì)能公式可知，電荷量q＝－2×10－5 C的點(diǎn)電荷在c點(diǎn)的電勢(shì)能Ep＝qφc＝－2×10－5×10 J＝－2×10－4 J，C錯(cuò)誤；電荷量q＝－2×10－5 C的點(diǎn)電荷從a點(diǎn)移動(dòng)到d點(diǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)力對(duì)它做的功為W＝qUad＝q(φa－φd)＝－2×10－5×(4－8) J＝＋8×10－5 J，D正確。
11.在研究未知電場(chǎng)時(shí)，一般是先通過(guò)實(shí)驗(yàn)找出等勢(shì)點(diǎn)描繪出等勢(shì)面，再由等勢(shì)面得到電場(chǎng)線。如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為0，點(diǎn)A處的電勢(shì)為6 V，點(diǎn)B處的電勢(shì)為3 V。則該電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度(　　)
A．方向垂直x軸
B．方向垂直AB連線
C．大小為100 V/m
D．大小為100 V/m
解析：選D。坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為0，點(diǎn)A處的電勢(shì)為6 V，則OA中點(diǎn)C的電勢(shì)為φC＝＝3 V＝φB，則BC連線為等勢(shì)面，場(chǎng)強(qiáng)方向與等勢(shì)面垂直，可知場(chǎng)強(qiáng)方向垂直BC斜向下，場(chǎng)強(qiáng)大小為E＝＝ V/m＝100 V/m。
12．如圖所示，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，將一電荷量為2×10－4 C的負(fù)電荷由A點(diǎn)移到B點(diǎn)，其電勢(shì)能增加了0.2 J，已知A、B兩點(diǎn)間距離為2 cm，兩點(diǎn)連線與電場(chǎng)方向成60°角，求：
(1)電荷由A移到B的過(guò)程中，電場(chǎng)力所做的功；
(2)A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；
(3)該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度。
解析：(1)因負(fù)電荷由A移到B的過(guò)程中，負(fù)電荷的電勢(shì)能增加了ΔE＝0.2 J，所以這個(gè)過(guò)程中電場(chǎng)力對(duì)負(fù)電荷所做的功W＝－ΔE＝－0.2 J；
(2)A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UAB＝＝V＝1 000 V；
(3)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度
E＝＝V/m＝1×105 V/m。
答案：(1)－0.2 J　(2)1 000 V　(3)1×105 V/m
13．一組方向未知的勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)線如圖所示，將電荷量為q＝－1.0×10－6C的點(diǎn)電荷由A點(diǎn)沿水平線移至B點(diǎn)，克服電場(chǎng)力做了2×10－6J的功，已知A、B間的距離為2 cm。
(1)求A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差UAB；
(2)若A點(diǎn)的電勢(shì)為φA＝1 V，試求B點(diǎn)的電勢(shì)φB；
(3)求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小并判斷其方向。
解析：(1)由題意可知，點(diǎn)電荷從A到B，電場(chǎng)力做負(fù)功WAB＝－2×10－6J
根據(jù)UAB＝
代入數(shù)據(jù)解得UAB＝2 V；
(2)根據(jù)UAB＝φA－φB
解得φB＝φA－UAB＝－1 V；
(3)如圖所示
由幾何關(guān)系可得A、B兩點(diǎn)沿電場(chǎng)線方向的距離
d＝2×10－2 m·cos 60°＝1×10－2 m
根據(jù)E＝
代入數(shù)據(jù)解得E＝200 V/m，方向沿電場(chǎng)線向下。
答案：(1)2 V　(2)－1 V　(3)200 V/m，方向沿電場(chǎng)線向下
14．(2023·寧夏中衛(wèi)統(tǒng)考期末)如圖所示，兩平行金屬板A、B間為一勻強(qiáng)電場(chǎng)，A、B相距12 cm，C、D為電場(chǎng)中的兩點(diǎn)(其中C點(diǎn)在金屬板上)，且CD＝8 cm，CD連線和電場(chǎng)強(qiáng)度方向成60°角。已知電子從D點(diǎn)移到C點(diǎn)靜電力做功為6.4×10－19J，電子電荷量e＝1.6×10－19C。
(1)求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小。
(2)求A、B兩板間的電勢(shì)差。
(3)若A板接地，則D點(diǎn)電勢(shì)為多少？
解析：(1)由題可知，D→C靜電力做正功，根據(jù)靜電力做功有
W＝eELCDcos 60°＝6.4×10－19 J
解得E＝
＝N/C
＝1×102 N/C。
(2)因電子從D到C靜電力做正功，則知電子在電場(chǎng)中受到的靜電力方向向上，電子帶負(fù)電，則電場(chǎng)強(qiáng)度方向?yàn)锳→B，則A、B間電勢(shì)差為UAB＝EdAB＝12 V。
(3)A、D間電勢(shì)差為
UAD＝EdAD＝ELCDcos 60°＝4 V
由UAD＝φA－φD，A板接地，則φA＝0
可得φD＝－4 V。
答案：(1)1×102 N/C　(2)12 V
(3)－4 V
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