資源簡介

模型17 “一線三等角”模型
模型展現
模型解題三步法
例1 如圖,在△ABC中,AB=AC,∠ACB=60°,點D 是線段BC上一點,連接AD,在線段AD上分別取兩點E,F,連接CE,BF.若∠BAD=∠ACE,∠BFD=60°,CE=3,則AF的長為 .
例2 (模型構造) 如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,點E是BC上一點,且BE=3,連接AE,將線段AE繞點E 順時針旋轉90°得到線段 EF，連接CF，則△ECF 的面積為 .
中小學教育資源及組卷應用平臺
題以類解
1. 如圖,在△ABC 中,∠B=∠C,以點 C 為圓心，AB長為半徑作圓，交BC 于點D，點E在AC上,連接AD,DE,若∠ADE=∠B,BC=7,CE=2,則AB的長為 ( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
2. 如圖,在△ABC中,點D,E在邊 BC上,連接EA，將線段 EA 繞點 E 逆時針旋轉α得到EF,點F恰好在AB上,連接DF.若∠EDF= 與△ACE 的面積之和為7，則△AEF的面積為 ( )
A. 14 B. C. D. 7
3. 如圖,在菱形ABCD 中,點 E 在 CD 邊上,連接 AE,點 F, G 均在 AE 上,且∠BFE =∠DGE= ∠BAD,若∠BAD = 66°,∠ABF =19°,則∠AEC 的度數為 .
4.如圖，在等腰直角△ABC中，BC=3,∠ACB=90°,點D 在AC上(不與A,C重合),且AD=1,連接BD,以DB為直角邊向上作等腰直角△BDE,∠BDE=90°,連接CE,則CE的長為 .
5.如圖，在正方形 ABCO 中，點O與坐標原點重合，點A，C分別在反比例函數 與 的圖象上，若點C(1,4),則 的值為 .
6.如圖，拋物線 與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點 C，點P 是拋物線對稱軸上一點.連接 PC，將線段 PC繞點 P 旋轉90°,得到線段 PQ,點 C 的對應點為 Q.當點 Q 在拋物線上時，求點 Q 的坐標.
模型17 “一線三等角”模型
模型展現
自主證明：
∵∠1=∠2,∠1+∠CAP=∠2+∠PBD,
∴∠PBD=∠CAP,
∵∠2=∠3,∠2=∠D+∠BPD,∠3=∠APC+∠BPD,
∴∠D=∠APC,
又∵AP=BD(或AC=BP 或CP=PD),
∴△APC≌△BDP.
模型解題三步法
例1 3 【解析】根據“一線三等角”模型得△BAF≌△ACE(AAS),∴AF=CE=3.
例2 AE=EF ∠ABC=∠AEF
152 【解析】如解圖,過點 F作 FG⊥BC 于點 G.根據“一線三垂直”模型得△ABE≌△EGF(AAS),∴ BE=FG=3,∵ EC=BC-
題以類解
1. C 【解析】找模型：一線：線段BC；三個相等的角:∠ADE=∠B=∠C,等線段:AB=CD.抽離模型：如解圖，用模型：根據同側銳角“一線三等角”模型得△ABD≌△DCE(ASA),∴BD=CE=2,∴AB=CD=BC-BD=7-2=5.
2. B 【解析】找模型：一線：線段BC；三個相等的角:∠EDF =∠C=∠AEF,等線段:EF=AE.抽離模型：如解圖，用模型：根據同側鈍角“一線三等角”模型得△FDE≌△ECA,∴S△AEC=S△EFD.∵△BFD 與△ACE的面積之和為7,∴△BFD與△EFD的面積之和為7.設△AEF 的底邊 AF 上的高為 h,則△BEF的底邊 BF上的高為h，.
3. 133° 【解析】∵ ∠BAF+∠FAD =∠BAD,∠ADG+∠FAD = ∠DGE,∠BAD = ∠DGE,∴∠BAF=∠ADG,∠BFA=∠AGD,在△ABF和△DAG 中,
△DAG(AAS)(異側銳角“一線三等角”模型),∴ ∠ABF=∠DAG=19°,∵ ∠BAD=66°, 33° - 19°= 14°,∴ ∠AEC = 180° - 14°-33°=133°.
4. 【解析】如解圖,過點 E 作 EF⊥AC 交AC的延長線于點 F,∴ ∠EFD =∠DCB =90°,∵∠BDE=90°,∴∠EDF+∠DEF=90°,∠EDF+∠BDC = 90°,∴ ∠DEF = ∠BDC,∵BD=DE,∴ △BDC≌△DEF(AAS)(異側“一線三垂直”模型),∴BC=DF=3.∵AD=1,∴DC=AC-AD=BC-AD=2,∴EF=2,CF=DF-DC=BC-CD=1,∴在 Rt△CEF中,CE=
5.0 【解析】如解圖，分別過點A，C作x軸的垂線與x軸交于點D,E.∵ ∠DAO+∠AOD=90°,∠AOD+∠COE = 90°,∴ ∠DAO = ∠COE,在△ADO 和△OEC中,
∴△ADO≌△OEC(AAS)(同側“一線三垂直”模型),∴OE=AD,CE=OD,∴ ∣OE、 · 點 C(1,4),∴|OE·CE|=4=k ,∴|AD·DO|=|k |=4,∵點A在第二象限，∴ +4=0.
6. 解:令 解得
∴A(-3,0),B(1,0),
∵ PQ 由 PC 繞點 P 旋轉 90°得到,
∴ △CPQ 是以 P 為直角頂點的等腰直角三角形.
∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，
∴設點 P 的坐標為(-1,p).
情況一：如解圖①，當線段 PC 繞點 P 逆時針旋轉90°時，分別過點 C，Q作對稱軸的垂線，垂足分別為M,N,則∠CPM+∠PCM=90°.
∵∠CPQ=90°,∴∠CPM+∠QPN=90°,
∴∠PCM=∠QPN.
在△PCM 和△QPN中,
∴△PCM≌△QPN(AAS)
(同側“一線三垂直”模型)，
∵當x=0時,y=-3.
∴QN=PM=3+p,PN=CM=1,
∴點 Q 的坐標為(2+p,1+p),
將點Q(2+p,1+p)代入 中，
得
解得p=-1或p=-4(舍去),
∴點 Q 的坐標為(1,0);情況二：如解圖②，作點C關于對稱軸的對稱點C',CC'交對稱軸于點 R,在CC'上方取 PR=CR,∴P(-1,-2),此時點 Q與點 C'重合,∴點 Q 的坐標為(-2,-3);
情況三：當點 Q 為拋物線的頂點時，點Q 的坐標為(-1,-4),此時存在點 P(-1,-3),使得△CPQ 是以點 P 為直角頂點的等腰直角三角形；
情況四：當點 P 為拋物線的頂點時，即P(-1,-4),線段 PC 繞點 P 逆時針旋轉90°,點C 與點 Q 關于對稱軸對稱,得Q(-2,-3),綜上所述,點 Q 的坐標為(1,0)或(-2,-3)或(-1,-4).

展開更多......

收起↑