資源簡介

模型27 螞蟻爬行(最短路徑問題)
基礎模型
中小學教育資源及組卷應用平臺
模型拓展
類型 正方體 異側半圓柱
圖示
已知 在棱長為a的正方體中，一只螞蟻沿著正方體的表面爬行，求螞蟻從點 A 到點B的最短路徑 在底面半徑為r，高為h的圓柱中，求螞蟻從點P沿圓柱表面螺旋爬行到點 Q的最短路徑
展開圖
結論 在正方體中，螞蟻爬行的最短路徑為AB= 螞蟻在圓柱異側爬行的最短路徑為PQ=
模型解題三步法
例1 如圖，一只螞蟻在長為3，寬為2，高為4的長方體臺面上尋找食物，螞蟻從A點出發，蜂蜜在點 B處，則螞蟻尋找食物爬行的最短路徑長為 .
例2 如圖，圓柱形容器高為0.9m，底面周長為1.6m，在容器內壁距底部0.2m 的點Q處有一塊食物，此時在與食物相對的內壁點P處有一只螞蟻， ，螞蟻沿圓柱體側面爬到點Q處吃食物，則螞蟻爬行的最短距離為 m.
題以類解
1.如圖，長方體盒子的長、寬、高分別為2，2，4，若一只螞蟻想從盒底的點 A 處沿盒子的表面爬行一周到達點 B處，則螞蟻爬行的最短路徑長為 .
2.如圖，在棱長為2 的正方體中，螞蟻從正方體下方一邊 AB 的中點 P 出發爬到頂點( 處，若螞蟻選擇的路徑是最短的，則最短路徑長為 .
3.如圖，已知圓錐的母線長為6，底面圓的半徑為3，在圓錐的底面邊緣上點A處有一只螞蟻，想吃到與點A 相對的母線的中點B處的食物，這只螞蟻從點 A 出發，沿著曲面爬到點 B，則最短路線長是 .
4.如圖，是一個四級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為5,1.5 和1.5,A 和 B 是這個臺階的兩個相對的端點，B點上有一只螞蟻，想到A點去覓食，則螞蟻從 B 點出發，沿著臺階面爬到A點，最短路徑長為 .
5.如圖，有一個高為8cm ，底面周長為6 cm的圓柱形容器，在外壁距下沿3c m的點A處有一只螞蟻，與螞蟻相對的內壁距上沿4 cm 的點 B 處有一滴蜂蜜，則螞蟻從A 處到蜂蜜 B 處所走的最短路徑長為 .
例 1 【解析】根據“螞蟻爬行”模型作展開圖如解圖，如解圖①，當展開前面和右面時，最短路徑長為 如解圖②，當展開前面和上面時，最短路徑長為 如解圖③，當展開左面和上面時，最短路徑長為 ∴螞蟻尋找食物爬行的最短路徑長為
例2 圓柱 點P 點Q PQ
1 【解析】根據螞蟻爬行模型作展開圖如解圖,連接 PQ,過點 Q 作QE⊥BB'于點 E,∵ 圓柱底面周長為1.6m ，∴ AB = 0.8m,∵ QA =0.2m,∴ BE =QA = 0.2m,∵ 圓柱體高為0.9m,PB'=0. 1m ,∴ PE=0.9-0.2-0.1=0.6m,在 Rt△PQE 中,∵ QE=AB=0. 8 m, =1m ，∴螞蟻爬行的最短距離為1m.
題以類解
1. 4 【解析】找模型：是否存在立體圖形：長方體，立體圖形上是否存在兩點：點A 和點 B，是否求兩點間的最短路徑：AB 的最短路徑.抽離模型：如解圖.用模型：最短路徑長為
【解析】找模型：是否存在立體圖形：
正方體，立體圖形上是否存在兩點：點P 和點 C'，是否求兩點間的最短路徑：PC'的最短路徑.抽離模型：如解圖.用模型：如解圖①，最短路徑為 如解圖②，根據勾股定理得 ∴最短路徑長為
3. 3 【解析】根據螞蟻爬行模型作展開圖如解圖，由題意知，底面圓的直徑AC=2×3=6，∴底面周長為6π，設圓錐側面展開圖扇形的圓心角為n°，則 解得n=180,∴展開圖中 ..最短路線長是3
4. 13 【解析】如解圖,將臺階展開,∴ AC=4× ∴螞蟻爬行的最短路徑長為13(兩點之間，線段最短).
【解析】如解圖，作點A 關于CD的對稱點 A'，連接A'B，∵圓柱底面周長為6cm,∴CD=3cm,此時A'B為最短的路徑,h

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