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模型22 “三動點”模型
模型展現
圖示
條件 在△ABC中,點D,E,F分別為邊AB,AC,BC上的動點,求△DEF周長的最小值
結論 作點D關于AC,BC的對稱點D',D",連接D'D",交AC,BC于點E ,F ,當CD最小,即CD⊥AB時,△DEF的周長最小,最小值為D'D"的長
結論分析
結論:作點D 關于AC,BC的對稱點D',D",連接D'D",交AC,BC于點. ,當CD最小,即CD⊥AB 時,△DEF 的周長最小,最小值為 D'D"的長
證明：如圖，由軸對稱的性質知
∴當D'，E，F，D"四點共線時，△DEF的周長最小，最小值為線段. 的長.
∵ ∠D'CD"大小不變為 ∴當線段 CD 的值最小，即當CD⊥AB時，線段D'D"的值最小.此時△DEF的周長最小.
模型解題三步法
例 如圖,在△ABC中, 的面積為22.5.點 D,E,F 分別是三邊AB,BC,CA上的動點,則 周長的最小值為 .
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題以類解
1. 如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,D,E,F分別是三邊AB,BC,CA 上的動點,則DE+EF+FD的最小值為 .
2.如圖，拋物線y= 與x軸交于A，B兩點(點A在點 B 左側)，點C 為拋物線對稱軸上一點，且縱坐標為2 ,D,E,F分別為AB,BC,AC邊上的動點(不與頂點重合)，當△DEF 的周長最小時，點E 的坐標為
3. 如圖,AD∥BC,∠B=90°,∠C=60°,BC=2AD=4,點M為BC的中點,點E,F在邊AB,CD上運動,點 P 在線段 MC 上運動,連接EF,EP,PF,則△EFP周長的最小值為 .
4. 如圖, 所在圓的圓心是點O,∠BOC=60°,P,E,F分別是 線段AB 和AC上的動點，則△EFP周長的最小值為 .
模型22 “三動點”模型
模型解題三步法
例 9 【解析】根據“三動點”模型作解圖，由
對稱性可知GD=DE,EF = FH,AG = AE =AH,∴ △DEF 的周長為 DE + DF + EF =GD+DF + FH ≥ GH,∵ ∠GAD = ∠DAE,∠EAC = ∠HAC,∴∠GAH=2∠BAC,∵ ∠BAC=30°,∴∠GAH=60°,∴△AGH為等邊三角形,∴ GH=AE,∴當AE⊥BC 時,GH 最短,此時△DEF 的周長最小(“三動點”型線段最短),∵ BC=5,△ABC的面積為22.5,∴ ∴AE=9,∴△DEF 的周長最小值為9.
題以類解
1.485【解析】找模型：在三角形三邊上是否存在三個動點：點D，E，F；是否存在特殊角：∠B；是否求最值：DE+EF+FD 的最小值.抽離模型：如解圖，用模型：根據“三動點”模型得：當點 F',D,E,F"四點共線時線段和最小,為 F'F"的長,此時點 D,E與點 B 重合,連接BF,∵ F'F"經過點B,且 BF'=BF=BF",∴當 BF 最小時,F'F"最小,當BF⊥AC時,BF最小(垂線段最短),過點B作BG⊥AC 于點 G.∵AB=6,BC 根據三角形面積公式， 即 解得 ∴BF|的最小值為 ,∴F'F"的最小值為 即 DE+ EF+FD 的最小值為4
2. (2, ) 【解析】令 0，解得x =-1,x =3,∴A(-1,0),B(3,0),∴拋物線的對稱軸為直線 x=1,∴ C(1,2 ),∴AB=4,BC=4,AC=4,∴△ABC為等邊三角形(三條邊相等的三角形是等邊三角形).找模型：在三角形三邊上是否存在三個動點:點 D,E,F;是否存在特殊角:∠CAB;是否求最值：△DEF 周長的最小值.抽離模型：如解圖.用模型：由對稱性可知，DE=DM,FE=FN,AE=AM=AN,∴△DEF 的周長為 DE+EF+FD=DM+FN+DF≥MN.∵ ∠BAC=60°,∠BAE = ∠BAM,∠CAE = ∠CAN ,∴∠MAN=2∠BAC=120°(對稱的性質), .當AE的值最小時,MN 的值最小,即當AE⊥BC 時,AE的值最小(垂線段最短)，此時 MN 取得最小值,即△DEF的周長最小.∵AB=4,∴ ∴點E的縱坐標為 ，橫坐標為 =3-1=2,∴點E的坐標為(2, ).
【解析】如解圖，作點 P 關于直線AB的對稱點 T，關于直線 CD 的對稱點 R，連接RT交AB于點 E,交 CD于點 F,過點 R 作 RH⊥BC 交 BC 的延長線于點 H,連接 PT,PR,CR,設PC=x,則 PB=BT=4-x,PC=CR=x.∵∠DCR=∠DCB=60°, ∴ ∠RCP = 120°, 的周長為 PE ∵點 M 為 BC 的中點,∴ CM=BM=2,∵ 點 P 在 CM 上運動,∴0≤x≤2,∴當x=2時，△EFP的周長最小，最小值為
【解析】如解圖，連接BC，作點 P關于AB 的對稱點 M，關于AC的對稱點N，連接MN交AB于點 E,交AC 于點 F,此時PE+EF+PF=EM+EF+FN≥MN,當點M,E,F,N四點共線時，取得最小值，即為 MN 的長，∴當MN的值最小時,PE+EF+PF 的值最小(“三動點”模型線段最短),∵AP=AM=AN,∠BAM=∠BAP,∠CAP = ∠CAN, ∠BAC = 60°,∴∠MAN=120°(對稱的性質),. .當PA 的值最小時，MN 的值最小，取AB的中點 J,連接 CJ.∵AB=8,AC=4,∴AJ=JB=AC=4,∵∠JAC=60°,∴△JAC是等邊三角形,∴ JC=JA=JB,∴∠ACB=90°, =60°,OB=OC,∴ △OBC 是等邊三角形, ，過點A 作AH⊥OC 交OC 的延長線于點 H,∴∠ACH= ·當點 P 在直線 OA 上時,PA 的值最小，最小值為 ∴ MN 的最小值為

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