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模型21 “一點兩線”模型
基礎模型
結論:作點P 關于OA,OB的對稱點 P',P",連接P'P",分別交OA,OB 于點 此時 的周長最小，最小值為線段 P'P"的長
證明：由軸對稱可知，
,
∴當點P'，M ，N ，P"四點共線時，△PMN的周長最小，最小值為線段 的長.
模型解題三步法
例 如圖， 點P是 內部一點，且 G，H分別是射線 CA 和CB上的動點，連接PG,PH,GH,則 PGH 周長的最小值為 .
題以類解
1. 如圖，在四邊形ABCD中,∠BAD=110°,∠B=∠D=90°,點E,F分別是邊 BC,CD上的動點,連接AE,AF,EF.當△AEF 的周長最小時,∠AEF+∠AFE 的度數是 ( )
A. 100° B. 120° C. 140° D. 160°
2. 如圖,在△ABC中,∠CAB=60°,AP⊥BC 于點 P,點M,N分別是AC,AB邊上的動點,連接PN,PM,NM,若 則△PMN周長的最小值是 .
3. 如圖,點 P 是菱形ABCD內一點,∠D=45°, ,點 E 和點 F 分別是 BA,BC 上的動點，則△PEF周長的最小值是 ________.
4.如圖，拋物線 與直線y=-x+5交于B，C兩點，已知點D的坐標為(0,3),點M,N分別是直線BC 和x軸上的動點，則△DMN周長的最小值為 .
模型21 “一點兩線”模型
例 【解析】根據“一點兩線”模型作解圖，則P'P"的長即為△PGH 周 長 的 最小值,連接 CP',CP",∵∠ACB = 30°,由對稱性可知 CP =CP'= CP", ∠P'CP"= 60°,∴△P'CP"為等邊三角形(一個角是 60°的等腰三角形為等邊三角形)，∴P'P"=6，即△PGH 周長的最小值為6.
題以類解
1. C 【解析】找模型：是否存在定角：定角：∠BCD；是否存在定線段長且另一點在角的內部：定線段長：AC，另一點：點A；是否求最值：△AEF 周長最小時的角度.抽離模型：如解圖，即△AEF 周長的最小值為 A'A"的長，用模型：根據“一點兩線”模型得：根據對稱的性質可知， ∵∠ABC=∠ADC=90°,∴點 A,B,A'三點共線,點 A,D,A"三點共線,∴ ∠AEF=∠A'+ (三角形的外角等于與他不相鄰的兩內角的和),∴ ∠AEF+∠AFE = 2∠A'+2∠A″=2(∠A'+∠A"),∵ ∠BAD=110°,∴∠A'+ ∠A"=180°-∠BAD=70°(三角形內角和定理),∴∠AEF+∠AFE=140°.
2.3 【解析】找模型：是否存在定角：定角：∠CAB；是否存在定線段長且另一點在角的內部：定線段長：AP，另一點：點P；是否求最值：△PMN周長的最小值.抽離模型：如解圖，用模型:根據“一點兩線”模型得 MP=MP',NP= ∠CAP=∠CAP',∵ ∠CAB=60°,∴∠P'AP"= 此時△PMN 的周長最小(“一點兩線”型線段最短),過點 A 作 AH⊥P'P"于點 H,則 P'H= ∴△PMN周長的最小值是3.
3. 2 【解析】∵ 四邊形 ABCD 是菱形,∠D=45°,∴ ∠ABC =45°,根據“一點兩線”模型作解圖，分別作點 P關于 BA,BC 的對稱點 G,H,連接GH,分別交 BA,BC 于點 E,F,連接BG,BH.∵點P 關于 BA 的對稱點為 G,關于BC 的對稱點為 H,∴ PE =GE,BP =BG,∠GBA =∠PBA(對稱的性質).∴ PF=HF,BP =BH,∠HBC=∠PBC,∴BG=BH=BP=2,∠GBH=∠GBA+∠PBA+∠PBC+∠HBC =2∠PBA+2∠PBC=2∠ABC=90°,∴△GBH 是等腰直角三角形，. 的周長的最小值為 PE+EF+PF=GE+EF+HF=GH=2
【解析】由題意得,C(0,5),如解圖,分別作點 D 關于 x軸和直線 BC 的對稱點D'(0,-3),D",∵直線 BC 的解析式為y=-x+5,∴ ∠OCB=∠OBC=45°,則 CD"∥x 軸,∵CD=5-3=2,∴CD"=2,則 D"(2,5),連接CD",連接D'D"分別交x軸、直線BC于點 N, 1D'D",此時△DMN 的周長最小為 D'D"的長(“一點兩線”型線段最短),∵ CD"=2,CD'=5-(-3)= 8,∴ △DMN周長的最小值為 D'D'=

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