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模型24 “兩定點一定長”模型
模型展現
結論：將點A向下平移d個單位長度至點 ,連接A'B 交直線n于點 Q,此時AP+QB的值最小,即AP+PQ+QB 最小
證明:如圖①,由平移知AP=A'Q,
∴AP+PQ+QB=A'Q+QB+PQ,
∵ PQ 為定長d,∴ 只需要A'Q+QB 最小.
∵A',B 兩點之間線段A'B 最短,
∴AP+QB+PQ 的最小值為A'B+d.
結論：將點A向右平移d個單位長度至點 ，作A'關于直線l的對稱點. 連接 交直線l于點Q，將點Q 向左平移d個單位長度得到點 P，此時AP+PQ+QB最小
自主證明：
模型解題三步法
例1 如圖,菱形ABCD的邊長為3,∠BAD=60°,點E,F在對角線AC上(點E在點F 的左側),且EF=1,則DE+BF的最小值為 .
例2 如圖,在正方形ABCD中,AB=8,點E在邊 CD上,且CE=2,在邊BC上取兩點F,G(點F在點G左側)，且FG=2，則四邊形AFGE 周長的最小值為 .
題以類解
1. 如圖,正方形ABCD 的邊長為2,點 E 是 BC上一點且不與點 B，C 重合，連接AE 交 BD于點 F. P 是邊 CD 上一點,且 DP=2CP,Q為對角線BD上一點，且 則AF+PQ 的最小值為 .
2.如圖，在直角坐標系中，矩形ABCD的頂點 A 在x軸的負半軸上，頂點 D在x軸的正半軸上,點 C(1,4),點A(-2,0),點 G是邊 AB 的中點,線段EF 在邊 AD上移動,且 EF=2,則當四邊形 CGEF 的周長最小時，點E 的坐標為 .
3.如圖，在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=6,點 C 為 OB 的中點,過點 C作 CD⊥OB交 于點D,點E,F均為線段 OA 上的動點，且點 F 在點 E 的下方， 連接 ED,FC,則四邊形 CDEF周長的最小值為 .
4.如圖，某景區為了增加景點特色，在景區修建了一條兩河岸平行的人工河，涼亭A，B位于河兩岸，為了游玩通行方便，現計劃要在河上造一座橋(橋垂直于河岸)，使涼亭A，B之間的路程最短.已知河寬為100 m，涼亭 A 到河岸 MN 的距離為 800 m,涼亭 B 到河岸PQ 的距離為400 m,且涼亭A,B 的水平距離為1600 m，則從涼亭A 出發經過橋后到達涼亭 B 的最短路程為 m.
模型展現
自主證明：
如圖②，由平移知AP=A'Q，由軸對稱的性質知A'Q=A"Q,即AP=A"Q,AP+PQ+QB=A"Q+QB+PQ,
∵ PQ 為定長d,
∴只需要A"Q+QB 最小,
∵A",B 兩點之間線段A"B 最短,
∴AP+PQ+QB 的最小值為A"B+d.
模型解題三步法
例 1 【解析】根據“兩定點一定長”模型作解圖，四邊形 DEFG 是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)，∴DE=FG,∴DE+BF=FG+FB≥BG,連接BG交AC于點 F',連接BD交AC于點O,根據兩點之間線段最短可知，此時 DE+FB 的值最小為 BG的長(異側“兩定點一定長”模型線段最短),∵ 四邊形 ABCD 是菱形,AB=3,∠BAD=60°,∴AD=AB,∴△ABD 是等邊三角形(有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形),∴BD=AB=3,∵DG∥EF,BD⊥EF,∴ ∠GDB =∠DOC =90°. 在 Rt△BDG中， 即 DE+BF 的最小值為
例2 BC 點F 點G 點A 和點E
【解析】根據“兩定點一定長”模型作解圖，∴四邊形AFGH 是平行四邊形，∴HG=H'G=AF,∴AF+EG=H'G+EG,當E,G,H'三點共線時，AF+EG有最小值，過點 H'作H'I⊥DC 交DC 的延長線于點I,∵AB=8,CE=2,∴EI=10,∵FG=2,∴AH=2,∴H'I=6,在 Rt△EH'I 中, DE=6,AD=8,∴AE=10,∴四邊形AFGE 周長的最小值為
題以類解
【解析】找模型：是否存在有兩動點的直線：BD，動點：點F，點Q；兩動點間的距離是否固定： 線段BD外是否存在兩定點:點A 和點 P;是否求最值:AF+PQ 的最小值.抽離模型.如解圖.用模型：根據“兩定點一定長”模型作解圖，將點P 沿著與BD 平行的方向平移FQ 的長度，交 BC于點 E,連接 PE.∴ PE=QF,PE∥BD,∴四邊形FEPQ 是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),∴ QP=FE,∵AF+PQ=AF+FE≥AE,∴AF+PQ 的最小值為AE 的長,∵PE∥BD,∴△CPE∽△CDB,∵.DP=2CP,∴CE=CP=
【解析】找模型：是否存在有兩動點的直線：AD，動點：點E，點F；兩動點間的距離是否固定：EF=2；線段AD 外是否存在兩定點：點G 和點 C；是否求最值：四邊形CGEF 周長的最小值.抽離模型：如解圖.用模型：根據“兩定點一定長”模型作解圖，將點 C 向左平移2個單位長度至點 M，作點 G關于x軸的對稱點 G',連接G'E,G'M,ME.則 CM=EF且點 M 的坐標為(-1,4),G'的坐標為(-2,-2),∵四邊形 ABCD 是矩形,∴BC∥AD,∴四邊形 CMEF 為平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),∴CF=ME,∴CF+GE=ME+GE,∵點 G和G'關于x軸對稱,∴EG=EG',∵CG,EF都是固定值，∴當M，E，G'三點在同一條直線上時,CF+GE=ME+GE=ME+G'E 最小(同側“兩定點一定長”模型線段最短)，設直線MG'的解析式為y= kx+b(k≠0),把 M(-1,4), G'(-2,-2)代入得 解得 直線MG'的解析式為y=6x+10,當y=0時, .點 E 的坐標為
3. 8 【解析】如解圖，作點 C 關于 OA 的對稱點 C'，將點 C'向上平移 個單位長度為點 D',作點 D'關于AO 的對稱點 M,則( D'M=6,連接C'D',則C'D'∥OA,連接DD'交OA 于點 E,在點 E 的下方截取. 連接C'F,此時,四邊形 C'D'EF 是平行四邊形,則CF=C'F=D'E,四邊形 CDEF 的周長最小,最小值為 EF+CD+DD'(同側“兩定點一定長”模型線段最短)，連接 OD，則OA=OB=OD=6(扇形半徑相等),∵ OC= 4 ,∴四邊形 CDEF 周長的最小值為 EF+CD
4. 2100 【解析】如解圖,將點 A 向下平移100m至點F 處,連接FB 交 PQ 于點 D',過點 D'作D'C'⊥MN 于點 C',延長 AF 交 MN 于點 E,交 PQ 于點 G.那么 D'C'就是造橋的位置，此時從涼亭A 出發經過橋后到達涼亭 B 的路程最短. ∵ AF =C'D',AF∥C'D',∴ 四邊形FD'C'A是平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)， C'D',過點B 作BH∥PQ交AG的延長線于點H,由題意可得 HB = 1600 m,AE = 800 m,GH=400m,EG=C'D'=100m,∴EF=AE-AF=700 m,∴FH=EF+EG+GH=1200 m,在Rt△FHB中，由勾股定理得 2000+100=2100 m,∴從涼亭A 出發經過橋后到達涼亭 B 的最短路程為2100 m.

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