資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
模型25 “勾股樹”
模型展現
原理 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a +b =c
作圖 作正方形 作半圓 作等腰直角三角形 作等邊三角形
圖示
結論
結論分析
結論：
以作等邊三角形為例.
證明：如圖，過點D作. 于點M，
∵ △ACD 是等邊三角形,∴
在Rt△ADM中,
同理可得，
∵在 Rt△ABC 中滿足
注：其余圖示的證明，均可根據面積公式及勾股定理轉化得到.
模型解題三步法
例 如圖，分別以 的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，若圖中陰影部分的面積為100，則AF的長為 ( )
A. 10 C. 20
題以類解
1. 如圖,直線l上有三個正方形a,b,c,若b,c的面積分別為8和5，則a的面積為( )
A. 2 C. 3 D. 4
2.如圖，以AC 為直徑畫半圓，在半圓上取一點 B，連接AB，BC，分別以AB，BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積與△ABC的面積關系為 ( )
3. 數學課上王老師和學生一起探究勾股定理和面積的拓展問題時，分別以直角三角形 ABC 的三條邊為邊向外作等邊三角形，如圖①，圖中的 S ，S ，S 滿足的數量關系是 ；如圖②，將△ABF 沿著 AB 翻折得到△ABF',若 ,則△ABC 的面積是 .
4. 某數學課外活動小組在學習了勾股定理之后，探究以四邊形四條邊向外作形狀相同的圖形的面積關系.
【問題提出】
如圖①,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°，分別以它的四條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，若 求S 的值；
【拓展延伸】
如圖②,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+ ,分別以AB,AD,CD為邊向四邊形外作正方形，其面積分別為 求證：
模型解題三步法
例 A 【解析】根據“勾股樹”模型得S△ACD+ ∴2S△ABF=100,即，S△ABF=50,∵△ABF為等腰直角三角形， 解得AF=10(負值已舍去).
題以類解
1. C 【解析】找模型：是否存在直角三角形：Rt△ABC，是否以直角三角形三邊向外作形狀
相同的圖形：作正方形.構造模型：如解圖，以BC 為邊作正方形.∵ ∠ACB+∠ECD=90°,∠CED+∠ECD=90°,∴∠ACB= ∠CED, 在△ABC 和△CDE 中 ≌△CDE(AAS),∴BC=DE,用模型:
2. B 【解析】找模型：是否存在直角三角形：Rt△ABC，是否以直角三角形三邊向外作形狀相同的圖形：作半圓.構造模型：補全模型如解圖.用模型：設以AB，BC，AC為直徑的半圓面積分別為S ，S ，S ，根據“勾股樹”模型得
10 【解析】根據“勾股樹”模型得 ;如解圖,設△ABC 的面積為 S,2個空白小三角形的面積分別為a，b，∴S +
4.【問題提出】
解：由題意得
如解圖①，連接AC，
在Rt△ADC 和Rt△ABC中,
即
【拓展延伸】
證明:如解圖②,過 D 點作 DE∥AB,交 BC 于點E,設四邊形的邊AB,DC,AD的長分別為a,b,c,∵AD∥BC,
∴四邊形ADEB 為平行四邊形(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形)，
∴AD=BE,
∵BC=2AD,
∴ EC=AD=c,DE=AB=a,∠EDC =180°-(∠DEC+∠BCD)= 180°-(∠ABC+∠BCD)=90°,則

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