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模型26 趙爽弦圖
模型展現
模型解題三步法
例 中國是發現、研究和運用勾股定理最古老的國家之一，三國時期趙爽創制了“勾股圓方圖”(如圖)，證明了勾股定理.在這幅“勾股圓方圖”中，大正方形ABCD 是由4個全等的直角三角形和中間小正方形EFGH組成，連接AG.若AB=10,EF=2,則sin∠GAF 的值為 ( )
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題以類解
1.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的偉大成就.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形.已知大正方形的面積為25，小正方形的面積為9，設直角三角形較長直角邊長為x，較短直角邊長為y，下列四個說法： 25,②x-y=3,③2xy+9=25,④x+y=7.其中正確的是 ( )
A. ②③④ B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
2.我國古代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形 ABCD,正方形 EFGH,正方形IJKL的面積分別為S ,S ,S ,若 24,則正方形 EFGH 的邊長為 .
3.勾股定理被稱為幾何學的基石，相傳在西周由商高發現，又稱商高定理，三國數學家趙爽利用弦圖(它是由四個全等的直角三角形圍成的)，證明了商高結論的正確性.若AB=15,BC=12,將四個直角三角形中的短直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數學風車”，則這個風車的面積(即圖②陰影部分)是 .
4. 閱讀理解
【材料閱讀】趙爽在注解《周髀算經》中給出了“趙爽弦圖”證明勾股定理的準確性.如圖①所示，四個全等的直角三角形可以圍成一個大的正方形，中間空的是一個小正方形.證明方法如下：
設直角三角形的三邊中較短的直角邊長為a，另一直角邊長為b，斜邊長為c，朱實面積=2ab,黃實面積: 朱實面積+黃實面積： 大正方形面積：
【實際應用】
若較短的直角邊的長為6，另一條直角邊長為8，求小正方形與大正方形的面積比；
【拓展延伸】
類比“趙爽弦圖”，可構造如圖②所示的圖形，它是由 3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.在△ABC中,若 求AB 的長.
模型解題三步法
例 A 【解析】根據“趙爽弦圖”模型得，AF=.BF+EF.在 Rt△ABF 中, 解得BF=6(負值已舍去), 題以類解
1. B 【解析】找模型：是否存在大正方形：正方形ABCD，大正方形內部是否存在4個全等的直角三角形和一個小正方形：Rt△ABE，Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△DAH,正方形 EFGH.抽離模型：如解圖.用模型:①在 Rt△ABE 中,根據勾股定理得 =25，故該說法正確；②根據趙爽弦圖知,x-y=EF= ，故該說法正確；③根據趙爽弦圖知，四個全等的直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，列出等式4× 即2xy+9=25,故該說法正確;④由2xy+9=25 可得:2xy=16,又∵ 25 (完全平方和公式)， (負值已舍去)≠7，故該說法錯誤.∴說法正確的有①②③.
2. 2 【解析】找模型：是否存在大正方形：正方形 EFGH，大正方形內部是否存在4個全等的直角三角形和一個小正方形：Rt△EHI，Rt△HGL,Rt△GFK,Rt△FEJ,正方形 LIJK.抽離模型:如解圖.用模型:設AH=x,HD=y, ∴在Rt△AEH中, (負值已舍去)，即正方形 EFGH 的邊長為2
3. 432 【解析】如解圖,根據題意可得,AC= ∵風車由4個全等的直角三角形組成，∴這個風車的面積為4×108=432.
4.【實際應用】
解：∵直角三角形的兩條直角邊的長分別是6和8,
∴小正方形的邊長為2，
根據勾股定理得，大正方形的邊長為 =10,
【拓展延伸】
解:如解圖,過點 B 作 BH⊥AD 交AD的延長線于點H，
∵∠BDH=60°,BD=AF=
易得
由題意知,△ABD≌△BCE≌△CAF,
(負值已舍去).

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