資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
模型20 “兩點(diǎn)一線”模型
基礎(chǔ)模型
類(lèi)型 異側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值 同側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值
圖示
條件 兩定點(diǎn)A，B位于直線l異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P,使 PA+PB的值最小 兩定點(diǎn)A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn) P，使PA+PB的值最小
結(jié)論 連接AB交直線 l 于點(diǎn) P，此時(shí)PA +PB 的值最小，最小值為線段 AB 的長(zhǎng) 作點(diǎn) B 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) B'，連接AB',交直線l于點(diǎn) P,此時(shí) PA+PB的值最小，最小值為線段AB'的長(zhǎng)
結(jié)論分析
結(jié)論：連接AB 交直線l于點(diǎn) P，此時(shí)PA+PB值最小，最小值為線段AB 的長(zhǎng)
證明：如圖①， ∴當(dāng)點(diǎn)A,P,B三點(diǎn)共線時(shí),PA+PB 的值最小,最小值為線段AB 的長(zhǎng).
結(jié)論：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'，交直線l于點(diǎn) P，此時(shí) PA+PB的值最小，最小值為線段AB'的長(zhǎng)
自主證明：
模型拓展
拓展方向：求線段差的最值
類(lèi)型 同側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值 異側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值
圖示
條件 兩定點(diǎn)A，B位于直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn) P,使|PA-PB|值最大 兩定點(diǎn)A，B位于直線l異側(cè)，在直線 l上找一點(diǎn) P,使得|PA-PB|值最大
結(jié)論 連接AB 并延長(zhǎng)，與直線l交于點(diǎn) P，此時(shí)|PA-PB|的值最大，最大值為線段AB的長(zhǎng) 作點(diǎn) B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) B'，連接AB'并延長(zhǎng)，與直線l交于點(diǎn)P，此時(shí)|PA-PB|的值最大，最大值為線段AB'的長(zhǎng)
模型解題三步法
例1 如圖,在矩形ABCD 中, ,點(diǎn) E 在邊 BC 上且 點(diǎn) P 是對(duì)角線BD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PE,PC,則 周長(zhǎng)的最小值為 .
例2 如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線 點(diǎn)E 為邊AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 為對(duì)角線 BD 上一點(diǎn),則|PC-PE|的最大值為 .
題以類(lèi)解
1.如圖,在邊長(zhǎng)為4 的正方形ABCD 中,E 是AB邊上的點(diǎn),且AE=3,點(diǎn) Q 為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，則DQ+QE的最小值為 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.如圖,直線y=x+2與x軸,y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C 為線段AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) PA+PC 的值最小時(shí)，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 ( )
3. 如圖,在等邊△ABC 中,AB=4,AD 是中線,點(diǎn) E是AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，則BP-EP的最大值是 .
的 最 小 值為 .
5. 如圖，⊙O 的直徑MN=1,點(diǎn)A 是⊙O 上一點(diǎn),且∠AMN=30°,點(diǎn)B是 的中點(diǎn)，點(diǎn)P 在直徑 MN 上運(yùn)動(dòng),則BP+AP 的最小值為 .
6. 如圖，在△ABC中,AB=AC,AC 的垂直平分線交 AC 于點(diǎn)F,交AB 于點(diǎn) E,連接 EC,AB=10,△BEC的周長(zhǎng)是 18，若點(diǎn) P 在直線 EF 上，連接PA,PB.
(1)PA+PB的最小值為 ;
(2)|PA-PB|的最大值為 .
7.如圖，拋物線 的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn) C(0,-3).
(1)求拋物線的解析式；
(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上找到一點(diǎn) M，使△ACM的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)與△ACM周長(zhǎng)的最小值.
模型20 “兩點(diǎn)一線”模型
模型展現(xiàn)
自主證明：
如圖②，由軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可知,PB=PB',
∵ PA+PB=PA+PB'≥AB',
∴當(dāng)點(diǎn)A,P,B'三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB的值最小，最小值是線段AB'的長(zhǎng)(也可以作點(diǎn)A 關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) A'，同理也可求出 PA+PB 的最小值).
模型解題三步法
例1 【解析】根據(jù)“兩點(diǎn)一線”模型作解圖，當(dāng)C，P，E'三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P 與點(diǎn)P'重合時(shí)，PE+PC 的值最小(同側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值).連接BE',過(guò)點(diǎn) E'作 E'H⊥BC 于點(diǎn) H,∵∠DBC= 30°,AB=CD=3,∴ BC=3 .∵BE 點(diǎn)E'是點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),∴∠E'BD=∠CBD=30°,BE'=BE,∴∠E'BH=60°,∴△BEE'是等邊三角形(一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形)， ,∴PE+PC 的最小值為 ,∴△PEC 周長(zhǎng)的最小值為
例2 點(diǎn) C 點(diǎn)E BD 點(diǎn)P 【解析】根據(jù)“兩點(diǎn)一線”模型作解圖,點(diǎn)C'與點(diǎn)A 重合,∵四邊形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD(菱形的對(duì)角線互相平分),∴AP=PC,∴|PC-PE|=|AP-PE|≤AE,∴當(dāng)點(diǎn)A,E,P三點(diǎn)共線時(shí),|PC-PE|取得最大值,最大值為 AE 的長(zhǎng)(異側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值).∵AC=4,BD=6,∴OA=2,OB=3,∴ 在 Rt△ABO 中,AB= ，又∵點(diǎn)E 為邊AB的中點(diǎn)， 即|PC-PE|的最大值為
題以類(lèi)解
1. C 【解析】找模型：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)：點(diǎn)E和點(diǎn) D.是否存在一條定直線和該直線上一動(dòng)點(diǎn)：定線段：AC，動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)Q.是否求最值：DQ+QE的最小值.抽離模型：如解圖.用模型：連接DE,∵DQ+QE≥DE,∴當(dāng)D,Q,E三點(diǎn)共線時(shí),DQ+QE 取得最小值(異側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值)，∵四邊形 ABCD 是正方形,∴AD=4,∠DAE=90°(正方形的性質(zhì)),.
2. B 【解析】找模型：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn) C.是否存在一條定直線和該直線上一動(dòng)點(diǎn)：定直線：y軸，動(dòng)點(diǎn)：點(diǎn)P.是否求最值：PA+PC 的最小值.抽離模型：如解圖.用模型：根據(jù)“兩點(diǎn)一線”模型作解圖，作點(diǎn) A 關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接A'C交y軸于點(diǎn) P.∵直線y=x+2與x軸,y軸分別交于A,B 兩點(diǎn),∴A(-2,0),B(0,2),∵點(diǎn) C 為線段AB 的中點(diǎn),∴C(-1,1),∵點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),∴A'(2,0),設(shè)直線A'C的解析式為 解← 直線A'C的解析式為 令x=0,則 點(diǎn)P 的坐標(biāo)為((0, ).
3. 【解析】如解圖，連接 BE 并延長(zhǎng)交 AC于點(diǎn) P',當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) P'重合時(shí),BP-EP 取得最大值，最大值為 BE的長(zhǎng)(同側(cè)線段差最大值),在等邊△ABC 中,AD 是中線,∴BD=DC=2,AD⊥BC(等邊三角形三線合二), ∵ E 是 AD中點(diǎn)， 在 Rt△BDE 中,
4.5 【解析】由兩點(diǎn)間距離公式可將 看作點(diǎn)(x,0)和點(diǎn)(1,1)兩點(diǎn)間的距離，將 看作點(diǎn)(x，0)和點(diǎn)(5，2)兩點(diǎn)間的距離，建立如解圖坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A(1,1),B(5,2),作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',則 的最小值即為A'B的長(zhǎng)(同側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值)，過(guò)A'作 A'D 平行x軸,過(guò) B 作 BD 平行y軸,兩直線相交于點(diǎn) D,∴D(5,-1),∵A'B= 的最小值為5.
【解析】如解圖，作點(diǎn)A 關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接A'B,A'B與MN交點(diǎn)即為點(diǎn) P,此時(shí)BP+AP 的值最小，最小值為AB'的長(zhǎng)(同側(cè)線段和最小值)由對(duì)稱(chēng)性可知AP=A'P，∴BP+AP=BP+A'P=A'B,連接OA,OB,OA',可知 ,則∠NOA'=∠NOA=2∠AMN=60°(同弧所對(duì)的圓周角相等，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半)，∵點(diǎn)B 為. 的中點(diǎn),∴∠BON=30°,∴∠BOA'=∠BON+∠NOA'=90°,∵M(jìn)N=1,∴OA'=OB= ∴在 Rt△OA'B 中, 即BP+AP 的最小值為
6. (1)10;(2)8 【解析】(1)∵EF 垂直平分AC,∴EA=EC,又∵C△BEC=BE+EC+BC=18,BE+EA=AB=10,∴BC= 18-10=8,當(dāng) P 與點(diǎn) E 重合時(shí),PA+PB 的值最小,最小值為AB的長(zhǎng)(異側(cè)兩點(diǎn)求線段和最小值)，∴PA+PB的最小值為10;(2)如解圖,FE 與 CB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P',連接 PC,∵ EF 垂直平分AC,∴PA=PC,∴PA-PB=PC-PB≤P'C-P'B=BC,當(dāng)點(diǎn) P,B,C三點(diǎn)共線時(shí),|PC-PB|有最大值(異側(cè)兩點(diǎn)求線段差最大值)，此時(shí)P'C-P'B=BC=8,∴|PA-PB|的最大值為8.
7.解:(1)∵ 拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1, 解得b=-2,
∵拋物線與y軸交于點(diǎn) C(0,-3),
∴c=-3,
∴拋物線的解析式為y
(2)∵拋物線的解析式為
∴A(-1,0),B(3,0),如解圖，取點(diǎn) C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) D，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性,得D(2,-3);連接AD,交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn) M(同側(cè)兩點(diǎn)求線段和的最小值),
設(shè)直線 AD 的解析式為y= kx+d,代入A(-1,0),D(2,-3),得: 解得
∴直線AD 的解析式為y=-x-1,∴M(1,-2);
∴ △ACM 周長(zhǎng)的最小值為 3

展開(kāi)更多......

收起↑