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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練四邊形有關(guān)的綜合問題
一、選擇題
1．如圖，在正方形ABCD中，以AB為邊作等邊三角形ABP，連接AC，PD，PC，則下列結(jié)論；①∠BCP＝75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面積比為1：2；④．其中結(jié)論正確的序號有（　?。?br/>A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE，將△ADE沿AE對折至△AFE．延長EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②∠GAE＝45°；③BG＝GC；④AG∥CF；⑤△GCF是等邊三角形，其中正確結(jié)論有（　?。﹤€(gè)．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如圖，正方形ABCD的邊長為12，E為CD的中點(diǎn)，連接BD，AE交于點(diǎn)F，連接CF，則tan∠FCD的值為（　　）
A． B． C． D．
4．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的內(nèi)部，且△ABE是等邊三角形，連接BD，DE，則∠BDE＝（　?。?br/>A．37.5° B．35° C．30° D．25°
5．2024年6月2日6時(shí)23分，嫦娥六號著陸器和上升器組合體在鵲橋二號中繼星的支持下，成功著陸在月球背面南極一艾特肯盆地預(yù)選著陸區(qū)．組合體元件中有個(gè)展板的平面圖如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AB上的點(diǎn)，DE，CF相交于點(diǎn)M．N是DF的中點(diǎn)，若AF＝1，CE＝BF＝2，則MN的長為（　?。?br/>A． B． C．2 D．
6．如圖所示，已知∠KEF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠H+∠G+∠M+∠N＝（　?。?br/>A．540° B．600° C．620° D．720°
7．如圖，正方形ABCD的對角線BD上有一點(diǎn)E，滿足DE＝2BE，連接CE，過D作DF⊥CE 于F，連接BF．則的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
8．如圖，正方形CEDF的頂點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB，BC，AC上．AD＝5，DB＝3，則△AFD與△BDE面積之和等于（　?。?br/>A．5.5 B．6 C．7.5 D．8
9．如圖，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，AD＞AB，H、G分別是CD、BC上的動點(diǎn)，連接AH、GH，E、F分別為AH、GH的中點(diǎn)，則EF的最小值是（　?。?br/>A．4 B．5 C． D．
10．如圖，在一個(gè)大長方形中放入了標(biāo)號為①，②，③，④，⑤五個(gè)四邊形，其中①，②為兩個(gè)長方形，③，④，⑤為三個(gè)正方形，相鄰圖形之間互不重疊也無縫隙．若想求得長方形②的周長，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)提出了自己的想法：
甲說：只需要知道①與③的周長和；乙說：只需要知道①與⑤的周長和；
丙說：只需要知道③與④的周長和；丁說：只需要知道⑤與①的周長差．
下列說法正確的是（　　）
A．只有甲正確 B．甲和乙均正確
C．乙和丙均正確 D．只有丁正確
二、填空題
11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點(diǎn)P為斜邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過P分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，作PF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值為 　 ?。?br/>12．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G，連接DG．點(diǎn)E從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，DG的最小值為　 　．
13．如圖，已知菱形ABCD的邊長為2°，點(diǎn)G、E、F分別是BD、AB、AD上的點(diǎn)，若GE+GF＝3，則AE+AF的值是 　 　．
14．如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，點(diǎn)P是對角線AC上一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，C不重合），過點(diǎn)P分別作PE⊥AD于點(diǎn)E，PF∥BC交CD于點(diǎn)F，連接EF，則EF的最小值為 　 　．
15．如圖，正方形OABC的兩邊OA，OC分別在x軸、y軸上，點(diǎn)D（5，3）在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D 的坐標(biāo)是 　 ?。?br/>16．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)是邊BC上兩點(diǎn)，且BE＝EF＝FC，連接DE，AF，DE與AF相交于點(diǎn)G，連接BG．若AB＝4，BC＝6，則cos∠GBF的值為　 　．
17．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的兩個(gè)點(diǎn)，連接AE、AF分別與對角線BD交于點(diǎn)G、H，連接GF，若AG⊥GF，DHBG，下列說法正確的序號是 　 　．
①AG＝FG；②BG2+DH2＝GH2；③∠BGE＝60°；④若CE＝3，BE+DF值為3．
18．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接AF，DE，點(diǎn)G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長為 　 　．
19．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，動點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿BC向右運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿DA向左運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)A時(shí)運(yùn)動停止，連接EF，過點(diǎn)C作CG⊥EF于點(diǎn)G，則CG的最大值為 　 ?。?br/>20．如圖，在正方形ABCD中，，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)G在BE上，以GE為邊作等邊△EFG，點(diǎn)F落在CD上，M為GF中點(diǎn)，連接CM，則CM的最小值為 　 ?。?br/>三、解答題
21．已知正方形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊CD，BC，AD上，連接AE、GF，
（1）若AE⊥GF于點(diǎn)H．
①如圖1，求證：AE＝GF；
②如圖2，將GF向下平移，當(dāng)點(diǎn)G與D重合時(shí)，若E為CD的中點(diǎn)，連接HC，求的值；
（2）如圖；若AB＝6，AG＝CF＝1.5，且CE＝2DE，請你求出∠AHG的度數(shù)．
22．我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“理正四邊形”．
（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形”中，一定是“理正四邊形”的有 　 ??；②在凸四邊形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，則該四邊形“理正四邊形”．（填“是”或“不是”或“有可能是”）
（2）如圖1，四邊形ABCD是面積為1的“理正四邊形”，且AC﹣BD＝3求AC：BD的值；
（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)有動點(diǎn)E，且1≤OE≤2，四邊形ABCD是“理正四邊形”（點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上），在并且EA＝EB＝EC＝ED＝3，求AC：BD的取值范圍．
23．如圖，四邊形ABCO為矩形，A點(diǎn)在x軸上，C點(diǎn)在y軸上，O點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（8，12），矩形ABCO沿直線ED折疊，點(diǎn)C落在AB邊上的F處，E、F分別在OC、AB上，且E點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2）．
（1）求F點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如圖2，P點(diǎn)在第二象限，且△PDE≌△CED，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N在x軸上，直線ED上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
24．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB邊上的中點(diǎn)，連接DE，作AF⊥DE，垂足為F，連接BF．
（1）求的值；
（2）求∠AFB的度數(shù)；
（3）取BD的中點(diǎn)O，連接OF．OF與BF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由．
25．在矩形ABCD的CD邊上取一點(diǎn)E，將△BCE沿BE翻折，使C點(diǎn)恰好落在AD邊上點(diǎn)F處，且AB≠BC．
（1）如圖1，若BC＝2BA，求∠CBE的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)DE＝4，且AF FD＝40時(shí)，求BC的長；
（3）如圖3，作∠ABF的角平分線交AD于點(diǎn)N，若BC＝5，，求AB的值．
26．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC的垂直平分線EF分別交邊AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為O．
（1）求證：四邊形AFCE為菱形；
（2）在BC的延長線上取一點(diǎn)G，使CG＝OC，連接OG．若F為BC的中點(diǎn)，且∠G＝15°，AB＝8，求△FOG的面積．
27．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，8），點(diǎn)D為對角線OB的中點(diǎn)．點(diǎn)P是OC邊上一動點(diǎn)，直線PD交AB邊于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形OPBE為平行四邊形；
（2）若△ODP的面積與四邊形OAED的面積之比為1：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是x軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn)，以點(diǎn)O、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
28．如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF＝BE，連接CF、CE．
（1）求證：CE＝CF；
（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，連接GE．求證：GE＝BE+GD；
（3）根據(jù)你所學(xué)的知識，運(yùn)用（1）、（2）解答中積累的經(jīng)驗(yàn)，完成下列各題：
①如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB的中點(diǎn)，且∠DCE＝45°，求DE的長；
②如圖3，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E、F分別在BC和CD上，且∠EAF＝60°，連接EF．若BE＝2，DF＝4，請直接寫出EF的長度　 　．
29．如圖1和圖2，在 ABCD中，AB＝15，BC＝7，，連接對角線BD．點(diǎn)P是對角線BD上一點(diǎn)，作∠EPD＝∠ABC，射線PE交射線BA于點(diǎn)E，設(shè)BP＝x．
（1）如圖1，點(diǎn)E在BA的延長線上，當(dāng)PE＝AD時(shí)，求證：△PBE≌△ABD；
（2）如圖2，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，求x的值；
（3）連接AP，當(dāng)△APE是以AP為底的等腰三角形時(shí)，求x的值；
（4）點(diǎn)E在BA延長線上，連接DE，當(dāng)∠ADE為銳角時(shí)，直接寫出∠ADE的正切值（用含x的式子表示）．
30．如圖1，在矩形ABCD中，BD為對角線，BD的垂直平分線分別交AD，BD，BC于點(diǎn)E，O，F(xiàn)，連接BE，DF．
（1）求證：四邊形BEDF是菱形．
（2）如圖2，連接CO，若AE＝2，AD＝6，求cos∠BCO的值．
31．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．
（1）求證：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的長；
（3）若AE﹣DE＝2EC，記∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．
參考答案
一、選擇題
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C B B A C D A
1．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，△ABP是等邊三角形，
∴AB＝BP＝BC，∠ABC＝90°，∠ABP＝60°，
∴∠DAP＝∠CBP＝30°，
∴∠BCP＝∠BPC＝75°，故①正確；
∵AD＝BC，AP＝BP，∠DAP＝∠CBP＝30°，
∴△DAP≌△CBP（SAS），故②正確；
如圖，∵△ABP是等邊三角形，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，PH⊥AD于點(diǎn)H，
∴AG＝GB，
∵∠BAD＝∠AGP＝90°，
∴四邊形AGPH是矩形，
∴PH＝AG，
∵S△ABCBC×ABAD×AB，S△ADPAD×PHADABAD×AB，
∴△ADP和△ABC的面積比為1：2，故③正確；
∵∠PCD＝∠BCD﹣∠BCP＝15°，PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC＝15°，
∴∠CPN＝30°，
∵CN⊥DP，
∴CNPC，
∴S△PDCDP×CNPC2，故④正確，
綜上所述：①②③④．
故選：D．
2．【解答】解：由翻折變換可知，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，DE＝FE，∠D＝∠AFE，
∴∠AFG＝180°﹣∠AFE＝90°＝∠B，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），因此①正確；
∴∠BAG＝∠FAG，
又∵∠BAG+∠FAG+∠DAE+∠FAE＝90°，
∴∠GAE＝∠FAG+∠FAE90°＝45°，因此②正確；
由翻折變換可知，DE＝EF，
由全等三角形可知BG＝GF，
設(shè)正方形的邊長為a，BG＝x，DE＝EFa，則CG＝a﹣x，GE＝xa，EC＝aaa，
在Rt△ECG中，由勾股定理得，
EC2+GC2＝EG2，
即（a）2+（a﹣x）2＝（xa）2，
解得xa，
即BGaBC，
∴BG＝CG，因此③正確；
∴BG＝CG＝FG，
∴∠GCF＝∠GFC，
由三角形全等可得，∠AGB＝∠AGF，
又∵∠AGB+∠AGF+∠FGC＝180°＝∠FGC+∠GCF+∠GFC，
∴∠ABG＝∠FCG，
∴AG∥FC，因此④正確，
∵BG＝CG，
∴BGAB，
∴tan∠AGB＝2，
∴∠AGB≠60°，
∵AG∥CF，
∴∠FCG＝∠AGB≠60°，
∴△GCF不是等邊三角形，因此⑤不正確；
故選：C．
3．【解答】解：∵正方形ABCD的邊長為12，
∴AD＝CD＝12，∠ADF＝∠CDF＝45°．
∵DF＝DF，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠FCD．
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴．
∴．
故選：A．
4．【解答】解：∵點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部，且△ABE是等邊三角形，BD是正方形的對角線，
∴∠ADB＝45°，∠DAE＝90°﹣60°＝30°，AD＝AE，
∴∠BDE（180°﹣∠DAE）（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BDE＝∠ADE﹣∠ADB＝75°﹣45°＝30°，
故選：C．
5．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF＝∠CDE，
∵∠BCD＝∠BCF+∠DCF＝90°，
∴∠CDE+∠DCF＝90°，
∴∠DMC＝180°﹣（∠CDE+∠DCF）＝90°，
∴△DMF為直角三角形，
∵點(diǎn)N為DF的中點(diǎn)，
∴MNDF，
∵AF＝1，CE＝BF＝2，
∴AB＝AF+BF＝3，
在Rt△ADF中，AD＝AB＝3，AF＝1，
由勾股定理得：DF，
∴MNDF．
故選：B．
6．【解答】解：連接CB，
根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和可得，∠M+∠N＝∠3，∠H+∠G＝∠4，∠3＝∠1+∠KEF，∠4＝∠2+∠KEF，
∴∠M+∠N+∠H+∠G＝∠3+∠4＝∠1+∠2+2∠KEF＝180°+120°＝300°，
∵∠KEF＝120°，
∴∠FEC＝∠5+∠6＝180°﹣∠KEF＝180°﹣120°＝60°，
∵∠A+∠D+∠7+∠5+∠6+∠8＝360°，
∴∠A+∠D+∠7+∠8＝360°﹣60°＝300°，
∴∠A+∠ABE+∠ECD+∠D+∠H+∠G+∠M+∠N＝600°．
故選：B．
7．【解答】解：延長CE交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，ME的延長線交CD于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴△BEH∽△DEC，
∴，
∵DE＝2BE，
∴，
∴BHCDAB，HECE，
設(shè)BH＝a，則AB＝2a，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：CH，
∵HECE，
∴HECH，CECH，
∵M(jìn)N⊥AB，
∴∠BMN＝∠MNC＝∠ABC＝90°，
∴四邊形MNCB是矩形，
∴MN＝BC＝2a，EN⊥CD，
∵AB∥CD，
∴△BEM∽△DEN，
∴，
∴EMEN，
∴EMMN，ENMN，
∵DF⊥CE，
∴由三角形的面積公式得：S△BECCE DFCD EN，
∴CE DF＝CD EN，
∴，
∴DF，
在Rt△DCF中，由勾股定理得：CF，
∵FP⊥CD，DF⊥CE，
∴∠CPF＝∠DFC＝90°，
∴∠PCF+∠CFP＝90°，
∵∠PCF+∠DCF＝∠BCD＝90°，
∴∠CFP＝∠DCF，
∴△CFP∽△DCF，
∴，
∴，
∴FP，PC，
∴BP＝BC﹣PC，
在Rt△BFP中，由勾股定理得：BF，
∴ ．
故選：A．
8．【解答】解：∵四邊形DECF是正方形，
∴DE＝DF，DE∥AC，∠DEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BDE＝∠A，
∴△BDE∽△DAF，
∴，設(shè)DE＝3k，AF＝5k，
在Rt△ADF中，則有25＝9k2+25k2，
∴k2，
∴S△ADF 3k 5k，
∵，
∴S△BDE，
∴S△ADF+S△BDE7.5，
故選：C．
9．【解答】解：連接AG，
∵E、F分別為AH、GH的中點(diǎn)，
∴EFAG，
∴當(dāng)AG最小時(shí)，EF最小，當(dāng)AG⊥BC時(shí)，AG最小，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝120°，
∴∠B＝60°，
∴當(dāng)AG⊥BC時(shí)，∠AGB＝90°，
∴sinB＝sin60°，
∴AG＝4，
∴EF的最小值42．
故選：D．
10．【解答】解：設(shè)③的邊長為a，④的邊長為b，②的寬為x，
∴⑤的邊長為a+b，②的長為：a+a+b＝2a+b，①的長為x+a，寬為b﹣a，
∴②的周長為：2（2a+b+x）＝4a+2b+2x，
∵①的周長＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，③的周長為4a，
∴①與③的周長和為：4a+2b+2x，
∴甲的說法正確；
∵①的周長＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，⑤的周長為2（a+b）＝2a+2b，
∴①與⑤的周長和為：2a+2b+2x+2b＝2a+4b+2x，
∴乙的說法錯(cuò)誤；
∵③的周長＝4a，④的周長＝4b，
∴③與④的周長和為：4a+4b，
∴丙的說法錯(cuò)誤；
∵⑤的周長為2（a+b）＝2a+2b，①的周長＝2（x+a+b﹣a）＝2x+2b，
∴⑤與①的周長差為：2a+2b﹣2x﹣2b＝2a﹣2x，
∴丁的說法錯(cuò)誤；
綜上可知：說法正確的只有甲，
故選：A．
二、填空題
11.【解答】解：連接AP，如圖1所示：
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵點(diǎn)P為斜邊BC上的一個(gè)動點(diǎn)，
∴線段EF的最小值為線段AP的最小值，由點(diǎn)P到直線BC的距離中垂線段最短，過A作AP⊥BC，如圖2所示：
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，則由勾股定理可得，
∴由等面積法可得，即3×4＝5AP，解得，
故答案為：．
12．【解答】解：如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵CE＝DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠EBC＝∠FCD，
∵∠FCD+∠BCG＝90°，
∴∠CBE+∠BCG＝90°，
∴∠CGB＝90°，
∴點(diǎn)G的運(yùn)動軌跡是以BC為直徑的⊙O，
當(dāng)O，G，D共線時(shí)，DG的值最小，最小值，
故答案為．
13．【解答】解：連接AC，過A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK＝BE，連接GK，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBD，BC＝BA，BC∥AD，
∵BG＝BG，
∴△BGK≌△BGE（SAS），
∴GK＝GE，∠BEG＝∠BKG，
∵GF+GE＝3，
∴GF+GK＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AMAB23，
∴GF+GK＝AM，
∴F、G、K共線，且FK⊥BC，
∴∠BEG＝∠BKG＝90°，
∵AD∥BC，
∴FK⊥AD，
∴∠GFD＝90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠GBE＝∠GDF∠ABC＝30°，AB＝AD＝2，
∴BEGE，DFGF，
∴BE+DF（GE+GF）＝3，
∴AE+AF＝BA+AD﹣（BE+DF）＝223．
故答案為：．
14．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DP′⊥AC于P′，連接EF，DP，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝15，BC＝8，
∴CD＝AB＝15，AD＝BC＝8，∠ADC＝90°，
∴，
∵PF∥BC，
∴∠PFD+∠ADC＝180°，
∴∠PFD＝90°，
∵PE⊥AD，
∴∠PED＝∠EDF＝∠PFD＝90°，
∴四邊形DEPF是矩形，
∴EF＝DP，
要使EF最小，只需DP最小，當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最小，最小值為DP′的長，
∵，
∴，
故EF的最小值為，
故答案為：．
15．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)D（5，3）在邊AB上，四邊形OABC是正方形，
所以AB＝BC＝5，BD＝5﹣3＝2；
（1）若以C為中心，把△CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
則點(diǎn)D′在x軸上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若以C為中心，把△CDB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
則點(diǎn)D′到x軸的距離為10，到y(tǒng)軸的距離為2，
所以D′（2，10），
綜上，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（﹣2，0）或（2，10）．
故答案為：（﹣2，0）或（2，10）．
16．【解答】解：由題意可得：AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴，
∴△EFG∽△DAG，
∴，
∴，
過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，
∴GH∥CD，EC＝EF+FC＝4，
∴△EHG∽△ECD，
∴，
∴，，
∴BH＝BE+EH＝2+1＝3，且∠EHG＝90°，
∴，
∴，
故答案為：．
17．【解答】解：①過點(diǎn)G作GP⊥AD于P，GQ⊥CD于Q，如圖，
∵正方形ABCD，
∴∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，
∵GP⊥AD，GQ⊥CD，
∴GP＝GQ，∠GPD＝∠GQD＝90°，
∴∠PGQ＝90°，即∠FGQ+∠FGP＝90°，
∵AG⊥GF，
∴∠FGP+∠PGA＝∠FGA＝90°，
∴∠FGP＝∠PGA，
∴△FGQ≌△AGP（ASA），
∴AG＝FG，故①正確；
②∵AG＝FG，∠FGA＝90°，
∴∠GAF＝∠GFA＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAF＝45°，
將△ABG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到△ADM，
則AM＝AG，DM＝BG，∠DAM＝∠BAG，∠ADM＝∠ABG＝45°，
∴∠HDM＝∠HDA+∠ADM＝45°+45°＝90°，
∴DM2+DH2＝HM2，
∴∠HAM＝∠HAD+∠DAM＝∠HAD+∠BAG＝45°＝∠GAH，
∵AH＝AH，
∴△AMH≌△AGH（SAS），
∴GH＝HM，
∴BG2+DH2＝GH2，故②正確；
③∵，
∴，
∴，
∴，
∴∠DHM＝30°，
∴∠GHM＝180°﹣∠DHM＝150°；
∵△AMH≌△AGH，
∴，
∴∠BGE＝∠AGH＝180°﹣∠GAH﹣∠GHA＝180°﹣45°﹣75°＝60°，故③正確；
④將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到△ADN，連接EF，
則DN＝BE，AN＝AE，
同理可得△AEF≌△ANF，
∴EF＝FN＝FD+DN＝FD+BE，∠AFE＝∠AFN，
由∠AHG＝75°，
∴∠FHD＝75°，
∵∠FDH＝45°，
∴∠AFD＝180°﹣∠FHD﹣∠FDH＝60°，
∴∠AFE＝∠AFN＝60°，
∴∠EFC＝180°﹣∠AFD﹣∠AFE＝60°，
∴∠CEF＝30°，
∴，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
即，
∴，
∴，故④錯(cuò)誤；
∴正確有①②③．
故答案為：①②③．
18．【解答】解：連接AG并延長AG交CD于點(diǎn)P，連接PF，如圖所示，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴CD＝BC＝AB＝4，∠C＝90°，AB∥CD，
∴∠AEG＝∠GDP，
∵E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，
∴AEAB＝2，CFBC＝2．
∵G為DE的中點(diǎn)，
∴EG＝DG，
在△EAG和△DPG中，
，
∴△EAG≌△DPG（ASA）．
∴AG＝PG，DP＝AE＝2．
∴G為AP的中點(diǎn)，
∵H為AF的中點(diǎn)，
∴GH是△APF的中位線．
∴GHPF．
在Rt△FCP中，
CP＝DC﹣DP＝4﹣2＝2，
∴PF2．
∴GHPF．
故答案為：．
19．【解答】解：如圖，在AD，BC上截取線段AM，BN，使得AM＝BN，連接MN交EF于點(diǎn)K．連接CK，CK的中點(diǎn)為O．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，AD∥BC，∠A＝90°，
∵AM＝BN，
∴四邊形ABNM是平行四邊形，
∵∠A＝90°，
∴四邊形ABNM是矩形，
∴∠AMN＝∠MNB＝90°，AB＝MN＝3，
∵FM∥EN，
∴△MKF∽△NKE，
∴，
∴KNMN3，
∵∠CNK＝90°，CN＝4，
∴CK，
∵CG⊥EF，
∴∠CGK＝90°，
∵OK＝OC，
∴OG＝OK＝OC＝ON，
∴點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動，
∴CG的最大值＝CK．
故答案為：．
20．【解答】解：∵正方形ABCD，
∴，
作∠CDN＝30°，
∵以GE為邊作等邊△EFG，點(diǎn)F落在CD上，M 為GF中點(diǎn)，
∴EM⊥GF，
∴∠EMF＝90°，，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠EDF＝90°，
∴點(diǎn)E、D、F、M四點(diǎn)共圓，所以∠MDF＝∠MEF＝30°，
∴當(dāng)點(diǎn)E在AD上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)M在DN上運(yùn)動，當(dāng)CM⊥DN時(shí)，CM最小，
∵∠CDN＝30°，
∴CM最小值，
故答案為：．
三、解答題
21．【解答】（1）①證明：過G作GM⊥BC于M，
∵正方形ABCD，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠C＝∠GMC＝90°，
∴四邊形MGDC是矩形，
∴AD＝DC＝GM，∠ADE＝∠GMF＝∠AGM＝90°，
∵GH⊥AE，
∴∠MGF＝90°﹣∠AGF＝∠DAE，
∵
∴△ADE≌△GMF（ASA），
∴AE＝GF．
②過點(diǎn)H作HM⊥DC于點(diǎn)M，
∵E為CD的中點(diǎn)，不妨設(shè)DE＝EC＝x
∵正方形ABCD，
∴AD＝DC＝2x，∠ADC＝90°，
∴，
∵DF⊥AE于點(diǎn)H，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
∵AB＝6，AG＝CF＝1.5，且CE＝2DE，
∴CE＝4，DE＝2，
∴A（0，6），E（2，0），，
設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴直線AE的解析式為y＝﹣3x+6；
設(shè)直線GF的解析式為y＝px+q，
根據(jù)題意，得，
解得，
∴直線GF的解析式為；
由此得，
解得，
故點(diǎn)，
∴，
設(shè)直線GF與x軸的交點(diǎn)為P，
∴點(diǎn)P（9，0），
∴PE＝9﹣2＝7，，
∴，
過點(diǎn)E作EQ⊥GF于點(diǎn)Q，
∴，
∴，
∴HQ＝EQ，
∴∠EHQ＝45°，
∴∠AHG＝45°．
22．【解答】解：（1）①∵菱形的對角線互相垂直，
∴菱形是“理正四邊形”，
∵平行四邊形、矩形的對角線不一定垂直，
∴不一定是“理正四邊形”，
故答案為：菱形；
②若四邊形ABCD是“理正四邊形”，則AC⊥BD，
∵AB＝AD，
∴OB＝OD，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴CB＝CD，
又∵CB≠CD，
∴四邊形ABCD不是“理正四邊形”．
故答案為：不是；
（2）∵四邊形ABCD是面積為1的“理正四邊形”，
∴，
∴BD AC＝2，
∵AC﹣BD＝3，
∴（AC+BD）2＝（AC﹣BD）2+4AC BD＝32+4×2＝17，
∴，
聯(lián)立，
解得，
∴；
（3）如圖，過E作EM⊥BD于M，EN⊥AC于N，
∵EM⊥BD，EN⊥AC，
∴∠MON＝∠OME＝∠ONE＝90°，
∴四邊形OMEN是矩形，
∴OM＝NE，ME＝ON，
設(shè)ME＝ON＝m，OM＝NE＝n，
∵EA＝EB＝EC＝ED＝3，
在Rt△DME中，ME2+MD2＝DE2，
∴，
在Rt△NEC中，NE2+NC2＝CE2，
∴，
∴，
整理得，
解得：，
∴，
在Rt△MEO中，ME2+MO2＝OE2，
∴m2+n2＝OE2，
∵1≤OE≤2，
∴1≤OE2≤4，
∴1≤m2+n2≤4，
∵E是第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，
∴m＞0，n＞0，
∴0＜m2＜4，
∴9﹣m2＞0，
∵1≤m2+n2≤4，
1﹣m2≤n2≤4﹣m2，
∴m2﹣4≤﹣n2≤m2﹣1，
∴m2+5≤9﹣n2≤m2+8，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵0＜m2＜4，
∴當(dāng)m2＝4時(shí)，，
當(dāng)m2＝0時(shí)，，
∴，
∴．
23．【解答】解：（1）如圖1，作EG⊥AB于點(diǎn)G，則EG∥x軸，
∵四邊形ABCO為矩形，A點(diǎn)在x軸上，C點(diǎn)在y軸上，O（0，0），E（0，2），B（8，12），
∴G（8，2），C（0，12），
由折疊得EF＝CE＝12﹣2＝10，
∵∠EGF＝90°，EG＝8，
∴FG6，
∴AF＝AG+FG＝2+6＝8，
∴F（8，8）．
（2）如圖2，作PH⊥y軸于點(diǎn)H，
∵△PDE≌△CED，
∴DP＝EC，∠PDE＝∠CED，
∵EC＝EF，∠CED＝∠FED，
∴DP＝EF，∠PDE＝∠FED，
∴DP∥EF，
∴四邊形PDFE是平行四邊形，
∵∠DPE＝∠ECD＝90°，
∴四邊形PDFE是矩形，
∴∠PEF＝∠EFD＝90°，
∴∠HEP+∠CEF＝90°，∠BFD+∠AFE＝90°，
∵AB∥OC，
∴∠CEF＝∠AFE，
∴∠HEP＝∠BFD，
∵∠PHE＝∠DBF＝90°，PE＝DF，
∴△PHE≌△DBF（AAS），
∵AB＝12，AF＝8，BC＝8，
∴BF＝AB﹣AF＝12﹣8＝4，DF＝DC＝8﹣BD，
∵∠B＝90°，
∴BF2+BD2＝DF2，
∴42+BD2＝（8﹣BD）2，
∴BD＝3，
∴HP＝BD＝3，HE＝BF＝4，DF＝DC＝8﹣3＝5，
∴OH＝2+4＝6，
∴P（﹣3，6）．
（3）存在，設(shè)直線DE交x軸于點(diǎn)L，
如圖3，四邊形FDMN是平行四邊形，且點(diǎn)M在線段DE上，
作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，則∠MQN＝∠FBD＝90°，
∵FN∥DM，BC∥OA，
∴∠ANF＝∠ALD＝∠CDE，
∴∠FNM＝∠MDF，
∴180°﹣∠ANF﹣∠FNM＝180°﹣∠CDE﹣∠MDF，
∴∠MNQ＝∠FDB，
∵M(jìn)N＝FD，
∴△MNQ≌△FDB（AAS），
∴QM＝BF＝4，
設(shè)M（x，4），設(shè)直線DE的解析式為y＝kx+2，
∵D（5，12），
∴5k+2＝12，
解得k＝2，
∴直線DE的解析式為y＝2x+2，
把M（x，4）代入y＝2x+2得2x+2＝4，
解得x＝1，
∴M（1，4）；
如圖4，四邊形FDMN是平行四邊形，且點(diǎn)M在DE的延長線上，
作MR⊥x軸于點(diǎn)R，則∠MRN＝∠FBD＝90°，作CW∥DF交x軸于點(diǎn)W，
∵M(jìn)N∥DF，
∴CW∥DF，
∴∠MNR＝∠OWC＝∠WCB＝∠FDB，
∵M(jìn)N＝FD，
∴△MNR≌△FDB（AAS），
∴RM＝BF＝4，
設(shè)M（x，﹣4），
把M（x，﹣4）代入y＝2x+2得2x+2＝﹣4，
解得x＝﹣3，
∴M（﹣3，﹣4）；
如圖5，四邊形FDMN是平行四邊形，且點(diǎn)M在ED的延長線上，
作MT⊥CD交CB的延長線于點(diǎn)T，則∠T＝∠FAN＝90°，
∵FN∥DM，
∴∠MDT＝∠MLA＝∠FNA，
∵M(jìn)D＝FN，
∴△MDT≌△FNA（AAS），
∴TM＝AF＝8，
∴yM＝12+8＝20，
設(shè)M（x，20），
把M（x，20）代入y＝2x+2得2x+2＝20，
解得x＝9，
∴M（9，20），
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）或（﹣3，﹣4）或（9，20）．
24．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠BAD＝∠EAF+∠DAF＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°
∴∠EAF＝∠ADE，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴，
∴，
在Rt△AEF中，，
∴，
在Rt△ADE中，；
（2）∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴
由（1）得∠AFE＝90°，
∴，
同理，得，
∴，
又∵AE＝BE，
∴，
又∵∠BEF＝∠DEB，
∴△BEF∽△DEB，
∴∠BFE＝∠DBE＝45°．
∴∠AFB＝90°+45°＝135°；
（3）OF⊥FB且 FB＝2OF，
理由如下：
由（2）得△BEF∽△DEB，
∴，
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴，
∵，∠AFE＝90°，
∴，
∴，
即，
在△ABF中，∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝45°﹣∠ABF，
而∠DBF＝45°﹣∠ABF，
∴∠EAF＝∠OBF，
∴△BFO～△AFE，
∴，∠BFO＝∠AFE＝90°，
∴BF＝2OF，BF⊥OF．
25．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2BA，
∴BF＝2BA，
∴∠AFB＝30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE∠CBF＝15°；
（2）∵將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上點(diǎn)F處．
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴AF DF＝AB DE，
∵DE＝4，AF FD＝40，
∴AB＝10＝CD，
∴CE＝CD﹣DE＝10﹣4＝6，
∴EF＝6，
∴DF2，
∴AF4，
∴BC＝AD＝AF+DF＝6；
（3）如圖3，過點(diǎn)N作NG⊥BF于點(diǎn)G，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
∵BC＝BF＝5，NF，
∴，
∴NGAB，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG，
又∵BN＝BN，
∴Rt△ABN≌Rt△GBN（HL），
∴AB＝BG，
∴FG＝BF﹣BG＝5﹣AB，
在Rt△NGF中，NG2+FG2＝NF2，
∴（AB）2+（5﹣AB）2＝（）2，
∴AB＝4或AB＝5（舍去），
∴AB的值為4．
26．【解答】（1）證明：∵EF垂直平分AC，
∴EF⊥AC，AO＝CO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠OCF＝∠OAE，
在△AOE 與△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴FO＝EO，
又∵CO＝AO，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AFCE為菱形；
（2）解：∵OC＝CG，
∴∠COG＝∠G＝15°，
∴∠ACB＝∠COG+∠G＝30°，
∵四邊形AFCE為菱形，
∴O為AC的中點(diǎn)，
∵F為線段BC的中點(diǎn)，
∴OF是三角形ABC的中位線，
∴，
∵EF⊥AC，
∴，，
∴，，
如圖，作 OH⊥BC，垂足為H，則∠OHG＝90°，
∴，
則．
27．【解答】（1）證明：∵四邊形形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠COB＝∠OBA，∠OPE＝∠PEB，
∵D為OB中點(diǎn)，
∴OD＝BD，
∴△OPD≌△BED（AAS），
∴OP＝BE，
又∵OC∥AB，即OP∥BE，
∴四邊形OPBE為平行四邊形；
（2）解：∵O（0，0），B（6，8），
∴OB中點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，4），
設(shè)P（0，t），則OP＝t，
∴S△OPDt 3，
設(shè)PD的直線表達(dá)式為y＝kx+t，
∵D在PD上，
∴4＝3k+t，
∴k，
∴PD：y．
令x＝6，則y＝﹣t+8，
∴E（6，8﹣t）．
∴S四邊形OAED＝S△AED+S△ODA（8﹣t）+1224．
∵S△OPD：S四邊形OAED＝1：3，
∴24＝3，
解得：t＝4，
∴P（0，4）．
（3）解：Q的坐標(biāo)為（3，9）或（﹣3，4）或（3，）．
如圖，以O(shè)D為邊，四邊形ODQP為菱形，
∵D（3，4），
∴OD5，
∴Q（3，9）；
如圖，以O(shè)D為邊，四邊形ODPQ為菱形，
∴點(diǎn)D與點(diǎn)Q關(guān)于y軸對稱，
∴Q（﹣3，4）；
如圖，以O(shè)D為對角線，四邊形OQDP為菱形，延長DQ交x軸于點(diǎn)H，則QH⊥x軸，
設(shè)OQ＝DQ＝m，則QH＝4﹣m，
∴32+（4﹣m）2＝m2，
∴m，
∴DQ，
∴QH＝4，
∴Q（3，）．
綜上所述，Q的坐標(biāo)為（3，9）或（﹣3，4）或（3，）．
28．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中 CB＝CD，∠B＝∠CDA＝90°，
∴∠CDF＝∠B＝90°．
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE＝CF；
（2）證明：GE＝BE+GD成立．理由如下：
∵∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，
∴∠BCE+∠GCD＝45°．
∵△BCE≌△DCF（已證），
∴∠BCE＝∠DCF．
∴∠GCF＝∠GCD+∠DCF＝∠GCD+∠BCE＝45°．
∴∠ECG＝∠FCG＝45°．
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE＝FG．
∵FG＝GD+DF，
∴GE＝BE+GD；
（3）①如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)G，
由（2）和題設(shè)知：DE＝DG+BE，
設(shè)DG＝x，則AD＝6﹣x，DE＝x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2．
∴DE＝2+3＝5；
②把△ABE旋轉(zhuǎn)120°得到△ADE′，則DE′＝BE＝2，DF＝4，EF＝E′F，∠ADE′＝∠B＝60°，
∴∠E′DF＝120°，
過E′作E′H⊥FD于H，∠E′DH＝60°，
∴DHDE′＝1，HE′DE′，
∴EF2．
故答案為：2．
29．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵∠EPD＝∠ABC，∠EBP+∠BEP＝∠EPD，∠EBP+∠DBC＝∠ABC，
∴∠BEP＝∠DBC，
∴∠BEP＝∠ADB，
在△PBE和△ABD中，
∴△PBE≌△ABD（AAS）；
（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)F，如圖，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC，，
∴DF＝CD sin∠DCF＝12，
∴，
∴BF＝BC+CF＝16，
∴，
由（1）得∠BEP＝∠ADB，∠PBE＝∠ABD，
∴△PBE△ABD，
∴，
∵AB＝BE，
∴；
（3）解：△APE是以AP為底的等腰三角形，即AE＝PE，
①當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，如圖，
∵△PBE∽△ABD，
∴，
∵BE＝AB﹣AE＝AB﹣PE，
∴，
解得，
∴；
②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長線上時(shí)，如圖，
∵△PBE∽△ABD，
∴，
∵BE＝AB+AE＝AB+PE，
∴，
解得，
∴．
綜上所述，x的值為或；
（4）解：∠ADE的正切值為．
過E作EF⊥AD于點(diǎn)F，
由（2）知△PBE△ABD，
∴，
∴，
∴BE，
∴AE＝BE﹣AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC＝∠DAE，
∴sin∠ABC＝sin∠DAE，
∴EF＝AE sin∠DAE＝（），
∴AF，
∴DF＝7﹣（）＝16，
∴tan∠ADE．
30．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠EDO＝∠FBO，DE∥BF，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴OB＝OD，BE＝DE，
∴∠BDF＝∠DBF，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴DE＝BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形；
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴BE＝DE＝AD﹣AE＝6﹣2＝4，
∴AB2，
∴BD4
∵OB＝OD，∠BCD＝90°，
∴OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBD＝∠ADB，
∴cos∠BCO＝cos∠ADB．
31．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）設(shè)EC＝x，
由翻折可知，AD＝AF＝4，
∴BF2，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴x，
∴EC．
（3）∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴tanα+tanβ，
設(shè)AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，
∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，
∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴BF，CF，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴b2+x2＝（2a﹣x）2，
∴a2﹣axb2，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴a2﹣ax ，
∴b2 ，
整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，
∴（4a2﹣3b2）2＝0，
∴，
∴tanα+tanβ．
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