資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三章 函數
3.3二次函數的圖象與性質
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1.二次函數的相關概念 ☆ 二次函數作為中考三大函數中考點最多，出題頻率最高，難度最大的函數，一直都是浙江中考數學中最重要的考點，總分值為10分左右，預計2025年浙江中考還會考。題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習。
考點2.二次函數的圖象與性質 ☆☆☆
考點3.二次函數與各項系數的關系 ☆☆☆
考點4.拋物線的圖象變換 ☆☆
二次函數圖象和性質的考查，也主要集中在二次函數的圖象與性質、圖象與系數的關系、圖象的變換等幾大方面。而浙江中考二次函數考查在全國看來都是比較困難的，同學們需要特別關注的是含參的最值問題。
2
3
■考點一　二次函數的相關概念 3
■考點二　二次函數的圖象與性質 5
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系 13
■考點四　拋物線的圖象變換 15
20
30
■考點一　二次函數的相關概念
1、二次函數的概念：一般地，形如 （a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
2、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式： （a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式： （a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式： ，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．
■考點二　二次函數的圖象與性質
1、二次函數的圖象及性質
解析式 二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 .
頂點 .
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x=–時，y最小值= . 當x=–時，y最大值= .
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x<–時，y隨x的增大而 ； 當x>–時，y隨x的增大而 . 當x<–時，y隨x的增大而 .； 當x>–時，y隨x的增大而 .
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系
1.拋物線開口的方向可確定a的符號：
拋物線開口向上， ；拋物線開口向下， .
2.對稱軸可確定b的符號（需結合a的符號）：
對稱軸在x軸負半軸，則 ，即ab＞0；對稱軸在x軸正半軸，則 ，即ab＜0
3.與y軸交點可確定c的符號：與y軸交點坐標為（0，c），
交于y軸負半軸，則 ；交于y軸正半軸，則 .
4.特殊函數值符號（以x=1的函數值為例）：
若當x=1時，若對應的函數值y在x軸的上方，則 ；若對應的函數值y在x軸上方，則 ；若對應的函數值y在x軸的下方，則 ；
5.其他輔助判定條件：
1）頂點坐標；2）若與x軸交點，，則可確定對稱軸為：x=；
3）韋達定理： 具體要考慮哪些量，需要視圖形告知的條件而定。
■考點四　拋物線的圖象變換
1）二次函數圖象的翻折與旋轉
拋物線y=a(x-h) +k，繞頂點旋轉180°變為： ；繞原點旋轉180°變為： ；
沿x軸翻折變為： ；沿y軸翻折變為： ；
2）二次函數平移遵循“ ”的原則；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
■考點一　二次函數的相關概念
◇典例1：（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）二次函數中，二次項系數是 ，一次項系數是 ．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江湖州·期中）已知二次函數，其二次項系數是 ．
2.（2024·山東·九年級校考期中）若 是二次函數，則 m 的值為（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
◇典例2：（2023年江蘇中考真題）函數y與自變量x的部分對應值如表所示，則下列函數表達式中，符合表中對應關系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2024·浙江·九年級校考期中）已知某種產品的成本價為30元/千克，經市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：．設這種產品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·統考二模）如圖，某小區有一塊三角形綠地，其中．計劃在綠地上建造一個矩形的休閑書吧，使點P，M，N分別在邊上．記，圖中陰影部分的面積為．當x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是（ ）

A．一次函數關系，二次函數關系 B．一次函數關系，反比例函數關系
C．二次函數關系，一次函數關系 D．反比例函數關系，二次函數關系
■考點二　二次函數的圖象與性質
◇典例3：（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）已知二次函數，下列說法正確的是（　　）
A．對稱軸為直線 B．頂點坐標為 C．與y軸的交點是 D．函數的最大值是
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江·期末）已知二次函數，y與x的部分對應取值如下表：
x 0 1
y 1 2 1
則下列結論中正確的是（ ）
A．拋物線開口向上 B．拋物線與y軸交于負半軸
C．當時， D．方程有兩個不相等的實數根
2．（24-25九年級上·浙江臺州·期中）對于拋物線，下列判斷不正確的是（ ）
A．拋物線的頂點坐標為
B．把拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到拋物線
C．當時，隨的增大而增大
D．若點在拋物上，則
◇典例4：（24-25九年級上·浙江杭州·期末）函數和在同一直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2022·山東泰安·中考真題）如圖,函數和(是常數,且)在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
◇典例5：（24-25九年級上·浙江寧波·期中）拋物線 （m為常數）上三點分別為，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）設函數，，直線與函數，的圖象分別交于點，，得（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
2．（24-25九年級上·浙江嘉興·期末）已知拋物線經過點，，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知，若，，則（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·期末）若拋物線經過點，則下列各點，必在拋物線上的是（ ）
A． B． C． D．
2. （2023年上海市中考數學真題）一個二次函數的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是 ．
3.（2023年福建省中考真題數學試題）已知拋物線經過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側，且，則的取值范圍是 ．
4．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標系中，，，是二次函數圖象上三點．若，，則 （填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是 ．
◇典例7：（24-25九年級上·浙江溫州·期末）已知二次函數．當時，函數的最大值與最小值的差為12，則n的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練1．（24-25九年級上·浙江金華·期中）如圖，點，的坐標分別為和，拋物線的頂點在線段上運動，與軸交于兩點（在的左側），點的橫坐標最小值為，則點的橫坐標最大值為（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
2．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數，當，且時，的最小值為，最大值為，則 ．
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系
◇典例8：（24-25九年級上·浙江寧波·期中）如圖是拋物線的部分圖象，其頂點坐標為，且與軸的一個交點在點和之間，則下列結論：①；②；③一元二次方程有兩個不相等的實數根；④拋物線與軸另一個交點在到之間；其中正確結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）二次函數的圖象如圖所示．下列結論：①；②；③；④若圖象上有兩點且，則．其中正確結論為（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）已知二次函數的圖象與軸交于不同兩點，與軸的交點在軸正半軸，它的對稱軸為直線， 有以下結論： ①，②， ③拋物線上有兩點和，若， 且， 則， ④設，是方程． 的兩根，若則， 其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
■考點四　拋物線的圖象變換
◇典例9：（2023年江蘇省徐州市中考數學真題）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1. （2023年黑龍江省牡丹江市中考數學真題）將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移 個單位長度后，得到的新拋物線經過原點．
2.（2023·四川南充·統考中考真題）若點在拋物線（）上，則下列各點在拋物線上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川瀘州·統考中考真題）拋物線經平移后，不可能得到的拋物線是（ ）
A． B． C． D．
◇典例10：（2021·四川眉山·統考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，則該拋物線關于點成中心對稱的拋物線的表達式為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1. （23-24上·山東臨沂·九年級統考期末）已知拋物線的解析式為，則下列說法中正確的是（ ）
A．將圖象沿y軸平移，則a，b的值不變 B．將圖象沿x軸平移，則a的值不變
C．將圖象沿y軸翻折，則a，c的值不變 D．將圖象沿x軸翻折，則b的值不變
2．（23-24上·福建南平·九年級校考期中）將拋物線繞原點旋轉180°得到的拋物線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24上·安徽淮南·九年級校聯考階段練習）如果將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，然后繞其頂點旋轉，得到新的拋物線，那么（ ）
A． ，， B． ， C． ，， D． ，
◇典例11：（24-25九年級上·浙江金華·期中）如圖，平行于軸的直線被拋物線、所截．當直線向右平移5個單位時，直線被兩條拋物線所截得的線段掃過的圖形面積為 平方單位．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·福建福州·期中）二次函數的圖象與軸交于點A，將該函數圖象向右平移個單位后與軸交于點，平移前后的函數圖象相交于點，若，則的值為 ．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）將拋物線向左平移個單位長度后得到新拋物線，若新拋物線與直線有兩個交點，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·內蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：，例如，則函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經過三點，則的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數（x是自變量）的圖象經過第一、二、四象限，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，，與y軸交點C的縱坐標在～之間，根據圖象判斷以下結論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個交點，則．其中正確的結論是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
9．（2024·廣東廣州·中考真題）函數與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減小．
A． B． C． D．
10．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（ ）

A．二次函數圖象的對稱軸是直線 B．二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C．當時，y隨x的增大而減小 D．二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
11．（2024·福建·中考真題）已知二次函數的圖象經過，兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A．可以找到一個實數，使得 B．無論實數取什么值，都有
C．可以找到一個實數，使得 D．無論實數取什么值，都有
12．（2024·陜西·中考真題）已知一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是（ 　　 ）
A．圖象的開口向上 B．當時，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經過第二、三、四象限 D．圖象的對稱軸是直線
13．（2024·四川內江·中考真題）已知二次函數的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，點，在拋物線上，則 （填“＞”或“＜”）；
14．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數，）經過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；
③若，則關于x的一元二次方程 無實數解；
④點，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是 （填寫序號）．
15．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個單位長度后，經過點，則 ．
16．（2024·江蘇蘇州·中考真題）二次函數的圖象過點，，，，其中m，n為常數，則的值為 ．
17．（2024·上海·中考真題）對于一個二次函數（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為 ．
18．（2024·浙江·中考真題）已知二次函數（b，c為常數）的圖象經過點，對稱軸為直線．(1)求二次函數的表達式；(2)若點向上平移2個單位長度，向左平移m（）個單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；(3)當時，二次函數的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
19．（2024·山東威海·中考真題）已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數據的大小（填寫、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范圍；
(3)當時，最大值與最小值的差為，求b的值．
20．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1．(1)求b的值；(2)點在拋物線上，點在拋物線上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．
1．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）甲、乙兩個二次函數分別為、，判斷下列敘述正確的是（ ）
A．當時，甲有最大值 B．當時，甲有最小值
C．當時，乙有最大值 D．當時，乙有最小值
2．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）關于二次函數，下列說法正確的是（　　）
A．函數圖象的開口向下 B．二次函數的最小值為1
C．該函數的對稱軸為 D．當時，隨的增大而減小
3．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）對于拋物線，下列說法錯誤的是（ ）
A．對稱軸是直線 B．函數的最大值是3
C．開口向下，頂點坐標 D．當時，y隨x的增大而增大
4．（24-25九年級上·浙江臺州·階段練習）若點，，為二次函數圖象上的三點，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年級上·浙江金華·期中）已知二次函數，當時，的最小值為，則的值為（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）已知二次函數（其中a，h，k是實數，），當時，；當時，，（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
7．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）如圖，二次函數的圖象與軸的正半軸交于點，與軸的負半軸交于點，對稱軸為直線．其中判斷錯誤的是（ ）
A． B．若點在圖象上，則
C． D．若點，在圖象上，則
8．（24-25九年級上·浙江杭州·期末）已知二次函數圖象與x軸只有一個交點，且圖象過和兩點，設，則（ ）
A．p的最小值為 B．p的最小值為1 C．p的最大值為 D．p的最大值為1
10．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，拋物線的對稱軸是直線，且拋物線經過點．下而給出了四個結論：①；②；③；④．其中結論正確的是（ ）（多選題）
A．① B．② C．③ D．④
11．（24-25九年級上·浙江嘉興·期中）已知二次函數（，為常數），則拋物線的對稱軸是 ．
12．（2025九年級下·浙江金華·學業考試）當函數取最小值時，的值為 ．
13．（2025九年級下·浙江·學業考試）在平面直角坐標系中，橫坐標與縱坐標都是整數的點稱為整點，如果將二次函數的圖象與x軸所圍成的封閉圖形染成紅色，則此紅色區域內部及其邊界上的整點個數有 個．
14．（24-25九年級上·浙江紹興·期末）在平面直角坐標系中，求同時滿足下列兩個條件的點的坐標：①直線必經過這樣的點；②對于取不等于零的任何值，關于的二次函數都不經過這樣的點．則這個點的坐標為 ．
15．（24-25九年級下·浙江溫州·開學考試）在平面直角坐標系中，已知拋物線．
(1)當時，求拋物線的頂點坐標．(2)已知和是拋物線上的兩點．若對于，，都有，求的取值范圍．
16．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）在直角坐標系中，設函數（，是常數，）．(1)已知函數的圖象經過點和，求函數的表達式．
(2)若函數圖象的頂點在函數的圖象上，求證：．
17．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）已知二次函數．
(1)求該函數圖象的頂點坐標、對稱軸以及與x軸的交點坐標；
(2)當時，求y的最大值與最小值之差；
(3)當時，求y的最小值．（可用含k的代數式表示）
18．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數（是實數）．
(1)求函數頂點坐標（用含的代數式表示）；(2)若，且函數頂點在軸上，當時，函數最大值為，求的值；(3)對于該二次函數圖象上的兩點，，當時，始終有成立．求的取值范圍．
19．（24-25九年級上·浙江·期末）已知拋物線（）．(1)若拋物線經過點，求該拋物線的對稱軸．(2)若將拋物線上的點先向右平移2個單位，再向上平移4個單位后，仍在該拋物線上，求該拋物線的解析式．(3)若拋物線的對稱軸為直線，點，在拋物線上，求證：．
20．（24-25九年級上·浙江湖州·期末）定義：對于關于的函數，函數在范圍內有最大值和最小值，則稱為極差值，記作．如函數，在范圍內，該函數的最大值是，最小值為，即．
請根據以上信息，完成下列問題：(1)已知二次函數的圖象經過點．
①求該函數的表達式；②求該函數的的值．(2)已知函數，函數的圖象經過點，且兩個函數的相等，求的值．
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第三章 函數
3.3二次函數的圖象與性質
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1.二次函數的相關概念 ☆ 二次函數作為中考三大函數中考點最多，出題頻率最高，難度最大的函數，一直都是浙江中考數學中最重要的考點，總分值為10分左右，預計2025年浙江中考還會考。題型變化較多，考生復習時需要熟練掌握相關知識，熟悉相關題型，認真對待該考點的復習。
考點2.二次函數的圖象與性質 ☆☆☆
考點3.二次函數與各項系數的關系 ☆☆☆
考點4.拋物線的圖象變換 ☆☆
二次函數圖象和性質的考查，也主要集中在二次函數的圖象與性質、圖象與系數的關系、圖象的變換等幾大方面。而浙江中考二次函數考查在全國看來都是比較困難的，同學們需要特別關注的是含參的最值問題。
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■考點一　二次函數的相關概念 3
■考點二　二次函數的圖象與性質 5
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系 13
■考點四　拋物線的圖象變換 15
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30
■考點一　二次函數的相關概念
1、二次函數的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
2、二次函數解析式的三種形式
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式： y=a（x–h）2+k （a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．
■考點二　二次函數的圖象與性質
1、二次函數的圖象及性質
解析式 二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 x=– .
頂點 （–，） .
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x=–時，y最小值= . 當x=–時，y最大值= .
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x<–時，y隨x的增大而減小 ； 當x>–時，y隨x的增大而增大 . 當x<–時，y隨x的增大而增大 .； 當x>–時，y隨x的增大而減小 .
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系
1.拋物線開口的方向可確定a的符號：
拋物線開口向上，a＞0 ；拋物線開口向下，a＜0 .
2.對稱軸可確定b的符號（需結合a的符號）：
對稱軸在x軸負半軸，則＜0 ，即ab＞0；對稱軸在x軸正半軸，則＞0 ，即ab＜0
3.與y軸交點可確定c的符號：與y軸交點坐標為（0，c），
交于y軸負半軸，則c＜0 ；交于y軸正半軸，則c＞0 .
4.特殊函數值符號（以x=1的函數值為例）：
若當x=1時，若對應的函數值y在x軸的上方，則a+b+c＞0 ；若對應的函數值y在x軸上方，則a+b+c=0 ；若對應的函數值y在x軸的下方，則a+b+c＜0 ；
5.其他輔助判定條件：
1）頂點坐標；2）若與x軸交點，，則可確定對稱軸為：x=；
3）韋達定理： 具體要考慮哪些量，需要視圖形告知的條件而定。
■考點四　拋物線的圖象變換
1）二次函數圖象的翻折與旋轉
拋物線y=a(x-h) +k，繞頂點旋轉180°變為：y= -a(x-h) +k ；繞原點旋轉180°變為：y= -a(x+h) -k ；
沿x軸翻折變為：y= -a(x-h) -k ；沿y軸翻折變為：y= a(x+h) +k ；
2）二次函數平移遵循“上加下減，左加右減 ”的原則；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
■考點一　二次函數的相關概念
◇典例1：（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）二次函數中，二次項系數是 ，一次項系數是 ．
【答案】 3
【詳解】解：∵，∴該函數解析式的二次項系數是3，一次項系數是，常數項是5．
故答案是：3，．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江湖州·期中）已知二次函數，其二次項系數是 ．
【答案】2
【詳解】解：二次函數的二次項系數是2，故答案為：2．
2.（2024·山東·九年級校考期中）若 是二次函數，則 m 的值為（ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【詳解】解：由于 是二次函數，
且，且，．故選B．
◇典例2：（2023年江蘇中考真題）函數y與自變量x的部分對應值如表所示，則下列函數表達式中，符合表中對應關系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、若直線過點，則，解得，所以，
當時，，故不在直線上，故A不合題意；
B、由表格可知，y與x的每一組對應值的積是定值為4，所以y是x的反比例函數，，不合題意；
C、把表格中的函數y與自變量x的對應值代入
得，解得，符合題意；D、由C可知，不合題意．故選：C．
◆變式訓練
1.（2024·浙江·九年級校考期中）已知某種產品的成本價為30元/千克，經市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：．設這種產品每天的銷售利潤為w（元），則w與x之間的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：根據題意得，，即，故選：A．
2．（2023·北京·統考二模）如圖，某小區有一塊三角形綠地，其中．計劃在綠地上建造一個矩形的休閑書吧，使點P，M，N分別在邊上．記，圖中陰影部分的面積為．當x在一定范圍內變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數關系分別是（ ）

A．一次函數關系，二次函數關系 B．一次函數關系，反比例函數關系
C．二次函數關系，一次函數關系 D．反比例函數關系，二次函數關系
【答案】A
【詳解】解：∵，∴，
∵四邊形是矩形，∴，，
∴都是等腰直角三角形，∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴y與x，S與x滿足的函數關系分別是一次函數關系，二次函數關系，故選A．
■考點二　二次函數的圖象與性質
◇典例3：（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）已知二次函數，下列說法正確的是（　　）
A．對稱軸為直線 B．頂點坐標為 C．與y軸的交點是 D．函數的最大值是
【答案】D
【詳解】解：在二次函數中，函數的對稱軸為直線，頂點坐標為，故選項A、B錯誤，不符合題意；
當時，，即函數圖象與y軸的交點坐標為，故選項C錯誤，不符合題意；
∵，∴函數有最大值，故選項D正確，符合題意，故選：D．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江·期末）已知二次函數，y與x的部分對應取值如下表：
x 0 1
y 1 2 1
則下列結論中正確的是（ ）
A．拋物線開口向上 B．拋物線與y軸交于負半軸
C．當時， D．方程有兩個不相等的實數根
【答案】D
【詳解】解：由圖表可得，∵拋物線經過點和∴該函數的對稱軸是直線，
∴點是拋物線的頂點，有最大值2，拋物線開口向下，故選項A錯誤，不合題意；
當時，，拋物線與軸的交點為，
∴拋物線與y軸交于正半軸，故選項B錯誤，不合題意；
∵拋物線對稱軸為直線∴當時和時，函數值相等
∵當時，∴當時，，故選項C錯誤，不合題意；
∵拋物線頂點坐標為，且開口向下∴拋物線與x軸有兩個交點，
∴方程有兩個不相等的實數根，故選項D正確，符合題意；故選：D．
2．（24-25九年級上·浙江臺州·期中）對于拋物線，下列判斷不正確的是（ ）
A．拋物線的頂點坐標為
B．把拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到拋物線
C．當時，隨的增大而增大
D．若點在拋物上，則
【答案】D
【詳解】解：，拋物線開口向上，頂點坐標為，故A正確，不符合題意；
拋物線向右平移1個單位，再向上平移2個單位，
得到拋物線，故B正確，不符合題意；
，拋物線的對稱軸為，
當時，隨的增大而增大，故C正確，不符合題意；
點在拋物上，且，
點比點更靠近對稱軸，，故D不正確，符合題意．故選：D．
◇典例4：（24-25九年級上·浙江杭州·期末）函數和在同一直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A. 由的圖象可知，，，則，得到，的圖象應該分別在二、四象限，故選項錯誤，不符合題意；
B.由可知，圖象必過原點，選項中的二次數圖象不經過原點，故選項錯誤，不合題意；C. 由的圖象可知，，，則，得到，的圖象分別在一、三象限，故選項正確，符合題意；
D. 由的圖象可知，，，則，得到，則的圖象應該分別在一、三象限，但選項中的反比例函數圖象分別位于二、四象限，故選項錯誤，不符合題意；故選：C．
◆變式訓練
1.（2022·山東泰安·中考真題）如圖,函數和(是常數,且)在同一平面直角坐標系的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】A．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向下．故選項錯誤；B．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣＞0．故選項正確；
C．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x=﹣＞0，和x軸的正半軸相交．故選項錯誤；D．由一次函數y=ax﹣a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y=ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上．故選項錯誤． 故選B．
◇典例5：（24-25九年級上·浙江寧波·期中）拋物線 （m為常數）上三點分別為，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵拋物線（為常數）的開口向上，對稱軸為直線，
∴拋物線上的點到對稱軸的距離越遠，函數的值越大，
∵，，∴； 故選： D．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）設函數，，直線與函數，的圖象分別交于點，，得（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【詳解】解：如圖所示，若，則，故A選項錯誤；
如圖所示，若，則或，故B、D選項錯誤；
如圖所示，若，則，故C選項正確；故選：C．
2．（24-25九年級上·浙江嘉興·期末）已知拋物線經過點，，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：，對稱軸，拋物線經過點，，且，
時，拋物線開口向上，且，，即，；
當時，拋物線開口向下，且，，即，，
故選：D．
◇典例6：（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，∴函數的對稱軸為直線，即直線，∵，故與關于對稱軸對稱，
即．故選：A．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·期末）若拋物線經過點，則下列各點，必在拋物線上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵拋物線經過點， ∴拋物線的對稱軸為軸，
又，∴必在拋物線L上的是，故選：D．
2. （2023年上海市中考數學真題）一個二次函數的頂點在y軸正半軸上，且其對稱軸左側的部分是上升的，那么這個二次函數的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：∵二次函數的對稱軸左側的部分是上升的，∴拋物線開口向上，即，
∵二次函數的頂點在y軸正半軸上，∴，即，，
∴二次函數的解析式可以是（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）．
3.（2023年福建省中考真題數學試題）已知拋物線經過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：∵，∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，
∵分別位于拋物線對稱軸的兩側，
假設點在對稱軸的右側，則，解得，∴
∴點在點的右側，與假設矛盾，則點在對稱軸的右側，
∴解得： 又∵，∴
∴解得：∴，故答案為：．
3．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標系中，，，是二次函數圖象上三點．若，，則 （填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：由得拋物線的對稱軸為直線，開口向下，
∵，，∴，∴；
∵，，，，∴，
∵存在， ∴，，且離對稱軸最遠，離對稱軸最近，
∴，即，且，
∵，，∴且，
解得，故答案為：；．
◇典例7：（24-25九年級上·浙江溫州·期末）已知二次函數．當時，函數的最大值與最小值的差為12，則n的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】∵開口向下，頂點為，對稱軸為y軸，最大值為9，
∴在對稱軸左側，y的值隨著x的值增大而增大；在對稱軸右側，y的值隨著x的值增大而減小；
①當時，當時，y隨的x增大而增大，那么時取得最小值，時取得最大值，
最小值為，最大值為，已知最大值與最小值的差為12，
則可列出方程- ，解得，但是這與假設矛盾，所以這種情況不符合題意，舍去；
②當時，此時 時取得最大值，時取得最小值，最大值為9，最小值為，
此時最大值與最小值的差為12，符合題意；
③當時，此時時取得最大值，時取得最小值，最大值為9，最小值為，
已知最大值與最小值的差為12，則可列出方程，解得，
但是這與假設矛盾，所以這種情況不符合題意，舍去．∴綜上，得到n的取值范圍為：．
故選：B．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江金華·期中）如圖，點，的坐標分別為和，拋物線的頂點在線段上運動，與軸交于兩點（在的左側），點的橫坐標最小值為，則點的橫坐標最大值為（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
【答案】C
【詳解】解：∵拋物線的頂點在線段上運動，點，的坐標分別為和，∴拋物線為．
當拋物線頂點經過點時，點的橫坐標會取得最小值，
即此時拋物線經過點．將點代入拋物線解析式得：，
解得：．∴拋物線的解析式為．
當拋物線經過點時，點的橫坐標會取得最大值，則此時拋物線解析式為．令，即，解得：，．
∴點的橫坐標最大值為．故選：C．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數，當，且時，的最小值為，最大值為，則 ．
【答案】0
【詳解】解：二次函數的對稱軸為直線，開口向上，大致圖象如下：
且，，分兩種情況討論：
第種情況：當時，此時，∴當時，y隨x增大而減小，
當時，y取最小值，即，當時，最大值為，，
解得：或（舍）∴，
當時，此時，根據圖象可得：當時，函數取得最小值，解得（舍）
故答案為：0．
■考點三　二次函數與各項系數之間的關系
◇典例8：（24-25九年級上·浙江寧波·期中）如圖是拋物線的部分圖象，其頂點坐標為，且與軸的一個交點在點和之間，則下列結論：①；②；③一元二次方程有兩個不相等的實數根；④拋物線與軸另一個交點在到之間；其中正確結論的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】解：①∵根據題意得：拋物線的對稱軸為，即，∴，∴①錯誤；
②當時，，∴，∵，∴，∴②正確；
③∵拋物線與x軸有兩個交點，∴一元二次方程有兩個不相等的實數根．∴③正確④∵拋物線的頂點坐標為，即對稱軸為直線，
且與x軸的一個交點在點和之間，∴拋物線與x軸另一個交點在到之間．∴④正確．∴正確的有②③④，共3個．故選：C．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）二次函數的圖象如圖所示．下列結論：①；②；③；④若圖象上有兩點且，則．其中正確結論為（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【詳解】解：由題意，拋物線開口向下，．又拋物線為．．
拋物線與軸交于負半軸，．，故①正確．
又，，故②正確．由題意，當時，．
又，，故③正確．拋物線的對稱軸是直線，當時與當時函數值相等．當，則，故④錯誤．綜上，正確的有：①②③．故選：C．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）已知二次函數的圖象與軸交于不同兩點，與軸的交點在軸正半軸，它的對稱軸為直線， 有以下結論： ①，②， ③拋物線上有兩點和，若， 且， 則， ④設，是方程． 的兩根，若則， 其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②③④
【答案】D
【詳解】解：①∵二次函數的圖象與軸的交點在軸正半軸，∴，
∵對稱軸為直線，∴，即，∵，∴，∴，故結論①正確；
②由①知：，∴，故結論②正確；
③∵，∴二次函數的圖象開口向下∴拋物線上的點離對稱軸越遠其函數值就越小，
∵點和在拋物線上，且， ，
∴，即到1的距離大于到1的距離，∴，故結論③正確；
④∵二次函數的圖象與軸交于不同兩點，設左邊交點的橫坐標為，右邊交點的橫坐標為，即，如圖所示，
若，則，，，∴，
若，則，，，∴，
若，則，，，∴，
綜上所述，故結論④正確，∴正確的結論是①②③④．故選：D．
■考點四　拋物線的圖象變換
◇典例9：（2023年江蘇省徐州市中考數學真題）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為；故選B．
◆變式訓練
1. （2023年黑龍江省牡丹江市中考數學真題）將拋物線向下平移1個單位長度，再向右平移 個單位長度后，得到的新拋物線經過原點．
【答案】2或4/4或2
【詳解】解：拋物線向下平移1個單位長度后的解析式為，
令，則，解得，，
∴拋物線與的交點坐標為和，
∴將拋物線向右平移2個單位或4個單位后，新拋物線經過原點．故答案為：2或4．
2.（2023·四川南充·統考中考真題）若點在拋物線（）上，則下列各點在拋物線上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】∵拋物線是拋物線（）向左平移1個單位長度得到
∴拋物線上點向左平移1個單位長度后，會在拋物線上
∴點在拋物線上故選：D
3．（2022·四川瀘州·統考中考真題）拋物線經平移后，不可能得到的拋物線是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：拋物線經平移后，不改變開口大小和開口方向，所以a不變，而D選項中a=-1，不可能是經過平移得到，故選：D．
◇典例10：（2021·四川眉山·統考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，則該拋物線關于點成中心對稱的拋物線的表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解:當x=0時，y=5，∴C（0,5）；設新拋物線上的點的坐標為（x,y），
∵原拋物線與新拋物線關于點C成中心對稱，由，；
∴對應的原拋物線上點的坐標為；代入原拋物線解析式可得：，
∴新拋物線的解析式為：；故選：A．
◆變式訓練
1. （23-24上·山東臨沂·九年級統考期末）已知拋物線的解析式為，則下列說法中正確的是（ ）
A．將圖象沿y軸平移，則a，b的值不變 B．將圖象沿x軸平移，則a的值不變
C．將圖象沿y軸翻折，則a，c的值不變 D．將圖象沿x軸翻折，則b的值不變
【答案】D
【詳解】解：A、若將圖象沿y軸平移m個單位，則，
∴a值不變，b值不變，故正確，不符合題意；
B、若將圖象沿x軸平移m個單位，則，
∴a值不變，b值變化；故不符合題意；
C、若將圖象沿y軸翻折，則開口方向不變，對稱軸變化，與y軸交點不變，
∴a值不變，b值變化，c值不變，故正確，不符合題意；
D、若將圖象沿x軸翻折，則開口方向變化，對稱軸不變，與y軸交點變化，
∴a值變化，b值變化，c值變化，故符合題意；故選D．
2．（23-24上·福建南平·九年級校考期中）將拋物線繞原點旋轉180°得到的拋物線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴將拋物線繞原點旋轉180°得到的拋物線的解析式為；故選C．
3．（23-24上·安徽淮南·九年級校聯考階段練習）如果將拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，然后繞其頂點旋轉，得到新的拋物線，那么（ ）
A． ，， B． ， C． ，， D． ，
【答案】B
【詳解】解：拋物線可化為：，繞其頂點旋轉得：，
把拋物線先向下平移1個單位，再向左平移2個單位，得：，
即：，，，故選B．
◇典例11：（24-25九年級上·浙江金華·期中）如圖，平行于軸的直線被拋物線、所截．當直線向右平移5個單位時，直線被兩條拋物線所截得的線段掃過的圖形面積為 平方單位．
【答案】20
【詳解】解：如圖，直線被兩條拋物線所截得的線段掃過的圖形面積等于平行四邊形的面積，
設，則，∴，
∴平行四邊形的面積，
∴直線被兩條拋物線所截得的線段掃過的圖形面積為20．故答案為：20．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·福建福州·期中）二次函數的圖象與軸交于點A，將該函數圖象向右平移個單位后與軸交于點，平移前后的函數圖象相交于點，若，則的值為 ．
【答案】2
【詳解】解：當時，，解得，，
將該函數圖象向右平移個單位，拋物線的解析式為，；
解方程組，得，∴，
拋物線為軸對稱圖形，，為等腰直角三角形，
，解得（舍去），，即的值為2．故答案為：2．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）將拋物線向左平移個單位長度后得到新拋物線，若新拋物線與直線有兩個交點，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由題意， 拋物線的對稱軸是直線，
向左平移個單位長度后得到新拋物線的對稱軸是直線，
直線與新拋物線有兩個交點，，
，，，，
又∵，則拋物線開口向下，拋物線上的點離對稱軸越近函數值越大，
的離新拋物線的對稱軸比離新拋物線的對稱軸遠，的中點在對稱軸的左側，
，，又∵，．故選：D．
1．（2024·內蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：拋物線向下平移2個單位后，則拋物線變為，
∴化成頂點式則為 ，故選：A．
2．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：，例如，則函數的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：由題意得，，
即，當時，函數的最小值為．故選：B．
3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經過三點，則的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，
該二次函數上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應的函數值也就越小，
∵，，，而，，，
∴點離對稱軸最近，點離對稱軸最遠，∴；故選：D．
4．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數的圖象上，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解∶ 二次函數的對稱軸為y軸，開口向上，∴當時， y隨x的增大而增大，
∵點都在二次函數的圖象上，且，∴，故選∶A．
5．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，
當時，，∴關于對稱軸對稱的點坐標為，∵當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，∴，解得，，故選：C．
6．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數（x是自變量）的圖象經過第一、二、四象限，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：二次函數圖象經過第一、二、四象限，
設拋物線與軸兩個交點的橫坐標分別為，由題意可得
解得．故選：A．
7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：根據題意畫出函數的圖像，如圖所示：
∵開口向上，與軸的交點位于軸上方，∴，，
∵拋物線與軸有兩個交點，∴，
∵拋物線的頂點為，∴，
觀察四個選項，選項C符合題意，故選：C．
8．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，，與y軸交點C的縱坐標在～之間，根據圖象判斷以下結論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個交點，則．其中正確的結論是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【詳解】解：設拋物線的解析式為：，
∴，，∴，故①正確；
∵點C的縱坐標在～之間，∴，即，∴，故②正確；
∵，∴，即，∴，
又∵，∴，故③錯誤；∵令相等，則
∴，解得（舍），，∴，故④正確；故選A．
9．（2024·廣東廣州·中考真題）函數與的圖象如圖所示，當（ ）時，，均隨著的增大而減小．
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由函數圖象可知，當時，隨著的增大而減小；
位于一、三象限內，且在每一象限內均隨著的增大而減小，
當時，，均隨著的增大而減小，故選：D．
10．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（ ）

A．二次函數圖象的對稱軸是直線 B．二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2
C．當時，y隨x的增大而減小 D．二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3
【答案】D
【詳解】解∶ ∵二次函數的頂點坐標為，
∴二次函數圖象的對稱軸是直線，故選項A錯誤；
∵二次函數的圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，對稱軸是直線，
∴二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1，故選項B錯誤；
∵拋物線開口向下， 對稱軸是直線，∴當時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；
設二次函數解析式為，把代入，得，解得，
∴，當時，，
∴二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3，故選項D正確，故選D．
11．（2024·福建·中考真題）已知二次函數的圖象經過，兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A．可以找到一個實數，使得 B．無論實數取什么值，都有
C．可以找到一個實數，使得 D．無論實數取什么值，都有
【答案】C
【詳解】解：二次函數解析式為，
二次函數開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，
當時，，當時，， ，
當時，，，故A、B錯誤，不符合題意；
當時，，由二次函數對稱性可知，，
當時，，由二次函數對稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；故選：C．
12．（2024·陜西·中考真題）已知一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
則下列關于這個二次函數的結論正確的是（ 　　 ）
A．圖象的開口向上 B．當時，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經過第二、三、四象限 D．圖象的對稱軸是直線
【答案】D
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數的解析式為，
∵，∴圖象的開口向下，故選項A不符合題意；
圖象的對稱軸是直線，故選項D符合題意；
當時，y的值隨x的值增大而增大，當時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符合題意；∵頂點坐標為且經過原點，圖象的開口向下，
∴圖象經過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；故選：D．
13．（2024·四川內江·中考真題）已知二次函數的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，點，在拋物線上，則 （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【詳解】解：，∵二次函數的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，∴拋物線的解析式為，∴拋物線開口向上，對稱軸為，
∴當時，y隨x的增大而增大，∵，∴，故答案為：．
14．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數，）經過，兩點，且．下列四個結論：①；②若，則；
③若，則關于x的一元二次方程 無實數解；
④點，在拋物線上，若，，總有，則．
其中正確的是 （填寫序號）．
【答案】②③④
【詳解】解：∵（a，b，c是常數，）經過，兩點，且．
∴對稱軸為直線， ，∵，∴，故①錯誤，
∵∴，即，兩點之間的距離大于
又∵∴時，∴若，則，故②正確；
③由①可得， ∴，即，
當時，拋物線解析式為 設頂點縱坐標為
∵拋物線（a，b，c是常數，）經過，∴∴
∴
∵，，對稱軸為直線，∴當時，取得最大值為，而，
∴關于x的一元二次方程 無解，故③正確；
④∵，拋物線開口向下，點，在拋物線上， ，，總有，
又，∴點離較遠，∴對稱軸
解得：，故④正確．故答案為：②③④．
15．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個單位長度后，經過點，則 ．
【答案】2
【詳解】解：拋物線向下平移5個單位長度后得到，
把點代入得到，，得到，
∴，故答案為：2
16．（2024·江蘇蘇州·中考真題）二次函數的圖象過點，，，，其中m，n為常數，則的值為 ．
【答案】/
【詳解】解：把，，代入，
得，解得，∴，
把代入，得，∴，
∴，故答案為：．
17．（2024·上海·中考真題）對于一個二次函數（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為 ．
【答案】4
【詳解】解：根據拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，
，
中存在一點，有，解得，則，
拋物線“開口大小”為，故答案為：．
18．（2024·浙江·中考真題）已知二次函數（b，c為常數）的圖象經過點，對稱軸為直線．(1)求二次函數的表達式；(2)若點向上平移2個單位長度，向左平移m（）個單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；(3)當時，二次函數的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：設二次函數的解析式為，把代入得，
解得，∴；
（2）解：點B平移后的點的坐標為，則，解得或（舍），
∴m的值為；
（3）解：當時，
∴最大值與最小值的差為，解得：不符合題意，舍去；
當時，∴最大值與最小值的差為，符合題意；
當時，最大值與最小值的差為，解得或，不符合題意；
綜上所述，n的取值范圍為．
19．（2024·山東威海·中考真題）已知拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．(1)若拋物線與x軸交點的坐標分別為，，且．試判斷下列每組數據的大小（填寫、或）：
①________；②________；③________．
(2)若，，求b的取值范圍；
(3)當時，最大值與最小值的差為，求b的值．
【答案】(1)；；；(2)(3)b的值為或．
【詳解】（1）解： 與x軸交點的坐標分別為，，且，
，且拋物線開口向上，
與x軸交點的坐標分別為，，且．
即向上平移1個單位，，且，①；
，，即②；
，即③．故答案為；；；；
（2）解：，，，，；
（3）解：拋物線頂點坐標為，
對稱軸為；當時，，當時，，
①當在取得最大值，在取得最小值時，有 ，解得（舍去）；
②當在取得最大值，在頂點取得最小值時，有，解得（舍去）或，
③當在取得最大值，在頂點取得最小值時，有，解得（舍去）或；
綜上所述，b的值為或．
20．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1．(1)求b的值；(2)點在拋物線上，點在拋物線上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】(1)(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【詳解】（1）解：，∴的頂點為，
∵拋物線（b為常數）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1，
∴拋物線（b為常數）的頂點橫坐標為2，∴，∴；
（2）由（1）得
∵點在拋物線上，點在拋物線上．
∴， ，整理得：
（ⅰ）∵，∴，整理得：，
∵，，∴，∴；
（ⅱ）將代入，整理得，
∵，∴當，即時，h取得最大值為．
1．（24-25九年級上·浙江溫州·階段練習）甲、乙兩個二次函數分別為、，判斷下列敘述正確的是（ ）
A．當時，甲有最大值 B．當時，甲有最小值
C．當時，乙有最大值 D．當時，乙有最小值
【答案】C
【詳解】解：∵甲，∴，頂點坐標為，
∴拋物線開口向上，當時，甲有最小值，最小值為30；
∵乙，∴，頂點坐標為，
∴拋物線開口向下，當時，乙有最大值，最大值為30；
∴選項錯誤，正確．故選：．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）關于二次函數，下列說法正確的是（　　）
A．函數圖象的開口向下 B．二次函數的最小值為1
C．該函數的對稱軸為 D．當時，隨的增大而減小
【答案】C
【詳解】解∶∵，∴，∴函數圖象開口向上，故A不符合題意，
∵函數圖象的對稱軸為：，故C符合題意，∵函數圖象的頂點坐標是，函數圖象開口向上，
∴函數有最小值為5，故B不符合題意，∵函數圖象的對稱軸為，
∴時，y隨x的增大而減小，時，y隨x的增大而增大，故D不符合題意．故選：C．
3．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）對于拋物線，下列說法錯誤的是（ ）
A．對稱軸是直線 B．函數的最大值是3
C．開口向下，頂點坐標 D．當時，y隨x的增大而增大
【答案】D
【詳解】解：A、對稱軸是直線，選項說法正確，不符合題意；
B、函數的最大值是3，選項說法正確，不符合題意；
C、開口向下，頂點坐標，選項說法正確，不符合題意；
D、當時，隨的增大而減小，選項說法錯誤，符合題意；故選：D．
4．（24-25九年級上·浙江臺州·階段練習）若點，，為二次函數圖象上的三點，則，，的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解∵，∴開口向上，對稱軸為直線，越靠近對稱軸的所對應函數值越小，
∵點，，為二次函數圖象上的三點，∴，∵，∴，故選：D
5．（24-25九年級上·浙江金華·期中）已知二次函數，當時，的最小值為，則的值為（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【詳解】解：由題意得，的對稱軸為直線，頂點坐標為，
當時，在，∵的最小值為，∴，∴；
當時，在，∴當時函數有最小值，∴，解得：,
綜上所述：的值為或，故選：．
6．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）已知二次函數（其中a，h，k是實數，），當時，；當時，，（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【詳解】解：當時，；當時，；代入函數式得：，
∴，整理得：，
若，則，故A不符合題意；若，則，故B不符合題意；
若，則，故C符合題意；若，則，故D不符合題意；故選：C．
7．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）如圖，二次函數的圖象與軸的正半軸交于點，與軸的負半軸交于點，對稱軸為直線．其中判斷錯誤的是（ ）
A． B．若點在圖象上，則
C． D．若點，在圖象上，則
【答案】B
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，
∵，結合函數圖象可知，當時，拋物線上的點在A點右側，一定在x軸的上方，
當時，，即，將代入可得，
，，故選項A正確；
∵∴關于對稱軸的對稱點的坐標為，
∵，∴點和點都在點右側，在x軸的上方，
∴，解得：，故選項B錯誤；
將代入可得，，，，，
即，故選項C正確，∵，
∴在拋物線上關于對稱軸對稱，
∴點的縱坐標相等，即，∴，∴，
∴拋物線頂點坐標的縱坐標小于或等于，當時，，
將代入可得，，∴∴，故D正確，故選：B．
8．（24-25九年級上·浙江杭州·期末）已知二次函數圖象與x軸只有一個交點，且圖象過和兩點，設，則（ ）
A．p的最小值為 B．p的最小值為1 C．p的最大值為 D．p的最大值為1
【答案】A
【詳解】解：∵二次函數的圖象與x軸只有一個交點，
∴，即，對稱軸為直線．∴，
∵二次函數過和兩點，∴，，
∴，∴，∴，
當時，的最小值為，故選：A
10．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，拋物線的對稱軸是直線，且拋物線經過點．下而給出了四個結論：①；②；③；④．其中結論正確的是（ ）（多選題）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABD
【詳解】解：①由圖得：，，，，，故此項正確；
②由圖得：當時，，，，故此項正確；
③拋物線經過點，對稱軸是直線，，拋物線經過點，
，，，故此項錯誤；
④由③得：，對稱軸是直線，，，
，，，，故此項正確；故選：．
11．（24-25九年級上·浙江嘉興·期中）已知二次函數（，為常數），則拋物線的對稱軸是 ．
【答案】/
【詳解】解：
，則拋物線的對稱軸是，故答案為：．
12．（2025九年級下·浙江金華·學業考試）當函數取最小值時，的值為 ．
【答案】
【詳解】解：，
當時，取得最小值；，當，即當時，
取得最小值，當2時，取得最小值．故答案為：．
13．（2025九年級下·浙江·學業考試）在平面直角坐標系中，橫坐標與縱坐標都是整數的點稱為整點，如果將二次函數的圖象與x軸所圍成的封閉圖形染成紅色，則此紅色區域內部及其邊界上的整點個數有 個．
【答案】
【詳解】解：，令得解得：或5，如圖所示，
∴在紅色區域內部及其邊界上的整點為，共15個．
故答案為：．
14．（24-25九年級上·浙江紹興·期末）在平面直角坐標系中，求同時滿足下列兩個條件的點的坐標：①直線必經過這樣的點；②對于取不等于零的任何值，關于的二次函數都不經過這樣的點．則這個點的坐標為 ．
【答案】或或
【詳解】解：設點滿足上述條件，則，對任意實數m都有，消去整理得，
從而可知當或1或時才適合題意，∴適合題意的點為或或，有三個．
故答案為或或．
15．（24-25九年級下·浙江溫州·開學考試）在平面直角坐標系中，已知拋物線．
(1)當時，求拋物線的頂點坐標．(2)已知和是拋物線上的兩點．若對于，，都有，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：把代入得，，∴拋物線的頂點坐標為；
（2）解：∵，拋物線的對稱軸為，拋物線圖象開口向上，
∴，則點M在拋物線的對稱軸右側，
∵點M的對稱點為，即，且，∴，
∵，都有，∴點N在點M右側，如圖，此時，，∴，∴．
16．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）在直角坐標系中，設函數（，是常數，）．(1)已知函數的圖象經過點和，求函數的表達式．
(2)若函數圖象的頂點在函數的圖象上，求證：．
【答案】(1)(2)見解析
【詳解】（1）∵函數圖象經過點和，
∴，解得 ，∴；
（2）∵，∴頂點，
∵圖象的頂點在函數的圖象上，∴，
∴，∴，∴．
17．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）已知二次函數．
(1)求該函數圖象的頂點坐標、對稱軸以及與x軸的交點坐標；
(2)當時，求y的最大值與最小值之差；
(3)當時，求y的最小值．（可用含k的代數式表示）
【答案】(1)頂點坐標，對稱軸是直線，與x軸的交點坐標是，
(2)9(3)或
【詳解】（1）解：∵， ∴頂點坐標，對稱軸是直線，
由，得，解得：，故與x軸的交點坐標是，；
（2）解：∵對稱軸是直線，圖象開口向上，
∴當時，當時，y取得最小值，此時；
當時，y取得最大值，此時；
∵，∴當時，求y的最大值與最小值之差為9；
（3）解：∵，當時，則在時，y隨x的增大而減小，
∴當時，y有最小值，最小值為；
當時，則在時，拋物線的頂點在圖象上處于最低點，
∴當時，y有最小值，最小值為；綜上所述，y的最小值為或．
18．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數（是實數）．
(1)求函數頂點坐標（用含的代數式表示）；(2)若，且函數頂點在軸上，當時，函數最大值為，求的值；(3)對于該二次函數圖象上的兩點，，當時，始終有成立．求的取值范圍．
【答案】(1)(2)1或8(3)
【詳解】（1）解：，
函數頂點坐標為；
（2）解：函數頂點在軸上，，解得：或，
，，二次函數表達式為：，
，二次函數圖象的對稱軸為，且開口向下，
時，函數最大值為，當時，，則時，函數有最大值，
即，解得：（舍去）；
當時，則時，函數有最大值，即，解得：（舍去）；
當時，函數最大值為0，不符合題意；綜上，的值為1或8；
（3）解：由（1）知二次函數圖象的對稱軸為，且開口向下，
二次函數圖象上的兩點，，時，始終有成立，
∴點A到對稱軸的距離小于或等于B點到對稱軸的距離，
，即，，即，
，，，即，，解得：，
，．
19．（24-25九年級上·浙江·期末）已知拋物線（）．(1)若拋物線經過點，求該拋物線的對稱軸．(2)若將拋物線上的點先向右平移2個單位，再向上平移4個單位后，仍在該拋物線上，求該拋物線的解析式．(3)若拋物線的對稱軸為直線，點，在拋物線上，求證：．
【答案】(1)直線(2)(3)證明見解析
【詳解】（1）解：當，∴與y軸交點為，
∵拋物線經過點，∴對稱軸為直線：，∴對稱軸為直線；
（2）解：點先向右平移2個單位，再向上平移4個單位后所得到的點為，
由題意得把，代入∴，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（3）證明：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，
∴拋物線的解析式為，將點，代入得，，
∴，
∵，∴當時，取得最大值18，即．
20．（24-25九年級上·浙江湖州·期末）定義：對于關于的函數，函數在范圍內有最大值和最小值，則稱為極差值，記作．如函數，在范圍內，該函數的最大值是，最小值為，即．
請根據以上信息，完成下列問題：(1)已知二次函數的圖象經過點．
①求該函數的表達式；②求該函數的的值．(2)已知函數，函數的圖象經過點，且兩個函數的相等，求的值．
【答案】(1)①二次函數解析式為；②；(2)的值為或
【詳解】（1）解：①∵二次函數的圖象經過點，
∴，解得，，∴二次函數解析式為；
②∵二次函數解析式為，∴二次函數圖象開口向上，對稱軸直線為，頂點坐標為，即當時，二次函數有最小值，
當時，隨的增大而減小，∴在中，有最大值，最大值為，
∴；
（2）解：∵函數的圖象經過點，
∴函數的圖象經過第一、三象限，隨的增大而增大，
∴在中，時有最小值，最小為，時有最大值，最大值為
∴函數的極差值為：，
∵函數的圖象經過點，∴，解得，，
當時，，∴函數的圖象經過第二、四象限，隨的增大而減小，
∴在中，時有最大值，最大為，時有最小值，最小值為
∴，∵兩個函數的相等，∴，解得，；
當時，，
∴二次函數的圖象開口向下，對稱軸直線為，頂點坐標為，
∴當時，二次函數有最大值，最大值為，當時，隨的增大而增大，
在中，函數的最小值為，
∵函數的極差值，兩個函數的相等，
∴當的最大值為時，，解得，，，
∵，不符合題意，∴，∴把代入函數中得，，解得，，
綜上所述，的值為或．
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