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中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第三章 函數(shù)
3.1平面直角坐標(biāo)系及一次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 坐標(biāo)與圖形的位置 ☆☆ 浙江中考數(shù)學(xué)（省卷）中，坐標(biāo)系與一次函數(shù)的部分，考查2-3道題，分值為12分左右，通常以選填題（1-2題）、 應(yīng)用題（1題）的形式考查。故考生在復(fù)習(xí)這塊知識(shí)點(diǎn)時(shí)，需要特別熟記對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的方法規(guī)律。
考點(diǎn)2 函數(shù)有關(guān)概念及其意義 ☆☆
考點(diǎn)3 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì) ☆☆☆
考點(diǎn)4 一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系 ☆☆
考點(diǎn)5 一次函數(shù)的應(yīng)用 ☆☆☆
平面直角坐標(biāo)系作為數(shù)與形的橋梁、函數(shù)入門工具重要性不言而喻，主要考查坐標(biāo)的相關(guān)概念與坐標(biāo)變換、函數(shù)的相關(guān)概念和實(shí)際應(yīng)用等。一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要集中在一次函數(shù)表達(dá)式與平移、圖象的性質(zhì)、圖象與方程不等式的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象與幾何圖形面積等五個(gè)方面考查，也因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是一個(gè)結(jié)合型比較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，所以其圖象和性質(zhì)也是后續(xù)函數(shù)問題學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ)。
1
■考點(diǎn)一　坐標(biāo)與圖形的位置 4
■考點(diǎn)二　函數(shù)有關(guān)概念及其意義 9
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì) 12
■考點(diǎn)四　一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系 18
■考點(diǎn)五　一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 19
25
35
■考點(diǎn)一　坐標(biāo)與圖形的位置
1．有序數(shù)對(duì)：有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)，叫做 ，記作（a ，b）．
2．平面直角坐標(biāo)系
平面直角坐標(biāo)系 定義 在平面內(nèi)畫兩條互相 并且原點(diǎn)重合的數(shù)軸，這樣就建立了平面直角坐標(biāo)系。
兩軸 水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，通常取 方向?yàn)檎较颍?豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，通常取 方向?yàn)檎较颉＃ㄒ妶D1）
原點(diǎn) 兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系 。
坐標(biāo)平面 坐標(biāo)系所在的平面叫做 面。
象限 x軸和y軸把平面直角坐標(biāo)系分成四部分，每個(gè)部分稱為 。 按逆時(shí)針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（見圖1）
點(diǎn)的坐標(biāo) 對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別向x軸、y軸作垂線， 垂足在x軸、y軸上的對(duì)應(yīng)的數(shù)a、b分別叫做點(diǎn)A的 坐標(biāo)和 坐標(biāo)， 有序數(shù)對(duì)A(a，b)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作 . （見圖2）。
圖1 圖2
3．點(diǎn)的坐標(biāo)特征：已知點(diǎn)P（a，b）
第一象限： ； 第二象限： ； 第三象限： ； 第四象限： ；
原點(diǎn)： ； x軸上： ； y軸上： ；
4．軸對(duì)稱與中心對(duì)稱：已知點(diǎn)P（x，y）
（1）點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo) ；（2）點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo) ．
（3）點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ．
5．圖形（點(diǎn)）在坐標(biāo)系中的平移：已知點(diǎn)P（x，y）
1）點(diǎn)P向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)? ；2）點(diǎn)P向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)? ；
3）點(diǎn)P向上平移b個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)? ；4）點(diǎn)P向下平移b個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)? ．
6.兩個(gè)公式 已知、，
（1）AB中點(diǎn)C坐標(biāo)為： ； （2）兩點(diǎn)距離公式： ．
7.確定一個(gè)物體的位置的方法：1）有序?qū)崝?shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置--行列定位法；2）方位角+距離確定點(diǎn)的位置--極坐標(biāo)定位法；3）用“經(jīng)緯度”確定點(diǎn)的位置--經(jīng)緯定位法；4）區(qū)域定位法。
■考點(diǎn)二　函數(shù)有關(guān)概念及其意義
1、函數(shù)的相關(guān)概念：
函數(shù)的定義：一般的，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有 ，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。
函數(shù)的取值范圍：使函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.
函數(shù)值概念：如果在自變量取值范圍內(nèi)給定一個(gè)值a，函數(shù)對(duì)應(yīng)的值為b，那么b叫做當(dāng)自變量取值為a時(shí)的 .
函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
1.正比例函數(shù)的概念：形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫 函數(shù)，其中k叫正比例系數(shù)。
2.一次函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的 函數(shù)。
特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，y=kx，所以說 函數(shù)是一種特殊的 函數(shù).。
3.一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)
函數(shù) 字母取值 圖象 經(jīng)過的象限 函數(shù)性質(zhì)
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 . y隨x的增大而 .
k>0，b<0 .
k>0，b=0 .
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 . y隨x的增大而 .
k<0，b<0 .
k<0，b=0 .
4.k，b的符號(hào)與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（ ，0）．
①當(dāng)–>0時(shí)，即k，b異號(hào)時(shí)，直線與x軸交于 ．
②當(dāng)–=0，即b=0時(shí)，直線經(jīng)過 ．③當(dāng)–<0，即k，b同號(hào)時(shí)，直線與x軸交于 ．
5.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：
①當(dāng) ，兩直線平行； ②當(dāng) ，兩直線重合；
③當(dāng) ，兩直線交于y軸上一點(diǎn)；④當(dāng) 時(shí)，兩直線垂直．
6.一次函數(shù)的平移法則： 。
■考點(diǎn)四 一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系
1.一次函數(shù)與一元一次方程
任何一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式。
從函數(shù)的角度來看，解這個(gè)方程就是尋求自變量為何值時(shí)函數(shù)值為 ；
從函數(shù)圖象的角度考慮，解這個(gè)方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的 坐標(biāo)。
2.一次函數(shù)與一元一次不等式
任何一個(gè)一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式。
從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值 的自變量x的取值范圍；
從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b在x軸 的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的條件。
3.一次函數(shù)與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€(gè)一次函數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程也對(duì)應(yīng)一條直線。
從函數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的 ，以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值；
從函數(shù)圖象的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的 ，一般地，如果一個(gè)二元一次方程組有唯一解，那么這個(gè)解就是方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。
■考點(diǎn)五 一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用主要分為兩大類：（1）根據(jù)實(shí)際背景列出一次函數(shù)關(guān)系式；（2）利用一次函數(shù)的增減性，解決函數(shù)的最值問題。
■考點(diǎn)一　坐標(biāo)與圖形的位置
◇典例1：（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江溫州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江寧波·二模）如圖，從點(diǎn)出發(fā)，先向西走4步，再向南走3步到達(dá)點(diǎn)，如果點(diǎn)的位置用表示，那么表示的位置是（ ）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)
3．（2025·浙江·校考一模）在平面內(nèi)，下列數(shù)據(jù)不能確定物體位置的是（ ）
A．北偏東 B．錢塘明月號(hào)樓室 C．金惠路號(hào) D．東經(jīng)，北緯
4．（2024·浙江紹興·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)水平向右平移個(gè)單位后落在第四象限內(nèi)，則的值可以是 ．（寫出一個(gè)即可）
◇典例2：（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，已知點(diǎn)，將矩形沿x軸正方向連續(xù)滾動(dòng)2024次，點(diǎn)A依次落在點(diǎn)的位置，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在y軸上，分別以A，B兩點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，在右側(cè)交于點(diǎn)C，若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為 ．
2．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．5 B． C． D．
3．（24-25九年級(jí)上·浙江紹興·期中）閱讀理解：如圖①，在平面內(nèi)選一定點(diǎn)，引一條有方向的射線，再選定一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平面上任一點(diǎn)的位置可由的度數(shù)與的長(zhǎng)度確定，有序數(shù)對(duì)稱為點(diǎn)的“極坐標(biāo)”，這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”．
應(yīng)用：在圖②的極坐標(biāo)系下，如果正六邊形的邊長(zhǎng)為，有一邊在射線上，則正六邊形頂點(diǎn)的極坐標(biāo)應(yīng)記為（ ）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)二　函數(shù)有關(guān)概念及其意義
◇典例3：（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）某校與部隊(duì)聯(lián)合開展紅色之旅研學(xué)活動(dòng)，上午，部隊(duì)官兵乘坐軍車從營(yíng)地出發(fā)，同時(shí)學(xué)校師生乘坐大巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路（如圖）到愛國(guó)主義教育基地進(jìn)行研學(xué)．上午，軍車追上大巴并繼續(xù)前行，到達(dá)倉(cāng)庫(kù)后，部隊(duì)官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時(shí)到達(dá)基地，設(shè)軍車與大巴離倉(cāng)庫(kù)的路程為s，所用時(shí)間為t，則下列圖象能正確反映上述過程的是（ ）
A．B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ．
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在兩條平行線之間放著如圖的一個(gè)直角三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片．現(xiàn)將三角形以的速度向右平移，直至三角形移出長(zhǎng)方形．根據(jù)三角形蓋住長(zhǎng)方形的面積變化，畫出了下面的函數(shù)圖象．則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為 ．
◇典例4：（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩位同學(xué)放學(xué)后走路回家，他們走過的路程（千米）與所用的時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（ ）
A．前10分鐘，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度為0.06千米/分鐘
C．經(jīng)過30分鐘，甲比乙走過的路程少 D．經(jīng)過20分鐘，甲、乙都走了1.6千米
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）小明從家步行到校車站臺(tái)，等候坐校車去學(xué)校，圖中的折線表示這一過程中小明的路程S（km）與所花時(shí)間t（min）間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中信息，校車與步行的速度比是（ ）
A． B．2 C．10 D．8
2．（2023·北京西城·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，購(gòu)買一種蘋果所付款金額y（元）與購(gòu)買量x（千克）之間的函數(shù)圖象由線段和射線組成，則一次購(gòu)買3千克這種蘋果比分三次每次購(gòu)買1千克這種蘋果可節(jié)省（　　）
A．4元 B．3元 C．2元 D．1元
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
◇典例5：（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·期中）對(duì)于一次函數(shù)，下列命題是假命題的是（ ）
A．函數(shù)值隨自變量的增大而減小 B．圖象不經(jīng)過第三象限
C．向左平移2個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn) D．圖象與y軸交于點(diǎn)
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江溫州·三模）一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的值可以是( )
A． B． C．1 D．2
2．（2023·浙江衢州·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于一次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．經(jīng)過點(diǎn) B．在第二、四象限 C．關(guān)于軸成軸對(duì)稱 D．隨的增大而增大
3．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）給出下列函數(shù)：①；②；③．從中任取一個(gè)函數(shù)，取出的函數(shù)符合條件“當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x增大而減小”的概率是 ．
◇典例6：（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）直線經(jīng)過第一、二、四象限，則直線的圖像只能是圖中的（ ）
A．B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（23-24九年級(jí)下·江西南昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，則一次函一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象如圖所示，若的圖象與x軸交于，則下列判斷正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B． C．D．
◇典例7：（2024·浙江溫州·二模）若一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若 ，則 C．若，則 D．若，則
◆變式訓(xùn)練
1．（2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，在下列某一函數(shù)圖像上，且，那么這個(gè)函數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）若、是一次函數(shù)圖象上的不同的兩點(diǎn)，記，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是( )
A． B． C． D．
3．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知是一次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則 ．
◇典例8：（2024·浙江舟山·一模）已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若的最小值為2，則m的值為（ ）
A． B．2 C． D．4
◆變式訓(xùn)練1．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，軸，，將沿軸向右平移，得到（A和，B和，C和分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），直線經(jīng)過點(diǎn)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽淮北·一模）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)四　一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系
◇典例9：（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)與（為常數(shù)，）的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則方程組的解為 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則k的值為 ．
◇典例10：（2024·浙江臺(tái)州·二模）當(dāng)時(shí)，直線（m為常數(shù)，）在直線的上方，則m的取值范圍為 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式分別為和，則下列說法正確的是（）
A．若，則 B．若，則
C．若，則或 D．若，則
2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)（m為實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)，，則m的取值范圍是 ．
■考點(diǎn)五　一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
◇典例11：（2024·浙江紹興·二模）如圖，大拇指與食指盡量張開時(shí)，兩指尖的距離稱為“一拃長(zhǎng)”，某項(xiàng)研究表明身高與“一拃長(zhǎng)”成一次函數(shù)關(guān)系．下表是測(cè)得的身高與“一拃長(zhǎng)”一組數(shù)據(jù)：
一作長(zhǎng) 16 17 18 19
身高 162 172 182 192
(1)按照這組數(shù)據(jù)，求出身高與一拃長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)某同學(xué)一拃長(zhǎng)為，求他的身高是多少？
(3)若某人的身高為，一般情況下他的一拃長(zhǎng)應(yīng)是多少？
◆變式訓(xùn)練
1.（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）某種溶液的體積與溫度之間的關(guān)系在一定范圍內(nèi)符合一次函數(shù)關(guān)系．現(xiàn)測(cè)得一定量的這種溶液在時(shí)的體積為，在時(shí)的體積為．
(1)求該溶液體積與溫度的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)時(shí)，該溶液的體積．
(2)若用容積為的容器來盛這些溶液，為了不使溶液溢出，溫度應(yīng)控制在多少攝氏度內(nèi)？
2．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·開學(xué)考試）五一期間，某移動(dòng)公司就上網(wǎng)收費(fèi)套餐推出三種優(yōu)惠方案，具體如下表所示：
收費(fèi)方案 月使用費(fèi)（元） 包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間（小時(shí)） 超時(shí)費(fèi)（元/小時(shí)）
無限
方案和方案每月所需的費(fèi)用（元）與每月使用的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如下圖所示：
(1)填空：表中的____________，____________；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出方案的圖象，并寫出當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間不少于小時(shí)方案每月所需的費(fèi)用（元）與每月使用的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)每月使用的時(shí)間在什么范圍時(shí)，選擇方案最省錢；
當(dāng)每月使用的時(shí)間在什么范圍時(shí)，選擇方案最省錢；
當(dāng)每月使用的時(shí)間在什么范圍時(shí)，選擇方案最省錢．
◇典例12：（24-25九年級(jí)上·浙江嘉興·期末）某公司生產(chǎn)醫(yī)用口罩供應(yīng)市場(chǎng)，每件制造成本為元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系滿足下表．
銷售單價(jià)x（元/件） … 2 3 4 …
每月銷售量y（萬件） … 6 5 4 2 …
(1)在你學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等三種函數(shù)中，哪種函數(shù)能恰當(dāng)?shù)孛枋鰕與x的變化規(guī)律，并直接寫出函數(shù)表達(dá)式；(2)如果公司每月的制造成本不超過萬元，那么當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每月獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬元？
◆變式訓(xùn)練
1．（2024九年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
柚子季將至，某超市購(gòu)進(jìn)一批柚子進(jìn)行銷售
素材1 超市以20元千克的批發(fā)價(jià)格購(gòu)進(jìn)柚子，準(zhǔn)備在銷售旺季里銷售．根據(jù)食品保鮮度，商家決定在整個(gè)40天的銷售旺季里，前15天以32元千克的銷售單價(jià)進(jìn)行銷售，從第16天開始每天銷售單價(jià)降低0.4元千克進(jìn)行降價(jià)銷售．
素材2 根據(jù)往年的銷售數(shù)據(jù)，柚子在銷售旺季40天內(nèi)的日銷數(shù)量（千克）與時(shí)間第（天）的關(guān)系如表． 時(shí)間第（天）12310日銷售量（千克）30354075
問題解決
任務(wù)1 小明看到柚子降價(jià)銷售“26元千克”，計(jì)算這是超市賣柚子到第幾天了．
任務(wù)2 利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)，直接寫出日銷售量（千克）與時(shí)間（天的關(guān)系式．
任務(wù)3 請(qǐng)你幫助超市算一算，在銷售旺季里利潤(rùn)最大是第幾天，最大的利潤(rùn)是多少．
1．（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準(zhǔn)確地查出邊長(zhǎng)10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測(cè)量效率．如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對(duì)田地的長(zhǎng)和寬都用步來表示，A區(qū)域表示的是長(zhǎng)15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對(duì)記為，那么有序數(shù)對(duì)記為對(duì)應(yīng)的田地面積為（　　）
A．一畝八十步 B．一畝二十步 C．半畝七十八步 D．半畝八十四步
2．（2024·四川廣元·中考真題）如果單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·廣西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時(shí)，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時(shí)，向左平移），每次平移1個(gè)單位長(zhǎng)度．
例：“和點(diǎn)”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)，其平移過程如下：
若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，一個(gè)圓柱體水槽底部疊放兩個(gè)底面半徑不等的實(shí)心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）已知某同學(xué)家、體育場(chǎng)、圖書館在同一條直線上．下面的圖象反映的過程是：該同學(xué)從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館．圖中用x表示時(shí)間，y表示該同學(xué)離家的距離．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

（1）體育場(chǎng)離該同學(xué)家2.5千米；（2）該同學(xué)在體育場(chǎng)鍛煉了15分鐘；（3）該同學(xué)跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；（4）若該同學(xué)騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則的值是3.75；
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長(zhǎng)為（ ）
A．5 B．7 C． D．
8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）對(duì)于一次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．它的圖象與y軸交于點(diǎn) B．y隨x的增大而減小
C．當(dāng)時(shí)， D．它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限
9．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與（其中，，，，為常數(shù)）的圖象分別為直線，．下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·青海·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)，一臺(tái)雷達(dá)探測(cè)器測(cè)得在點(diǎn)A，B，C處有目標(biāo)出現(xiàn)．按某種規(guī)則，點(diǎn)A，B的位置可以分別表示為，則點(diǎn)C的位置可以表示為 ．
14．（2024·上海·中考真題）若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則y的值隨x的增大而 ．（選填“增大”或“減小”）
15．（2024·上海·中考真題）某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬元時(shí)銷售額1000萬元，當(dāng)投入90萬元時(shí)銷售量5000萬元，則投入80萬元時(shí)，銷售量為 萬元．
16．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）已知直線（、是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，且隨的增大而減小，則的值可以是 ．（寫出一個(gè)即可）
17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）直線與x軸交于點(diǎn)A，將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是 ．
18．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若，，則關(guān)于x的方程的解為 ．
19．（2024·天津·中考真題）已知張華的家、畫社、文化廣場(chǎng)依次在同一條直線上，畫社離家，文化廣場(chǎng)離家．張華從家出發(fā)，先勻速騎行了到畫社，在畫社停留了，之后勻速騎行了到文化廣場(chǎng)，在文化廣場(chǎng)停留后，再勻速步行了返回家．下面圖中表示時(shí)間，表示離家的距離．圖象反映了這個(gè)過程中張華離家的距離與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，回答下列問題：(1)①填表：
張華離開家的時(shí)間 1 4 13 30
張華離家的距離
②填空：張華從文化廣場(chǎng)返回家的速度為______；
③當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出張華離家的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)張華離開家時(shí)，他的爸爸也從家出發(fā)勻速步行了直接到達(dá)了文化廣場(chǎng)，那么從畫社到文化廣場(chǎng)的途中兩人相遇時(shí)離家的距離是多少？（直接寫出結(jié)果即可）
20．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）某中學(xué)為加強(qiáng)新時(shí)代中學(xué)生勞動(dòng)教育，開辟了勞動(dòng)教育實(shí)踐基地．在基地建設(shè)過程中，需要采購(gòu)煎蛋器和三明治機(jī)．經(jīng)過調(diào)查，購(gòu)買2臺(tái)煎蛋器和1臺(tái)三明治機(jī)需240元，購(gòu)買1臺(tái)煎蛋器和3臺(tái)三明治機(jī)需395元．(1)求煎蛋器和三明治機(jī)每臺(tái)價(jià)格各是多少元；(2)學(xué)校準(zhǔn)備采購(gòu)這兩種機(jī)器共50臺(tái)，其中要求三明治機(jī)的臺(tái)數(shù)不少于煎蛋器臺(tái)數(shù)的一半，請(qǐng)你給出最節(jié)省費(fèi)用的購(gòu)買方案．
21．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車輛通過兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來計(jì)算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開始，他先勻速行駛小時(shí)，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí)，測(cè)速裝置測(cè)得該輛汽車在整個(gè)路段行駛的平均速度為100千米/時(shí)．汽車在區(qū)間測(cè)速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
(1)的值為________；(2)當(dāng)時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)通過計(jì)算說明在此區(qū)間測(cè)速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時(shí)）
1．（2024·浙江寧波·一模）若點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2024·浙江嘉興·一模）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，若小兔子擋住了點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形的頂點(diǎn)，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　）

A． B． C． D．
4．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，其中，且a，b滿足，過點(diǎn)P作y軸和直線的垂線，垂足分別為A，B，連接，則的面積是（ ）
A． B． C． D．隨a，b的值變化
5．（24-25九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，連結(jié)，將線段繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段，若點(diǎn)恰好落在y軸上，則點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
6．（2024·浙江寧波·二模）快、慢兩車分別從相距240千米的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，先相向而行，快車到達(dá)乙地后，停留1小時(shí)．然后按原路原速返回，快車比慢車早1小時(shí)到達(dá)甲地，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程（千米）與出發(fā)后所用的時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系如圖所示．則在慢車到達(dá)甲地前，快、慢兩車相距的路程為1千米的次數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024·浙江寧波·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)（其中為常數(shù)）時(shí)．函數(shù)的最小值為，則滿足條件的的值為（ ）
A．－5 B．－2 C． D．－1
8．（2024·浙江溫州·三模）若直線經(jīng)過和，若，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一次函數(shù)與（都為常數(shù)，且都不為0）．函數(shù)滿足（m為常數(shù)），下列說法正確的是（ ）
A．若，當(dāng)時(shí)，
B．若，恒過定點(diǎn)
C．若，則與的函數(shù)圖像一定都有交點(diǎn)
D．若是與函數(shù)圖像的交點(diǎn)，則也在函數(shù)圖像上
10．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，當(dāng)直線與有交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11．（23-24八年級(jí)上·浙江嘉興·期末）關(guān)于函數(shù)，給出下列說法正確的是：（）
①當(dāng)時(shí)，該函數(shù)是一次函數(shù)；②若點(diǎn)在該函數(shù)圖像上，且，則；
③若該函數(shù)不經(jīng)過第四象限，則；④該函數(shù)恒過定點(diǎn)．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
12．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，將八個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中．若過原點(diǎn)的直線l將圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式為 ．
13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的函數(shù)，y的最大值為4，則a的取值范圍是 ．
14．（2024·浙江·二模）如圖，已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將點(diǎn)P向下平移a個(gè)單位，再向左b平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，且點(diǎn)也在該一次函數(shù)上，則 ．
15．（2024·遼寧大連·一模）因活動(dòng)需要購(gòu)買某種水果，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)通過市場(chǎng)調(diào)查得知：在甲商店購(gòu)買該水果的費(fèi)用（元）與該水果的質(zhì)量之間的關(guān)系如圖實(shí)線所示，不超過按15元來結(jié)算費(fèi)用；在乙商店購(gòu)買該水果的費(fèi)用（元）與該水果的質(zhì)量之間的關(guān)系如圖y2實(shí)線所示．(1)求與x之間的函數(shù)解析式；(2)現(xiàn)計(jì)劃用500元購(gòu)買該水果，選甲、乙哪家商店能購(gòu)買該水果更多一些？
16．（2024·浙江紹興·二模）如圖1是一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開始的內(nèi)只進(jìn)水不出水，在接下來的內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)．容器內(nèi)的水量（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系如圖2所示．(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)容器內(nèi)的水量為時(shí)，求對(duì)應(yīng)的時(shí)間．(3)每分鐘的進(jìn)水和出水各是多少升？

17．（2024·浙江杭州·一模）設(shè)一次函數(shù)（是常數(shù)，）．
(1)無論取何值，該一次函數(shù)圖象始終過一個(gè)定點(diǎn)，直接寫出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)：
(2)若時(shí)，該一次函數(shù)的最大值是6，求的值．
18．（2024·浙江溫州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的圖象分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，直線的圖象分別與軸，軸交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)直線分別與直線，直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
19．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線l：（其中n為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)M，N所確定的直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)小華同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)電腦動(dòng)畫程序，在直線l：中，輸入n的值．
①當(dāng)時(shí)，直線l會(huì)閃爍，求此時(shí)輸入的n的值；
②當(dāng)點(diǎn)M，N位于直線l的兩側(cè)時(shí)，直線l會(huì)變成紅色，求此時(shí)所有整數(shù) n的個(gè)數(shù)．
20．（24-25九年級(jí)下·浙江溫州·開學(xué)考試）小溫和小州居住在同一小區(qū)，周末小溫和小州相約到奧體中心看演出．小溫先乘公交車從小區(qū)出發(fā)前往奧體中心，小溫出發(fā)20分鐘后，小州從小區(qū)乘坐輕軌出發(fā)，出站后立即換騎自行車（換車時(shí)間忽略不計(jì)）前往奧體中心，兩人恰好同時(shí)到達(dá)目的地（自行車、公交車與輕軌均視為勻速行駛）．若設(shè)小溫乘坐公交車的時(shí)間為（分），下面平面直角坐標(biāo)系中的線段表示小溫離開小區(qū)的路程（千米）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系，線段表示小州乘輕軌過程中離開小區(qū)的路程（千米）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系，線段表示小州騎自行車過程中離開小區(qū)的路程（千米）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系．
根據(jù)圖象中的信息解決下列問題：(1)直接寫出圖中點(diǎn)的坐標(biāo)，并求線段的函數(shù)表達(dá)式
(2)求當(dāng)小州換騎自行車時(shí)，小溫所乘公交車離奧體中心的路程．
(3)求兩人前往奧體中心途中，小州離開小區(qū)的路程比小溫多2千米時(shí)的值．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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第三章 函數(shù)
3.1平面直角坐標(biāo)系及一次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 坐標(biāo)與圖形的位置 ☆☆ 浙江中考數(shù)學(xué)（省卷）中，坐標(biāo)系與一次函數(shù)的部分，考查2-3道題，分值為12分左右，通常以選填題（1-2題）、 應(yīng)用題（1題）的形式考查。故考生在復(fù)習(xí)這塊知識(shí)點(diǎn)時(shí)，需要特別熟記對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的方法規(guī)律。
考點(diǎn)2 函數(shù)有關(guān)概念及其意義 ☆☆
考點(diǎn)3 一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì) ☆☆☆
考點(diǎn)4 一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系 ☆☆
考點(diǎn)5 一次函數(shù)的應(yīng)用 ☆☆☆
平面直角坐標(biāo)系作為數(shù)與形的橋梁、函數(shù)入門工具重要性不言而喻，主要考查坐標(biāo)的相關(guān)概念與坐標(biāo)變換、函數(shù)的相關(guān)概念和實(shí)際應(yīng)用等。一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要集中在一次函數(shù)表達(dá)式與平移、圖象的性質(zhì)、圖象與方程不等式的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象與幾何圖形面積等五個(gè)方面考查，也因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是一個(gè)結(jié)合型比較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，所以其圖象和性質(zhì)也是后續(xù)函數(shù)問題學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ)。
1
■考點(diǎn)一　坐標(biāo)與圖形的位置 4
■考點(diǎn)二　函數(shù)有關(guān)概念及其意義 9
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì) 12
■考點(diǎn)四　一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系 18
■考點(diǎn)五　一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 19
25
35
■考點(diǎn)一　坐標(biāo)與圖形的位置
1．有序數(shù)對(duì)：有順序的兩個(gè)數(shù)a與b組成的數(shù)對(duì)，叫做有序數(shù)對(duì)，記作（a ，b）．
2．平面直角坐標(biāo)系
平面直角坐標(biāo)系 定義 在平面內(nèi)畫兩條互相垂直 并且原點(diǎn)重合的數(shù)軸，這樣就建立了平面直角坐標(biāo)系。
兩軸 水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，通常取向右 方向?yàn)檎较颍?豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，通常取向上 方向?yàn)檎较颉＃ㄒ妶D1）
原點(diǎn) 兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn) 。
坐標(biāo)平面 坐標(biāo)系所在的平面叫做坐標(biāo)平 面。
象限 x軸和y軸把平面直角坐標(biāo)系分成四部分，每個(gè)部分稱為象限 。 按逆時(shí)針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（見圖1）
點(diǎn)的坐標(biāo) 對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)A，過點(diǎn)A分別向x軸、y軸作垂線， 垂足在x軸、y軸上的對(duì)應(yīng)的數(shù)a、b分別叫做點(diǎn)A的橫 坐標(biāo)和縱 坐標(biāo)， 有序數(shù)對(duì)A(a，b)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(a，b) . （見圖2）。
圖1 圖2
3．點(diǎn)的坐標(biāo)特征：已知點(diǎn)P（a，b）
第一象限：a>0，b>0 ； 第二象限：a<0，b>0 ； 第三象限：a<0，b<0 ； 第四象限：a>0，b<0 ；
原點(diǎn)：a=0，b=0 ； x軸上：b=0 ； y軸上：a=0 ；
4．軸對(duì)稱與中心對(duì)稱：已知點(diǎn)P（x，y）
（1）點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（x，-y） ；（2）點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（-x，y） ．
（3）點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（-x，-y） ．
5．圖形（點(diǎn)）在坐標(biāo)系中的平移：已知點(diǎn)P（x，y）
1）點(diǎn)P向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)椋▁+a，y） ；2）點(diǎn)P向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)椋▁-a，y） ；
3）點(diǎn)P向上平移b個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y+b） ；4）點(diǎn)P向下平移b個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)椋▁，y-b） ．
6.兩個(gè)公式 已知、，
（1）AB中點(diǎn)C坐標(biāo)為： ； （2）兩點(diǎn)距離公式： ．
7.確定一個(gè)物體的位置的方法：1）有序?qū)崝?shù)對(duì)確定點(diǎn)的位置--行列定位法；2）方位角+距離確定點(diǎn)的位置--極坐標(biāo)定位法；3）用“經(jīng)緯度”確定點(diǎn)的位置--經(jīng)緯定位法；4）區(qū)域定位法。
■考點(diǎn)二　函數(shù)有關(guān)概念及其意義
1、函數(shù)的相關(guān)概念：
函數(shù)的定義：一般的，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng) ，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。
函數(shù)的取值范圍：使函數(shù)有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.
函數(shù)值概念：如果在自變量取值范圍內(nèi)給定一個(gè)值a，函數(shù)對(duì)應(yīng)的值為b，那么b叫做當(dāng)自變量取值為a時(shí)的函數(shù)值 .
函數(shù)解析式：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式.
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
1.正比例函數(shù)的概念：形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫正比例 函數(shù)，其中k叫正比例系數(shù)。
2.一次函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次 函數(shù)。
特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，y=kx，所以說正比例 函數(shù)是一種特殊的一次 函數(shù).。
3.一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)
函數(shù) 字母取值 圖象 經(jīng)過的象限 函數(shù)性質(zhì)
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 . y隨x的增大而增大.
k>0，b<0 一、三、四 .
k>0，b=0 一、三 .
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 . y隨x的增大而減小 .
k<0，b<0 二、三、四 .
k<0，b=0 二、四 .
4.k，b的符號(hào)與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（– ，0）．
①當(dāng)–>0時(shí)，即k，b異號(hào)時(shí)，直線與x軸交于正半軸 ．
②當(dāng)–=0，即b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn) ．③當(dāng)–<0，即k，b同號(hào)時(shí)，直線與x軸交于負(fù)半軸 ．
5.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：
①當(dāng)k1=k2，b1≠b2 ，兩直線平行； ②當(dāng)k1=k2，b1=b2 ，兩直線重合；
③當(dāng)k1≠k2，b1=b2 ，兩直線交于y軸上一點(diǎn)；④當(dāng)k1·k2=–1 時(shí)，兩直線垂直．
6.一次函數(shù)的平移法則：左加右減，上加下減 。
■考點(diǎn)四 一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系
1.一次函數(shù)與一元一次方程
任何一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式。
從函數(shù)的角度來看，解這個(gè)方程就是尋求自變量為何值時(shí)函數(shù)值為0 ；
從函數(shù)圖象的角度考慮，解這個(gè)方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)。
2.一次函數(shù)與一元一次不等式
任何一個(gè)一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式。
從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0 的自變量x的取值范圍；
從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b在x軸上（或下）方部分 的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的條件。
3.一次函數(shù)與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€(gè)一次函數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程也對(duì)應(yīng)一條直線。
從函數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值相等 ，以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值；
從函數(shù)圖象的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) ，一般地，如果一個(gè)二元一次方程組有唯一解，那么這個(gè)解就是方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。
■考點(diǎn)五 一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用主要分為兩大類：（1）根據(jù)實(shí)際背景列出一次函數(shù)關(guān)系式；（2）利用一次函數(shù)的增減性，解決函數(shù)的最值問題。
■考點(diǎn)一　坐標(biāo)與圖形的位置
◇典例1：（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【詳解】解：∵為非負(fù)數(shù)，∴為正數(shù)，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為正，縱坐標(biāo)為負(fù)，∴點(diǎn)P在第四象限．故選D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江溫州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】如圖，過作于點(diǎn)，∴，故選：．
2．（2024·浙江寧波·二模）如圖，從點(diǎn)出發(fā)，先向西走4步，再向南走3步到達(dá)點(diǎn)，如果點(diǎn)的位置用表示，那么表示的位置是（ ）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)
【答案】B
【詳解】解：從點(diǎn)出發(fā)，先向西走4步，再向南走3步到達(dá)點(diǎn)，點(diǎn)的位置用表示，
∴表示的位置是先向東走步，再向北走步，即為點(diǎn)，故選：B．
3．（2025·浙江·校考一模）在平面內(nèi)，下列數(shù)據(jù)不能確定物體位置的是（ ）
A．北偏東 B．錢塘明月號(hào)樓室 C．金惠路號(hào) D．東經(jīng)，北緯
【答案】A
【詳解】解：塘明月號(hào)樓室、金惠路號(hào)、東經(jīng)，北緯都可確定物體位置，
北偏東只能確定方向，但不能確定具體物體的位置．故選：A．
4．（2024·浙江紹興·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)水平向右平移個(gè)單位后落在第四象限內(nèi)，則的值可以是 ．（寫出一個(gè)即可）
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：∵將點(diǎn)水平向右平移個(gè)單位后落在第四象限內(nèi)，
∴，解得：，∴的值可以是．故答案為：（答案不唯一）．
◇典例2：（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖，已知點(diǎn)，將矩形沿x軸正方向連續(xù)滾動(dòng)2024次，點(diǎn)A依次落在點(diǎn)的位置，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意得：從開始翻轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到，時(shí)，回到矩形的起始位置，所以為一個(gè)循環(huán)，故坐標(biāo)變換規(guī)律為4次一循環(huán)．
∵，，∴，
當(dāng)時(shí)，即，解得：，∴橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為2，
則的坐標(biāo)，故答案為：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在y軸上，分別以A，B兩點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，在右側(cè)交于點(diǎn)C，若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為 ．
【答案】
【詳解】解：在x軸上分別取點(diǎn)M和N，使得，
由題知，是等邊三角形，∴，
∴，∴．
在和中，，∴，∴．
過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，在中，，
∴，∴．
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴．
在中，，∴，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為．故答案為：．
2．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作軸，軸，過點(diǎn)作軸，則：，，
∵點(diǎn)，，∴，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，
∵，∴為等腰直角三角形，∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；故選D．
3．（24-25九年級(jí)上·浙江紹興·期中）閱讀理解：如圖①，在平面內(nèi)選一定點(diǎn)，引一條有方向的射線，再選定一個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平面上任一點(diǎn)的位置可由的度數(shù)與的長(zhǎng)度確定，有序數(shù)對(duì)稱為點(diǎn)的“極坐標(biāo)”，這樣建立的坐標(biāo)系稱為“極坐標(biāo)系”．
應(yīng)用：在圖②的極坐標(biāo)系下，如果正六邊形的邊長(zhǎng)為，有一邊在射線上，則正六邊形頂點(diǎn)的極坐標(biāo)應(yīng)記為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，過作于，
六邊形是正六邊形，，，
，，
在中，，，
在中，．正六邊形的頂點(diǎn)的極坐標(biāo)應(yīng)記為．故選：C．
■考點(diǎn)二　函數(shù)有關(guān)概念及其意義
◇典例3：（2024·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）某校與部隊(duì)聯(lián)合開展紅色之旅研學(xué)活動(dòng)，上午，部隊(duì)官兵乘坐軍車從營(yíng)地出發(fā)，同時(shí)學(xué)校師生乘坐大巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路（如圖）到愛國(guó)主義教育基地進(jìn)行研學(xué)．上午，軍車追上大巴并繼續(xù)前行，到達(dá)倉(cāng)庫(kù)后，部隊(duì)官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生同時(shí)到達(dá)基地，設(shè)軍車與大巴離倉(cāng)庫(kù)的路程為s，所用時(shí)間為t，則下列圖象能正確反映上述過程的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)s表示車與大巴離倉(cāng)庫(kù)的路程，所用時(shí)間為t，
A、該圖象反映隨著行駛時(shí)間增大，距離倉(cāng)庫(kù)越來越遠(yuǎn)，不符合題意；
B、軍車到達(dá)倉(cāng)庫(kù)后停留了一段時(shí)間，函數(shù)圖象沒有顯示出來，不符合題意；
C、圖象準(zhǔn)確反映了題意，符合題意；D、圖象函數(shù)一直下降，不符合題意．故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)， ．
【答案】4
【詳解】解：，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：4．
2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在兩條平行線之間放著如圖的一個(gè)直角三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片．現(xiàn)將三角形以的速度向右平移，直至三角形移出長(zhǎng)方形．根據(jù)三角形蓋住長(zhǎng)方形的面積變化，畫出了下面的函數(shù)圖象．則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為 ．
【答案】/平方厘米
【詳解】解：由圖可知，第5~7秒時(shí)三角形完全覆蓋住長(zhǎng)方形，可得三角形的面積等于，
第2~5秒時(shí)，三角形和長(zhǎng)方形從開始覆蓋到完全覆蓋，∴三角形的底邊為，
∴三角形的高為，即長(zhǎng)方形的寬也為，第7秒時(shí)，三角形已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到長(zhǎng)方形最右端，
∴長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，∴長(zhǎng)方形的面積等于．
◇典例4：（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙兩位同學(xué)放學(xué)后走路回家，他們走過的路程（千米）與所用的時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（ ）
A．前10分鐘，甲比乙的速度快 B．甲的平均速度為0.06千米/分鐘
C．經(jīng)過30分鐘，甲比乙走過的路程少 D．經(jīng)過20分鐘，甲、乙都走了1.6千米
【答案】D
【詳解】解：A．前10分鐘，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，所以乙比甲的速度快，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．根據(jù)圖象可知，甲40分鐘走了3.2千米，所以甲的平均速度為千米分鐘，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．經(jīng)過30分鐘，甲走了2.4千米，乙走了2千米，所以甲比乙走過的路程多，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．經(jīng)過20分鐘，由函數(shù)圖象可知，甲、乙都走了1.6千米，故此選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）小明從家步行到校車站臺(tái)，等候坐校車去學(xué)校，圖中的折線表示這一過程中小明的路程S（km）與所花時(shí)間t（min）間的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖中信息，校車與步行的速度比是（ ）
A． B．2 C．10 D．8
【答案】C
【詳解】解：根據(jù)函數(shù)關(guān)系圖可知，步行的速度為：，
校車的速度為：，∴校車與步行的速度比是：，故選：C．
2．（2023·北京西城·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，購(gòu)買一種蘋果所付款金額y（元）與購(gòu)買量x（千克）之間的函數(shù)圖象由線段和射線組成，則一次購(gòu)買3千克這種蘋果比分三次每次購(gòu)買1千克這種蘋果可節(jié)省（　　）
A．4元 B．3元 C．2元 D．1元
【答案】C
【詳解】根據(jù)圖象可得，當(dāng)時(shí)，每千克蘋果的單價(jià)是（元），
當(dāng)時(shí)，每千克蘋果的單價(jià)是（元），
故一次購(gòu)買3千克這種蘋果需要花費(fèi)：（元），
分三次每次購(gòu)買1千克這種蘋果需要花費(fèi)：（元），（元），
即一次購(gòu)買3千克這種蘋果比分三次每次購(gòu)買1千克這種蘋果可節(jié)省2元．故選：C
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)的表達(dá)式、圖象與性質(zhì)
◇典例5：（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·期中）對(duì)于一次函數(shù)，下列命題是假命題的是（ ）
A．函數(shù)值隨自變量的增大而減小 B．圖象不經(jīng)過第三象限
C．向左平移2個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn) D．圖象與y軸交于點(diǎn)
【答案】C
【詳解】解：A、∵，∴函數(shù)值隨自變量的增大而減小，故A結(jié)論正確，是真命題，不符合題意；
B、∵，，∴函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，故B結(jié)論正確，是真命題，不符合題意；
C、函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位后得，不經(jīng)過原點(diǎn)，故C結(jié)論不正確，是假命題，符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)，故D結(jié)論正確，是真命題，不符合題意；故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江溫州·三模）一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，的值可以是( )
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【詳解】解：一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，
，當(dāng)時(shí)，，故選：D．
2．（2023·浙江衢州·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于一次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．經(jīng)過點(diǎn) B．在第二、四象限 C．關(guān)于軸成軸對(duì)稱 D．隨的增大而增大
【答案】D
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，．所以圖象不過，故錯(cuò)誤；
B、因?yàn)椋砸淮魏瘮?shù)的圖象在第一、三象限，故錯(cuò)誤；
C、關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故錯(cuò)誤；D、因?yàn)椋噪S的增大而增大，故正確．故選：D．
3．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）給出下列函數(shù)：①；②；③．從中任取一個(gè)函數(shù)，取出的函數(shù)符合條件“當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x增大而減小”的概率是 ．
【答案】
【詳解】解：①是一次函數(shù)，， y隨著x的增大而減小，符合條件；
②是反比例函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減小，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x增大而減小，符合條件；③是二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x增大而增大，不符合條件．綜上：符合條件的函數(shù)有①②，共2個(gè)．
∴取出的函數(shù)符合條件“當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x增大而減小”的概率是．故答案為：．
◇典例6：（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）直線經(jīng)過第一、二、四象限，則直線的圖像只能是圖中的（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：直線經(jīng)過第一、二、四象限，∴，
∴直線的圖像經(jīng)過一，三，四象限；故選D．
◆變式訓(xùn)練
1．（23-24九年級(jí)下·江西南昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，則一次函一定不經(jīng)過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限，∴，解得，∴，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限，故選：B．
2．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象如圖所示，若的圖象與x軸交于，則下列判斷正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，，
∵的圖象與軸交于，∴當(dāng)時(shí)，，
∴，∴，令，則，∴，∴．故選：D．
3．（2023·浙江杭州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)的圖象可能是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【詳解】解：∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)，
∴，解得，∴，∴直線交y軸的正半軸，且過點(diǎn)，故選：A．
◇典例7：（2024·浙江溫州·二模）若一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則 B．若 ，則 C．若，則 D．若，則
【答案】A
【詳解】解：一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，解得，
若，即時(shí)，則隨的增大而增大，，，故若，則 ；
若，即時(shí)，則隨的增大而減小，，，
若，則有可能大于0，也可能小于0；綜上所述，若，則 ；故選：A．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，在下列某一函數(shù)圖像上，且，那么這個(gè)函數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵，且，∴可知在時(shí)，隨的增大而減小，
A.，隨的增大而增大，不符合題意；
B.，時(shí)，隨的增大而減小，符合題意；
C.，時(shí)，隨的增大而增大，不符合題意；
D.，時(shí)，隨的增大而增大，不符合題意．故選：B．
2．（2023·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）若、是一次函數(shù)圖象上的不同的兩點(diǎn)，記，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵、是一次函數(shù)圖象上的不同的兩點(diǎn)，，
∴該函數(shù)圖象是隨的增大而減小，∴，故選：B．
3．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知是一次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則 ．
【答案】2
【詳解】解：把代入得，， ，
∴，，∴，故答案為：2．
◇典例8：（2024·浙江舟山·一模）已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若的最小值為2，則m的值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，，
當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，，
的最小值為2，最小值為，，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，，由題意知，所以，
當(dāng)時(shí)，，，不符合題意舍去，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故選：D
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，軸，，將沿軸向右平移，得到（A和，B和，C和分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），直線經(jīng)過點(diǎn)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，，
軸，，．
將沿軸向右平移，得到（A和，B和，C和分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)），．
直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，
直線經(jīng)過點(diǎn)，把代入，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：A．
2．（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，
時(shí)，，時(shí)，，，，．
由折疊的性質(zhì)得：，，．
設(shè)，則．在中，，
即，解得：，．故選：B．
3．（2024·安徽淮北·一模）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)線段最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：當(dāng)線段最短時(shí)，，
∵直線為，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴，∴．∵，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴．作于點(diǎn)H，
則，∴，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，
把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入，可得：，∴．故選：A．
■考點(diǎn)四　一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式的關(guān)系
◇典例9：（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)與（為常數(shù)，）的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則方程組的解為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意，一次函數(shù)與為常數(shù)，的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，
交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．方程組的解為．故答案為：．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則k的值為 ．
【答案】或
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，與x軸交點(diǎn)為 ，
當(dāng)時(shí)，與x軸交點(diǎn)為，∴，解得：．故答案為：或．
◇典例10：（2024·浙江臺(tái)州·二模）當(dāng)時(shí)，直線（m為常數(shù)，）在直線的上方，則m的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】解：把代入，把點(diǎn)代入，求得：，
∵當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，
∴，故答案為：．
◆變式訓(xùn)練
1．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式分別為和，則下列說法正確的是（）
A．若，則 B．若，則
C．若，則或 D．若，則
【答案】D
【詳解】解：在一次函數(shù)中令，則，
一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，在一次函數(shù)中令，則，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，如圖，畫出兩個(gè)一次函數(shù)圖象，
由函數(shù)圖象可以得出：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，故選：D
2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)（m為實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)，，則m的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得：，
時(shí)，，，，故答案為：．
■考點(diǎn)五　一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
◇典例11：（2024·浙江紹興·二模）如圖，大拇指與食指盡量張開時(shí)，兩指尖的距離稱為“一拃長(zhǎng)”，某項(xiàng)研究表明身高與“一拃長(zhǎng)”成一次函數(shù)關(guān)系．下表是測(cè)得的身高與“一拃長(zhǎng)”一組數(shù)據(jù)：
一作長(zhǎng) 16 17 18 19
身高 162 172 182 192
(1)按照這組數(shù)據(jù)，求出身高與一拃長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)某同學(xué)一拃長(zhǎng)為，求他的身高是多少？
(3)若某人的身高為，一般情況下他的一拃長(zhǎng)應(yīng)是多少？
【答案】(1)身高與一拃長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系式為；
(2)他的身高是；(3)他的一拃長(zhǎng)應(yīng)是．
【詳解】（1）解：由題意得：h是關(guān)于d的一次函數(shù)，設(shè)，
把，代入得：，解得，
身高與一拃長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：在中，令得，他的身高是；
（3）解：在中，令得，解得，他的一拃長(zhǎng)應(yīng)是．
◆變式訓(xùn)練
1.（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）某種溶液的體積與溫度之間的關(guān)系在一定范圍內(nèi)符合一次函數(shù)關(guān)系．現(xiàn)測(cè)得一定量的這種溶液在時(shí)的體積為，在時(shí)的體積為．
(1)求該溶液體積與溫度的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)時(shí)，該溶液的體積．
(2)若用容積為的容器來盛這些溶液，為了不使溶液溢出，溫度應(yīng)控制在多少攝氏度內(nèi)？
【答案】(1)；(2)溫度應(yīng)控制在內(nèi)
【詳解】（1）解：設(shè)，由已知，時(shí)，；時(shí)，．
，解得：， ．
當(dāng)時(shí)，，∴該溶液的體積為．
（2）解：由題意得：，解得．答：溫度應(yīng)控制在內(nèi)．
2．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·開學(xué)考試）五一期間，某移動(dòng)公司就上網(wǎng)收費(fèi)套餐推出三種優(yōu)惠方案，具體如下表所示：
收費(fèi)方案 月使用費(fèi)（元） 包時(shí)上網(wǎng)時(shí)間（小時(shí)） 超時(shí)費(fèi)（元/小時(shí)）
無限
方案和方案每月所需的費(fèi)用（元）與每月使用的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如下圖所示：
(1)填空：表中的____________，____________；(2)請(qǐng)?jiān)趫D中畫出方案的圖象，并寫出當(dāng)上網(wǎng)時(shí)間不少于小時(shí)方案每月所需的費(fèi)用（元）與每月使用的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)每月使用的時(shí)間在什么范圍時(shí)，選擇方案最省錢；
當(dāng)每月使用的時(shí)間在什么范圍時(shí)，選擇方案最省錢；
當(dāng)每月使用的時(shí)間在什么范圍時(shí)，選擇方案最省錢．
【答案】(1)，；(2)當(dāng)時(shí)，方案每月所需的費(fèi)用（元）與每月使用的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)或時(shí)，該用戶選擇收費(fèi)方式；當(dāng)時(shí)，該用戶選擇收費(fèi)方式；當(dāng)時(shí)，該用戶選擇收費(fèi)方式．
【詳解】（1）解：由圖象知：，，故答案為：，；
（2）解：由表中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，圖象如圖所示：
∴當(dāng)時(shí)，方案每月所需的費(fèi)用（元）與每月使用的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）解：由題意知：，，，
令或，解得或，令，解得，
∴當(dāng)或時(shí)，該用戶選擇收費(fèi)方式；
當(dāng)時(shí)，該用戶選擇收費(fèi)方式；當(dāng)時(shí)，該用戶選擇收費(fèi)方式．
◇典例12：（24-25九年級(jí)上·浙江嘉興·期末）某公司生產(chǎn)醫(yī)用口罩供應(yīng)市場(chǎng)，每件制造成本為元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系滿足下表．
銷售單價(jià)x（元/件） … 2 3 4 …
每月銷售量y（萬件） … 6 5 4 2 …
(1)在你學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等三種函數(shù)中，哪種函數(shù)能恰當(dāng)?shù)孛枋鰕與x的變化規(guī)律，并直接寫出函數(shù)表達(dá)式；(2)如果公司每月的制造成本不超過萬元，那么當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每月獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬元？
【答案】(1)一次函數(shù)，
(2)當(dāng)銷售單價(jià)為元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬
【詳解】（1）解：由表格中數(shù)據(jù)可得：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)，
設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，
把代入得：，，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：設(shè)總利潤(rùn)為w，由題意得，；
公司每月的制造成本不超過萬元，每件制造成本為元，
每月的生產(chǎn)量小于等于3萬件，即．解得：，
，圖象開口向下，對(duì)稱軸右側(cè)w隨x的增大而減小，
時(shí)，w最大，最大值為．
答：當(dāng)銷售單價(jià)為元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬．
◆變式訓(xùn)練
1．（2024九年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
柚子季將至，某超市購(gòu)進(jìn)一批柚子進(jìn)行銷售
素材1 超市以20元千克的批發(fā)價(jià)格購(gòu)進(jìn)柚子，準(zhǔn)備在銷售旺季里銷售．根據(jù)食品保鮮度，商家決定在整個(gè)40天的銷售旺季里，前15天以32元千克的銷售單價(jià)進(jìn)行銷售，從第16天開始每天銷售單價(jià)降低0.4元千克進(jìn)行降價(jià)銷售．
素材2 根據(jù)往年的銷售數(shù)據(jù)，柚子在銷售旺季40天內(nèi)的日銷數(shù)量（千克）與時(shí)間第（天）的關(guān)系如表． 時(shí)間第（天）12310日銷售量（千克）30354075
問題解決
任務(wù)1 小明看到柚子降價(jià)銷售“26元千克”，計(jì)算這是超市賣柚子到第幾天了．
任務(wù)2 利用一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)，直接寫出日銷售量（千克）與時(shí)間（天的關(guān)系式．
任務(wù)3 請(qǐng)你幫助超市算一算，在銷售旺季里利潤(rùn)最大是第幾天，最大的利潤(rùn)是多少．
【答案】任務(wù)1：超市賣柚子到第30天了；任務(wù)2：；任務(wù)3：在銷售旺季里利潤(rùn)最大是第15天，最大的利潤(rùn)是1200元
【詳解】解：任務(wù)1：由題意得，第柚子的價(jià)格為：，
則，解得：，即超市賣柚子到第30天了；
任務(wù)2：由表格知，日銷售量（千克）是時(shí)間（天的一次函數(shù)，
設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：，
將代入上式得：，解得：，
故一次函數(shù)的表達(dá)式為：；
任務(wù)3：設(shè)銷售旺季里利潤(rùn)為元，
當(dāng)時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，取得最大值為（元；
當(dāng)時(shí)，則，
則函數(shù)的對(duì)稱軸為，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為：798元，
綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為1200元，
即在銷售旺季里利潤(rùn)最大是第15天，最大的利潤(rùn)是1200元．
1．（2024·甘肅·中考真題）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術(shù)瑰寶，其中敦煌《算經(jīng)》中出現(xiàn)的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準(zhǔn)確地查出邊長(zhǎng)10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農(nóng)田面積的測(cè)量效率．如圖2是復(fù)原的部分《田積表》，表中對(duì)田地的長(zhǎng)和寬都用步來表示，A區(qū)域表示的是長(zhǎng)15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數(shù)對(duì)記為，那么有序數(shù)對(duì)記為對(duì)應(yīng)的田地面積為（　　）
A．一畝八十步 B．一畝二十步 C．半畝七十八步 D．半畝八十四步
【答案】D
【詳解】根據(jù)可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，
故對(duì)應(yīng)的是半畝八十四步，故選D．
2．（2024·四川廣元·中考真題）如果單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，則在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【詳解】解：∵單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的和仍是一個(gè)單項(xiàng)式，
∴單項(xiàng)式與單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，∴，解得，，
∴點(diǎn)在第四象限，故選：D
3．（2024·廣西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，故選：C．
4．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為0時(shí)，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時(shí)，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時(shí)，向左平移），每次平移1個(gè)單位長(zhǎng)度．
例：“和點(diǎn)”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)，其平移過程如下：
若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【詳解】解：由點(diǎn)可知橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，繼而向上平移1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為2，繼而向左平移1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，又要向上平移1個(gè)單位，因此發(fā)現(xiàn)規(guī)律為若“和點(diǎn)”橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0時(shí)，先向右平移1個(gè)單位，之后按照向上、向左，向上、向左不斷重復(fù)的規(guī)律平移，若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則按照“和點(diǎn)”反向運(yùn)動(dòng)16次求點(diǎn)Q坐標(biāo)理解，可以分為兩種情況：
①先向右1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為0，應(yīng)該是向右平移1個(gè)單位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1個(gè)單位得到，此時(shí)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)為1，則應(yīng)該向上平移1個(gè)單位得到，故符合題意，那么點(diǎn)先向下平移，再向右平移，當(dāng)平移到第15次時(shí)，共計(jì)向下平移了8次，向右平移了7次，此時(shí)坐標(biāo)為，即，那么最后一次若向右平移則為，若向左平移則為，故選：D．
5．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，一個(gè)圓柱體水槽底部疊放兩個(gè)底面半徑不等的實(shí)心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】解：下層圓柱底面半徑大，水面上升塊，上層圓柱底面半徑稍小，水面上升稍慢，再往上則水面上升更慢，所以對(duì)應(yīng)圖象是第一段比較陡，第二段比第一段緩，第三段比第二段緩．故選：D．
6．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）已知某同學(xué)家、體育場(chǎng)、圖書館在同一條直線上．下面的圖象反映的過程是：該同學(xué)從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后又步行回家吃早餐，飯后騎自行車到圖書館．圖中用x表示時(shí)間，y表示該同學(xué)離家的距離．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

（1）體育場(chǎng)離該同學(xué)家2.5千米；（2）該同學(xué)在體育場(chǎng)鍛煉了15分鐘；（3）該同學(xué)跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；（4）若該同學(xué)騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則的值是3.75；
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】解：由圖象可知：體育場(chǎng)離該同學(xué)家2.5千米，故（1）正確；
該同學(xué)在體育場(chǎng)鍛煉了（分鐘），故（2）正確；
該同學(xué)的跑步速度為（千米/分鐘），步行速度為（千米/分鐘），則跑步速度是步行速度的倍，故（3）錯(cuò)誤；
若該同學(xué)騎行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，則該同學(xué)騎行的平均速度為（千米/分鐘），所以，故（4）正確，故選：C．
7．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，圖②是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長(zhǎng)為（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【詳解】解：由圖象可知，面積最大值為6
由題意可得，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，的面積最大，∴，即，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，∴，
∵，∴，∴．故選：A
8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）對(duì)于一次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．它的圖象與y軸交于點(diǎn) B．y隨x的增大而減小
C．當(dāng)時(shí)， D．它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限
【答案】A
【詳解】解：A.當(dāng)時(shí)，，即一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，說法正確；
B.一次函數(shù)圖象y隨x的增大而增大，原說法錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，原說法錯(cuò)誤；
D.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，原說法錯(cuò)誤；故選A．
9．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與（其中，，，，為常數(shù)）的圖象分別為直線，．下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由一次函數(shù)：的圖象可得：，，
由一次函數(shù)：的圖象可得：，，
∴，，，，正確的結(jié)論是A，符合題意，故選A．
10．（2024·青海·中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：令，則，解得：，即點(diǎn)為，
則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是．故選：A．
11．（2024·廣東·中考真題）已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】解∶∵不等式的解集是，∴當(dāng)時(shí)，，
觀察各個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．
12．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：D．
13．（2024·四川甘孜·中考真題）如圖，在一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)，一臺(tái)雷達(dá)探測(cè)器測(cè)得在點(diǎn)A，B，C處有目標(biāo)出現(xiàn)．按某種規(guī)則，點(diǎn)A，B的位置可以分別表示為，則點(diǎn)C的位置可以表示為 ．
【答案】
【詳解】解：∵A，B的位置分別表示為．
∴目標(biāo)C的位置表示為．故答案為：
14．（2024·上海·中考真題）若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則y的值隨x的增大而 ．（選填“增大”或“減小”）
【答案】減小
【詳解】解：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，
又，的值隨的增大而減小．故答案為：減小．
15．（2024·上海·中考真題）某種商品的銷售量y（萬元）與廣告投入x（萬元）成一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)投入10萬元時(shí)銷售額1000萬元，當(dāng)投入90萬元時(shí)銷售量5000萬元，則投入80萬元時(shí)，銷售量為 萬元．
【答案】4500
【詳解】解：設(shè)，把，代入，得，解得，
∴，當(dāng)時(shí)，，即投入80萬元時(shí)，銷售量為4500萬元，
故答案為：4500．
16．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）已知直線（、是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，且隨的增大而減小，則的值可以是 ．（寫出一個(gè)即可）
【答案】2（答案不唯一）
【詳解】解：∵直線（k、b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，∴．
∵y隨x的增大而減小，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴b的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）
17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）直線與x軸交于點(diǎn)A，將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是 ．
【答案】
【詳解】解：依題意畫出旋轉(zhuǎn)前的函數(shù)圖象和旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象，如圖所示∶

設(shè)與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)B， 令，得；令，即，∴， ，
∴，，即∵直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，
∴，，∴，則點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，則，解得，
那么，直線的解析式為，故答案為：．
18．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知一次函數(shù)的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，若，，則關(guān)于x的方程的解為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，∴，∵一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，∴關(guān)于的方程的解是．
故答案為：．
19．（2024·天津·中考真題）已知張華的家、畫社、文化廣場(chǎng)依次在同一條直線上，畫社離家，文化廣場(chǎng)離家．張華從家出發(fā)，先勻速騎行了到畫社，在畫社停留了，之后勻速騎行了到文化廣場(chǎng)，在文化廣場(chǎng)停留后，再勻速步行了返回家．下面圖中表示時(shí)間，表示離家的距離．圖象反映了這個(gè)過程中張華離家的距離與時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，回答下列問題：(1)①填表：
張華離開家的時(shí)間 1 4 13 30
張華離家的距離
②填空：張華從文化廣場(chǎng)返回家的速度為______；
③當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出張華離家的距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)張華離開家時(shí)，他的爸爸也從家出發(fā)勻速步行了直接到達(dá)了文化廣場(chǎng)，那么從畫社到文化廣場(chǎng)的途中兩人相遇時(shí)離家的距離是多少？（直接寫出結(jié)果即可）
【答案】(1)①；②0.075；③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(2)
【詳解】（1）解：①畫社離家，張華從家出發(fā)，先勻速騎行了到畫社，
∴張華的騎行速度為，∴張華離家時(shí)，張華離家，
張華離家時(shí)，還在畫社，故此時(shí)張華離家還是，
張華離家時(shí)，在文化廣場(chǎng)，故此時(shí)張華離家還是．故答案為：.
②,故答案為：．
③當(dāng)時(shí)，張華的勻速騎行速度為，∴；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)一次函數(shù)解析式為：，
把，代入，可得出：，解得：，∴，
綜上：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．
（2）張華爸爸的速度為：，
設(shè)張華爸爸距家，則，
當(dāng)兩人從畫社到文化廣場(chǎng)的途中兩人相遇時(shí)，有，解得：，
∴，
故從畫社到文化廣場(chǎng)的途中兩人相遇時(shí)離家的距離是．
20．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）某中學(xué)為加強(qiáng)新時(shí)代中學(xué)生勞動(dòng)教育，開辟了勞動(dòng)教育實(shí)踐基地．在基地建設(shè)過程中，需要采購(gòu)煎蛋器和三明治機(jī)．經(jīng)過調(diào)查，購(gòu)買2臺(tái)煎蛋器和1臺(tái)三明治機(jī)需240元，購(gòu)買1臺(tái)煎蛋器和3臺(tái)三明治機(jī)需395元．(1)求煎蛋器和三明治機(jī)每臺(tái)價(jià)格各是多少元；(2)學(xué)校準(zhǔn)備采購(gòu)這兩種機(jī)器共50臺(tái)，其中要求三明治機(jī)的臺(tái)數(shù)不少于煎蛋器臺(tái)數(shù)的一半，請(qǐng)你給出最節(jié)省費(fèi)用的購(gòu)買方案．
【答案】(1)煎蛋器單價(jià)為65元/臺(tái)，三明治機(jī)單價(jià)為110元/臺(tái)；
(2)購(gòu)買方案為：購(gòu)買煎蛋器33臺(tái)，三明治機(jī)17臺(tái)．
【詳解】（1）解：設(shè)煎蛋器每臺(tái)x元，三明治機(jī)每臺(tái)y元．由題意得：，解得：，
答：煎蛋器單價(jià)為65元/臺(tái)，三明治機(jī)單價(jià)為110元/臺(tái)；
（2）解：設(shè)煎蛋器采購(gòu)a臺(tái)，則三明治機(jī)采購(gòu)臺(tái)，由題意得：，解得：，
∵a只能取正整數(shù)，∴a的最大值為33，
設(shè)總的購(gòu)買費(fèi)用為元，∴，
∵，∴當(dāng)時(shí)，費(fèi)用最低，此時(shí)的購(gòu)買方案為：購(gòu)買煎蛋器33臺(tái)，三明治機(jī)17臺(tái)；
答：購(gòu)買方案為：購(gòu)買煎蛋器33臺(tái)，三明治機(jī)17臺(tái)．
21．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車輛通過兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來計(jì)算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開始，他先勻速行駛小時(shí)，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí)，測(cè)速裝置測(cè)得該輛汽車在整個(gè)路段行駛的平均速度為100千米/時(shí)．汽車在區(qū)間測(cè)速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
(1)的值為________；(2)當(dāng)時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)通過計(jì)算說明在此區(qū)間測(cè)速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時(shí)）
【答案】(1)(2)(3)沒有超速
【詳解】（1）解：由題意可得：，解得：．故答案為：．
（2）解：設(shè)當(dāng)時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，
則：，解得：，∴．
（3）解：當(dāng)時(shí)，，∴先勻速行駛小時(shí)的速度為：，
∵，∴輛汽車減速前沒有超速．
1．（2024·浙江寧波·一模）若點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【詳解】解：點(diǎn)是第二象限的點(diǎn)，，解得：，故選：A．
2．（2024·浙江嘉興·一模）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，若小兔子擋住了點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】∵一次函數(shù)的圖象如圖所示，∴，
∵小兔子在第二象限∴橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)可能是．故選：D．
3．（2024·浙江杭州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形的頂點(diǎn)，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，
四邊形是正方形，，，
，，，

，，，
，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．
4．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，其中，且a，b滿足，過點(diǎn)P作y軸和直線的垂線，垂足分別為A，B，連接，則的面積是（ ）
A． B． C． D．隨a，b的值變化
【答案】C
【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，如圖所示：
∵軸，在第一象限，∴，，
∵直線的解析式為，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，
∴，∵軸，∴，∴，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，∴，故選：C．
5．（24-25九年級(jí)上·浙江紹興·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，連結(jié)，將線段繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線段，若點(diǎn)恰好落在y軸上，則點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（ ）
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】C
【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作于點(diǎn)T，
∵，∴，∴，
∵，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，
∴，即，∴，
∴，∴，∴．故選：C．
6．（2024·浙江寧波·二模）快、慢兩車分別從相距240千米的甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，勻速行駛，先相向而行，快車到達(dá)乙地后，停留1小時(shí)．然后按原路原速返回，快車比慢車早1小時(shí)到達(dá)甲地，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程（千米）與出發(fā)后所用的時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系如圖所示．則在慢車到達(dá)甲地前，快、慢兩車相距的路程為1千米的次數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【詳解】解：在圖中畫出慢車距快車出發(fā)地甲的路程（千米）與出發(fā)后所用的時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系如圖所示，則在慢車到達(dá)甲地前，快、慢兩車相距的路程為1千米的次數(shù)為5次．故選：D．
7．（2024·浙江寧波·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)（其中為常數(shù)）時(shí)．函數(shù)的最小值為，則滿足條件的的值為（ ）
A．－5 B．－2 C． D．－1
【答案】A
【詳解】解：∵∴函數(shù)的函數(shù)值隨著x的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)取得最小值，即，解得，故選：A
8．（2024·浙江溫州·三模）若直線經(jīng)過和，若，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：，，，，故選D．
9．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一次函數(shù)與（都為常數(shù)，且都不為0）．函數(shù)滿足（m為常數(shù)），下列說法正確的是（ ）
A．若，當(dāng)時(shí)，
B．若，恒過定點(diǎn)
C．若，則與的函數(shù)圖像一定都有交點(diǎn)
D．若是與函數(shù)圖像的交點(diǎn)，則也在函數(shù)圖像上
【答案】D
【詳解】解：A：當(dāng)時(shí)，有，故A是錯(cuò)誤的；
B：當(dāng)時(shí)，有，，故B是錯(cuò)誤的；
C：設(shè)，，
若，且或1，則，則與的函數(shù)圖象都沒有交點(diǎn)，故C是錯(cuò)誤的；
D：是函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，也在函數(shù)圖象上，故D是正確的；故選：D．
10．（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，當(dāng)直線與有交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，將代入直線中，可得，解得；
直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，將代入直線中，可得，解得；
故b的取值范圍是．故選：B．

11．（23-24八年級(jí)上·浙江嘉興·期末）關(guān)于函數(shù)，給出下列說法正確的是：（）
①當(dāng)時(shí)，該函數(shù)是一次函數(shù)；②若點(diǎn)在該函數(shù)圖像上，且，則；
③若該函數(shù)不經(jīng)過第四象限，則；④該函數(shù)恒過定點(diǎn)．
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】A
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，該函數(shù)是一次函數(shù)，正確，故①符合題意；
若點(diǎn)在該函數(shù)圖像上，且，
，y隨x的增大而增大，則正確，故②符合題意；
若該函數(shù)不經(jīng)過第四象限，則，原說法錯(cuò)誤，故③不符合題意；
令，則該函數(shù)恒過定點(diǎn)，正確，故④符合題意；
故符合題意的有①②④，故選：A．
12．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，將八個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中．若過原點(diǎn)的直線l將圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式為 ．
【答案】
【詳解】如圖，過作于，易知，
∵經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線l將這八個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，
，而，，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線解析式為，則，∴，∴直線l解析式為．故答案為：
13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的函數(shù)，y的最大值為4，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：由題意得，即，∴，即，
又∵，∴，即，
∵，∴，解得，故答案為：．
14．（2024·浙江·二模）如圖，已知點(diǎn)P在直線上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將點(diǎn)P向下平移a個(gè)單位，再向左b平移個(gè)單位，得到點(diǎn)，且點(diǎn)也在該一次函數(shù)上，則 ．
【答案】/
【詳解】解：點(diǎn)在直線上，，解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，，解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，．故答案為：．
15．（2024·遼寧大連·一模）因活動(dòng)需要購(gòu)買某種水果，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)通過市場(chǎng)調(diào)查得知：在甲商店購(gòu)買該水果的費(fèi)用（元）與該水果的質(zhì)量之間的關(guān)系如圖實(shí)線所示，不超過按15元來結(jié)算費(fèi)用；在乙商店購(gòu)買該水果的費(fèi)用（元）與該水果的質(zhì)量之間的關(guān)系如圖y2實(shí)線所示．(1)求與x之間的函數(shù)解析式；(2)現(xiàn)計(jì)劃用500元購(gòu)買該水果，選甲、乙哪家商店能購(gòu)買該水果更多一些？
【答案】(1)(2)選甲商店購(gòu)買更多水果
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，由題意可得：與x之間的函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，即的轉(zhuǎn)折點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，設(shè)y1與x之間的函數(shù)解析式為，
把和代入解析式得，解得，∴，
綜上所述，與x之間的函數(shù)解析式為．
（2）解：∵，∴，解得：，
設(shè)與x之間的函數(shù)解析式為，則有：，解得：，
∴∴，解得：，∵，∴選甲商店購(gòu)買更多水果．
16．（2024·浙江紹興·二模）如圖1是一個(gè)有進(jìn)水管與出水管的容器，從某時(shí)刻開始的內(nèi)只進(jìn)水不出水，在接下來的內(nèi)既進(jìn)水又出水，每分鐘的進(jìn)水量和出水量是兩個(gè)常數(shù)．容器內(nèi)的水量（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系如圖2所示．(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式．(2)當(dāng)容器內(nèi)的水量為時(shí)，求對(duì)應(yīng)的時(shí)間．(3)每分鐘的進(jìn)水和出水各是多少升？

【答案】(1)關(guān)于的函數(shù)解析式為
(2)對(duì)應(yīng)的時(shí)間(3)每分鐘的進(jìn)水量為，出水量為
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)關(guān)于的函數(shù)解析式為，
，兩點(diǎn)在函數(shù)圖象上，，．
關(guān)于的函數(shù)解析式為．
（2）解：當(dāng)容器內(nèi)的水量為時(shí)，即，由（1）知，．對(duì)應(yīng)的時(shí)間．
（3）解：每分鐘的進(jìn)水量為．每分鐘的出水量為．
每分鐘的進(jìn)水量為，出水量為．
17．（2024·浙江杭州·一模）設(shè)一次函數(shù)（是常數(shù)，）．
(1)無論取何值，該一次函數(shù)圖象始終過一個(gè)定點(diǎn)，直接寫出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)：
(2)若時(shí)，該一次函數(shù)的最大值是6，求的值．
【答案】(1)定點(diǎn)(2)
【詳解】（1）解：一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
無論取何值，該一次函數(shù)圖象始終過定點(diǎn)；
（2）解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)，解得，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)，解得（不合題意，舍去），綜上，．
18．（2024·浙江溫州·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的圖象分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，直線的圖象分別與軸，軸交于、兩點(diǎn)，為中點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)直線分別與直線，直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】(1)直線l2的函數(shù)解析式為(2)或2
【詳解】（1）解：令，則，即點(diǎn)，
為中點(diǎn)，則點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，
解得：，即直線的函數(shù)解析式為：；
（2）當(dāng)時(shí)，即，，則，，
則，則或2．
19．（24-25九年級(jí)下·浙江杭州·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線l：（其中n為常數(shù)）與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)M，N所確定的直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)小華同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)電腦動(dòng)畫程序，在直線l：中，輸入n的值．
①當(dāng)時(shí)，直線l會(huì)閃爍，求此時(shí)輸入的n的值；
②當(dāng)點(diǎn)M，N位于直線l的兩側(cè)時(shí)，直線l會(huì)變成紅色，求此時(shí)所有整數(shù) n的個(gè)數(shù)．
【答案】(1)(2)①；②15個(gè)
【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，
，解得，點(diǎn)M，N所確定的直線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：①在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，，（舍去負(fù)值），；
②當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，
當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，
當(dāng)點(diǎn)M，N位于直線l的兩側(cè)時(shí)，直線l會(huì)變成紅色，此時(shí)所有整數(shù) n有3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17共15個(gè)．
20．（24-25九年級(jí)下·浙江溫州·開學(xué)考試）小溫和小州居住在同一小區(qū)，周末小溫和小州相約到奧體中心看演出．小溫先乘公交車從小區(qū)出發(fā)前往奧體中心，小溫出發(fā)20分鐘后，小州從小區(qū)乘坐輕軌出發(fā)，出站后立即換騎自行車（換車時(shí)間忽略不計(jì)）前往奧體中心，兩人恰好同時(shí)到達(dá)目的地（自行車、公交車與輕軌均視為勻速行駛）．若設(shè)小溫乘坐公交車的時(shí)間為（分），下面平面直角坐標(biāo)系中的線段表示小溫離開小區(qū)的路程（千米）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系，線段表示小州乘輕軌過程中離開小區(qū)的路程（千米）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系，線段表示小州騎自行車過程中離開小區(qū)的路程（千米）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系．
根據(jù)圖象中的信息解決下列問題：(1)直接寫出圖中點(diǎn)的坐標(biāo)，并求線段的函數(shù)表達(dá)式
(2)求當(dāng)小州換騎自行車時(shí)，小溫所乘公交車離奧體中心的路程．
(3)求兩人前往奧體中心途中，小州離開小區(qū)的路程比小溫多2千米時(shí)的值．
【答案】(1)，線段的函數(shù)表達(dá)式為；線段的函數(shù)表達(dá)式為；
(2)千米(3)或
【詳解】（1）解：設(shè)小溫乘坐公交車的時(shí)間為（分），
根據(jù)題意，當(dāng)小溫出發(fā)20分鐘時(shí)，小州從小區(qū)門口乘輕軌出發(fā)，則圖中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由圖可知，，，設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入，可得，解得，∴線段的函數(shù)表達(dá)式為，
設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，
可得，解得，∴線段的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)小州換騎自行車時(shí)，，∴小溫所乘公交車行駛路程為（千米），
∴小溫所乘公交車離奧體中心的路程為（千米）；
（3）設(shè)線段的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入，
可得，解得，∴線段的函數(shù)表達(dá)式為，
兩人前往奧體中心途中，小州離開小區(qū)的路程比小溫多2千米時(shí)，
在小州乘輕軌過程中，則，解得，
在小州騎自行車過程中，則，解得，∴的值為或．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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