資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三章 函數
3.4二次函數綜合
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數與方程、不等式 ☆☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，二次函數與幾何綜合在中考中較為常見，這類考題通常以壓軸題形式考查，難度一般較大，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數據較大，需要考生在做題過程中更為細心對待。
考點2 二次函數的實際應用 ☆☆
考點3 二次函數與幾何圖形綜合題 ☆☆
二次函數的綜合運用在中考中較為常見，其中，二次函數在實際生活中的應用多為選填題，出題率不是特別高，一般需要根據題意自行建立二次函數模型；而利用二次函數圖象解決實際問題和最值問題則多為解答題；而二次函數與幾何圖形綜合問題，則難度較大。
1
3
■考點一　二次函數與方程、不等式 3
■考點二　二次函數的實際應用 9
■考點三　二次函數與幾何圖形綜合題 19
40
63
■考點一　二次函數與方程、不等式
1、二次函數與一元二次方程的關系
1）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標。
3）（1）b2–4ac>0 方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac=0 方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac<0 方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點。
2、二次函數與不等式的關系（以a>0為例）:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
圖象
與x軸交點 2 個交點 1 個交點 0 個交點
ax2＋bx＋c>0的解集情況 xx2 取任意實數
ax2＋bx＋c<0的解集情況 x1■考點二　二次函數的實際應用
1.用二次函數解決實際問題的一般步驟：
1）審：仔細 審題 ，理清 題意 ；
2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的 未知數 ；
3）列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的 解析式 ；
4）解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；
5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.
2.利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。
3.利用二次函數解決拱橋（門）/隧道/噴泉/球類運行軌跡類問題的方法：先建立適當的 平面直角坐標系 ，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線的解析式 ，最后根據圖象信息解決實際問題。
4.利用二次函數解決面積最值的方法：先找好自變量及范圍 ，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。
5.利用二次函數解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的 坐標 或表示出與動點有關的線段 長度 ，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
■考點三　二次函數與幾何圖形綜合題
二次函數與幾何知識聯系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數常與全相似、最大(小)面積、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯系，從圖形中建立 二次函數 的模型，從而使問題得到解決解這類問題的關鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數的有關性質和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的。
1.二次函數與幾何圖形的長度（面積）問題
二次函數與幾何圖形的長度（面積）問題一般是利用距離或面積公式表示出圖形長度（面積）的函數關系式（一般是二次函數的表達式），再利用函數的解析式的特點求長度（面積）的最值問題；此外還會涉及到長度（面積）相等、給出長度（面積）的值等問題，其核心處理方法都是表示出長度（面積）的表達式，再去研究相關的性質。
2.二次函數與特殊三角形或四邊形
1）在二次函數的圖象中研究等腰三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準頂確與底角分類討論的關鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化已知條件是常用的處理手段；
2）在二次函數的圖象中研究直角三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準直角頂點是分類討論的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。
3）在二次函數的圖象中研究平行四邊形的問題常會用到平行四邊形的一些性質之間的轉化，同時此類問題也會涉及到矩形、菱形、正方形的確定，其分析思想是互通的。
3.二次函數與線段和、差的最值問題
在二次函數的圖象中研究線段的和、差最值問題,一般會用到將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓、瓜豆原理等來解決相關最值問題。
■考點一　二次函數與方程、不等式
◇典例1：（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）如圖，二次函數與一次函數為的圖象相交于，兩點，則不等式的解集為 ．
【答案】
【詳解】解：，，
由圖象可得，當時，則有，
不等式的解集為．故答案為：．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，拋物線與直線的交點為，．當時，x的取值范圍是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【詳解】解：∵二次函數與一次函數的交點A、B的坐標分別為，，
∴當時，x的取值范圍是或，故選：C．
2.（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數（是常數，）的圖象上有和兩點．若點，都在直線的下方，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵，∴，
∵和兩點都在直線的下方，且，
∴,∴，考慮函數，當時，，
∴的解集表示位于橫軸下方的圖象的自變量的取值，∴①，
∵數（a是常數，）的圖象上有和兩點，
∴，∴，∵，∴，∴②，
由①②得，．故選：B．
◇典例2：（24-25九年級上·浙江寧波·開學考試）若滿足的任意實數，都能使不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵，∴，
拋物線的開口向上，對稱軸為直線，而雙曲線分布在第一、三象限，
∵，，∴時，，解得：
時，，解得：，∴實數的取值范圍是．故選：B．
◆變式訓練
1．（2025九年級·浙江·學業考試）已知三條拋物線中至少有一條與軸相交，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且或
【答案】D
【詳解】由題意，得．當時，；當時，或；
當時，．綜上，實數的取值范圍是且或故選：D．
2．（24-25九年級上·浙江嘉興·期末）小華同學根據學習二次函數的經驗，用描點法畫出了函數的圖象．由圖象可知，方程的實數根有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】觀察函數的圖象可知，
圖象與直線有3個交點，∴方程的實數根有3個故選：C
3．（24-25九年級上·浙江·期中）在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數的點為“整點”，拋物線（a為常數）與直線交于M、N兩點，若線段與拋物線圍成的區域（含邊界）內恰有4個“整點”，則a的取值范圍是 ．
【答案】或
【詳解】解：Ⅰ拋物線的頂點坐標為，過點， ，，
當時，顯然，“整點”，，符合題意下面討論拋物線經過，的兩種情況∶
①當拋物線經過時，，解得此時， ， ，，如圖所示，滿足題意的“整點”有，，，，共4個，
②當拋物線經過時，，解得，此時，，，，如圖所示，滿足題意的“整點”有， ，，，，，共6個，的取值范圍是；
Ⅱ拋物線的頂點坐標為，過點， ，，，
當時，顯然，“整點”，，符合題意下面討論拋物線經過，的兩種情況∶①當拋物線經過時，，解得，此時 ， ，，如圖所示，滿足題意的“整點”有，，，，共4個，
②當拋物線經過時，，解得，此時，，，，如圖所示，滿足題意的“整點”有，，，，，共5個，
的取值范圍是； 故答案為：或 ．
3．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）我國著名的數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非．”這里一語成偈，道出了“數”和“形”不可分割的特點．仔細體會這段話所包含的數學思想方法，并解答下列問題：
(1)如圖1，畫出了二次函數的部分圖象，則關于x的方程的解為______；(2)已知關于x的方程有兩個實數根m，n，且，若，求k的取值范圍；(3)已知方程．①直接回答此方程有幾個實數根；②探究此方程實數根的近似值（精確到0.1，只寫答案不給分！）【友情提示：圖2已給出函數的圖象】
【答案】(1)，(2)(3)①有1個實數根；②1.2
【詳解】（1）解：由圖可知該拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點為，
∴與x軸的另一個交點為，∴關于x的方程的解為，；
（2）解：設，則此拋物線的對稱軸為直線，
∵關于x的方程有兩個實數根m，n，且，
的圖象與x軸有兩個不同交點，如圖：
∵，∴時，；時，， ∴且，∴；
（3）解：①∵，∴，令，，畫出大致圖象如下，
∴的圖象與的圖象有一個交點，∴方程有1個實數根；
②由圖象可知：直線與函數的圖象交點的橫坐標t就是方程的解，
由圖象可知：當時，當時．
當時，，，，當時，，，，∴．
當時，，，，當時，，，，∴．
當時，，，，∴．
當時，，，，∴，∴，故方程的近似解為1.2．
■考點二　二次函數的實際應用
◇典例3：（24-25九年級上·浙江溫州·期末）一超市銷售某種水果，收集每日該水果所得的利潤（元）與售出質量（）的數據，并描點如圖所示，發現與滿足函數關系式．
(1)求，的值．(2)當每日售出多少該水果時，所得利潤最大？最大利潤為多少元？
【答案】(1)(2)當每日售出該水果時，所得利潤最大，最大利潤為元．
【詳解】（1）解：圖像過點，．
解得；
（2）解：把，代入得：，
，當時，y有最大值，最大值為．
答∶ 當每日售出該水果時，所得利潤最大，最大利潤為元．
◆變式訓練
1．（2024·浙江嘉興·一模）某電腦商城準備購進兩種型號的電腦，已知每臺電腦的進價型比型多元，用萬元購進型電腦和用萬購進型電腦的數量相同．
(1)兩種型號電腦每臺進價各是多少？(2)隨著技術的更新，型號電腦升級為型號，該商城計劃一次性購進兩種型號電腦共臺，型號電腦的每臺售價元．經市場調研發現，銷售型號電腦所獲利潤(萬元)與銷售量臺()，如圖所示，為線段，為拋物線一部分()．若這兩種電腦全部售出，則該商城如何進貨利潤最大？(利潤銷售總價總進價)
【答案】(1)型電腦每臺進價元，型電腦每臺進價元
(2)型電腦總共購進臺，型電腦總共購進臺
【詳解】（1）解：設型電腦每臺進價元，則型電腦每臺進價元，
根據題意得，，解得，經檢驗，是原方程的解，符合題意，
∴，
答：型電腦每臺進價元，型電腦每臺進價元；
（2）解：∵銷售量臺，∴型電腦購進臺 ，∴型電腦購進臺，
∴型電腦的利潤為萬元，
由圖象可知，當時，與的函數解析式為，
把代入得，，∴，∴，
把代入得，，解得，
∴，∴，設總利潤為萬 元，
當時，總利潤，
∵，∴隨的增大而增大，∴當時，有最大值，(萬元)；
當時，總利潤，
∵，對稱軸，∴當時，有最大值，(萬元)；
∵，∴型電腦總共購進臺，型電腦總共購進臺時，利潤最大．
2．（24-25九年級上·浙江臺州·期末）經市場調查發現，某商品的周銷售量y（件）是關于售價x（元/件）的一次函數，該商品的售價x（元/件），周銷售量y（件），周銷售利潤w（元）三者對應值如下表：
售價x（元/件） 30 40 60 80
周銷售量y（件） 210 120 60
周銷售利潤w（元） 2100 4800 3600
(1)________，________；(2)因該商品原材料上漲，進價提高了6元/件，商場為穩定銷量，規定該商品售價x不得超過60，求進價提高后周銷售利潤的最大值．
【答案】(1)180，3600(2)4080
【分析】此題考查了二次函數的實際應用，一次函數的實際應用，正確理解題意列出函數關系式是解
【詳解】（1）設根據題意得，解得
∴∴當時，；
∵該商品的進價為元/件，∴
∴當時，；
（2）根據題意得，∵∴開口向下
∵規定該商品售價x不得超過60，∴當時，．
∴當售價為60元時，周銷售利潤的最大值為4080元．
◇典例4：（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點，在同一水平線上，點與的中點重合，，，現將菱形以的速度沿方向勻速運動，當點運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運動時間之間的函數關系圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：如圖所示，設交于點，
∵菱形，，∴又∵，∴是等邊三角形，
∵，，∴∴
∴當時，重合部分為，如圖所示，
依題意，為等邊三角形，運動時間為，則，
∴
當時，如圖所示，依題意，，則
∴∴∵∴當時，
當時，同理可得，
當時，同理可得，
綜上所述，當時，函數圖象為開口向上的一段拋物線，當時，函數圖象為開口向下的一段拋物線，當時，函數圖象為一條線段，當時，函數圖象為開口向下的一段拋物線，當時，函數圖象為開口向上的一段拋物線；故選：D．
◆變式訓練
1.（2023年黑龍江省大慶市中考真題）如圖1，在平行四邊形中，，已知點在邊上，以1m/s的速度從點向點運動，點在邊上，以的速度從點向點運動．若點，同時出發，當點到達點時，點恰好到達點處，此時兩點都停止運動．圖2是的面積與點的運動時間之間的函數關系圖象（點為圖象的最高點），則平行四邊形的面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：根據題意可得：，，設，則，
作交的延長線于點，作交的延長線于點，
，
，，，，
，
由圖象可得的最大值為3，，解得：或（舍去），，
，平行四邊形的面積為：，故選：C．
◇典例5：（24-25九年級下·浙江溫州·開學考試）蛇年賀歲，千盞花燈邂逅千年古橋（圖1）．我校項目學習小組計劃用3D打印三洞橋模型，作為元宵燈會的獎品，圖2是其設計示意圖．設計過程如下：整座橋呈軸對稱結構，用拋物線，構造橋面形狀（長度單位：），三個橋洞均為圓弧形且弧的度數相等，相鄰圓弧間隔20，每個橋洞最高點到橋面的豎直距離均為4，若中間大橋洞寬度（弦長）為兩側小橋洞寬度的2倍，則大圓弧所在圓的半徑為 ．
【答案】
【詳解】解：根據題意，當，代入，得
∴中間大橋洞最高點對應的值為把代入，
解得：，則中間大橋洞的寬度為，
設大圓弧所在圓的圓心為，半徑為，圓心到弦的距離為
∴，，∴ 解得：
綜上，大圓弧所在圓的半徑為故答案為：．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江嘉興·期末）如圖為一座拱橋的示意圖，橋洞的拱形是拋物線，已知水面寬，橋洞頂部離水面．
(1)請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求出拋物線的函數表達式．
(2)若有一艘船的寬度為，高度為，則這艘船能否從該橋下通過？
【答案】(1)作圖見解析，(2)能通過
【詳解】（1）解：按如圖方式建立直角坐標系（答案不唯一），
設拋物線解析式為：，把代入，得，解得：，．
（2）解：當時，，能通過．
2．（22-23九年級下·浙江溫州·期中）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計高架橋的限高及車道寬方案？
素材1 圖1高架橋是一段拋物線結構，圖2是它的示意圖．經測量，拋物線跨度，頂點離地面，橋的兩端點M，Q距離地面．
素材2 如圖3，某道路規劃部門計劃在左側公路分非機動車道、機動車道一、機動車道二及綠化帶四部分，原計劃設計非機動車道寬，每條機動車道寬均為．為了保證車輛的行駛安全，高架下方需要設置限高標志以警示車輛駕駛員．（限高即圖中的高度，精確到）
素材3 如圖4，由于城市道路中行人安全的需求，道路規劃部門重擬新方案：非機動車道的寬定為，在非機動車道左側增加一條人行道，中間綠化帶寬度不變，每條機動車道寬均不小于且相等，機動車道一的最低高度不小于．
問題解決
任務1 確定模型 在圖2中建立適當的坐標系，求得拋物線的函數表達式．
任務2 探究原計劃限高 在圖3中標注好數據，計算確定機動車道一的限高高度．
任務3 擬定新方案中每條機動車道的最大寬度 在圖4中做上標注，計算確定新方案中每條機動車道的最大寬度．（，結果精確到）
【答案】任務一：（答案不唯一）；任務二：；任務三：
【詳解】解：任務一：如圖，以的中點為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，
由題意得，頂點坐標為，設拋物線的函數表達式為，
由圖可得，，，，，
代入到，得，解得：，
拋物線的函數表達式為（答案不唯一）．
任務二：如圖，由題意得，，，
點在任務一中所在坐標系的橫坐標為，當時，，
，答：機動車道一的限高高度為．
任務三：如圖，
由任務二的數據可得，，由題意得，當時，每條機動車道有最大寬度，令，則，解得：，（不符合題意，舍去），
，，
每條機動車道的最大寬度為．
答：每條機動車道的最大寬度為．
◇典例6：（24-25九年級上·浙江金華·期末）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.4m，灌溉車到綠化帶的距離為d（單位：m）．
(1)求上邊緣拋物線的函數解析式；(2)求出下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：如圖，由題意得是上邊緣拋物線的頂點，
∴可設上邊緣拋物線解析式為，
又∵拋物線過點，∴，∴，
∴上邊緣拋物線的函數解析式為；
（2）解：在中，令，則，解得或，∴；
∵上邊緣拋物線的對稱軸為直線，∴在上邊緣拋物線上點的對稱點為，
∵下邊緣拋物線是有上邊緣拋物線向左平移得到的，且下拋物線經過，
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
∴點B是點C向左平移得到的，∴點B的坐標為；
（3）解：∵，∴點F的縱坐標為，
對于上邊緣拋物線，當時，則，解得，
∵，∴，當時，y隨x的增大而減小，
∴當時，要使，則，
∵當時，y隨x的增大而增大，且時，，
∴當時，要使，則，
∵，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，∴d的最大值為，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江臺州·期末）二級火箭的始祖“火龍出水”的第一級火箭點燃后，會推動整個裝置飛行，形成一個拋物線軌跡．當第一級火箭燃料耗盡時，火箭會下降到某個高度（這個高度低于最高點），此時自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．可用函數圖像模擬火箭的運行過程：如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．若火箭第二級的引發點的高度為．(1)求出a，k的值；(2)火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．
【答案】(1)， (2)
【詳解】（1）解：∵火箭第二級的引發點的高度為，
∴拋物線和直線均經過點，
∴，，解得：，；
（2）解：由①知：，，
∴，∴最大值，
當時，，解得：，，
又∵火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．
而火箭第二級的引發點的高度為，∴不合題意舍去；
∴當火箭第二級高度時，在第二級則，解得：，
∴，∴這兩個位置之間的距離為．
■考點三　二次函數與幾何圖形綜合題
◇典例7：（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，拋物線與x軸交于點、兩點，與y軸交點C，連接，頂點為M．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)已知點P是拋物線上的一點，連接，若，求點P的坐標；(3)如圖2，若D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點E，當的值最大時，求點D的坐標．
【答案】(1)拋物線的解析式為，頂點的坐標為
(2)當時，點P的坐標為或(3)
【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點、兩點，
∴，解得：，∴拋物線的解析式為，
∵，∴頂點的坐標為；
（2）解：在中，當時，，則，如圖，當點在上方時，連接，∵，∴，∴，
，
在中，令，則，解得：或（不符題意，舍去），
∴此時；如圖，當點在下方時，連接，交軸于，
∵，∴，設，則，
在中，由勾股定理可得：，
∵，，∴，∴，解得：，∴，
設直線的解析式為，將，代入解析式為，解得：，
∴直線的解析式為，聯立得，
解得：或（不符合題意，舍去）當時，，∴此時；
綜上所述，當時，點P的坐標為或；
（3）解：設直線的解析式為，將，代入解析式可得，
解得：，∴直線的解析式為，
如圖，作軸，交于，設，則，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴當時，取得最大值，此時，即．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點．其頂點為．直線與拋物線交于，兩點．
(1)求、的值；(2)求三角形的面積；(3)若是拋物線上位于直線上方的一個動點，直接寫出的面積的最大值．

【答案】(1)1,3(2)3(3)
【詳解】（1）當時，，解得，∴點.
∵直線經過點A，∴，解得，∴一次函數關系式為.
將兩個函數關系式聯立，得，解得，∴點.所以；
（2）二次函數，∴點.
當時，，∴點.所以；
（3）設點，則點，∴，，
∴，當時，的面積最大值為．

2．（2025九年級下·浙江寧波·學業考試）閱讀下列材料：
我們知道，一次函數的圖象是一條直線，而經過恒等變形可化為直線的另一種表達形式：是常數，且不同時為0）．如圖1，點到直線：的距離計算公式是：．
例：求點到直線的距離時，先將化為，再由上述距離公式求得．解答下列問題：如圖2，已知直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線上的一點．(1)求點到直線的距離．
(2)拋物線上是否存在一點，使得的面積最小？若存在，求出點的坐標及面積的最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)6(2)存在，
【詳解】（1）解：依題意，直線可化為
，點到直線的距離．
（2）解：存在．設點的坐標為，
則點到直線的距離，
在中，，
中函數值恒大于0，．
當時，最小，則為，
，此時點的坐標為．
在中，令，得，令，得，
在中，，的最小值為．
◇典例8：（24-25九年級上·浙江金華·期中）如圖，拋物線經過點、、，點是拋物線在軸上方圖象上一點，動直線分別交軸、軸于點．(1)求此拋物線的解析式；(2)當以為頂點的三角形面積為6時，求出點的坐標；
(3)當，點在拋物線上運動時，是否存在點，使得以為直角頂點的與相似，若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)點的坐標為或；(3)存在點Q，t的值為或
【詳解】（1）解：∵拋物線經過點、、，
∴，解得：，∴拋物線的解析式為：；
（2）設直線的解析式為，
∴，解得：，直線的解析式為，
設，過點P作軸，交于點H，則，如圖所示：
∴，
∵，
解得：，∴點的坐標為或；
（3）∵直線分別交軸、軸于點．
∴當時，，當時，，∴，且，，
，，
，，∴即，∴，∴，
同理得：直線的解析式為，聯立得：，
解得：，，
∴，，
∴，
同理：，在中，，
當時，如圖所示：
∴，∴即，
解得：或，經檢驗：或均是原方程的解，∵，∴；
當時， ∴，
∴即，解得：，
經檢驗：是原方程的解，綜上可得：存在點Q，t的值為或．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）拋物線交軸于，兩點（在的左邊），交軸于點．(1)直接寫出，，三點的坐標；(2)如圖1，作直線，分別交軸，線段，拋物線于，，三點，連接．若與相似，求的值；(3)如圖2，過的中點作動直線（異于直線）交拋物線于，兩點，若直線與直線交于點．證明：點在一條定直線上運動．
【答案】(1)，，(2)或(3)見詳解
【詳解】（1）解：對于，當時，得，故，
當時，即，解得：或，故，，
（2）解：∵，，∴，而，∴，
∵直線與軸垂直，∴，
①當時，，如圖：
此時軸，由得到對稱軸為直線，∴，∴；
當時，，如圖：
過點作于點G，則可得，為等腰直角三角形，∴，
∵，，∴四邊形為矩形，∴，，
∴，而,∴，解得：或（舍），
綜上所述：或；
（3）證明：∵，，∴的中點為，
設，直線表達式為：，
將代入得：，解得：，
∴直線表達式為，代入點得：，
同理可求直線，直線，
聯立直線表達式得：，解得，
∴，設經過點P的直線為，
代入得：，
比較系數得：，解得：，
∴當，無論為何值，該式子恒成立，
∴點P在直線上運動．
2．（2024·山東淄博·模擬預測）如圖，已知二次函數經過，兩點，軸于點，且點，，．(1)求拋物線的解析式；(2)點是線段上一動點（不與，重合），過點作軸的垂線，交拋物線于點，當線段的長度最大時，求點的坐標及；(3)點是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的點，使成為直角三角形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)二次函數的解析式為：； (2)；
(3)存在，點的坐標為或或或
【詳解】（1）解：點，，，，
，， 把和代入二次函數中得：
，解得：， 二次函數的解析式為：；
（2）解：如圖1，直線經過點和，設直線的解析式為，
，解得：，直線的解析式為：，
二次函數，設點，則，
， 當時，的最大值為，
點的坐標為，；
（3）解：存在，，對稱軸為直線，
設，分三種情況：點為直角頂點時，由勾股定理得：，
，解得：，；
點為直角頂點時，由勾股定理得：，
，解得：，；
點為直角頂點時，由勾股定理得：，
，解得：或，或，
綜上，點的坐標為或或或．
◇典例9：（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）綜合與實踐：如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連結，點在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)小明探究點位置時發現：如圖1，點在第一象限內的拋物線上，連結，，面積存在最大值，請幫助小明求出面積的最大值；(3)小明進一步探究點位置時發現：點在拋物線上移動，連結，存在，請幫助小明求出時點的坐標．
【答案】(1)(2)(3)或
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點和點，
∴，解得：，∴拋物線的解析式為；
（2）如圖1，過點作軸交線段于點，垂足為點，
∵拋物線與軸交于點，當時，，∴，
設直線的表達式為，過點，，
∴，解得：，∴直線的表達式為，
設點，則點，∴，
∴，
∴，
∵，∴當時，的面積有最大值，面積的最大值為；
（3）如圖2，當點在直線的上方的拋物線上時，
∵，∴，∴點，的縱坐標相等，即點的縱坐標為，
當時，則，解得，，，∴，
如圖3，當點在直線的下方的拋物線上時，設交軸于點，
∵，∴，設，∴，
在中，，∴，解得：，
∴，∴，設直線的解析式為，過點，，
∴，解得：，∴直線的解析式為，
聯立，解得：， ，∴，
綜上所述，點D的坐標為或．
◆變式訓練
1．（23-24九年級上·浙江杭州·期中）如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．直線與拋物線交于，兩點，與軸交于點，點的坐標為．
(1)請直接寫出，兩點的坐標及直線的函數表達式；(2)若點是拋物線上的點，點的橫坐標為，過點作軸，垂足為，與直線交于點．當時，求點的坐標；
(3)若點是軸上的點，且，求點的坐標．
【答案】(1)，，；(2)；(3)點的坐標為或．
【詳解】（1）解：令，得：，解得，，，，
設直線的解析式為：，把，代入得：
，解得：，直線的解析式為：；
（2）解：如圖，設點的坐標為（其中），則，．
當時，此時，點是的中點，則，
解得：（負值已舍去），即點；
當時，此時，不符合題意，舍去，綜上，；
（3）解：直線與軸交于點，點坐標為．
分兩種情況：①如圖，當點在軸正半軸上時，記為點．過點作直線，垂足為．
在中，，在中，，
，，，．
又，，，，．
連接，點，點為拋物線上的對稱點，軸，，，，．．點的坐標為；
②如圖，當點在軸負半軸上時，記為點．過點作，垂足為，
在中，，在中，，
，，．
又，，，，
．由①可知，．，，
．，點的坐標為．
綜上所述：點的坐標為或
◇典例11：（24-25九年級上·浙江杭州·期末）等腰直角三角形對稱、美麗，若拋物線與軸有兩個交點，且該拋物線的頂點與這兩個交點構成的三角形是等腰直角三角形，則稱這種拋物線為“美麗拋物線”．(1)已知一條拋物線是“美麗拋物線”，且與軸的兩個交點坐標為，，則此拋物線的頂點是_____；(2)如圖，拋物線是“美麗拋物線”，頂點，與軸交于兩點，在軸上方的拋物線上找一點，且，請求出點的坐標；(3)在（2）的條件下，點是平面內一點，是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1) (2) (3)存在，或或，理由見詳解
【詳解】（1）解：拋物線與軸的兩個交點坐標為，，
∴中點為，對稱軸直線為，
∵拋物線是“美麗拋物線”，∴頂點坐標為，故答案為：；
（2）解：根據題意可得的中垂線為直線，∴，即，
解得，，∴，
設拋物線解析式為，把頂點坐標代入得，，
解得，，∴二次函數解析式為，
∵點是軸上方拋物線上一點，∴設，
如圖所示，過點作軸于點，∴，，
∵，∴，∴，整理得，，解得，，
∴，則，∴；
（3）解：存在，理由如下，已知，設，
∵以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，∴對角線的中點坐標相同，
第一種情況，以為對角線，∴，解得，，∴；
第二種情況，以為對角線，∴，解得，，∴；
第三種情況，以為對角線，∴，解得，，∴；
綜上所述，或或．
◆變式訓練
1．（23-24九年級下·內蒙古通遼·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，且交軸于點，兩點，交軸于點．(1)求拋物線的表達式；(2)點是直線上方拋物線上的一動點，過點作于點，過點作軸的平行線交直線于點，求周長的最大值及此時點的坐標；(3)在(2)中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，點為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平面內確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形，直接寫出所有符合條件的點的坐標．
【答案】(1)(2)周長的最大值，此時點
(3)以點，，，為頂點的四邊形是菱形時或或
【詳解】（1）把、代入得，，
解得，∴拋物線的表達式為；
（2）延長交軸于，

過點P作于點，過點作軸的平行線交直線于點，
∴，，∴，∴，
∴，∴當最大時周長的最大
∵拋物線的表達式為，∴，
∴直線解析式為，
設，則
∴，
∴當時最大，此時∵周長為，
∴周長的最大值為，此時，
即周長的最大值，此時點；
（3）∵將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，可以看成是向右平移2個單位長度再向下平移一個單位長度，
∴平移后的解析式為，此拋物線對稱軸為直線，
∴設， ∵，
∴，，，
當為對角線時，此時以點，，，為頂點的四邊形是菱形
∴與互相平分，且；∴，解得
∵中點坐標為，中點坐標為，
∴，解得，此時；
當為邊長且和是對角線時，此時以點，，，為頂點的四邊形是菱形
∴與互相平分，且，∴，解得
∵中點坐標為，中點坐標為，
∴，解得，此時或；
同理，當為邊長且和是對角線時，此時以點，，，為頂點的四邊形是菱形
∴和互相平分，且；，此方程無解；
綜上所述，以點，，，為頂點的四邊形是菱形時或或；
◇典例11：（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交于，兩點，點坐標為，直線經過點，且與軸交于點．(1)填空：____；____；_____．(2)將該二次函數圖象向右平移個單位，使拋物線頂點落在直線上，試求的值．(3)在（2）的條件下，設是軸上的一動點，若外接圓的圓心落在平移后的拋物線內部，試求的取值范圍．
【答案】(1)；；(2)(3)
【詳解】（1）解：點坐標為，直線經過點，，．
二次函數圖象的對稱軸是直線，是二次函數圖象是的點，
，，聯立組成方程組為，解得．故答案為：；；．
（2）解：由題意知：拋物線解析式為，即．
將的圖象向右平移個單位后得到，其頂點坐標為．
∵頂點恰好落在直線上，，．
（3）解：由題意知：平移后的拋物線解析式為，頂點．
設拋物線對稱軸與軸交于點．，為等腰直角三角形．
點在軸上，則外接圓的圓心必在邊的中垂線上．
設該中垂線交拋物線于點，．由可知線段的中點坐標為，
，故可求得該中垂線解析式為．
∴解方程組解得：．即，兩點的橫坐標分別為．
過點，分別作軸的垂線，垂足分別為，，則，兩點的橫坐標分別為．
．．
從而點的橫坐標為．同理．．
從而點的橫坐標為．的取值范圍是．
◆變式訓練
1．（23-24九年級下·浙江·自主招生）如圖，已知雙曲線，拋物線和直線．設直線與雙曲線的兩個交點為，與拋物線的兩個交點為．(1)若線段與線段的中點重合，求證：；(2)是否存在直線，使得為線段的三等分點？若存在，求出直線的解析式，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析 (2)存在，或或
【詳解】（1）證明：設、、、．顯然．
聯立，得，∴，．
聯立，得，∴，．
若線段與的中點重合，則．∴；
（2）解：若A、B為線段的三等分點，則線段與的中點重合，且，
∴，∴．且，∴．
將代入上式得．解得或．
對應的或．經檢驗均符合題意．
∴直線的解析式為或或．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）如圖，二次函數的圖象經過、、三點．
(1)求該拋物線的頂點坐標；(2)結合圖象，當時，求出的取值范圍；
(3)點是該拋物線對稱軸上一點，當周長最小時，求點的坐標．
【答案】(1)(2)(3)
【詳解】（1）解：，拋物線的頂點坐標為；
（2）當時，，解得或，
拋物線的頂點坐標為，觀察圖象可知，當時，；
（3）如圖，連接交拋物線的對稱軸于點，連接．
拋物線的對稱軸是直線 又，關于直線對稱，
，此時，此時的值最小，即的周長最小，
，，設的解析式為，
則解得：直線的解析式為，當時，，．
1．（2024·四川達州·中考真題）拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：依題意，設拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為
依題意，∵，拋物線開口向下，∴當時，，即
∴，故A選項正確，符合題意；若對稱軸為，即，
而，不能得出對稱軸為直線，故B選項不正確，不符合題意；
∵拋物線與坐標軸有2個交點，∴方程有兩個不等實數解，即，又
∴，故C選項錯誤，不符合題意；無法判斷的符號，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：A．
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動點E，F同時從點A出發，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：當與重合時，設，由題可得：∴，，
在中，由勾股定理可得：，∴，
∴，∴當時，，∵，∴圖象為開口向上的拋物線的一部分，
當在下方時，設，由題可得：∴，，
∵，,∴，
∴，∴，∴，
∴當時，，
∵，∴圖象為開口向下的拋物線的一部分，綜上所述：A正確，故選：A．
3．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，
四邊形是正方形，、互相平分，，，
，，．
，，．，．
點、的橫坐標分別為、，，．
，，，設，則，，
，，，．
又，，，．．
．．
點、在軸的同側，且點在點的右側，．．故選：B．
4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結論有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】解：∵拋物線的圖象經過點，
∴當時，，故①正確；
∵拋物線的圖象交x軸于點、，
∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，故②正確；∵對稱軸為直線，∴；
∵、，∴，∴；在中，當時，，
∴，∴，當時，則由勾股定理得，
∴，∴或（舍去）；同理當時，可得；
綜上所述，當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，或，故③錯誤；
當時，，則，如圖所示，取點，連接，則，

∴，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，
∴當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，
在中，由勾股定理得，故④正確，
∴正確的有3個，故選：C．
5．（2024·甘肅·中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂的豎直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數關系的圖象，點在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車 完全停到車棚內（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【詳解】解：∵，，∴，
在中，當時，，
∵，∴可判定貨車能完全停到車棚內，故答案為：能．
6．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是 平方米．
【答案】450
【詳解】解：由題意，設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為米，
又墻長為40米，∴．∴．
菜園的面積，
∴當時，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．故答案為：450．
7．（2024·四川甘孜·中考真題）在完成勞動課布置的“青稞生長狀態觀察”的實踐作業時，需要測量青稞穗長．同學們查閱資料得知：由于受儀器精度和觀察誤差影響，n次測量會得到n個數據，，…，，如果a與各個測量數據的差的平方和最小，就將a作為測量結果的最佳近似值．若5名同學對某株青稞的穗長測量得到的數據分別是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（單位：），則這株青稞穗長的最佳近似值為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意，a與各個測量數據的差的平方和
，
時，有最小值，青稞穗長的最佳近似長度為．故答案為：．
8．（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則 ．
【答案】
【詳解】解：以點O為坐標原點，射線方向為x軸正半軸，射線方向為y軸正半軸，建立平面直角坐標系，∵出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．
設拋物線解析式為：，把點代入得：，解得：，
∴拋物線解析式為：；當時，，
解得，（舍去），，即此次實心球被推出的水平距離為．故答案為：
9．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數）與軸沒有交點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點，∴沒有實數根，
∴，．故答案為：．
10．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．
(1)求拋物線的表達式；(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)，點在拋物線上
(3)存在，點的坐標為：或
【詳解】（1）解：將點的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，
則拋物線的表達式為：．
（2）解：由題意得：，
當時，，故點在拋物線上．
（3）解：存在，理由如下：
①當為直角時，如圖1，過點作且，則為等腰直角三角形，
，，，
，，∴，，∴點，
當時，，即點在拋物線上，∴點即為點；
②當為直角時，如圖2，同理可得：，∴，，
∴點，當時，，
∴點在拋物線上，∴點即為點；
③當為直角時，如圖3，設點，同理可得：，
∴且，解得：且，∴點，
當時，，即點不在拋物線上；
綜上，點的坐標為：或．
11．（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．
制定加工方案
生產背景 背景1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式． ◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件． ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等.
背景2 每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為： ①“風”服裝：24元/件；②“正”服裝：48元/件；③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理 現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下： 服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1正148
探究任務 任務1 探尋變量關系 求x、y之間的數量關系．
任務2 建立數學模型 設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．
任務3 擬定加工方案 制定使每天總利潤最大的加工方案．
【答案】任務1：；任務2：；任務3：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤
【詳解】解：任務1：根據題意安排70名工人加工一批夏季服裝，
∵安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，∴加工“正”服裝的有人，
∵“正”服裝總件數和“風”服裝相等，∴，整理得：；
任務2：根據題意得：“雅”服裝每天獲利為：，
∴，
整理得：∴
任務3：由任務2得，∴當時，獲得最大利潤，
，∴，∵開口向下，∴取或，
當時，，不符合題意；當時，，符合題意；∴，
綜上：安排19名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲得最大利潤．
12．（2024·四川甘孜·中考真題）【定義與性質】
如圖，記二次函數和的圖象分別為拋物線C和．
定義：若拋物線的頂點在拋物線C上，則稱是C的伴隨拋物線．
性質：①一條拋物線有無數條伴隨拋物線；
②若是C的伴隨拋物線，則C也是的伴隨拋物線，即C的頂點在上．
【理解與運用】（1）若二次函數和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，則______，______．
【思考與探究】（2）設函數的圖象為拋物線．
①若函數的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，求d，e的值；
②若拋物線與x軸有兩個不同的交點，，請直接寫出的取值范圍．

【答案】（1）2；；（2）①；②或
【詳解】解：（1）二次函數和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，∴點在的伴隨拋物線上，
代入得：，，解得：，，故答案為：2；；
（2）①，
∴頂點坐標為：，
∵函數的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，
∴，整理得：，∴；
②∵與x軸有兩個不同的交點，，
由①得：函數的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，
∴頂點坐標在圖像上滑動，頂點為，
當時，解得：或，拋物線與x軸交兩個點，
當頂點在下方時，拋物線有兩個交點，，
∵若是C的伴隨拋物線，則C也是的伴隨拋物線，即C的頂點在上．
∴在 上，當頂點在下方時，；綜上可得：或．
13．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于，兩點（在的右邊），交軸于點．
(1)直接寫出點，，的坐標；(2)如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點作直線，交y軸于點．若平分線段，求點的坐標；(3)如圖（2），點與原點關于點對稱，過原點的直線交拋物線于，兩點（點在軸下方），線段交拋物線于另一點，連接．若，求直線的解析式．
【答案】(1)，，(2)(3)
【詳解】（1）解：由，當時，，則
當， 解得： ∵在的右邊∴，，
（2）解：設直線的解析式為將，代入得，
解得：∴直線的解析式為
∵設直線的解析式為
∵在第三象限的拋物線上設，
∴∴∴
設的中點為，則 由，，設直線的解析式為，
將代入得，，解得： ∴直線的解析式為，
∵平分線段，∴在直線上，∴解得：（舍去）
當時，∴；
（3）解：如圖所示，過點作軸，過點分別作的垂線，垂足分別為，
∴∴
∴∴即∵點與原點關于點對稱，∴,
設直線的解析式為，直線的解析式為
聯立直線與拋物線解析式可得，，即
聯立直線與拋物線解析式可得，即
設，， ∴，，，∴
，
∵∴，
將代入得：∴，∴，∴直線解析式為．
14．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．
(1)若火箭第二級的引發點的高度為．①直接寫出a，b的值；
②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．
(2)直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過．
【答案】(1)①，；②(2)
【詳解】（1）解：①∵火箭第二級的引發點的高度為
∴拋物線和直線均經過點
∴，解得，．
②由①知，，∴∴最大值
當時，則解得，
又∵時，∴當時，則解得
∴這兩個位置之間的距離．
（2）解：當水平距離超過時，火箭第二級的引發點為，
將，代入，得，
解得，∴．
15．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像經過原點和點．經過點的直線與該二次函數圖象交于點，與軸交于點．
(1)求二次函數的解析式及點的坐標；(2)點是二次函數圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)①當時，有最大值為；②當P的坐標為或時，與相似
【詳解】（1）解：把，，代入，
得，解得，∴二次函數的解析式為，
設直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，
當時，，∴；
（2）解：①設，則，
∴，∴當時，有最大值為；
②∵，，∴，又，∴，
又軸，∴軸，∴，
當時，如圖，∴，∴軸，∴P的縱坐標為3，
把代入，得，解得，，∴，
∴，∴P的坐標為；
當時，如圖，過B作于F，則，，
又，∴，∴，∴，
∴，∴，解得，（舍去），
∴，∴P的坐標為
綜上，當P的坐標為或時，與相似．
16．（2024·天津·中考真題）已知拋物線的頂點為，且，對稱軸與軸相交于點，點在拋物線上，為坐標原點．
(1)當時，求該拋物線頂點的坐標；(2)當時，求的值；
(3)若是拋物線上的點，且點在第四象限，，點在線段上，點在線段上，，當取得最小值為時，求的值．
【答案】(1)該拋物線頂點的坐標為(2)10(3)1
【詳解】（1）解：，得．又，該拋物線的解析式為．
，該拋物線頂點的坐標為；
（2）解：過點作軸，垂足為，則．
在中，由，．
解得（舍）．點的坐標為．
，即．拋物線的對稱軸為．
對稱軸與軸相交于點，則．
在中，由，．解得負值舍去．
由，得該拋物線頂點的坐標為．該拋物線的解析式為．
點在該拋物線上，有．；
（3）解：過點作軸，垂足為，則．
．在中，．
過點作軸，垂足為，則．
，又，
．∴，，∴點的坐標為．
在中，，，即．
根據題意，，得．
在的外部，作，且，連接，
得．．∴．．
當滿足條件的點落在線段上時，取得最小值，即．
在中，，．得．
．解得（舍）．點的坐標為，點的坐標為．
點都在拋物線上，得．．
17．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：經過點，與y軸交于點．(1)求拋物線的函數表達式；(2)在直線上方拋物線上有一動點C，連接交于點D，求的最大值及此時點C的坐標；(3)作拋物線F關于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側），G為直線上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標．
【答案】(1)；(2)最大值為，C的坐標為；
(3)點G的坐標為，，．
【詳解】（1）解：，代入，
得：，解得：，∴拋物線的函數表達式為．
（2）解：如圖1，過點C作x軸的垂線交于點M．
∴軸，∴，∴，設的解析式為，
把，代入解析式得，解得：，∴．
設，則，∴，
∵，，∴當時，最大，最大值為．
∴的最大值為，此時點C的坐標為．
（3）解：由中心對稱可知，拋物線F與的公共點E為直線與拋物線F的右交點，
∴，∴（舍），，∴．
∵拋物線F：的頂點坐標為，∴拋物線的頂點坐標為，
∴拋物線的對稱軸為直線．
如圖2，當為對角線時，由題知，∴，∴．
如圖3，當為邊時，由題知，∴，∴．
如圖4，由題知，∴，∴，
綜上：點G的坐標為，，．
18．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數學興趣小組對該項目中的數學問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據測量和調查得到的數據和信息，設計了以下三個問題，請你解決．
(1)如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；
(2)如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關于點B成中心對稱．
①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；
②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；
(3)為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架．現在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結果保留根號）．
【答案】(1)(2)①此人騰空后的最大高度是米，解析式為；②此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內，理由見解析(3)這條鋼架的長度為米
【詳解】（1）解：根據題意得到水滑道所在拋物線的頂點坐標為，且過點，
設水滑道所在拋物線的解析式為，
將代入，得：，即，，
水滑道所在拋物線的解析式為；
（2）解：①人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關于點B成中心對稱，
則設人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標與拋物線的頂點坐標關于點成中心對稱，，
人騰空后的路徑形成的拋物線的頂點坐標為，即，
∴此人騰空后的最大高度是米，人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：；
由①知人騰空后的路徑形成的拋物線的解析式為：，
令，則，即或（舍去，不符合題意），
點，，，，
此人騰空飛出后的落點D在安全范圍內；
（3）解：根據題意可得點的縱坐標為4，令，即，
（舍去，不符合題意）或，，設所在直線的解析式為，
將代入得：，解得：，所在直線的解析式為，
如圖，設這條鋼架為，與交于點G，與地面交于H，
這條鋼架與平行，設該鋼架所在直線的解析式為，
聯立，即，整理得：，
該鋼架與水滑道有唯一公共點，，
即該鋼架所在直線的解析式為，點H與點O重合，
，，，，
這條鋼架的長度為米．
19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．(1)求該拋物線的解析式；(2)當點在第二象限內，且的面積為3時，求點的坐標；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)拋物線的解析式為(2)的坐標為或
(3)的坐標為或或或
【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：過作軸交于，如圖：

由，得直線解析式為，設，則，
，的面積為3，，即，
解得或，的坐標為或；
（3）解：在直線上存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，解得或，，，
由，得直線解析式為，設，，
過作軸于，過作軸于，
①，當與重合，與重合時，是等腰直角三角形，如圖：此時；

②當在第一象限，在第四象限時， 是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，解得（小于0，舍去）或，
，的坐標為；
③當在第四象限，在第三象限時，如圖：是以為斜邊的等腰直角三角形，
，，，
，，，，
同理可得，解得或（大于0，舍去），
，的坐標為；
④當在第四象限，在第一象限，如圖：

是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，，
，，，
，解得（舍去）或，
，的坐標為；
綜上所述，的坐標為或或或．
20．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．
(1)求二次函數的表達式；(2)當兩點關于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；(3)設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，最小值為
【詳解】（1）解：把，代入得，
，解得，∴二次函數的表達式為；
（2）解：如圖：由得拋物線對稱軸為直線，
∵兩點關于拋物線對軸對稱，∴，設，
∵，∴，
∴，
整理得，，解得，（舍去），∴，∴；
（3）存在，理由：當點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，
設點，則點，設直線交軸于點，
設直線表達式為：，代入，
得：，解得：，
∴直線的表達式為：，令，得
則，則，
則
，即存在最小值為；
當點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，
同上可求直線表達式為：，令，得
則，則，則
即存在最小值為；當點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方同理可求，即存在最小值為，
綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．
1．（24-25九年級上·浙江紹興·期中）定義符號的含義為：當時；當時．如：．則的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【詳解】解：依題意在同一坐標系中，畫出二次函數與正比例函數的圖象，如圖所示．設它們交于點、．令，即，解得：或，
把代入，得出，把代入，得出，
，，觀察圖象可知：
①當時，，函數值隨的增大而增大，其最大值為；
②當時，，函數值隨的增大而減小，其最大值為小于；
③當時，，函數值隨的增大而減小，最大值為．
綜上所述，，的最大值是．故選：A．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，一次函數與二次函數的圖象相交于，兩點，則關于的不等式的解集為（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】C
【詳解】解：與的圖象相交于，，
當時，由圖象可知的圖像在的圖象的下方，
關于的不等式的解集為．故選：C．
3．（24-25九年級上·浙江紹興·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點、在拋物線上，過點、分別作軸的垂線，交拋物線于點、，分別過點、作線段的垂線，垂足為點、．若點坐標為，四邊形的鄰邊之比為：時，則線段的長為（ ）
A．4或 B．或 C．或 D．
【答案】B
【詳解】解：依題意是矩形；把點代入中得，解得，∴，
∵點， ∴，∴， ∵四邊形的鄰邊之比為：時，
當時，則，設點A橫坐標為m，則，
代入得，解得或（舍去）．∴．
當時，則設點A橫坐標為m，則，代入得，
解得或（舍去）．∴．
綜上所述線段的長為或 故選：B．
4．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點的一條直線與該拋物線的另一個交點為，要在坐標軸上找一點，使得的周長最小，則點的坐標為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【詳解】解：根據題意，拋物線的對稱軸為，且經過點，
則有，解得，∴該拋物線的解析式為，
∵，∴該拋物線頂點的坐標為，
∵的長度，且是定值，所以只需取最小值，即可使得的周長最小，如圖1，過點作關于軸對稱的點，連接，與軸的交點即為所求的點，
則，，設直線的解析式為，將點和點代入，
可得，解得，故該直線的解析式為，
當時，，即，∵，
且，∴此時的周長；
同理，如圖2，過點作關于軸對稱的點，連接，與軸的交點即為所求的點，
則，設直線的解析式為，將點和點代入，
可得，解得，故該直線的解析式為，當時，，即，
∵，且，
∴此時的周長；∵，∴，
∴點在軸上時，的周長最小，此時點的坐標是．故選：A．
5．（2023·四川自貢·模擬預測）如圖，二次函數的圖象交軸于，兩點，圖象上的一點使，則點的坐標是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：二次函數中，令，則，
解得，，，，過點作軸于點，
，，是等腰直角三角形，，設，
，點在二次函數的圖象上，
，解得，（舍去），，故選：．
6．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知，當時，解集是，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．的解集為{或}
【答案】BC
【詳解】解：∵，當時，解集是，
∴拋物線的開口向上，拋物線與軸的兩個交點坐標為，
∴，拋物線的對稱軸為直線，，
∴，∴，故選項A錯誤；，故選項B正確；
∵拋物線與軸的兩個交點坐標為，
∴的兩個根為，∴，∴，
∴，故選項C正確；∴，∴，
當時，，∴當時，或；故選項D錯誤；故選BC．
7．（24-25九年級上·浙江湖州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為點，且與軸的正半軸交于點，點是該拋物線對稱軸上的一點，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】如圖，連接、、，過點作于點，過點作于點，
當時，，解得：，，，，
，，，
，是等邊三角形，，
，，，，
垂直平分，，，
當、、共線時，的值最小，最小值為的長，
又，的最小值為，故答案為：．
8．（24-25九年級上·浙江金華·期中）如圖，已知直線經過點，拋物線W：與y軸交于點C．點E、F分別是拋物線對稱軸和直線l上的動點，連結，則的最小值為 ．
【答案】
【詳解】解：如圖，設點關于拋物線對稱軸的對稱點為，由對稱的性質可得，
，當、、三點一線且與垂直時，最小，
由題意可得，解得，直線解析式為；
對于，當時，，，
，拋物線W：的圖象關于直線對稱，，
設點的坐標，，
中，，當，有最小值，最小值為，
即的最小值為．故答案為：．
9．（24-25九年級上·浙江溫州·期中）如圖，已知拋物線與直線交于，兩點，點坐標為，軸于點，，則的面積為 ．
【答案】
【詳解】解：作軸于點D，如下圖．，．．
點坐標為，，．
．點坐標為．軸于點，點橫坐標為1．
拋物線與直線交于點，點坐標為，，解得．則．
當時，，即點坐標為．．
軸于點， 軸于點．．是的高．
故答案為：．
10．（2025九年級下·浙江溫州·學業考試）對于三個函數，若無論取何值，總取中的最大值，則的最小值為 ．
【答案】1
【詳解】解：如圖：把和聯立方程組得：，解得：，
∴交點B的坐標為，把和聯立方程組得：，
解得或，∴交點C的坐標為，交點D的坐標為，
把和聯立方程組得：，解得或，
∴交點A的坐標為，交點G的坐標為，
∴當時，；當時，；當時，；
當時，；當時，；當時，．
總取，，中的最小值，的最小值為1，故答案為：1．
11．（2025九年級下·浙江·學業考試）已知函數．(1)求證：函數的圖象與x軸一定有交點．(2)若方程的兩個根均大于且小于1，求a的取值范圍．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：，∴函數的圖象與x軸一定有交點．
（2）解：解得：，，，解得．
∴，．
12．（24-25九年級上·浙江臺州·階段練習）已知函數的圖象如圖所示，請根據函數圖象回答下列問題．(1)方程的解為______；
(2)方程有四個不同的實數根，則的取值范圍為______；
(3)若函數的圖象與直線有三個交點，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【詳解】（1）解：通過觀察圖象可得的解為，
故答案為：；
（2）解：當時，直線與函數有三個交點，即有三個不同的實數根，
當 時，直線與函數有兩個交點，即有兩個不同的實數根，
當方程有四個不同的實數根時，，故答案為：；
（3）解：把點代入得，，令，整理得，
則，解得，
當函數的圖象與直線有三個交點時，的值為或．
13．（24-25九年級下·浙江溫州·開學考試）將拋物線（a為常數）的圖象向上平移1個單位后，圖象經過點．(1)求原拋物線的函數表達式．(2)已知點，在拋物線上．①求證：；②若，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)；(2)①見解析；②．
【詳解】（1）解：由題意得，，
∴圖象向上平移1個單位后，可得新拋物線為．
又∵圖象經過點，∴．∴．∴原拋物線的函數表達式為；
（2）①證明：由（1）拋物線為，∵點，在上，
∴，．
∴．
∵對于任意的實數m都有，∴；
②解：∵拋物線為，∴拋物線的對稱軸是直線．
∵，∴拋物線上的點離對稱軸越近函數值越大．
∵，且當時，，∴．∴．
14．（24-25九年級上·浙江紹興·期末）在平面直角坐標系中，設函數（，是常數，）．(1)若該函數的圖象經過和兩點，則函數的表達式為________．
(2)當時，寫出一個的值，使函數圖象的頂點坐標始終在直線的下方，并說明理由．(3)當，時，函數圖象上有點，直線上有點，若，試求的取值范圍．
【答案】(1)(2)或(3)或
【詳解】（1）解：函數的圖象經過和兩點，，且．，．
二次函數的表達式為．故答案為：．
（2）解：由題意，當時，函數為．
對稱軸是直線．頂點為，．
又頂點坐標始終在直線的下方，．．或．
（3）解：由題意，當，時，函數為．．
又，．．
或．或．
15．（23-24九年級上·浙江嘉興·階段練習）某專賣店銷售一種特產，經調查發現，銷售這種特產（千克）（）時，其銷售單價（元/千克）可表示為；所需的總成本（元）關于銷售量（千克）的函數關系如圖所示，圖中曲線部分是頂點坐標為的拋物線的一部分．(1)求關于的函數表達式；(2)設該專賣店銷售這種特產所獲得的利潤是（元）．
①求與之間的函數表達式；②該特產的銷售量是多少時，所獲得的利潤最大，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)①；②當銷售量為50千克時，所獲得的利潤最大，最大值為500元
【詳解】（1）解：當時，設，把代入，得，解得，∴，
當時，設，把代入，得，解得，
∴，∴；
（2）解：①當時，；
當時，
∴；
②①當時，，w隨x的增大而增大，∴當時，w有最大值為；
當時，∴當時，w有最大值為500，
∵，∴w的最大值為500，∴當銷售量為50千克時，所獲得的利潤最大，最大值為500元．
16．（2025九年級下·浙江溫州·學業考試）如圖，已知是拋物線上的四個不同的點．(1)試用表示直線的解析式．(2)已知過點過點過點．①證明：三點共線．②若點在第一象限，且，求直線的解析式．
【答案】(1)(2)①見解析；②
【詳解】（1）解：點都在拋物線上，．
設直線的解析式為，則解得，；
（2）①證明：由（1）得，直線，的解析式為，
同理可得，直線的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，∵點分別在上，
∴在中，當時，，
∴直線經過點，即三點共線．
②解：如圖，過點作于點，過點作的延長線于點．
由①，得直線的解析式為，
又，，
，，，．
，，，，．
點在第一象限，∴直線的解析式為．
17．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）如圖，頂點為C的拋物線與x軸交于A、B兩點，連結，直線，垂足為E交y軸于點D，且．
(1)求A、B兩點的坐標及a的值；(2)過點B作x軸的垂線與直線交于點F，把（1）中的拋物線向右平移K個單位，使拋物線與線段有交點，試求K的取值范圍；(3)與關于x軸成軸對稱，如圖2，把沿y軸以每秒1個單位向上平移，當Q點與D點重合時，停止運動，記運動時間為t，設與重疊部分的面積為S，求S與運動時間t的函數關系式．問S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若沒有，請說明理由．
【答案】(1)點A、B的坐標分別為：，
(2)或；(3)有，S的最大值為
【詳解】（1）解：對于，當時，，令，則，
則點A、B的坐標分別為：，點，則，
∵，則t，則，
則，解得：（經檢驗是方程的根）；
（2）由（1）知，拋物線的表達式為：，則平移后的拋物線表達式為：，
則點，則，則，
則，即點，
將點F的坐標代入平移后得拋物線表達式得：，
解得：，而，則或；
（3）連接，設平移后交于點N，交x軸于點T，交于點M，過點N作，
由（2）知，則，則為等邊三角形，
∴，∴，
∴，∴，由題意得：，則，
則，，
則
，∴S的最大值為．
18．（23-24九年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的表達式；(2)D是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形面積S的最大值及此時D點的坐標；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)，(3)存在，；
【詳解】（1）解：對于，當時，，當時，，
∴點A的坐標為，點C的坐標為，
又∵對稱軸是直線：，∴，解得：，∴拋物線的表達式為：；
（2）解：對于，當時，，解得：，，
∴點B的坐標為，又∵點，點，∴，，，
過D作軸于E，交于E，
∵點D在第二象限內的拋物線上，且橫坐標為m，，
，，
，，
，當時，S有最大值，，
當時，；
（3）存在點P和點Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以為對角線的菱形，理由如下：
∵點P在拋物線的對稱軸上，∴可設點P的坐標為：，
∵以A，C，P，Q為頂點的四邊形是以為對角線的菱形，
∴，與互相垂直平分，
設直線與x軸交于點F，過點P作軸，與交于點K，
∵點，∴，，，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，，∴，解得：，
∴點P的坐標為，設點K的坐標為，
∵點K為的中點，∴，，設點Q的坐標為，
∵點K為的中點，∴，，
解得：，，∴點Q的坐標為．
19．（2024·廣東江門·一模）如圖，拋物線經過，兩點，于軸交于點，為第一象限拋物線上的動點，連接，，，，與相交于點．
(1)求拋物線的解析式；(2)設的面積為，的面積為，當時，求點的坐標；(3)是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．

【答案】(1)(2)或(3)
【詳解】（1）解：∵拋物線經過，兩點，
∴，解得：，∴拋物線的解析式為；
（2）解：∵，∴．令，則，∴．
∵，，∴，，∴，
∴．設，∴，
∴或，∴或
（3）解：存在，點的坐標是． 理由：過點作軸于點，

∵∴．∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴．
設點，∴，，
∴，整理得，解得或（不符合題意），∴ ．
20．（2023九年級上·浙江·專題練習）如圖，已知拋物線的頂點為D點，且與x軸交于B，A兩點（B在A的左側），與y軸交于點C．點E為拋物線對稱軸上的一個動點：(1)當點E在x軸上方且時，求的值；(2)若點P在拋物線上，是否存在以點B，E，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形？請求出點P的坐標；(3)若拋物線對稱軸上有點E，使得取得最小值，連接AE并延長交第二象限拋物線為點M，從請直接寫出的長度．
【答案】(1)(2)存在 或或使得點B，E，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形 (3)
【詳解】（1）解：令時，，解得，∴．
把代入中，得，即．
∵，∴對稱軸是直線，頂點，
設對稱軸與x軸交于點F，如圖1，∴
∵，∴，在中，；
（2）∵點P在拋物線上，點E在對稱軸上，∴可設，
由題意知：．
①以為對角線時，由平行四邊形的對角線互相平分；則，
∴，解得，即；同理②以為對角線時，，
解得，即；
③以為對角線時，，解得，即；
綜上所述，存在，，，使得點B，E，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3），理由如下：如圖2，過點A作于點H，交對稱軸于點E，連接并延長交第二象限拋物線為點M，
在中，，∴．
∴．∴要取得最小值，即要最小，
∴當點A，E，H三點共線且垂直時最小，此時最小．
在，中， ，∴．
∴，即．∵，設的解析式為：，
則，解得，可求得的解析式為：．
聯立和拋物線，解得．∴．
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第三章 函數
3.4二次函數綜合
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次函數與方程、不等式 ☆☆☆ 浙江中考數學（省卷）中，二次函數與幾何綜合在中考中較為常見，這類考題通常以壓軸題形式考查，難度一般較大，此類問題需要多注意題意的理解，而且一般計算數據較大，需要考生在做題過程中更為細心對待。
考點2 二次函數的實際應用 ☆☆
考點3 二次函數與幾何圖形綜合題 ☆☆
二次函數的綜合運用在中考中較為常見，其中，二次函數在實際生活中的應用多為選填題，出題率不是特別高，一般需要根據題意自行建立二次函數模型；而利用二次函數圖象解決實際問題和最值問題則多為解答題；而二次函數與幾何圖形綜合問題，則難度較大。
1
3
■考點一　二次函數與方程、不等式 3
■考點二　二次函數的實際應用 5
■考點三　二次函數與幾何圖形綜合題 11
18
26
■考點一　二次函數與方程、不等式
1、二次函數與一元二次方程的關系
1）二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標。
3）（1）b2–4ac>0 方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac=0 方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac<0 方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點。
2、二次函數與不等式的關系（以a>0為例）:
b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
圖象
與x軸交點 個交點 個交點 個交點
ax2＋bx＋c>0的解集情況 xx2 取任意實數
ax2＋bx＋c<0的解集情況 x1■考點二　二次函數的實際應用
1.用二次函數解決實際問題的一般步驟：
1）審：仔細 ，理清 ；
2）設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當的 ；
3）列：用二次函數表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數模型，寫出二次函數的 ；
4）解：依據已知條件，借助二次函數的解析式、圖象和性質等求解實際問題；
5）檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論。
2.利用二次函數解決利潤最值的方法：巧設未知數，根據利潤公式列出函數關系式，再利用二次函數的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。
3.利用二次函數解決拱橋（門）/隧道/噴泉/球類運行軌跡類問題的方法：先建立適當的 ，再根據題意找出已知點的坐標，并求出拋物線的 ，最后根據圖象信息解決實際問題。
4.利用二次函數解決面積最值的方法：先找好 ，再利用相關的圖形面積公式，列出函數關系式，最后利用函數的最值解決面積最值問題。
5.利用二次函數解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的 或表示出與動點有關的線段 ，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
■考點三　二次函數與幾何圖形綜合題
二次函數與幾何知識聯系密切，互相滲透，以點的坐標和線段長度的關系為紐帶，把二次函數常與全相似、最大(小)面積、周長等結合起來，解決這類問題時，先要對已知和未知條件進行綜合分析，用點的等、坐標和線段長度的聯系，從圖形中建立 的模型，從而使問題得到解決解這類問題的關鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數的有關性質和知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達到解題目的。
1.二次函數與幾何圖形的長度（面積）問題
二次函數與幾何圖形的長度（面積）問題一般是利用距離或面積公式表示出圖形長度（面積）的函數關系式（一般是二次函數的表達式），再利用函數的解析式的特點求長度（面積）的最值問題；此外還會涉及到長度（面積）相等、給出長度（面積）的值等問題，其核心處理方法都是表示出長度（面積）的表達式，再去研究相關的性質。
2.二次函數與特殊三角形或四邊形
1）在二次函數的圖象中研究等腰三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準頂確與底角分類討論的關鍵，借助等腰三角形的等邊對等角、等角對等邊、三線合一等性質來轉化已知條件是常用的處理手段；
2）在二次函數的圖象中研究直角三角形的問題，需要注意分類討論思想的應用，找準直角頂點是分類討論的關鍵，借助直角三角形的勾股定理，兩銳角互補等性質來轉化已知條件是常用的處理手段。
3）在二次函數的圖象中研究平行四邊形的問題常會用到平行四邊形的一些性質之間的轉化，同時此類問題也會涉及到矩形、菱形、正方形的確定，其分析思想是互通的。
3.二次函數與線段和、差的最值問題
在二次函數的圖象中研究線段的和、差最值問題,一般會用到將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓、瓜豆原理等來解決相關最值問題。
■考點一　二次函數與方程、不等式
◇典例1：（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）如圖，二次函數與一次函數為的圖象相交于，兩點，則不等式的解集為 ．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習）如圖，拋物線與直線的交點為，．當時，x的取值范圍是（ ）
A． B．或 C．或 D．
2.（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知二次函數（是常數，）的圖象上有和兩點．若點，都在直線的下方，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
◇典例2：（24-25九年級上·浙江寧波·開學考試）若滿足的任意實數，都能使不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2025九年級·浙江·學業考試）已知三條拋物線中至少有一條與軸相交，則實數的取值范圍是
A． B．且 C． D．且或
2．（24-25九年級上·浙江嘉興·期末）小華同學根據學習二次函數的經驗，用描點法畫出了函數的圖象．由圖象可知，方程的實數根有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（24-25九年級上·浙江·期中）在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數的點為“整點”，拋物線（a為常數）與直線交于M、N兩點，若線段與拋物線圍成的區域（含邊界）內恰有4個“整點”，則a的取值范圍是 ．
3．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）我國著名的數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非．”這里一語成偈，道出了“數”和“形”不可分割的特點．仔細體會這段話所包含的數學思想方法，并解答下列問題：
(1)如圖1，畫出了二次函數的部分圖象，則關于x的方程的解為______；(2)已知關于x的方程有兩個實數根m，n，且，若，求k的取值范圍；(3)已知方程．①直接回答此方程有幾個實數根；②探究此方程實數根的近似值（精確到0.1，只寫答案不給分！）【友情提示：圖2已給出函數的圖象】
■考點二　二次函數的實際應用
◇典例3：（24-25九年級上·浙江溫州·期末）一超市銷售某種水果，收集每日該水果所得的利潤（元）與售出質量（）的數據，并描點如圖所示，發現與滿足函數關系式．
(1)求，的值．(2)當每日售出多少該水果時，所得利潤最大？最大利潤為多少元？
◆變式訓練
1．（2024·浙江嘉興·一模）某電腦商城準備購進兩種型號的電腦，已知每臺電腦的進價型比型多元，用萬元購進型電腦和用萬購進型電腦的數量相同．
(1)兩種型號電腦每臺進價各是多少？(2)隨著技術的更新，型號電腦升級為型號，該商城計劃一次性購進兩種型號電腦共臺，型號電腦的每臺售價元．經市場調研發現，銷售型號電腦所獲利潤(萬元)與銷售量臺()，如圖所示，為線段，為拋物線一部分()．若這兩種電腦全部售出，則該商城如何進貨利潤最大？(利潤銷售總價總進價)
2．（24-25九年級上·浙江臺州·期末）經市場調查發現，某商品的周銷售量y（件）是關于售價x（元/件）的一次函數，該商品的售價x（元/件），周銷售量y（件），周銷售利潤w（元）三者對應值如下表：
售價x（元/件） 30 40 60 80
周銷售量y（件） 210 120 60
周銷售利潤w（元） 2100 4800 3600
(1)________，________；(2)因該商品原材料上漲，進價提高了6元/件，商場為穩定銷量，規定該商品售價x不得超過60，求進價提高后周銷售利潤的最大值．
◇典例4：（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，水平放置的矩形中，，，菱形的頂點，在同一水平線上，點與的中點重合，，，現將菱形以的速度沿方向勻速運動，當點運動到上時停止，在這個運動過程中，菱形與矩形重疊部分的面積與運動時間之間的函數關系圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
◆變式訓練
1.（2023年黑龍江省大慶市中考真題）如圖1，在平行四邊形中，，已知點在邊上，以1m/s的速度從點向點運動，點在邊上，以的速度從點向點運動．若點，同時出發，當點到達點時，點恰好到達點處，此時兩點都停止運動．圖2是的面積與點的運動時間之間的函數關系圖象（點為圖象的最高點），則平行四邊形的面積為（ ）

A． B． C． D．
◇典例5：（24-25九年級下·浙江溫州·開學考試）蛇年賀歲，千盞花燈邂逅千年古橋（圖1）．我校項目學習小組計劃用3D打印三洞橋模型，作為元宵燈會的獎品，圖2是其設計示意圖．設計過程如下：整座橋呈軸對稱結構，用拋物線，構造橋面形狀（長度單位：），三個橋洞均為圓弧形且弧的度數相等，相鄰圓弧間隔20，每個橋洞最高點到橋面的豎直距離均為4，若中間大橋洞寬度（弦長）為兩側小橋洞寬度的2倍，則大圓弧所在圓的半徑為 ．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江嘉興·期末）如圖為一座拱橋的示意圖，橋洞的拱形是拋物線，已知水面寬，橋洞頂部離水面．
(1)請在示意圖中建立合適的平面直角坐標系，并求出拋物線的函數表達式．
(2)若有一艘船的寬度為，高度為，則這艘船能否從該橋下通過？
2．（22-23九年級下·浙江溫州·期中）根據以下素材，探索完成任務．
如何設計高架橋的限高及車道寬方案？
素材1 圖1高架橋是一段拋物線結構，圖2是它的示意圖．經測量，拋物線跨度，頂點離地面，橋的兩端點M，Q距離地面．
素材2 如圖3，某道路規劃部門計劃在左側公路分非機動車道、機動車道一、機動車道二及綠化帶四部分，原計劃設計非機動車道寬，每條機動車道寬均為．為了保證車輛的行駛安全，高架下方需要設置限高標志以警示車輛駕駛員．（限高即圖中的高度，精確到）
素材3 如圖4，由于城市道路中行人安全的需求，道路規劃部門重擬新方案：非機動車道的寬定為，在非機動車道左側增加一條人行道，中間綠化帶寬度不變，每條機動車道寬均不小于且相等，機動車道一的最低高度不小于．
問題解決
任務1 確定模型 在圖2中建立適當的坐標系，求得拋物線的函數表達式．
任務2 探究原計劃限高 在圖3中標注好數據，計算確定機動車道一的限高高度．
任務3 擬定新方案中每條機動車道的最大寬度 在圖4中做上標注，計算確定新方案中每條機動車道的最大寬度．（，結果精確到）
◇典例6：（24-25九年級上·浙江金華·期末）如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度為，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.4m，灌溉車到綠化帶的距離為d（單位：m）．
(1)求上邊緣拋物線的函數解析式；(2)求出下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點B的坐標；
(3)要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，直接寫出d的取值范圍．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江臺州·期末）二級火箭的始祖“火龍出水”的第一級火箭點燃后，會推動整個裝置飛行，形成一個拋物線軌跡．當第一級火箭燃料耗盡時，火箭會下降到某個高度（這個高度低于最高點），此時自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．可用函數圖像模擬火箭的運行過程：如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．若火箭第二級的引發點的高度為．(1)求出a，k的值；(2)火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．
■考點三　二次函數與幾何圖形綜合題
◇典例7：（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，拋物線與x軸交于點、兩點，與y軸交點C，連接，頂點為M．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)已知點P是拋物線上的一點，連接，若，求點P的坐標；(3)如圖2，若D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點E，當的值最大時，求點D的坐標．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點．其頂點為．直線與拋物線交于，兩點．
(1)求、的值；(2)求三角形的面積；(3)若是拋物線上位于直線上方的一個動點，直接寫出的面積的最大值．

2．（2025九年級下·浙江寧波·學業考試）閱讀下列材料：
我們知道，一次函數的圖象是一條直線，而經過恒等變形可化為直線的另一種表達形式：是常數，且不同時為0）．如圖1，點到直線：的距離計算公式是：．
例：求點到直線的距離時，先將化為，再由上述距離公式求得．解答下列問題：如圖2，已知直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線上的一點．(1)求點到直線的距離．
(2)拋物線上是否存在一點，使得的面積最小？若存在，求出點的坐標及面積的最小值；若不存在，請說明理由．
◇典例8：（24-25九年級上·浙江金華·期中）如圖，拋物線經過點、、，點是拋物線在軸上方圖象上一點，動直線分別交軸、軸于點．(1)求此拋物線的解析式；(2)當以為頂點的三角形面積為6時，求出點的坐標；
(3)當，點在拋物線上運動時，是否存在點，使得以為直角頂點的與相似，若存在，請求出此時的值；若不存在，請說明理由．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）拋物線交軸于，兩點（在的左邊），交軸于點．(1)直接寫出，，三點的坐標；(2)如圖1，作直線，分別交軸，線段，拋物線于，，三點，連接．若與相似，求的值；(3)如圖2，過的中點作動直線（異于直線）交拋物線于，兩點，若直線與直線交于點．證明：點在一條定直線上運動．
2．（2024·山東淄博·模擬預測）如圖，已知二次函數經過，兩點，軸于點，且點，，．(1)求拋物線的解析式；(2)點是線段上一動點（不與，重合），過點作軸的垂線，交拋物線于點，當線段的長度最大時，求點的坐標及；(3)點是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的點，使成為直角三角形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．
◇典例9：（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）綜合與實踐：如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連結，點在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)小明探究點位置時發現：如圖1，點在第一象限內的拋物線上，連結，，面積存在最大值，請幫助小明求出面積的最大值；(3)小明進一步探究點位置時發現：點在拋物線上移動，連結，存在，請幫助小明求出時點的坐標．
◆變式訓練
1．（23-24九年級上·浙江杭州·期中）如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點．直線與拋物線交于，兩點，與軸交于點，點的坐標為．
(1)請直接寫出，兩點的坐標及直線的函數表達式；(2)若點是拋物線上的點，點的橫坐標為，過點作軸，垂足為，與直線交于點．當時，求點的坐標；
(3)若點是軸上的點，且，求點的坐標．
◇典例11：（24-25九年級上·浙江杭州·期末）等腰直角三角形對稱、美麗，若拋物線與軸有兩個交點，且該拋物線的頂點與這兩個交點構成的三角形是等腰直角三角形，則稱這種拋物線為“美麗拋物線”．(1)已知一條拋物線是“美麗拋物線”，且與軸的兩個交點坐標為，，則此拋物線的頂點是_____；(2)如圖，拋物線是“美麗拋物線”，頂點，與軸交于兩點，在軸上方的拋物線上找一點，且，請求出點的坐標；(3)在（2）的條件下，點是平面內一點，是否存在點，使得以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
◆變式訓練
1．（23-24九年級下·內蒙古通遼·期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點，且交軸于點，兩點，交軸于點．(1)求拋物線的表達式；(2)點是直線上方拋物線上的一動點，過點作于點，過點作軸的平行線交直線于點，求周長的最大值及此時點的坐標；(3)在(2)中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線方向平移個單位長度，點為平移后的拋物線的對稱軸上一點，在平面內確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形，直接寫出所有符合條件的點的坐標．
◇典例11：（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交于，兩點，點坐標為，直線經過點，且與軸交于點．(1)填空：____；____；_____．(2)將該二次函數圖象向右平移個單位，使拋物線頂點落在直線上，試求的值．(3)在（2）的條件下，設是軸上的一動點，若外接圓的圓心落在平移后的拋物線內部，試求的取值范圍．
◆變式訓練
1．（23-24九年級下·浙江·自主招生）如圖，已知雙曲線，拋物線和直線．設直線與雙曲線的兩個交點為，與拋物線的兩個交點為．(1)若線段與線段的中點重合，求證：；(2)是否存在直線，使得為線段的三等分點？若存在，求出直線的解析式，若不存在，請說明理由．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·期中）如圖，二次函數的圖象經過、、三點．
(1)求該拋物線的頂點坐標；(2)結合圖象，當時，求出的取值范圍；
(3)點是該拋物線對稱軸上一點，當周長最小時，求點的坐標．
1．（2024·四川達州·中考真題）拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在等腰中，，，動點E，F同時從點A出發，分別沿射線和射線的方向勻速運動，且速度大小相同，當點E停止運動時，點F也隨之停止運動，連接，以為邊向下做正方形，設點E運動的路程為，正方形和等腰重合部分的面積為下列圖像能反映y與x之間函數關系的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結論有（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
5．（2024·甘肅·中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂的橫截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂的豎直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數關系的圖象，點在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車 完全停到車棚內（填“能”或“不能”）．
6．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是 平方米．
7．（2024·四川甘孜·中考真題）在完成勞動課布置的“青稞生長狀態觀察”的實踐作業時，需要測量青稞穗長．同學們查閱資料得知：由于受儀器精度和觀察誤差影響，n次測量會得到n個數據，，…，，如果a與各個測量數據的差的平方和最小，就將a作為測量結果的最佳近似值．若5名同學對某株青稞的穗長測量得到的數據分別是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（單位：），則這株青稞穗長的最佳近似值為 ．
8．（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則 ．
9．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數）與軸沒有交點，則的取值范圍是 ．
10．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．(1)求拋物線的表達式；(2)將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
11．（2024·江蘇鹽城·中考真題）請根據以下素材，完成探究任務．
制定加工方案
生產背景 背景1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝，有“風”“雅”“正”三種樣式． ◆因工藝需要，每位工人每天可加工且只能加工“風”服裝2件，或“雅”服裝1件，或“正”服裝1件． ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件，“正”服裝總件數和“風”服裝相等.
背景2 每天加工的服裝都能銷售出去，扣除各種成本，服裝廠的獲利情況為： ①“風”服裝：24元/件；②“正”服裝：48元/件；③“雅”服裝：當每天加工10件時，每件獲利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件獲利將減少2元．
信息整理 現安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風”服裝，列表如下： 服裝種類加工人數（人）每人每天加工量（件）平均每件獲利（元）風y224雅x1正148
探究任務 任務1 探尋變量關系 求x、y之間的數量關系．
任務2 建立數學模型 設該工廠每天的總利潤為w元，求w關于x的函數表達式．
任務3 擬定加工方案 制定使每天總利潤最大的加工方案．
12．（2024·四川甘孜·中考真題）【定義與性質】
如圖，記二次函數和的圖象分別為拋物線C和．
定義：若拋物線的頂點在拋物線C上，則稱是C的伴隨拋物線．
性質：①一條拋物線有無數條伴隨拋物線；
②若是C的伴隨拋物線，則C也是的伴隨拋物線，即C的頂點在上．
【理解與運用】（1）若二次函數和的圖象都是拋物線的伴隨拋物線，則______，______．
【思考與探究】（2）設函數的圖象為拋物線．
①若函數的圖象為拋物線，且始終是的伴隨拋物線，求d，e的值；
②若拋物線與x軸有兩個不同的交點，，請直接寫出的取值范圍．

13．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線交軸于，兩點（在的右邊），交軸于點．
(1)直接寫出點，，的坐標；(2)如圖（1），連接，，過第三象限的拋物線上的點作直線，交y軸于點．若平分線段，求點的坐標；(3)如圖（2），點與原點關于點對稱，過原點的直線交拋物線于，兩點（點在軸下方），線段交拋物線于另一點，連接．若，求直線的解析式．
14．（2024·湖北武漢·中考真題）16世紀中葉，我國發明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級火箭的始祖．火箭第一級運行路徑形如拋物線，當火箭運行一定水平距離時，自動引發火箭第二級，火箭第二級沿直線運行．某科技小組運用信息技術模擬火箭運行過程．如圖，以發射點為原點，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標系，分別得到拋物線和直線．其中，當火箭運行的水平距離為時，自動引發火箭的第二級．
(1)若火箭第二級的引發點的高度為．①直接寫出a，b的值；
②火箭在運行過程中，有兩個位置的高度比火箭運行的最高點低，求這兩個位置之間的距離．
(2)直接寫出a滿足什么條件時，火箭落地點與發射點的水平距離超過．
15．（2024·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖像經過原點和點．經過點的直線與該二次函數圖象交于點，與軸交于點．
(1)求二次函數的解析式及點的坐標；(2)點是二次函數圖象上的一個動點，當點在直線上方時，過點作軸于點，與直線交于點，設點的橫坐標為．①為何值時線段的長度最大，并求出最大值；②是否存在點，使得與相似．若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由．
16．（2024·天津·中考真題）已知拋物線的頂點為，且，對稱軸與軸相交于點，點在拋物線上，為坐標原點．
(1)當時，求該拋物線頂點的坐標；(2)當時，求的值；
(3)若是拋物線上的點，且點在第四象限，，點在線段上，點在線段上，，當取得最小值為時，求的值．
17．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：經過點，與y軸交于點．(1)求拋物線的函數表達式；(2)在直線上方拋物線上有一動點C，連接交于點D，求的最大值及此時點C的坐標；(3)作拋物線F關于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側），G為直線上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標．
18．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，是某公園的一種水上娛樂項目．數學興趣小組對該項目中的數學問題進行了深入研究．下面是該小組繪制的水滑道截面圖，如圖1，人從點A處沿水滑道下滑至點B處騰空飛出后落入水池．以地面所在的水平線為x軸，過騰空點B與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系．他們把水滑道和人騰空飛出后經過的路徑都近似看作是拋物線的一部分．根據測量和調查得到的數據和信息，設計了以下三個問題，請你解決．
(1)如圖1，點B與地面的距離為2米，水滑道最低點C與地面的距離為米，點C到點B的水平距離為3米，則水滑道所在拋物線的解析式為______；
(2)如圖1，騰空點B與對面水池邊緣的水平距離米，人騰空后的落點D與水池邊緣的安全距離不少于3米．若某人騰空后的路徑形成的拋物線恰好與拋物線關于點B成中心對稱．
①請直接寫出此人騰空后的最大高度和拋物線的解析式；
②此人騰空飛出后的落點D是否在安全范圍內？請說明理由（水面與地面之間的高度差忽略不計）；
(3)為消除安全隱患，公園計劃對水滑道進行加固．如圖2，水滑道已經有兩條加固鋼架，一條是水滑道距地面4米的點M處豎直支撐的鋼架，另一條是點M與點B之間連接支撐的鋼架．現在需要在水滑道下方加固一條支撐鋼架，為了美觀，要求這條鋼架與平行，且與水滑道有唯一公共點，一端固定在鋼架上，另一端固定在地面上．請你計算出這條鋼架的長度（結果保留根號）．
19．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．(1)求該拋物線的解析式；(2)當點在第二象限內，且的面積為3時，求點的坐標；(3)在直線上是否存在點，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

20．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．
(1)求二次函數的表達式；(2)當兩點關于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；(3)設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．
1．（24-25九年級上·浙江紹興·期中）定義符號的含義為：當時；當時．如：．則的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．0
2．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，一次函數與二次函數的圖象相交于，兩點，則關于的不等式的解集為（ ）
A．或 B． C． D．或
3．（24-25九年級上·浙江紹興·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點、在拋物線上，過點、分別作軸的垂線，交拋物線于點、，分別過點、作線段的垂線，垂足為點、．若點坐標為，四邊形的鄰邊之比為：時，則線段的長為（ ）
A．4或 B．或 C．或 D．
4．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，已知拋物線的對稱軸為，過其頂點的一條直線與該拋物線的另一個交點為，要在坐標軸上找一點，使得的周長最小，則點的坐標為（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2023·四川自貢·模擬預測）如圖，二次函數的圖象交軸于，兩點，圖象上的一點使，則點的坐標是　　
A． B． C． D．
6．（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）已知，當時，解集是，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．的解集為{或}
7．（24-25九年級上·浙江湖州·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為點，且與軸的正半軸交于點，點是該拋物線對稱軸上的一點，則的最小值為 ．
8．（24-25九年級上·浙江金華·期中）如圖，已知直線經過點，拋物線W：與y軸交于點C．點E、F分別是拋物線對稱軸和直線l上的動點，連結，則的最小值為 ．
9．（24-25九年級上·浙江溫州·期中）如圖，已知拋物線與直線交于，兩點，點坐標為，軸于點，，則的面積為 ．
10．（2025九年級下·浙江溫州·學業考試）對于三個函數，若無論取何值，總取中的最大值，則的最小值為 ．
11．（2025九年級下·浙江·學業考試）已知函數．(1)求證：函數的圖象與x軸一定有交點．(2)若方程的兩個根均大于且小于1，求a的取值范圍．
12．（24-25九年級上·浙江臺州·階段練習）已知函數的圖象如圖所示，請根據函數圖象回答下列問題．(1)方程的解為______；
(2)方程有四個不同的實數根，則的取值范圍為______；
(3)若函數的圖象與直線有三個交點，求的值．
13．（24-25九年級下·浙江溫州·開學考試）將拋物線（a為常數）的圖象向上平移1個單位后，圖象經過點．(1)求原拋物線的函數表達式．(2)已知點，在拋物線上．①求證：；②若，直接寫出m的取值范圍．
14．（24-25九年級上·浙江紹興·期末）在平面直角坐標系中，設函數（，是常數，）．(1)若該函數的圖象經過和兩點，則函數的表達式為________．
(2)當時，寫出一個的值，使函數圖象的頂點坐標始終在直線的下方，并說明理由．(3)當，時，函數圖象上有點，直線上有點，若，試求的取值范圍．
15．（23-24九年級上·浙江嘉興·階段練習）某專賣店銷售一種特產，經調查發現，銷售這種特產（千克）（）時，其銷售單價（元/千克）可表示為；所需的總成本（元）關于銷售量（千克）的函數關系如圖所示，圖中曲線部分是頂點坐標為的拋物線的一部分．(1)求關于的函數表達式；(2)設該專賣店銷售這種特產所獲得的利潤是（元）．
①求與之間的函數表達式；②該特產的銷售量是多少時，所獲得的利潤最大，最大值是多少？
16．（2025九年級下·浙江溫州·學業考試）如圖，已知是拋物線上的四個不同的點．(1)試用表示直線的解析式．(2)已知過點過點過點．①證明：三點共線．②若點在第一象限，且，求直線的解析式．
17．（24-25九年級上·浙江寧波·期中）如圖，頂點為C的拋物線與x軸交于A、B兩點，連結，直線，垂足為E交y軸于點D，且．
(1)求A、B兩點的坐標及a的值；(2)過點B作x軸的垂線與直線交于點F，把（1）中的拋物線向右平移K個單位，使拋物線與線段有交點，試求K的取值范圍；(3)與關于x軸成軸對稱，如圖2，把沿y軸以每秒1個單位向上平移，當Q點與D點重合時，停止運動，記運動時間為t，設與重疊部分的面積為S，求S與運動時間t的函數關系式．問S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若沒有，請說明理由．
18．（23-24九年級上·江蘇蘇州·期末）如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線．
(1)求拋物線的表達式；(2)D是第二象限內拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形面積S的最大值及此時D點的坐標；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．
19．（2024·廣東江門·一模）如圖，拋物線經過，兩點，于軸交于點，為第一象限拋物線上的動點，連接，，，，與相交于點．
(1)求拋物線的解析式；(2)設的面積為，的面積為，當時，求點的坐標；(3)是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．

20．（2023九年級上·浙江·專題練習）如圖，已知拋物線的頂點為D點，且與x軸交于B，A兩點（B在A的左側），與y軸交于點C．點E為拋物線對稱軸上的一個動點：(1)當點E在x軸上方且時，求的值；(2)若點P在拋物線上，是否存在以點B，E，C，P為頂點的四邊形是平行四邊形？請求出點P的坐標；(3)若拋物線對稱軸上有點E，使得取得最小值，連接AE并延長交第二象限拋物線為點M，從請直接寫出的長度．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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