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第三章 函數(shù)
3.2反比例函數(shù)
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 反比例函數(shù)的概念 ☆☆ 浙江中考數(shù)學（省卷）中，反比例函數(shù)的部分，考查1-2道題，分值為10分左右，反比例函數(shù)的圖象與性質和平面幾何的知識結合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合出現(xiàn)在解答題中也是一種可能，難度中上。
考點2 反比例函數(shù)的圖象與性質 ☆☆☆
考點3 反比例函數(shù)的幾何意義 ☆☆☆
考點4 反比例函數(shù)的實際應用 ☆☆
1
3
■考點一　反比例函數(shù)的概念 3
■考點二　反比例函數(shù)的圖象和性質 5
■考點三　反比例函數(shù)中|k|的幾何意義 9
■考點四　反比例函數(shù)的實際應用 21
29
43
■考點一　反比例函數(shù)的概念
反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù) ．
自變量x和函數(shù)值y的取值范圍都是不等于0 的任意實數(shù)．
■考點二　反比例函數(shù)的圖象和性質
1、反比例函數(shù)的圖象和性質
表達式 （k是常數(shù)，k≠0）
k k>0 k<0
大致圖象
所在象限 第一、三 象限 第二、四 象限
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而減小 . 在每個象限內，y隨x的增大而增大 .
對稱性 軸對稱圖形（對稱軸為直線y=x和y=-x），中心對稱圖形（對稱中心為原點）
2、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟
1）設反比例函數(shù)解析式（k≠0）；2）把已知一對x，y的值代入解析式 ，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；3）解這個方程求出待定系數(shù)k；4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設的函數(shù)解析式．
■考點三　反比例函數(shù)中|k|的幾何意義
1）反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積
2）涉及三角形的面積型
當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．
（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，
則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
3）涉及自變量取值范圍型
當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后求出交點坐標 。若求時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于 反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍；反之亦然。
4）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標
（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定：①k值同號，兩個函數(shù)必有兩個交點 ；②k值異號，兩個函數(shù)可無 交點，可有一個 交點，可有兩個 交點；
（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解 的情況．
■考點四　反比例函數(shù)的實際應用
解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定函數(shù)解析式 ，再利用圖象 找出解決問題的方案，特別注意自變量的 取值范圍．
■考點一　反比例函數(shù)的概念
◇典例1：（2024·北京順義·一模）已知y是x的函數(shù)，下表是x與y的幾組對應值：
x … 1 2 4 …
y … 4 2 1 …
y與x的函數(shù)關系有以下3個描述：①可能是一次函數(shù)關系；②可能是反比例函數(shù)關系；
③可能是二次函數(shù)關系，所有正確描述的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【詳解】解：觀察可知，三個點不在同一直線上，故①錯誤，③正確；
三個點的橫坐標和縱坐標的積都為4，故都在反比例函數(shù)圖象上，故②正確；故選：C．
◆變式訓練
1．（23-24九年級上·吉林·期末）下列函數(shù)中，與x軸無交點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、當時，，則函數(shù)與x軸有交點，不符合題意；
B、當時，，則函數(shù)與x軸有交點，不符合題意；
C、當時，無解，則函數(shù)與x軸無交點，符合題意；
D、當時，，則函數(shù)與x軸有交點，不符合題意；故選C．
2.（2024上·浙江九年級期中）已知函數(shù)是關于的反比例函數(shù)，則實數(shù)的值是 ．
【答案】
【詳解】解：由題意得：，且，，故答案為：．
3．（2024·浙江舟山·一模）已知，則關于的函數(shù)為 ．
【答案】
【詳解】∵，∴，∴關于的函數(shù)為：．故答案為：．
◇典例2：（23-24九年級上·浙江金華·開學考試）以下四個點中，不在反比例函數(shù)圖象上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵，，，，
∴不在反比例函數(shù)圖象上，故D符合題意．故選：D．
◆變式訓練
1．（2023年廣東省中考數(shù)學真題）某蓄電池的電壓為，使用此蓄電池時，電流(單位：)與電阻(單位：)的函數(shù)表達式為，當時，的值為 ．
【答案】4
【詳解】解：∵，∴故答案為：4．
2．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經過點，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經過點，∴，故答案為：．
■考點二　反比例函數(shù)的圖象和性質
◇典例3：（2024·浙江嘉興·一模）函數(shù)與函數(shù)在同一直角坐標系中的大致圖象不可能是（ ）．
A．B． C．D．
【答案】D
【詳解】解：，，
A.該選項的圖像要求中，則，對要求，兩圖像不存在矛盾，當時，對于函數(shù)與x軸交點的橫坐標為與圖像不存在矛盾，不符合題意；B. 該選項的圖像要求中，則；對要求，兩圖像不存在矛盾；當時，對于函數(shù)與x軸交點的橫坐標為與圖像不存在矛盾，不符合題意；C. 該選項的圖像要求中，則；對要求，兩圖像不存在矛盾，當時，對于函數(shù)與x軸交點的橫坐標為與圖像不存在矛盾，不符合題意；D. 該選項的圖像要求中，則，對要求，兩圖像存在矛盾，符合題意．故選D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·一模）一輛出租車從甲地到乙地，當平均速度為時，所用時間為，則t關于v的函數(shù)圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】設甲乙兩地之間的距離為s，則（定值），，
符合反比例函數(shù)的一般形式，且速度和時間均為正數(shù), 圖象應為在第一象限的曲線. 故選：D．
2．（2023·貴州遵義·一模）下列是在同一直角坐標系中函數(shù)和的圖象如圖，其中，，的描述正確的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【詳解】解：根據(jù)一次函數(shù)圖象過一、二、三象限可知：，，
根據(jù)反比例函數(shù)圖象過一、三象限可知：，，，，故選：A．
◇典例4：（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）關于反比例函數(shù)，下列結論正確的是（ ）
A．圖象位于第一、三象限 B．圖象與坐標軸有公共點
C．圖象經過點，則 D．圖象所在的每一個象限內，隨的增大而增大
【答案】D
【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，，
∴反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限；與坐標軸沒有公共點；在每一個象限內，隨的增大而增大，則選項A和B錯誤，選項D正確；將點代入反比例函數(shù)得：，
解得或，則選項C錯誤；故選：D．
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江臺州·期末）若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則整數(shù)k可以是 （填一個即可）．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴，即．故答案為：4（答案不唯一）．
2．（2024·湖北武漢·中考真題）某反比例函數(shù)具有下列性質：當時，y隨x的增大而減小，寫出一個滿足條件的k的值是 ．
【答案】1（答案不唯一）
【詳解】解：∵當時，y隨x的增大而減小，∴ 故答案為：1（答案不唯一）．
3.（2024·廣東深圳·校考模擬預測）關于函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A．當時，y隨x的增大而增大
B．當時，y隨x的增大而增大
C．當時，若x越大，則對應的y值也越大
D．若、是其圖象上兩點，則不一定有
【答案】C
【詳解】解：函數(shù)的圖象如圖所示：
A、由圖示知，當時，y隨x的增大而增大．故本選項結論正確，不符合題意；
B、由圖示知，當時，y隨x的增大而增大．故本選項結論正確，不符合題意；
C、由圖示知，在同一象限內，當時，若x越大，則對應的y值也越大．若不在同一象限內則時，，時，，故本選項結論錯誤，符合題意；

D、由圖示知，若，，則．故本選項結論正確，不符合題意．故選：C．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的增減性，反比例函數(shù)，當時，在每個象限內y隨x的增大而減小，當時，在每個象限內y隨x的增大而增大．
◇典例4：（24-25九年級上·浙江金華·開學考試）已知點，，在函數(shù)的圖象上，比較，，大小 （用“”連接）．
【答案】
【詳解】解：點，，在函數(shù)的圖象上，
，，故答案為：．
◆變式訓練
1．（24-25九年級下·浙江溫州·開學考試）已知，是反比例函數(shù)圖象上的點，且，，則下列關系中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵反比例函數(shù)解析式為，∴它的圖象在第二、四象限，
∵，∴，，∴，故選：B．
2．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）反比例函數(shù)的圖象上有，兩點．下列正確的選項是（　　）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】A
【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，，
∴反比例函數(shù)在第一，三象限，在每個象限內，隨的增大而減小，
當時，，此時點，在第三象限，
∴，∴，A正確，符合題意；
當時，，此時點在第三象限，點在第一象限，
∴，B，C錯誤，不符合題意；
當時，，此時點，在第一象限，∴，D錯誤，不符合題意；故選：A．
3．（24-25九年級上·浙江溫州·開學考試）已知反比例函數(shù)圖象上有三個點，且滿足，則b的值可以為（ ）
A．2 B． C．1 D．3
【答案】C
【詳解】解：，函數(shù)的圖象位于第二、四象限，且在每一象限內，隨的增大而增大，
點在函數(shù)的圖象上，
又，，∴，，
∴，∴的值可以是1；故答案為：C．
■考點三　反比例函數(shù)中|k|的幾何意義
◇典例5：（24-25九年級上·浙江杭州·期末）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，過點作軸于點，軸于點，以點為位似中心把四邊形放大得到四邊形，過點的反比例函數(shù)表達式為，則四邊形和四邊形的位似比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵過點作軸于點，軸于點，∴四邊形是矩形，
∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，
∵以點為位似中心把四邊形放大得到四邊形，點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴四邊形也是矩形，，∴相似比為， 故選：A ．
◆變式訓練
1．（2024·新疆·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于兩點，軸于點，連接交軸于點，結合圖象判斷下列結論：點與點關于原點對稱；點是的中點；在的圖象上任取點和點，如果，那么；．其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵直線與雙曲線交于兩點，
∴點與點關于原點對稱，故正確；∵點與點關于原點對稱，∴，
∵軸，軸，∴，∴，
∴，∴點是的中點，故正確；∵，∴在每一象限內，隨的增大而減小，
當在同一象限內時，如果，那么；當不在同一象限內時，如果，那么，故錯誤；∵軸，∴，∵點與點關于原點對稱，∴，
∵點是的中點，∴，故正確；∴正確結論有個，故選：．
2．（2024·浙江杭州·三模）如圖，正比例函數(shù)為常數(shù)圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)）圖象交于A，B兩點，軸于點H，連接交y軸于點G，若，則k的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于A，B兩點，
∴A，B關于原點對稱，∴，∵軸，∵，∴,∴，
∴，∴，，∴，
∵反比例函數(shù)圖象上在第二象限，∴．故選：D．
◇典例6：（2024·山東棗莊·二模）如圖，是平行四邊形，對角線在軸正半軸上，位于第一象限的點和第二象限的點分別在雙曲線 和 的一個分支上，分別過點作軸的垂線段，垂足分別為點和點，給出如下四個結論： 陰影部分的面積是 ；當時，； 若是菱形，則 ；以上結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：作軸于，軸于，如圖，
∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴
∵，，∴，故正確；
∵，，∴，故正確；
當， 四邊形是矩形，∴不能確定與相等，
而，∴不能判斷，∴不能判斷，∴不能確定，故錯誤；
若四邊形是菱形，則，而，∴，
∴，∴，又由圖象可得，，，∴，∴，故正確；
∴結論正確的是，故選：．
◆變式訓練
1．（23-24九年級下·浙江杭州·期末）如圖，過的圖象上點，分別作軸，軸的平行線交的圖象于，兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【詳解】解：依題意，設，則，，
∵點A在的圖象上則，同理∵B，D兩點在的圖象上，則
∵∴，又∵，故，∴，故選：D．
2．（2024·浙江·二模）如圖，已知反比例函數(shù)第一象限的圖象經過的頂點A，且交于點C，點B在x軸的正半軸上，將沿翻折，點C的對應點D恰好落在第二象限的圖象上，平行x軸，若點E在上，且是的重心，連結，已知的面積為4，則的值為 ．

【答案】12
【詳解】解：∵點E在上，且是的重心，的面積為4，
∴，，，∴，由對折可得：，∴，∵，，∴；故答案為：
◇典例7：（2024九年級下·浙江寧波·專題練習）如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)請直接寫出時x的取值范圍；
(3)過點B作軸，于點D，點C是直線上一點，若，求點C的坐標．
【答案】(1)一次函數(shù)的表達式為，(2)或(3)或
【詳解】（1）解：把代入中得，反比例函數(shù)的表達式為，．
把和代入一次函數(shù)得，解得
一次函數(shù)的表達式為．
（2）解：從圖象可以看出，時的取值范圍為或．
（3）解：點，點，則，
，由得，故點或．
◆變式訓練
1．（2024九年級下·浙江金華·專題練習）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)為的圖象交于，兩點．
(1)求兩個函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍；
(3)點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點Q，若面積為5，求點Q的坐標．
【答案】(1)，(2)或(3)或．
【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象經過點，
∴反比例函數(shù)的解析式為，
把代入，得，∴點坐標為，
∵一次函數(shù)解析式，經過，，
故得解得，∴一次函數(shù)解析式為；
（2）∵，，∴由圖象可得，當或時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，且都在x軸上方∴時x的取值范圍或；
（3）由題意，設且，
解得，或．
2．（2023·浙江杭州·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)，（a，b，k是常數(shù)，，）的圖象交于第一象限，兩點，與坐標軸交于A、B兩點，連接，．（O是坐標原點）。(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；(2)直接寫出當時x的取值范圍；(3)將直線向下平移多少個單位長度，直線與反比例函數(shù)圖象只有一個交點？

【答案】(1)；(2)或(3)1或9個
【詳解】（1）把代入是常數(shù)，，，得，
∴反比例函數(shù)的解析式為，把代入，得，∴，
把，坐標分別代入得，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為；
（2）由圖可知，當時x的取值范圍為：或；
（3）設直線向下平移n個單位長度，此時直線對應的表達式為，
聯(lián)立方程組得，消去y得，整理得，
∵由于直線與反比例函數(shù)圖象只有一個交點，∴，即，解得，，
∴將直線向下平移1或9個單位長度，直線與反比例圖象只有一個交點．
◇典例8：（23-24九年級下·浙江寧波·自主招生）已知，矩形的A，B頂點分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)與矩形的，分別交于，，的面積為．
(1)判斷并證明直線與的關系．
(2)求k的值．
(3)若E，F(xiàn)分別為直線和反比例函數(shù)上的動點，M為中點，求的最小值．
【答案】(1)，理由見解析(2)6(3)
【詳解】（1）解：如圖1，，理由如下：
，矩形的A，B頂點分別在軸，y軸上，反比例函數(shù)與矩形的，分別交于D，C，，，，，
，，，，
，，，；
（2）解：如圖2，作于G，，
，
，，，（舍去），；
（3）解：如圖3，取點，，則直線與直線關于O對稱，
連接，并延長交于，連接，則，
M是的中點，，當最小時，最小，
作直線，交y軸與Q，且使與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點為，連接，作，當重合，重合，則的最小值是的長，
直線的解析式為：，設直線的解析式為：，
由整理得，，，
，（舍去），，，直線為，
∴，，∴，∴，
當最小時，最小，的最小值是的長，．
◆變式訓練
1．（2024·浙江·模擬預測）如圖，直線與軸相交于點，與軸相交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點．過點作軸的垂線，垂足為，連接、，并延長，與直線相交于點．在第一象限找點，使以為頂點的四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)，經過點．(1)求的面積．(2)在反比例函數(shù)的圖象上找點，使是直角三角形，求出符合要求的點的坐標．(3)如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一點，軸于點，軸于點，分別交反比例函數(shù)的圖象于兩點，求的面積．
【答案】(1)15(2)、、、(3)或
【詳解】（1）解：把代入得，，∴，
把代入得，，∴，∴，
∴，，∴，
由，解得或，∴，，
∴；
（2）解：設直線的解析式為，把代入得，，∴，∴直線的解析式為，把代入得，，∴，
∵，，∴，∴是直角三角形，，即，設，①當為平行四邊形的對角線時，此時為平行四邊形，
有，解得，∴，代入得，
∴反比例函數(shù)的表達式為，設，如圖，
當，聯(lián)立，解得，∴，
當，則，∴，
解得：或（舍），∴；
②當為平行四邊形的對角線時，此時為平行四邊形，此時也為矩形，
有，解得，∴，同上可求反比例函數(shù)的表達式為，如圖，
當，聯(lián)立，解得，∴，
當時，此時點與點N重合，∴，
綜上所述，點D的坐標為：、、、；
（3）解：如圖，設點，
∵軸于點，軸于點，分別交反比例函數(shù)的圖象于兩點，∴，
當點E在上時，由題意可得，，∴，
∵，
，，∴；
當點E在上時，同理可得，綜上所述，的面積為或．
2．（24-25九年級上·浙江紹興·期末）定義：若兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱，則稱這兩個函數(shù)互為“鏡子”函數(shù)．(1)求函數(shù)的“鏡子”函數(shù)．(2)如圖，某直線與函數(shù)的圖象交于點，與函數(shù)的“鏡子”函數(shù)圖象交于點．①當時，求函數(shù)的“鏡子”函數(shù)．②若，且點的橫坐標為，求點的橫坐標．
【答案】(1)(2)①；②點橫坐標為15
【詳解】（1）解：設“鏡子”函數(shù)上某點的坐標為，則關于直線的對稱點為，
所以函數(shù)的“鏡子”函數(shù)為
（2）解：①設“鏡子”函數(shù)上某點的坐標為，則關于直線的對稱點為，
所以函數(shù)的“鏡子”函數(shù)為
②函數(shù)的“鏡子”函數(shù)為點坐標為設點坐標為，
，即為線段的中點，點坐標為，
，即點橫坐標為15．
■考點四　反比例函數(shù)的實際應用
◇典例9：（2023·河南駐馬店·三模）杠桿原理在生活中應用廣泛，我國早在春秋時期就有使用，相傳商人范蠡觀農夫從井中取水受到啟發(fā)，發(fā)明了稱，其中就利用了杠桿原理．
杠桿原理為：阻力×阻力臂=動力×動力臂．如圖1：

某數(shù)學興趣小組利用所學的函數(shù)知識對以上原理進行探究：
如圖2，小明取一根質地均勻的木桿長，用細繩綁在木桿的中點處將其吊在空中，在中點的左側距中點處掛一個質量為的物體，在中點右側用一個彈簧測力計（重力忽略不計）豎直向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，改變彈簧測力計與中點的距離，觀察彈簧測力計的示數(shù)的變化，在平面直角坐標系中描出了一系列點，并用平滑的曲線順次連接，得到如圖3所示的函數(shù)圖象．已知重力與質量之間的關系式為：，為物體的重力（單位：），為物體的質量（單位），．

(1)圖3中函數(shù)的解析式為__________，自變量的取值范圍是__________．
(2)若點的位置不變，在不改變點與物體的距離及物體的質量的前提下，要想使木桿平衡，彈簧測力計的示數(shù)最小可以是多少？
【答案】(1)，(2)彈簧測力計的示數(shù)最小可以是
【詳解】（1）根據(jù)圖象設函數(shù)解析式為
∵圖象過點代入求得∴函數(shù)的解析式為：
∵點是木桿的中點，木桿全長∴可知彈簧測力計到中點的距離最長為
∴ 故答案為：，．
（2）由（1），可知．∵∴當時，隨的增大而減小．
又∵∴當時，取得最小值，最小值為．
∴彈簧測力計的示數(shù)最小可以是．
◆變式訓練
1．（23-24九年級上·浙江臺州·階段練習）如圖1，將一長方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強與受力面積的關系如下表所示．
受力面積 1 0.5 0.25 0.2
桌面所受壓強 100 200 400 500 800
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求桌面所受壓強與受力面積之間的函數(shù)表達式及的值；
(2)現(xiàn)想將另一長、寬、高分別為，，，且與該長方體相同重量的長方體按如圖2所示的方式（即面向上）放置于該水平玻璃桌面上．若該玻璃桌面能承受的最大壓強為，請你判斷這種擺放方式是否安全？并說明理由．
【答案】(1)，(2)這種擺放方式安全，理由見詳解
【詳解】（1）解：由表格可知，壓強與受力面積的乘積不變，
所以壓強是受力面積的反比例函數(shù)，設，
將代入得，解得，
∴桌面所受壓強與受力面積之間的函數(shù)表達式為，
把代入得，解得；
（2）解：這種擺放方式安全，理由如下：由圖可得，
∴將長方體放置于該水平玻璃桌面時，，
∵，∴這種擺放方式安全．
2．（2023·浙江衢州·中考真題）視力表中蘊含著很多數(shù)學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結構，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標系中描點如圖1．
探究1 檢測距離為5米時，歸納n與b的關系式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
素材2 圖2為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應關系近似滿足．
探究2 當時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應的分辨視角的范圍．
素材3 如圖3，當確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．
探究3 若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
【答案】探究檢測距離為5米時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為；
探究；探究3：檢測距離為時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為．
【詳解】探究由圖象中的點的坐標規(guī)律得到與成反比例關系，
設，將其中一點代入得：，解得：，
，將其余各點一一代入驗證，都符合關系式；將 代入得：；
答：檢測距離為5米時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為；
探究，在自變量的取值范圍內，隨著的增大而減小，
當時，，，；
探究3：由素材可知，當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，由相似三角形性質可得，由探究1知，，解得，
答：檢測距離為時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點坐標的特征，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是讀懂題意，能將生活中的問題轉化為數(shù)學問題加以解決．
◇典例10：（2023·山東臨沂·二模）如圖，某物理實驗裝置由一個帶刻度的無蓋圓柱體玻璃筒和一個帶托盤的活塞組成，該裝置豎直放置時，活塞受到托盤中重物的壓力向下壓縮裝置內的空氣．某同學試著放上不同質量的物體，并根據(jù)筒側的刻度記錄活塞到筒底的距離，得到下面4組數(shù)據(jù)：
重物質量m/kg 1 2 3 5
活塞到桶底的距離h/cm 24 16 12
(1)該同學經過分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，不同重物的質量數(shù)值m加上1后得到的數(shù)值與對應的距離數(shù)值h成反比．請你根據(jù)數(shù)據(jù)求出______．(2)在上面4組數(shù)據(jù)的基礎上，該同學以的值作為一個點的橫坐標x，h的值作為該點的縱坐標y，得到4個點的坐標．①將這4個點的坐標填入下表：
…… ……
…… ……
②交將這4個點描在如圖所示的平面直角坐標系中．并用平滑曲線連接；
③直接寫出所得曲線對應的函數(shù)表達式．
(3)要使活塞到筒底的距離大于6，請直接寫出在托盤中放入重物的質量m的取值范圍．
【答案】(1)8(2)①見詳解②見詳解③(3)
【詳解】（1）解：設，把代入得，，，
，把代入得，，，故答案為：8；
（2）解：①如圖，
2 3 4 5
24 16 12 8
②反比例函數(shù)的圖象如圖所示；
③點在反比例函數(shù)圖象上，所得曲線對應的函數(shù)表達式為；
（3）解：當時，即，解得，重物的質量的取值范圍為．
◆變式訓練
1．（23-24九年級上·浙江溫州·開學考試）
確定有效消毒的時間段
背景素材 預防傳染病，某校定期對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物釋放階段，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與釋放時間x（min）成一次函數(shù)；釋放后，y與x成反比例如圖1所示，且2min時，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）達到最大值．某興趣小組記錄部分y（mg）與x（min）的測量數(shù)據(jù)如表1．滿足的自變量x（min）的取值范圍為有效消毒時間段． x…123…y…34…
表1
問題解決
任務1 確定y關于x的一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達式．
任務2 初步確定有效消毒時間段即自變量x的取值范圍．
任務3 若實際生活中有效消毒時間段要求滿足，其中a為常數(shù)，請確定實際生活中有效消毒的時間段．
【答案】任務1：；；任務2：；任務3：或．
【詳解】任務1：解：設當藥物釋放階段（即）時，設，
把，代入，得，解得，∴；
設當藥物釋放后（即）時，設，
把代入，得，解得，∴；
任務2：把分別代入，得，解得，由圖象，得；
任務3：（1）當時，把代入，得，解得；
把代入，得，滿足題意；．
（2）時，把代入，得，解得（舍去）； ∴無解；
（3）時，（即）
①把代入，得，解得；
把代入，解得，滿足要求（），∴；
②把代入，得，解得；
把代入，解得，滿足要求（），∴．
綜上，或．
2．（23-24九年級上·浙江金華·期末）如圖，在并聯(lián)電路中，電源電壓為，根據(jù)“并聯(lián)電路分流不分壓”的原理得到：．已知為定值電阻，當R變時，路電流也會發(fā)生變化，且干路電流與R之間滿足如下關系：．
(1)【問題理解】定值電阻的阻值為________Ω．
(2)【數(shù)學活動】根據(jù)學習函數(shù)的經驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對比反比例函數(shù)來探究函數(shù)的圖象與性質．①列表：下表列出與R的幾組對應值，請寫出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描點、連線：在平面直角坐標系中，以①給出的R的取值為橫坐標，以相對應的值為縱坐標，描出相應的點，并將各點用光滑曲線順次連接起來．
(3)【數(shù)學思考】觀察圖象發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的圖象是由的圖象向________平移________個單位而得到．
(4)【數(shù)學應用】若關于x的方程在實數(shù)范圍內恰好有兩個解，直接寫出k的值．
【答案】(1)(2)①；②見解析(3)上；1(4)0或或
【詳解】（1）解：∵，∴，∴
（2）①解：當時，∴，∴
②先描出點，，，，再順次連接這些點即可畫出所求函數(shù)圖象
（3）解：當，，當時，，當時，，
結合圖像，所以函數(shù)的圖象是由的圖象向上平移1個單位．
（4）解：由函數(shù)與方程的關系可知，
當時，的函數(shù)圖像在第一象限恰有一個交點時滿足恰有兩個實數(shù)解；
∴化簡得：∴
當時，的函數(shù)圖像在第二象限恰有一個交點時滿足恰有兩個實數(shù)解；
∴化簡得：∴
當時，的圖像恰好有兩個交點．∴或或．
1．（2024·重慶·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例解析式，把代入求解即可．
【詳解】解：把代入，得．故選C．
2．（2024·河北·中考真題）節(jié)能環(huán)保已成為人們的共識．淇淇家計劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若x減小，則y也減小 D．若x減小一半，則y增大一倍
【答案】C
【詳解】解：∵淇淇家計劃購買500度電，平均每天用電x度，能使用y天．
∴，∴，當時，，故A不符合題意；
當時，，故B不符合題意；
∵，，∴當x減小，則y增大，故C符合題意；
若x減小一半，則y增大一倍，表述正確，故D不符合題意；故選：C．
3．（2024·浙江·中考真題）反比例函數(shù)的圖象上有，兩點．下列正確的選項是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
【答案】A
【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)，可知函數(shù)圖象位于一、三象限，且在每個象限中，y都是隨著x的增大而減小，反比例函數(shù)的圖象上有，兩點，
當，即時，；當，即時，；
當，即時，；故選：A．
4．（2024·廣西·中考真題）已知點，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解： 點，在反比例函數(shù)的圖象上， ，，
， ，， ．故選：A．
5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知關于x的一元二次方程無實數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)的圖象交點個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【詳解】解：∵方程無實數(shù)根，∴，
解得：，則函數(shù)的圖象過二，四象限，而函數(shù)的圖象過一，三象限，
∴函數(shù)與函數(shù)的圖象不會相交，則交點個數(shù)為0，故選：A．
6．（2024·天津·中考真題）若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：，反比例函數(shù)的圖象分布在第一、三象限，在每一象限隨的增大而減小，點，都在反比例函數(shù)的圖象上，，．
∵，在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴.故選：B．
7．（2024·江蘇揚州·中考真題）在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖像與坐標軸的交點個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【詳解】當時，，∴與y軸的交點為；
由于是分式，且當時，，即，∴與x軸沒有交點．
∴函數(shù)的圖像與坐標軸的交點個數(shù)是1個，故選：B．
8．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點為正六邊形的中心，軸，點在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【詳解】解：如圖所示，過點E作軸于H，連接，
∵原點為正六邊形的中心，∴，
∴是等邊三角形，∴，∵，∴，
∴，設，則，∴，，
∵將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，∴點在雙曲線上，
又∵點E也在雙曲線上，∴，解得或（舍去），∴，
故選：A．
9．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數(shù)的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數(shù)的圖象交于點．若，則點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，過點A作x軸的垂線交x軸于點E，過點C作y軸的垂線交y軸于點D，則軸，∵，∴，，∴．
∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴．
∴將直線向上平移若干個單位長度后得到直線，∴，∴，
∵軸，∴，∴，∴，
∴，解得：，即點C的橫坐標為2，將代入，得，
∴C點的坐標為，∴,，∴，
∴,∴ 故選：B．
10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點D，與邊交于點F，與交于點E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】過點E作，則，
∴，∴設，
∵∴，∴
∴即，解得：故選D
11．（2024·內蒙古包頭·中考真題）若反比例函數(shù)，，當時，函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最大值是，則 ．
【答案】/
【詳解】解：函數(shù)，當時，函數(shù)隨的增大而減小，最大值為，時，，
，當時，函數(shù)隨的增大而減大，函數(shù)的最大值為，
．故答案為：．
12．（2024·四川遂寧·中考真題）反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則點在第 象限．
【答案】四/
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，
∴∴∴點在第四象限，故答案為：四．
13．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，若函數(shù)的圖象經過點和，則的值是 .
【答案】0
【詳解】解：∵函數(shù)的圖象經過點和，
∴有，∴，故答案為：0．
14．（2024·陜西·中考真題）已知點和點均在反比例函數(shù)的圖象上，若，則 0．
【答案】/小于
【詳解】解：∵點和點均在反比例函數(shù)的圖象上，∴，，
∵，∴，∴．故答案為：．
15．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點，．則滿足的的取值范圍 ．
【答案】或
【詳解】解：由圖象可得，當或時，，
∴滿足的的取值范圍為或，故答案為：或．
16．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應點為），交函數(shù)的圖象于點，過點作軸于點，則下列結論：
①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；
④．其中正確的結論有 ．（填寫所有正確結論的序號）
【答案】①②④
【詳解】解：∵，，四邊形是矩形；∴，∴，故①符合題意；
如圖，連接，，，與的交點為，
∵，∴，∴，
∴的面積等于四邊形的面積；故②符合題意；如圖，連接，
∵軸，，∴四邊形為矩形，∴，
∴當最小，則最小，設，∴，∴，
∴的最小值為，故③不符合題意；如圖，設平移距離為，∴，
∵反比例函數(shù)為，四邊形為矩形，∴，，
∴，，，，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴，故④符合題意；故答案為：①②④
17．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，且，則 ．
【答案】
【詳解】如圖所示，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，
∵四邊形是平行四邊形，點，，，
∴，∴，即，則，
∵軸，軸，∴∴
∴∴，∴∴故答案為：．
18．（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為 ．
【答案】
【詳解】解：如圖：連接
∵反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且∴
設，則∵∴
則∵點在第一象限 ∴
把代入得∴
經檢驗：都是原方程的解 ∵∴故答案為：
19．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；(2)將直線向下平移個單位長度后得直線，若直線與反比例函數(shù)的圖象的交點為，求的值，并結合圖象求不等式的解集．
【答案】(1)；反比例函數(shù)的解析式為(2)；不等式的解集為
【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，
∴；∴，把代入，得：，∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為：；
（2）解：∵直線是將直線向下平移個單位長度后得到的，
∴直線與直線平行，∴，∴，
∵直線與反比例函數(shù)的圖象的交點為，
把代入得，，解得，，∴，
把代入，得：，∴，∴；
由圖象知，當時，在直線的下方，∴不等式的解集為
20．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．
(1)求m，k的值；(2)點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
【答案】(1)，(2)最大值是，此時
【詳解】（1）解： ，，．
又，．，點．設直線的函數(shù)表達式為，
將，代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達式為．
將點代入，得．．將代入，得．
（2）解：延長交y軸于點Q，交于點L．

，，．軸，，．
，，，．
設點P的坐標為，，則，．．
．
當時，有最大值，此時．
21．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，將正比例函數(shù)圖象向下平移個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關于直線成軸對稱，連接．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)求n的值及的面積．
【答案】(1)(2)，
【詳解】（1）解：∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，
∴，∴，∴；∴；
（2）∵∴∴∴
∵將正比例函數(shù)圖象向下平移個單位，∴平移后的解析式為：，
如圖所示，過點，作軸的平行線交軸于點，則，是等腰直角三角形，
∴∴∴設，則
∴，∴，∵，，在上
∴解得：（負值舍去）∴，
∴的解析式為，
當時，，則，∴，，則
∵直線與關于直線成軸對稱，軸，
∴，和是等腰直角三角形，∴∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴∴
22．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)P是直線上的一個動點，的面積為21，求點P坐標；(3)點Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，的面積為21，請直接寫出Q點坐標．
【答案】(1)，(2)點P坐標為或；
(3)Q點坐標為或
【詳解】（1）解：依題意把代入，得出解得
把代入中，得出∴
則把和分別代入 得出解得∴；
（2）解：記直線與直線的交點為
∵∴當時，則∴
∵P是直線上的一個動點，∴設點，∵的面積為21，
∴
即∴ 解得或 ∴點P坐標為或；
（3）解：由（1）得出∵點Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，
∴設點Q的坐標為 如圖：點在點的右邊時
∵的面積為21，和
∴
整理得
解得（負值已舍去）經檢驗是原方程的解，∴Q點坐標為
如圖：點在點的左邊時
∵的面積為21，和
∴
整理得
解得，符合題意，，不符合題意，
則，故
綜上：Q點坐標為或．
1．（2024·山西·統(tǒng)考一模）已知反比例函數(shù)，則下列描述正確的是（　　）
A．圖象位于第一、三象限 B．y隨x的增大而增大
C．圖象不可能與坐標軸相交 D．圖象必經過點
【答案】C
【詳解】解：A、∵，∴，∴函數(shù)的圖象在第二、四象限，故選項A不符合題意；
B、∵，∴，在每個象限內，y隨x的增大而增大，故選項B不符合題意；
C、反比例函數(shù)的圖象不可能與坐標軸相交，選項C符合題意；
D、當時，則，∴函數(shù)圖象經過點，故選項D不符合題意；
故選：C．
2．（24-25九年級上·浙江杭州·開學考試）在反比例函數(shù)圖象上有三個點，、，、，，若，則下列結論正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【詳解】解：在反比例函數(shù)中，，圖象在第二、四象限，
若 則或，故A錯誤；
當時，若，則且或，
故或 ，故B錯誤；若則，則，故C錯誤；
若則且或，故，故D正確；故選：D．
3．（23-24九年級上·浙江溫州·開學考試）已知三個點，，在反比例函數(shù)的圖象上，其中，則下列結論中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，,
∴函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內，y隨x的增大而減小.
∵，∴，兩點在第三象限，點在第一象限，
∴，故選：A．
4．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）根據(jù)表格，判斷方程的解在下面哪個范圍之間（ ）
x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4
的值 3 3.31 3.64 3.99 4.36
的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42
A．2~2.1之間 B．2.1~2.2之間 C．2.2~2.3之間 D．2.3~2.4之間
【答案】B
【詳解】解：由表格可知，當時，，
當時，，當時，存在一個x的值，使，答案：B．
5.（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）下面的三個問題中都有兩個變量：①矩形的面積一定，一邊長與它的鄰邊；②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積與全村總人口；③汽車的行駛速度一定，行駛路程與行駛時間．其中，兩個變量之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，這兩個變量之間成反比例函數(shù)關系，
①矩形的面積，因此矩形的面積一定時，一邊長y與它的鄰邊x可以用形如的式子表示，即滿足所給的函數(shù)圖象；
②耕地面積，因此耕地面積一定時，該村人均耕地面積S與全村總人口n可以用形如的式子表示，即滿足所給的函數(shù)圖象；
③汽車的行駛速度，因此汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時間t不可以用形如的式子表示，即不滿足所給的函數(shù)圖象；綜上可知：①②符合要求，故選A．
6．（23-24九年級上·浙江金華·開學考試）如圖是三個反比例函數(shù)，，在y軸右側的圖象，則，，的大小關系為（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由題意得：，，，
當時，，即，，故選D．
7．（2024·浙江·模擬預測）某反比例函數(shù)圖象上四個點的坐標分別為，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：由反比例函數(shù)圖象上點可知，反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限，即在每個象限內，圖象自左向右上升，函數(shù)隨的增大而增大，
反比例函數(shù)圖象上位于第二象限的兩個點的坐標分別為，位于第一象限的點的坐標為，．故選：A．
8．（2024·浙江·一模）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點，，則不等式的解是（ ）

A．或 B．或 C．或x＞2 D．或
【答案】A
【詳解】解：把點，代入，
得出，解得：，m=0（舍去）∴點，B，
觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：當或時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
則不等式的解集為：或.故選：A．
9．（2024·江西吉安·模擬預測）如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與通電時間成反比例關系．當水溫降至時，飲水機再自動加熱，若水溫在時接通電源，水溫與通電時間之間的關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．水溫從加熱到，需要4min
B．水溫下降過程中，與的函數(shù)關系式是
C．在一個加熱周期內水溫不低于的時間為
D．上午10點接通電源，可以保證當天能喝到不低于的水
【答案】C
【詳解】解：A、∵開機加熱時每分鐘上升，
∴水溫從加熱到，所需時間為：，故A選項說法正確，不合題意；
B、由題可得，在反比例函數(shù)圖象上，設反比例函數(shù)解析式為，代入點可得，，
∴水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式是，故B選項說法正確，不合題意；
C、當水溫升至時，用時，當水溫降至時，，解得：，
∴在一個加熱周期內水溫不低于的時間為，故C選項說法錯誤，符合題意；
D、在中，令，則，即：每20分鐘，飲水機重新加熱，
∴上午10點接通電源，當天時飲水機是第二次加熱，把代入，得：，
即：時的水溫為，不低于，故D選項說法正確，不合題意；故選：C．
10．（2025九年級下·浙江溫州·學業(yè)考試）已知某函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，下列命題：①圖象與函數(shù)的圖象交于點；②點在圖象上；③圖象上的點的縱坐標都小于4；④是圖象上任意兩點，若，則，其中真命題是 （填序號）．
【答案】/
【詳解】解：點是函數(shù)的圖象的點，也是對稱軸直線上的點，
點是圖象與函數(shù)的圖象交于點；①正確；點關于對稱的點為點，
在函數(shù)上，點在圖象上；②正確；
中，，取上任意一點為，則點與對稱點的縱坐標為；
圖象C上的點的縱坐標不一定小于4，故③錯誤；
于對稱點為，，在函數(shù)上，
，，若，則；若或，則；
④不正確；故答案為：．
11．（24-25九年級上·浙江溫州·開學考試）如圖，點P，Q，R為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個點，分別過這三個點作x軸，y軸的垂線，與y軸的交點分別為點C，B，A圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次記為，，，其中，若，則的值為 ．
【答案】15
【詳解】解：如圖所示，
，，，，，
，平分矩形，，，，，，
，．故答案為：15．
12．（2024九年級下·浙江金華·專題練習）如圖，矩形OABC位于直角坐標系中，點在第一象限內，點A在x軸上，點C在y軸上，反比例函數(shù)的圖象交于點，交于點，點在邊上．若恰好是以為斜邊的等腰直角三角形，則k的值為 ．
【答案】
【詳解】解：作于，，，
，，
在和中，，，，，
點，，，，，
，，解得或（舍去），故答案為：．
13．（23-24九年級下·浙江溫州·開學考試）如圖，菱形的頂點O是坐標原點，頂點A，C在反比例函數(shù)（）的圖象上，點A的橫坐標為4，點B的橫坐標為6，則k的值為 ．
【答案】8
【詳解】解：過點C作軸于點D，過點A作軸于點E，作點B作軸，作軸，交于點F，連接，
∵菱形，∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
在和中，∴，∴，
∵點A的橫坐標為4，點B的橫坐標為6，∴，∴，，即點C的橫坐標為2，
同理得：，∴，∴點∴，故答案為8．
14．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標系內，反比例函數(shù)的圖象過點．
(1)若，求證：．(2)若，，，求該函數(shù)的表達式．
【答案】(1)0(2)
【詳解】（1）證明：反比例函數(shù)的圖象過點．，，
，．
（2）解：，，，，，
，，，，，
，，，，，，，
，，該函數(shù)的表達式為．
15．（2024·浙江寧波·一模）已知反比例函數(shù)，點都在該反比例函數(shù)圖象上．(1)求的值；(2)若點都在該反比例函數(shù)圖象上；①當，點和點關于原點中心對稱時，求點坐標；②當時，求的取值范圍．
【答案】(1)3(2)①；②
【詳解】（1）解：反比例函數(shù)，點都在該反比例函數(shù)圖象上，
，解得，；
（2）解：點都在該反比例函數(shù)圖象上，且點和點關于原點中心對稱，，，則，解得，，
將代入得，解得，；
②，則，，，，．
16．（2023·浙江溫州·模擬預測）已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點和點.
(1)求的值，并在圖中畫出函數(shù)的圖象；(2)直接寫出不等式的解集．

【答案】(1)，畫圖見解析；(2)或．
【詳解】（1）解：將點代入一次函數(shù)得，∴，∴點的坐標為，
把點代入反比例函數(shù)得，解得∴反比例函數(shù)的解析式為，
∴反比例函數(shù)的圖象如下圖；

（2）解：由，，根據(jù)函數(shù)圖象可得：
不等式的解集為：或．
17．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點，點．
(1)求n的值與一次函數(shù)的解析式；(2)過點A作y軸的垂線，垂足為C，過點B作x軸的垂線，垂足為D，連接，求證：直線平行．
【答案】(1)，(2)見解析
【詳解】（1）解：由題意知：將點代入中，，即：，
∴一次函數(shù)的解析式為：，∵將代入中，，即：；
（2）解：根據(jù)題意畫圖命名如下：
∵，∴，∴，即 ，
∵，∴，即，∵一次函數(shù)的解析式為，∴令，即，
∴，即，∴令，即，∴，即，
∵，，∴，∴，∴．
18．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于， 兩點，點在一次函數(shù)的圖象上，且．
(1)求證：．(2)比較與的大小關系．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）證明：由題意，得，，，
．
（2）解：．
，，，．
19．（2023·浙江臺州·一模）如圖1，點光源射出光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片投影到與膠片平行的屏幕上，形成影像．已知，膠片與屏幕的距離為定值，設點光源到膠片的距離長為單位：，長為單位：，當時，．

(1)求的長．(2)求關于的函數(shù)解析式，在圖2中畫出圖像，并寫出至少一條該函數(shù)性質．
(3)若要求不小于，求的取值范圍．
【答案】(1)(2)，圖象及性質見解析(3)
【詳解】（1）解∵，∴，∴，∴，解得．
（2）由(1)得，，∴，∴或，畫出圖像如下：

性質：當時，隨的增大而減小；
（3）由，，則，解得，∴的取值范圍為：．
20．（2024·廣西玉林·三模）在一次物理實驗中，小冉同學用一固定電壓為的蓄電池，通過調節(jié)滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值）亮度的實驗（如圖），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻之間關系為，通過實驗得出如下數(shù)據(jù)：
1 a 3 4 6
4 3 2 b
(1)______，______；
(2)【探究】根據(jù)以上實驗，構建出函數(shù)結合表格信息，探究函數(shù)的圖象與性質．
①在平面直角坐標系中畫出對應函數(shù)的圖象；
②函數(shù)是由函數(shù)的圖象向______平移2個單位得到；
(3)【應用】下列關于函數(shù)的性質：①圖象關于點對稱；②y隨x的增大而減小；③圖象關于直線對稱；④y的取值范圍為．其中說法正確的是______（填寫序號）；
(4)【拓展】不等式的解集為______．
【答案】(1)2，1.5；(2)①圖象見解析；②左；(3)①④；(4)．
【詳解】（1）解：由題意，，當時，由得，當時，，
（2）解：①根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點、連線得到函數(shù)的圖象如圖：
②由圖象可知，函數(shù)是由函數(shù)的圖象向左平移2個單位得到．
（3）解：如圖，的圖象如下：
由圖象可得：①圖象關于點對稱；故符合題意；
②當時（或），y隨x的增大而減小；故不符合題意；
③圖象關于直線或對稱；故不符合題意；
④y的取值范圍為．故符合題意 故答案為：①④
（4）在同一坐標系內畫與的圖象如下：
∴由函數(shù)圖象可得：的解集為，
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第三章 函數(shù)
3.2反比例函數(shù)
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 反比例函數(shù)的概念 ☆☆ 浙江中考數(shù)學（省卷）中，反比例函數(shù)的部分，考查1-2道題，分值為10分左右，反比例函數(shù)的圖象與性質和平面幾何的知識結合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點，反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合出現(xiàn)在解答題中也是一種可能，難度中上。
考點2 反比例函數(shù)的圖象與性質 ☆☆☆
考點3 反比例函數(shù)的幾何意義 ☆☆☆
考點4 反比例函數(shù)的實際應用 ☆☆
1
3
■考點一　反比例函數(shù)的概念 3
■考點二　反比例函數(shù)的圖象和性質 5
■考點三　反比例函數(shù)中|k|的幾何意義 9
■考點四　反比例函數(shù)的實際應用 21
29
43
■考點一　反比例函數(shù)的概念
反比例函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做 ．
自變量x和函數(shù)值y的取值范圍都是 的任意實數(shù)．
■考點二　反比例函數(shù)的圖象和性質
1、反比例函數(shù)的圖象和性質
表達式 （k是常數(shù)，k≠0）
k k>0 k<0
大致圖象
所在象限 第 象限 第 象限
增減性 在每個象限內，y隨x的增大而 . 在每個象限內，y隨x的增大而 .
對稱性 軸對稱圖形（對稱軸為直線y=x和y=-x），中心對稱圖形（對稱中心為原點）
2、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟
1）設反比例函數(shù)解析式（k≠0）；2）把已知一對x，y的值代入 ，得到一個關于待定系數(shù)k的方程；3）解這個方程求出待定系數(shù)k；4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設的函數(shù)解析式．
■考點三　反比例函數(shù)中|k|的幾何意義
1）反比例函數(shù)圖象中有關圖形的面積
2）涉及三角形的面積型
當一次函數(shù)與反比例函數(shù)結合時，可通過面積作和或作差的形式來求解．
（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點，且一次函數(shù)與x軸交于點C，
則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點，其坐標分別為，，C為AB延長線與x軸的交點，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
3）涉及自變量取值范圍型
當一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時，聯(lián)立兩個解析式，構造方程組，然后求出 。若求時自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象 反比例函數(shù)圖象的部分所對應的x的范圍；反之亦然。
4）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標
（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點由k值的符號來決定：①k值同號，兩個函數(shù)必有 ；②k值異號，兩個函數(shù)可 交點，可有 交點，可有 交點；
（2）從計算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點主要取決于兩函數(shù)所組成的 的情況．
■考點四　反比例函數(shù)的實際應用
解決反比例函數(shù)的實際問題時，先確定 ，再 找出解決問題的方案，特別注意 取值范圍。
■考點一　反比例函數(shù)的概念
◇典例1：（2024·北京順義·一模）已知y是x的函數(shù)，下表是x與y的幾組對應值：
x … 1 2 4 …
y … 4 2 1 …
y與x的函數(shù)關系有以下3個描述：①可能是一次函數(shù)關系；②可能是反比例函數(shù)關系；
③可能是二次函數(shù)關系，所有正確描述的序號是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
◆變式訓練
1．（23-24九年級上·吉林·期末）下列函數(shù)中，與x軸無交點的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2024上·浙江九年級期中）已知函數(shù)是關于的反比例函數(shù)，則實數(shù)的值是 ．
3．（2024·浙江舟山·一模）已知，則關于的函數(shù)為 ．
◇典例2：（23-24九年級上·浙江金華·開學考試）以下四個點中，不在反比例函數(shù)圖象上的是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023年廣東省中考數(shù)學真題）某蓄電池的電壓為，使用此蓄電池時，電流(單位：)與電阻(單位：)的函數(shù)表達式為，當時，的值為 ．
2．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）已知反比例函數(shù)的圖象經過點，則的值為 ．
■考點二　反比例函數(shù)的圖象和性質
◇典例3：（2024·浙江嘉興·一模）函數(shù)與函數(shù)在同一直角坐標系中的大致圖象不可能是（ ）．
A．B． C．D．
◆變式訓練
1．（2024·浙江臺州·一模）一輛出租車從甲地到乙地，當平均速度為時，所用時間為，則t關于v的函數(shù)圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·貴州遵義·一模）下列是在同一直角坐標系中函數(shù)和的圖象如圖，其中，，的描述正確的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
◇典例4：（24-25九年級上·浙江杭州·階段練習）關于反比例函數(shù)，下列結論正確的是（ ）
A．圖象位于第一、三象限 B．圖象與坐標軸有公共點
C．圖象經過點，則 D．圖象所在的每一個象限內，隨的增大而增大
◆變式訓練
1．（24-25九年級上·浙江臺州·期末）若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則整數(shù)k可以是 （填一個即可）．
2．（2024·湖北武漢·中考真題）某反比例函數(shù)具有下列性質：當時，y隨x的增大而減小，寫出一個滿足條件的k的值是 ．
3.（2024·廣東深圳·校考模擬預測）關于函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A．當時，y隨x的增大而增大
B．當時，y隨x的增大而增大
C．當時，若x越大，則對應的y值也越大
D．若、是其圖象上兩點，則不一定有
◇典例4：（24-25九年級上·浙江金華·開學考試）已知點，，在函數(shù)的圖象上，比較，，大小 （用“”連接）．
◆變式訓練
1．（24-25九年級下·浙江溫州·開學考試）已知，是反比例函數(shù)圖象上的點，且，，則下列關系中正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）反比例函數(shù)的圖象上有，兩點．下列正確的選項是（　　）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
3．（24-25九年級上·浙江溫州·開學考試）已知反比例函數(shù)圖象上有三個點，且滿足，則b的值可以為（ ）
A．2 B． C．1 D．3
■考點三　反比例函數(shù)中|k|的幾何意義
◇典例5：（24-25九年級上·浙江杭州·期末）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，過點作軸于點，軸于點，以點為位似中心把四邊形放大得到四邊形，過點的反比例函數(shù)表達式為，則四邊形和四邊形的位似比為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2024·新疆·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于兩點，軸于點，連接交軸于點，結合圖象判斷下列結論：點與點關于原點對稱；點是的中點；在的圖象上任取點和點，如果，那么；．其中正確結論的個數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江杭州·三模）如圖，正比例函數(shù)為常數(shù)圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)）圖象交于A，B兩點，軸于點H，連接交y軸于點G，若，則k的值為（　　）
A． B． C． D．
◇典例6：（2024·山東棗莊·二模）如圖，是平行四邊形，對角線在軸正半軸上，位于第一象限的點和第二象限的點分別在雙曲線 和 的一個分支上，分別過點作軸的垂線段，垂足分別為點和點，給出如下四個結論： 陰影部分的面積是 ；當時，； 若是菱形，則 ；以上結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（23-24九年級下·浙江杭州·期末）如圖，過的圖象上點，分別作軸，軸的平行線交的圖象于，兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（ ）
A． B． C．4 D．
2．（2024·浙江·二模）如圖，已知反比例函數(shù)第一象限的圖象經過的頂點A，且交于點C，點B在x軸的正半軸上，將沿翻折，點C的對應點D恰好落在第二象限的圖象上，平行x軸，若點E在上，且是的重心，連結，已知的面積為4，則的值為 ．

◇典例7：（2024九年級下·浙江寧波·專題練習）如圖，平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點和．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；(2)請直接寫出時x的取值范圍；
(3)過點B作軸，于點D，點C是直線上一點，若，求點C的坐標．
◆變式訓練
1．（2024九年級下·浙江金華·專題練習）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)為的圖象交于，兩點．
(1)求兩個函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍；(3)點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點Q，若面積為5，求點Q的坐標．
2．（2023·浙江杭州·二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)，（a，b，k是常數(shù)，，）的圖象交于第一象限，兩點，與坐標軸交于A、B兩點，連接，．（O是坐標原點）。(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；(2)直接寫出當時x的取值范圍；(3)將直線向下平移多少個單位長度，直線與反比例函數(shù)圖象只有一個交點？

◇典例8：（23-24九年級下·浙江寧波·自主招生）已知，矩形的A，B頂點分別在x軸，y軸上，反比例函數(shù)與矩形的，分別交于，，的面積為．
(1)判斷并證明直線與的關系．(2)求k的值．(3)若E，F(xiàn)分別為直線和反比例函數(shù)上的動點，M為中點，求的最小值．
◆變式訓練1．（2024·浙江·模擬預測）如圖，直線與軸相交于點，與軸相交于點，與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點．過點作軸的垂線，垂足為，連接、，并延長，與直線相交于點．在第一象限找點，使以為頂點的四邊形為平行四邊形，反比例函數(shù)，經過點．(1)求的面積．(2)在反比例函數(shù)的圖象上找點，使是直角三角形，求出符合要求的點的坐標．(3)如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有一點，軸于點，軸于點，分別交反比例函數(shù)的圖象于兩點，求的面積．
2．（24-25九年級上·浙江紹興·期末）定義：若兩個函數(shù)的圖象關于直線對稱，則稱這兩個函數(shù)互為“鏡子”函數(shù)．(1)求函數(shù)的“鏡子”函數(shù)．(2)如圖，某直線與函數(shù)的圖象交于點，與函數(shù)的“鏡子”函數(shù)圖象交于點．①當時，求函數(shù)的“鏡子”函數(shù)．②若，且點的橫坐標為，求點的橫坐標．
■考點四　反比例函數(shù)的實際應用
◇典例9：（2023·河南駐馬店·三模）杠桿原理在生活中應用廣泛，我國早在春秋時期就有使用，相傳商人范蠡觀農夫從井中取水受到啟發(fā)，發(fā)明了稱，其中就利用了杠桿原理．
杠桿原理為：阻力×阻力臂=動力×動力臂．如圖1：

某數(shù)學興趣小組利用所學的函數(shù)知識對以上原理進行探究：
如圖2，小明取一根質地均勻的木桿長，用細繩綁在木桿的中點處將其吊在空中，在中點的左側距中點處掛一個質量為的物體，在中點右側用一個彈簧測力計（重力忽略不計）豎直向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，改變彈簧測力計與中點的距離，觀察彈簧測力計的示數(shù)的變化，在平面直角坐標系中描出了一系列點，并用平滑的曲線順次連接，得到如圖3所示的函數(shù)圖象．已知重力與質量之間的關系式為：，為物體的重力（單位：），為物體的質量（單位），．

(1)圖3中函數(shù)的解析式為__________，自變量的取值范圍是__________．
(2)若點的位置不變，在不改變點與物體的距離及物體的質量的前提下，要想使木桿平衡，彈簧測力計的示數(shù)最小可以是多少？
◆變式訓練
1．（23-24九年級上·浙江臺州·階段練習）如圖1，將一長方體放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強與受力面積的關系如下表所示．
受力面積 1 0.5 0.25 0.2
桌面所受壓強 100 200 400 500 800
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求桌面所受壓強與受力面積之間的函數(shù)表達式及的值；
(2)現(xiàn)想將另一長、寬、高分別為，，，且與該長方體相同重量的長方體按如圖2所示的方式（即面向上）放置于該水平玻璃桌面上．若該玻璃桌面能承受的最大壓強為，請你判斷這種擺放方式是否安全？并說明理由．
2．（2023·浙江衢州·中考真題）視力表中蘊含著很多數(shù)學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結構，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．
素材1 國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標系中描點如圖1．
探究1 檢測距離為5米時，歸納n與b的關系式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
素材2 圖2為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應關系近似滿足．
探究2 當時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應的分辨視角的范圍．
素材3 如圖3，當確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．
探究3 若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．
◇典例10：（2023·山東臨沂·二模）如圖，某物理實驗裝置由一個帶刻度的無蓋圓柱體玻璃筒和一個帶托盤的活塞組成，該裝置豎直放置時，活塞受到托盤中重物的壓力向下壓縮裝置內的空氣．某同學試著放上不同質量的物體，并根據(jù)筒側的刻度記錄活塞到筒底的距離，得到下面4組數(shù)據(jù)：
重物質量m/kg 1 2 3 5
活塞到桶底的距離h/cm 24 16 12
(1)該同學經過分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，不同重物的質量數(shù)值m加上1后得到的數(shù)值與對應的距離數(shù)值h成反比．請你根據(jù)數(shù)據(jù)求出______．(2)在上面4組數(shù)據(jù)的基礎上，該同學以的值作為一個點的橫坐標x，h的值作為該點的縱坐標y，得到4個點的坐標．①將這4個點的坐標填入下表：
…… ……
…… ……
②交將這4個點描在如圖所示的平面直角坐標系中．并用平滑曲線連接；
③直接寫出所得曲線對應的函數(shù)表達式．
(3)要使活塞到筒底的距離大于6，請直接寫出在托盤中放入重物的質量m的取值范圍．
◆變式訓練
1．（23-24九年級上·浙江溫州·開學考試）
確定有效消毒的時間段
背景素材 預防傳染病，某校定期對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物釋放階段，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與釋放時間x（min）成一次函數(shù)；釋放后，y與x成反比例如圖1所示，且2min時，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）達到最大值．某興趣小組記錄部分y（mg）與x（min）的測量數(shù)據(jù)如表1．滿足的自變量x（min）的取值范圍為有效消毒時間段． x…123…y…34…
表1
問題解決
任務1 確定y關于x的一次函數(shù)及反比例函數(shù)的表達式．
任務2 初步確定有效消毒時間段即自變量x的取值范圍．
任務3 若實際生活中有效消毒時間段要求滿足，其中a為常數(shù)，請確定實際生活中有效消毒的時間段．
2．（23-24九年級上·浙江金華·期末）如圖，在并聯(lián)電路中，電源電壓為，根據(jù)“并聯(lián)電路分流不分壓”的原理得到：．已知為定值電阻，當R變時，路電流也會發(fā)生變化，且干路電流與R之間滿足如下關系：．
(1)【問題理解】定值電阻的阻值為________Ω．
(2)【數(shù)學活動】根據(jù)學習函數(shù)的經驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對比反比例函數(shù)來探究函數(shù)的圖象與性質．①列表：下表列出與R的幾組對應值，請寫出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描點、連線：在平面直角坐標系中，以①給出的R的取值為橫坐標，以相對應的值為縱坐標，描出相應的點，并將各點用光滑曲線順次連接起來．
(3)【數(shù)學思考】觀察圖象發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的圖象是由的圖象向________平移________個單位而得到．
(4)【數(shù)學應用】若關于x的方程在實數(shù)范圍內恰好有兩個解，直接寫出k的值．
1．（2024·重慶·中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（ ）
A． B．3 C． D．6
2．（2024·河北·中考真題）節(jié)能環(huán)保已成為人們的共識．淇淇家計劃購買500度電，若平均每天用電x度，則能使用y天．下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若x減小，則y也減小 D．若x減小一半，則y增大一倍
3．（2024·浙江·中考真題）反比例函數(shù)的圖象上有，兩點．下列正確的選項是（ ）
A．當時， B．當時，
C．當時， D．當時，
4．（2024·廣西·中考真題）已知點，在反比例函數(shù)的圖象上，若，則有（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知關于x的一元二次方程無實數(shù)根，則函數(shù)與函數(shù)的圖象交點個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024·天津·中考真題）若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江蘇揚州·中考真題）在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖像與坐標軸的交點個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，原點為正六邊形的中心，軸，點在雙曲線為常數(shù)，上，將正六邊形向上平移個單位長度，點恰好落在雙曲線上，則的值為（ ）
A． B． C． D．3
9．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點在函數(shù)的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點，與函數(shù)的圖象交于點．若，則點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）矩形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與邊交于點D，與邊交于點F，與交于點E，，若四邊形的面積為2，則k的值是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·內蒙古包頭·中考真題）若反比例函數(shù)，，當時，函數(shù)的最大值是，函數(shù)的最大值是，則 ．
12．（2024·遂寧·中考真題）反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則點在第 象限．
13．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，若函數(shù)的圖象經過點和，則的值是 .
14．（2024·陜西·中考真題）已知點和點均在反比例函數(shù)的圖象上，若，則 0．
15．（2024·山東威海·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線交于點，．則滿足的的取值范圍 ．
16．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，矩形的頂點在函數(shù)的圖象上，，．將線段沿軸正方向平移得線段（點平移后的對應點為），交函數(shù)的圖象于點，過點作軸于點，則下列結論：
①；②的面積等于四邊形的面積；③的最小值是；
④．其中正確的結論有 ．（填寫所有正確結論的序號）
17．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，已知點，，，在平行四邊形中，它的對角線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，且，則 ．
18．（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與交于兩點，且點都在第一象限．若，則點的坐標為 ．
19．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；(2)將直線向下平移個單位長度后得直線，若直線與反比例函數(shù)的圖象的交點為，求的值，并結合圖象求不等式的解集．
20．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．
(1)求m，k的值；(2)點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
21．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，將正比例函數(shù)圖象向下平移個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點B，C，與x軸，y軸交于點D，E，且滿足．過點B作軸，垂足為點F，G為x軸上一點，直線與關于直線成軸對稱，連接．(1)求反比例函數(shù)的表達式；(2)求n的值及的面積．
22．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)P是直線上的一個動點，的面積為21，求點P坐標；(3)點Q在反比例函數(shù)位于第四象限的圖象上，的面積為21，請直接寫出Q點坐標．
1．（2024·山西·統(tǒng)考一模）已知反比例函數(shù)，則下列描述正確的是（　　）
A．圖象位于第一、三象限 B．y隨x的增大而增大
C．圖象不可能與坐標軸相交 D．圖象必經過點
2．（24-25九年級上·浙江杭州·開學考試）在反比例函數(shù)圖象上有三個點，、，、，，若，則下列結論正確的是（　　）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
3．（23-24九年級上·浙江溫州·開學考試）已知三個點，，在反比例函數(shù)的圖象上，其中，則下列結論中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習）根據(jù)表格，判斷方程的解在下面哪個范圍之間（ ）
x的值 2 2.1 2.2 2.3 2.4
的值 3 3.31 3.64 3.99 4.36
的值 3.5 3.48 3.45 3.43 3.42
A．2~2.1之間 B．2.1~2.2之間 C．2.2~2.3之間 D．2.3~2.4之間
5.（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）下面的三個問題中都有兩個變量：①矩形的面積一定，一邊長與它的鄰邊；②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積與全村總人口；③汽車的行駛速度一定，行駛路程與行駛時間．其中，兩個變量之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（23-24九年級上·浙江金華·開學考試）如圖是三個反比例函數(shù)，，在y軸右側的圖象，則，，的大小關系為（　　）

A． B． C． D．
7．（2024·浙江·模擬預測）某反比例函數(shù)圖象上四個點的坐標分別為，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江·一模）如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點，，則不等式的解是（ ）

A．或 B．或 C．或x＞2 D．或
9．（2024·江西吉安·模擬預測）如圖所示為某新款茶吧機，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與通電時間成反比例關系．當水溫降至時，飲水機再自動加熱，若水溫在時接通電源，水溫與通電時間之間的關系如圖所示，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．水溫從加熱到，需要4min
B．水溫下降過程中，與的函數(shù)關系式是
C．在一個加熱周期內水溫不低于的時間為
D．上午10點接通電源，可以保證當天能喝到不低于的水
10．（2025九年級下·浙江溫州·學業(yè)考試）已知某函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，下列命題：①圖象與函數(shù)的圖象交于點；②點在圖象上；③圖象上的點的縱坐標都小于4；④是圖象上任意兩點，若，則，其中真命題是 （填序號）．
11．（24-25九年級上·浙江溫州·開學考試）如圖，點P，Q，R為反比例函數(shù)圖象上從左到右的三個點，分別過這三個點作x軸，y軸的垂線，與y軸的交點分別為點C，B，A圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次記為，，，其中，若，則的值為 ．
12．（2024九年級下·浙江金華·專題練習）如圖，矩形OABC位于直角坐標系中，點在第一象限內，點A在x軸上，點C在y軸上，反比例函數(shù)的圖象交于點，交于點，點在邊上．若恰好是以為斜邊的等腰直角三角形，則k的值為 ．
13．（23-24九年級下·浙江溫州·開學考試）如圖，菱形的頂點O是坐標原點，頂點A，C在反比例函數(shù)（）的圖象上，點A的橫坐標為4，點B的橫坐標為6，則k的值為 ．
14．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標系內，反比例函數(shù)的圖象過點．
(1)若，求證：．(2)若，，，求該函數(shù)的表達式．
15．（2024·浙江寧波·一模）已知反比例函數(shù)，點都在該反比例函數(shù)圖象上．(1)求的值；(2)若點都在該反比例函數(shù)圖象上；①當，點和點關于原點中心對稱時，求點坐標；②當時，求的取值范圍．
16．（2023·浙江溫州·模擬預測）已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點和點.(1)求的值，并在圖中畫出函數(shù)的圖象；(2)直接寫出不等式的解集．

17．（23-24九年級下·浙江杭州·階段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點，點．(1)求n的值與一次函數(shù)的解析式；(2)過點A作y軸的垂線，垂足為C，過點B作x軸的垂線，垂足為D，連接，求證：直線平行．
18．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于， 兩點，點在一次函數(shù)的圖象上，且．
(1)求證：．(2)比較與的大小關系．
19．（2023·浙江臺州·一模）如圖1，點光源射出光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片投影到與膠片平行的屏幕上，形成影像．已知，膠片與屏幕的距離為定值，設點光源到膠片的距離長為單位：，長為單位：，當時，．

(1)求的長．(2)求關于的函數(shù)解析式，在圖2中畫出圖像，并寫出至少一條該函數(shù)性質．
(3)若要求不小于，求的取值范圍．
20．（2024·廣西玉林·三模）在一次物理實驗中，小冉同學用一固定電壓為的蓄電池，通過調節(jié)滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡（燈絲的阻值）亮度的實驗（如圖），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻之間關系為，通過實驗得出如下數(shù)據(jù)：
1 a 3 4 6
4 3 2 b
(1)______，______；
(2)【探究】根據(jù)以上實驗，構建出函數(shù)結合表格信息，探究函數(shù)的圖象與性質．
①在平面直角坐標系中畫出對應函數(shù)的圖象；
②函數(shù)是由函數(shù)的圖象向______平移2個單位得到；
(3)【應用】下列關于函數(shù)的性質：①圖象關于點對稱；②y隨x的增大而減小；③圖象關于直線對稱；④y的取值范圍為．其中說法正確的是______（填寫序號）；
(4)【拓展】不等式的解集為______．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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